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次の二次関数を平方完成しましょう。
\(y = x^{2} + 4x + 1\)
解答：\(y = (x + 2)^{2} - 3\)
\(x\) の係数 \(4\) の半分 \(2\) の2乗 \(4\) を、足して引きます。
\(y = x^{2} + 4x + 4 - 4 + 1\)
前半の3項を2乗の形にまとめます。
\(y = (x + 2)^{2} - 4 + 1\)
定数項をまとめます。
\(y = (x + 2)^{2} - 3\)
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次の二次関数を平方完成し、頂点の座標を答えましょう。
\(y = x^{2} - 8x + 10\)
解答：\(y = (x - 4)^{2} - 6\)、頂点 \((4,\ -6)\)
\(x\) の係数 \(-8\) の半分 \(-4\) の2乗 \(16\) を、足して引きます。
\(y = x^{2} - 8x + 16 - 16 + 10 = (x - 4)^{2} - 6\)
標準形 \(y = a(x - p)^{2} + q\) と見比べると、\(p = 4\)、\(q = -6\) です。
よって頂点は \((4,\ -6)\) です。
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次の二次関数を平方完成しましょう。
\(y = 2x^{2} + 4x - 1\)
解答：\(y = 2(x + 1)^{2} - 3\)
\(x^{2}\) の係数が \(1\) ではないので、まず \(x^{2}\) の項と \(x\) の項を \(2\) でくくります。
\(y = 2(x^{2} + 2x) - 1\)
かっこの中で、\(x\) の係数 \(2\) の半分 \(1\) の2乗 \(1\) を足して引きます。
\(y = 2(x^{2} + 2x + 1 - 1) - 1 = 2\left\{(x + 1)^{2} - 1\right\} - 1\)
外側のかっこを外して、定数項をまとめます。
\(y = 2(x + 1)^{2} - 2 - 1 = 2(x + 1)^{2} - 3\)
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次の二次関数の最大値を求めましょう。
\(y = -x^{2} + 2x + 3\)
解答：\(x = 1\) のとき最大値 \(4\)
\(x^{2}\) の係数が負なので、グラフは上に凸で、頂点で最大値をとります。
まず \(x^{2}\) の項と \(x\) の項を \(-1\) でくくります。
\(y = -(x^{2} - 2x) + 3\)
かっこの中で、\(x\) の係数 \(-2\) の半分 \(-1\) の2乗 \(1\) を足して引きます。
\(y = -(x^{2} - 2x + 1 - 1) + 3 = -\left\{(x - 1)^{2} - 1\right\} + 3\)
外側のかっこを外して、定数項をまとめます。
\(y = -(x - 1)^{2} + 1 + 3 = -(x - 1)^{2} + 4\)
頂点は \((1,\ 4)\) なので、\(x = 1\) のとき最大値 \(4\) をとります。
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次の二次関数を平方完成し、頂点の座標を答えましょう。
\(y = x^{2} + 3x + 1\)
解答：\(y = \left(x + \dfrac{3}{2}\right)^{2} - \dfrac{5}{4}\)、頂点 \(\left(-\dfrac{3}{2},\ -\dfrac{5}{4}\right)\)
\(x\) の係数が奇数でも手順は同じです。
\(x\) の係数 \(3\) の半分 \(\dfrac{3}{2}\) の2乗 \(\dfrac{9}{4}\) を、足して引きます。
\(y = x^{2} + 3x + \dfrac{9}{4} - \dfrac{9}{4} + 1 = \left(x + \dfrac{3}{2}\right)^{2} - \dfrac{9}{4} + 1\)
定数項を通分してまとめます。
\(y = \left(x + \dfrac{3}{2}\right)^{2} - \dfrac{9}{4} + \dfrac{4}{4} = \left(x + \dfrac{3}{2}\right)^{2} - \dfrac{5}{4}\)
よって頂点は \(\left(-\dfrac{3}{2},\ -\dfrac{5}{4}\right)\) です。
頂点の \(x\) 座標は、かっこの中の符号を変えた \(-\dfrac{3}{2}\) であることに注意しましょう。
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次の二次関数を平方完成しましょう。
\(y = 3x^{2} - 6x\)
解答：\(y = 3(x - 1)^{2} - 3\)
定数項がなくても手順は同じです。まず \(x^{2}\) の項と \(x\) の項を \(3\) でくくります。
\(y = 3(x^{2} - 2x)\)
かっこの中で、\(x\) の係数 \(-2\) の半分 \(-1\) の2乗 \(1\) を足して引きます。
\(y = 3(x^{2} - 2x + 1 - 1) = 3\left\{(x - 1)^{2} - 1\right\}\)
外側のかっこを外します。
\(y = 3(x - 1)^{2} - 3\)