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次の余りを求めましょう。
\(17 \bmod 5\)
解答：\(2\)
割り算の基本式 \(a = n \times q + r\)（\(0 \le r < n\)）に当てはめます。
\(17 = 5 \times 3 + 2\)
よって余りは \(2\) です。
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次の余りを、数学の約束（\(0 \le r < 3\)）で求めましょう。
\((-7) \bmod 3\)
解答：\(2\)
余りを 0 以上にするため、商は小さい方の整数へ切り捨てて決めます（床除算）。
\(-7 \div 3 = -2.33\ldots\)
これを小さい方の整数へ切り捨てた \(-3\) が商です。
\(-7 = 3 \times (-3) + 2\)
よって余りは \(2\) です。
商を \(-2\) で止めると、余りが \(-1\) になってしまいます。
\(-7 = 3 \times (-2) - 1\)
これはC言語やJavaの % 演算子と同じ結果で、数学の余りとしては使いません。
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次の合同式が成り立つか答えましょう。
\(38 \equiv 14 \pmod{12}\)
解答：成り立つ
合同式が成り立つのは、2 つの数の差が法の倍数になっているときです。
\(38 - 14 = 24 = 12 \times 2\)
差 \(24\) が法 \(12\) の倍数なので、合同式は成り立ちます。
余りで確かめると、次のように等しくなっています。
\(38 \bmod 12 = 2,\quad 14 \bmod 12 = 2\)
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次の合同式が成り立つか答えましょう。
\(40 \equiv 5 \pmod{6}\)
解答：成り立たない
差を計算します。
\(40 - 5 = 35 = 6 \times 5 + 5\)
差 \(35\) は法 \(6\) の倍数ではありません。
よって合同式は成り立ちません。
余りで確かめると、次のように異なっています。
\(40 \bmod 6 = 4,\quad 5 \bmod 6 = 5\)
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次の余りを求めましょう。
\(3^{4} \bmod 5\)
解答：\(1\)
まず \(3^{2}\) の余りを求めます。
\(3^{2} = 9 \equiv 4 \pmod{5}\)
掛け算と余りの関係から、これを 2 乗すれば \(3^{4}\) の余りになります。
\(3^{4} \equiv 4^{2} = 16 \equiv 1 \pmod{5}\)
よって余りは \(1\) です。
実際に計算して確かめても、余りは \(1\) になっています。
\(3^{4} = 81 = 5 \times 16 + 1\)
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\(7^{2026}\) の一の位を求めましょう。
解答：\(9\)
一の位は「10 で割った余り」です。
\(7\) のべき乗の余りを順に調べると、周期が見つかります。
\(7^{1} \equiv 7,\quad 7^{2} \equiv 9,\quad 7^{3} \equiv 3,\quad 7^{4} \equiv 1 \pmod{10}\)
\(7^{4} \equiv 1\) なので、一の位は 7・9・3・1 の 4 つを周期的に繰り返します。
指数 \(2026\) を周期 \(4\) で割ります。
\(2026 = 4 \times 506 + 2\)
余りが \(2\) なので、\(7^{2026}\) の一の位は周期の 2 番目と同じです。
\(7^{2026} \equiv 7^{2} \equiv 9 \pmod{10}\)
よって一の位は \(9\) です。