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次の計算をしましょう。
\((2+3i) + (4-i)\)
解答：\(6+2i\)
実部同士・虚部同士を、それぞれまとめます。
\((2+3i) + (4-i) = (2+4) + (3-1)i = 6 + 2i\)
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次の計算をしましょう。
\((5+2i) - (3+4i)\)
解答：\(2-2i\)
引き算も、実部同士・虚部同士をそれぞれ引くだけです。
\((5+2i) - (3+4i) = (5-3) + (2-4)i = 2 - 2i\)
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次の計算をしましょう。
\((1+2i)(3+i)\)
解答：\(1+7i\)
文字式と同じようにかっこを展開します。
\((1+2i)(3+i) = 3 + i + 6i + 2i^{2}\)
\(i^{2} = -1\) を代入して、実部同士・虚部同士をまとめます。
\(= 3 + 7i - 2 = 1 + 7i\)
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次の計算をしましょう。
\((2+i)(2-i)\)
解答：\(5\)
共役複素数同士の積です。「和と差の積」の公式で展開します。
\((2+i)(2-i) = 2^{2} - i^{2} = 4 - (-1) = 5\)
共役複素数を掛けると、\(i\) が消えて実数 \(a^{2}+b^{2}\) になります。
これが割り算の「分母の実数化」で共役複素数を掛ける理由です。
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次の計算をしましょう。
\(\dfrac{3+i}{1-i}\)
解答：\(1+2i\)
分母の共役複素数 \(1+i\) を、分母・分子の両方に掛けます（分母の実数化）。
\(\dfrac{3+i}{1-i} = \dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\)
分母は「和と差の積」で実数になります。
\((1-i)(1+i) = 1^{2} - i^{2} = 1 + 1 = 2\)
分子を展開して \(i^{2} = -1\) を代入します。
\((3+i)(1+i) = 3 + 3i + i + i^{2} = 2 + 4i\)
最後に分母の \(2\) で実部・虚部をそれぞれ割ります。
\(\dfrac{2+4i}{2} = 1 + 2i\)
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次の複素数の絶対値を求めましょう。
\(|3+4i|\)
解答：\(5\)
実部の2乗と虚部の2乗を足して、平方根をとります。
\(|3+4i| = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)
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次の複素数の絶対値を求めましょう。
\(|1+i|\)
解答：\(\sqrt{2}\)
実部の2乗と虚部の2乗を足して、平方根をとります。
\(|1+i| = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}\)
\(\sqrt{25} = 5\) のように根号が外れることもあれば、この問題のように \(\sqrt{2}\) のまま残ることもあります。根号が残るときは、そのまま厳密値で答えます。