-
次の三角比の値を求めましょう。
\(\sin 30^\circ\)
解答：\(\dfrac{1}{2}\)
辺の比が \(1 : 2 : \sqrt{3}\) の三角定規（\(30^\circ\)・\(60^\circ\)・\(90^\circ\) の直角三角形）で考えます。
\(30^\circ\) の対辺は 1、斜辺は 2 なので
\(\sin 30^\circ = \dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \dfrac{1}{2}\)
-
次の三角比の値を求めましょう。
\(\cos 45^\circ\)
解答：\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
辺の比が \(1 : 1 : \sqrt{2}\) の三角定規（\(45^\circ\)・\(45^\circ\)・\(90^\circ\) の直角二等辺三角形）で考えます。
\(45^\circ\) の隣辺は 1、斜辺は \(\sqrt{2}\) なので
\(\cos 45^\circ = \dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
分母を有理化した \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) も同じ値です。
-
次の三角比の値を求めましょう。
\(\tan 60^\circ\)
解答：\(\sqrt{3}\)
辺の比が \(1 : 2 : \sqrt{3}\) の三角定規で、今度は \(60^\circ\) の角に注目します。
\(60^\circ\) の対辺は \(\sqrt{3}\)、隣辺は 1 なので
\(\tan 60^\circ = \dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\)
-
次の三角比の値を求めましょう。
\(\sin 120^\circ\)
解答：\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(90^\circ\) を超える角は、単位円と \(180^\circ - \theta\) の関係で考えます。
\(120^\circ = 180^\circ - 60^\circ\) なので、\(\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta\) の関係から
\(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
単位円で見ると、\(120^\circ\) の点と \(60^\circ\) の点は \(y\) 軸をはさんで左右対称の位置にあり、高さ（\(y\) 座標 = sin）が同じになっています。
-
次の三角比の値を求めましょう。
\(\cos 150^\circ\)
解答：\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(150^\circ = 180^\circ - 30^\circ\) なので、\(\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta\) の関係を使います。
\(\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(150^\circ\) は鈍角なので、単位円上の点 \(P\) は \(y\) 軸より左側にあります。
\(x\) 座標が負になるため、cos の値も負になります。
-
\(0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ\) のとき、次の等式を満たす \(\theta\) をすべて求めましょう。
\(\sin\theta = \dfrac{1}{2}\)
解答：\(\theta = 30^\circ,\ 150^\circ\)
\(\sin\theta\) は単位円上の点 \(P\) の \(y\) 座標なので、「高さが \(\dfrac{1}{2}\) になる点」を単位円の上半分から探します。
まず \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) が見つかります。
さらに、\(y\) 軸をはさんで左右対称の位置にも同じ高さの点があります。
\(\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta\) の関係から
\(\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\)
よって \(\theta = 30^\circ\) と \(150^\circ\) の2つです。
答えが2つあることを見落とさないようにしましょう。
-
\(0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ\) のとき、次の等式を満たす \(\theta\) を求めましょう。
\(\tan\theta = -1\)
解答：\(\theta = 135^\circ\)
\(\tan\theta\) は直線 \(OP\) の傾きです。
傾きが負なので、動径は左上向き、つまり \(\theta\) は鈍角（\(90^\circ < \theta < 180^\circ\)）とわかります。
まず正の傾きで考えると \(\tan 45^\circ = 1\) です。
\(\tan(180^\circ - \theta) = -\tan\theta\) の関係から
\(\tan 135^\circ = -\tan 45^\circ = -1\)
よって \(\theta = 135^\circ\) です。
傾きが決まると直線は1本に決まるので、この問題の答えは1つだけです。