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\(P(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6\) について、\(P(1)\) の値を求めましょう。
解答：\(0\)
\(x = 1\) を代入して計算します。
\(P(1) = 1^{3} - 2 \times 1^{2} - 5 \times 1 + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0\)
\(P(1) = 0\) なので、因数定理より \((x - 1)\) は \(P(x)\) の因数だとわかります。
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組立除法を使って、\(x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6\) を \((x - 1)\) で割った商を求めましょう。
解答：\(x^{2} - x - 6\)
係数 \(1,\ -2,\ -5,\ 6\) を並べ、割る値 \(1\) で組立除法をします。
先頭の \(1\) はそのまま下ろし、次の列からは、割る値と左隣の下の段の数を掛けて、上の段の数に足す操作を繰り返します。
\(-2 + 1 \times 1 = -1\)
\(-5 + 1 \times (-1) = -6\)
\(6 + 1 \times (-6) = 0\)
下の段は \(1,\ -1,\ -6\)、最後の \(0\) が余りです。
よって商は \(x^{2} - x - 6\)、余り \(0\) で割り切れています。
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三次方程式を解きましょう。
\(x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6 = 0\)
解答：\(x = 1,\ 3,\ -2\)
問1・問2の結果から、左辺は次のように次数を下げられます。
\(x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6 = (x - 1)(x^{2} - x - 6)\)
残りの二次式は掛けて \(-6\)・足して \(-1\) になる2つの数（\(-3\) と \(2\)）で因数分解できます。
\(x^{2} - x - 6 = (x - 3)(x + 2)\)
よって方程式は次の形になり、どれかの因数が \(0\) になる \(x\) が解です。
\((x - 1)(x - 3)(x + 2) = 0\)
\(x = 1,\ 3,\ -2\)
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三次方程式を解きましょう。
\(x^{3} - 3x^{2} + x + 1 = 0\)
解答：\(x = 1,\ 1 \pm \sqrt{2}\)
定数項 \(1\) の約数から、有理数の解の候補は \(\pm 1\) です。
\(x = 1\) を代入すると \(1 - 3 + 1 + 1 = 0\) なので、\((x - 1)\) が因数です。
組立除法（係数 \(1,\ -3,\ 1,\ 1\) を割る値 \(1\) で）で次数を下げます。
\(x^{3} - 3x^{2} + x + 1 = (x - 1)(x^{2} - 2x - 1)\)
残りの \(x^{2} - 2x - 1 = 0\) は因数分解できないので、解の公式を使います。
\(x = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^{2} - 4 \times 1 \times (-1)}}{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}\)
よって解は \(x = 1,\ 1 + \sqrt{2},\ 1 - \sqrt{2}\) の3つです。
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三次方程式を解きましょう。
\(x^{3} - 8 = 0\)
解答：\(x = 2,\ -1 \pm \sqrt{3}\,i\)
定数項 \(-8\) の約数から候補 \(\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4,\ \pm 8\) を試すと、\(x = 2\) で \(8 - 8 = 0\) になります。
組立除法で次数を下げます。並べる係数は \(1,\ 0,\ 0,\ -8\) で、\(x^{2}\) と \(x\) の項が無いので係数 \(0\) を忘れずに書きます。
\(x^{3} - 8 = (x - 2)(x^{2} + 2x + 4)\)
残りの \(x^{2} + 2x + 4 = 0\) を解の公式で解きます。判別式は次のとおり負なので、虚数解です。
\(D = 2^{2} - 4 \times 1 \times 4 = -12\)
\(x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{3}\,i}{2} = -1 \pm \sqrt{3}\,i\)
よって解は実数解 \(x = 2\) と、共役な虚数解 \(x = -1 \pm \sqrt{3}\,i\) です。
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三次方程式を解きましょう。
\(x^{3} - 3x^{2} + 4 = 0\)
解答：\(x = -1,\ 2\)（\(x = 2\) は2重解）
候補 \(\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4\) を試すと、\(x = -1\) で \(-1 - 3 + 4 = 0\) になります。
組立除法（係数 \(1,\ -3,\ 0,\ 4\) を割る値 \(-1\) で）で次数を下げます。
\(x^{3} - 3x^{2} + 4 = (x + 1)(x^{2} - 4x + 4)\)
残りの二次式は完全平方式です。
\(x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2}\)
よって方程式は \((x + 1)(x - 2)^{2} = 0\) となり、解は \(x = -1\) と \(x = 2\)（2重解）です。
解を重複度込みで数えると \(-1\) が1個、\(2\) が2個で、合わせて3個になっています。