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次の方程式を解きましょう。
\(|x| = 5\)
解答：\(x = \pm 5\)
絶対値は「数直線の上で 0 からどれだけ離れているか」という距離です。
0 からの距離が 5 になる数は、プラス側とマイナス側に1つずつあります。
\(x = 5,\ \ x = -5\)
まとめて \(x = \pm 5\) と書きます。
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次の方程式を解きましょう。
\(|x - 2| = 3\)
解答：\(x = -1,\ \ 5\)
中身 \(x - 2\) をひとかたまりとみて、基本形『\(|X| = c\) ならば \(X = \pm c\)』で外します。
\(x - 2 = \pm 3\)
プラスの場合とマイナスの場合をそれぞれ解きます。
\(x - 2 = 3\) のとき \(x = 5\)
\(x - 2 = -3\) のとき \(x = -1\)
よって解は
\(x = -1,\ \ 5\)
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次の不等式を解きましょう。
\(|x| < 4\)
解答：\(-4 < x < 4\)
0 からの距離が 4 より小さい数は、\(-4\) と \(4\) に挟まれた「間」に集まっています。
基本形『\(|X| < c\) ならば \(-c < X < c\)』にあてはめて
\(-4 < x < 4\)
等号なしの \(<\) なので、境界の \(-4\) と \(4\) は解に含まれません（数直線では白丸）。
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次の不等式を解きましょう。
\(|x + 1| \leqq 2\)
解答：\(-3 \leqq x \leqq 1\)
中身 \(x + 1\) をひとかたまりとみて、基本形で間の範囲に直します。
\(-2 \leqq x + 1 \leqq 2\)
各辺から 1 を引きます。
\(-3 \leqq x \leqq 1\)
等号入りの \(\leqq\) なので、境界の \(-3\) と \(1\) も解に含まれます（数直線では黒丸）。
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次の不等式を解きましょう。
\(|x - 1| > 2\)
解答：\(x < -1,\ \ 3 < x\)
\(>\) の不等式なので、解は境界の「外側」の2つの範囲に分かれます。
基本形『\(|X| > c\) ならば \(X < -c,\ \ c < X\)』にあてはめて
\(x - 1 < -2,\ \ 2 < x - 1\)
それぞれの辺に 1 を足します。
\(x - 1 < -2\) のとき \(x < -1\)
\(2 < x - 1\) のとき \(3 < x\)
よって解は
\(x < -1,\ \ 3 < x\)
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次の不等式を、場合分けで絶対値を外して解きましょう。
\(|2x - 3| \leqq 5\)
解答：\(-1 \leqq x \leqq 4\)
中身 \(2x - 3\) の符号が入れ替わる境界は、\(2x - 3 = 0\) となる \(x = \dfrac{3}{2}\) です。
【場合1】\(2x - 3 \geqq 0\)、つまり \(x \geqq \dfrac{3}{2}\) のとき、絶対値はそのまま外せます。
\(2x - 3 \leqq 5\)
\(2x \leqq 8\)
\(x \leqq 4\)
場合の条件 \(x \geqq \dfrac{3}{2}\) との共通範囲は
\(\dfrac{3}{2} \leqq x \leqq 4\)
【場合2】\(2x - 3 < 0\)、つまり \(x < \dfrac{3}{2}\) のとき、符号を変えて外します。
\(-(2x - 3) \leqq 5\)
両辺に \(-1\) を掛けると、不等号の向きが変わります。
\(2x - 3 \geqq -5\)
\(2x \geqq -2\)
\(x \geqq -1\)
場合の条件 \(x < \dfrac{3}{2}\) との共通範囲は
\(-1 \leqq x < \dfrac{3}{2}\)
【まとめ】場合1と場合2の解を合わせると
\(-1 \leqq x \leqq 4\)
基本形（\(-5 \leqq 2x - 3 \leqq 5\) を変形）で解いても同じ答えになります。
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次の不等式を解きましょう。
\(|x + 2| < -1\)
解答：解なし
絶対値は 0 からの距離なので、どんな \(x\) でも必ず 0 以上です。
0 以上の数が、負の数 \(-1\) より小さくなることはありません。
したがって、この不等式を満たす \(x\) は1つも無く、解なしです。
もし不等号の向きが逆（\(|x + 2| > -1\)）なら、0 以上の数は負の数よりいつでも大きいので、解はすべての実数になります。