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ある店の売上が2年で100万円から121万円になりました。
年平均成長率（CAGR）は何%ですか。
解答：\(10\%\)
まず全体の倍率を求めます。
\(121 \div 100 = 1.21\)
2年なので、1年あたりの倍率は \(1.21\) の平方根です。
\(\sqrt{1.21} = 1.1\)
\(1.1 \times 1.1 = 1.21\) となるので確かめられます。
1年あたりの倍率 \(1.1\) から元の分の \(1\) を引くと年平均成長率です。
\(1.1 - 1 = 0.1\)
よって \(10\%\) です。
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あるアプリの利用者数が3年で1万人から8万人になりました。
年平均成長率（CAGR）は何%ですか。
解答：\(100\%\)
全体の倍率を求めます。
\(8 \div 1 = 8\)
3年なので、1年あたりの倍率は \(8\) の立方根（3乗すると \(8\) になる数）です。
\(\sqrt[3]{8} = 2\)
\(2 \times 2 \times 2 = 8\) となるので確かめられます。
\(2 - 1 = 1\)
よって年平均成長率は \(100\%\)（毎年2倍）です。
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売上200万円の会社が、年平均成長率 \(50\%\) で2年間成長しました。
2年後の売上は何万円ですか。
解答：\(450\) 万円
年平均成長率 \(50\%\) は、1年あたりの倍率が \(1 + 0.5 = 1.5\) ということです。
2年分なので \(1.5\) を2回掛けます。
\(200 \times 1.5 \times 1.5 = 200 \times 2.25 = 450\)
よって \(450\) 万円です。
「\(50\% \times 2\) 年 \(= 100\%\) 増で \(400\) 万円」ではないことに注意します。2年目は1年目に増えた後の \(300\) 万円を基準に \(50\%\) 増えるからです。
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年平均成長率 \(20\%\) で3年間成長して、3年後に売上が \(1728\) 万円になりました。
3年前の売上は何万円でしたか。
解答：\(1000\) 万円
1年あたりの倍率は \(1 + 0.2 = 1.2\) です。
3年分の倍率を求めます。
\(1.2 \times 1.2 \times 1.2 = 1.728\)
最終値をこの倍率で割ると初期値です。
\(1728 \div 1.728 = 1000\)
よって \(1000\) 万円です。
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会員数100人のサービスが、毎年 \(100\%\)（毎年2倍）のペースで増えています。
会員数が初めて \(1600\) 人以上になるのは何年後ですか。
解答：\(4\) 年後
毎年2倍なので、1年ごとの会員数を順に書き出します。
\(100 \to 200 \to 400 \to 800 \to 1600\)
\(1600\) 人になるのは4回2倍にしたときです。
\(100 \times 2^{4} = 1600\)
よって \(4\) 年後です。
対数を使って書くと \(\log_{2} 16 = 4\) で、これが「目標到達までの年数」の式の中身です。
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売上が2年で100万円から144万円になりました。
年平均成長率（CAGR）と、単純平均成長率（全体の成長率を年数で割った値）をそれぞれ求めましょう。
解答：年平均成長率 \(20\%\)、単純平均成長率 \(22\%\)
全体の倍率は次のとおりです。
\(144 \div 100 = 1.44\)
年平均成長率は、1年あたりの倍率（平方根）から \(1\) を引きます。
\(\sqrt{1.44} = 1.2\)
\(1.2 - 1 = 0.2\)
よって年平均成長率は \(20\%\) です。
単純平均成長率は、全体の成長率を年数で割ります。
\(1.44 - 1 = 0.44\)
\(0.44 \div 2 = 0.22\)
よって単純平均成長率は \(22\%\) です。
単純平均の \(22\%\) を本当に2年続けると \(1.22 \times 1.22 = 1.4884\) 倍になり、実際の \(1.44\) 倍より大きくなってしまいます。年率の成長率として正しいのは年平均成長率の \(20\%\) の方です。