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幅 \(78\,\text{cm}\)・高さ \(200\,\text{cm}\)（内法）のドアに、梱包と養生の余裕 \(3\,\text{cm}\) を見込みます。有効開口の幅と高さを求めましょう。また、奥行 \(70\,\text{cm}\)・高さ \(90\,\text{cm}\) の面を開口に向けたとき、その面は有効開口に収まるか答えましょう。
解答：有効開口は幅 \(75\,\text{cm}\)・高さ \(197\,\text{cm}\) で、収まる
有効開口は、開口の幅と高さのそれぞれから余裕を引いて求めます。
\(w' = 78 - 3 = 75\)
\(h' = 200 - 3 = 197\)
面の2辺を、幅方向に \(70\,\text{cm}\)・高さ方向に \(90\,\text{cm}\) として比べます。
\(70 \leqq 75,\quad 90 \leqq 197\)
どちらも満たすので、この面は有効開口に収まります。
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幅 \(90\,\text{cm}\)・奥行 \(45\,\text{cm}\)・高さ \(180\,\text{cm}\) の本棚を、有効開口が幅 \(78\,\text{cm}\)・高さ \(197\,\text{cm}\) のドアに通します。正面（幅と高さの面）・側面（奥行と高さの面）・上面（幅と奥行の面）のうち、開口に向ければ通る面をすべて答えましょう（面を 90° 回してもよいものとします）。
解答：側面と上面
面ごとに、2辺のどちらを幅方向にしても \(78\) 以下と \(197\) 以下の組になるかを調べます。
正面は \(90 \times 180\) です。
\(90\) を幅方向にすると \(90 > 78\)、\(180\) を幅方向にすると \(180 > 78\)
どちらも幅方向の辺が \(78\) を超えるので収まりません。
側面は \(45 \times 180\) です。
\(45 \leqq 78,\quad 180 \leqq 197\)
幅方向に \(45\)・高さ方向に \(180\) とすれば収まります。
上面は \(90 \times 45\) です。
\(45 \leqq 78,\quad 90 \leqq 197\)
幅方向に \(45\)・高さ方向に \(90\) とすれば収まります。
よって通る面は側面と上面です。
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長い辺 \(80\,\text{cm}\)・短い辺 \(60\,\text{cm}\) の面を、長い辺が床と角度 \(\theta\) をなすように傾けます。\(\cos\theta = 0.8\)、\(\sin\theta = 0.6\) のとき、傾けた面に外接する長方形の幅 \(W_{\theta}\) と高さ \(H_{\theta}\) を求めましょう。
解答：\(W_{\theta} = 100\,\text{cm}\)、\(H_{\theta} = 96\,\text{cm}\)
必要な幅は、長い辺の横向きの成分と短い辺の横向きの成分を足したものです。
\(W_{\theta} = 80 \times 0.8 + 60 \times 0.6 = 64 + 36 = 100\)
必要な高さは、長い辺の縦向きの成分と短い辺の縦向きの成分を足したものです。
\(H_{\theta} = 80 \times 0.6 + 60 \times 0.8 = 48 + 48 = 96\)
よって \(W_{\theta} = 100\,\text{cm}\)、\(H_{\theta} = 96\,\text{cm}\) です。
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幅 \(90\,\text{cm}\) の廊下どうしが直角に曲がる角があります。幅のない棒を、曲がる前の廊下と \(45^\circ\) の角度にしたときに収まる長さ \(L(45^\circ) = \dfrac{a}{\sin 45^\circ} + \dfrac{b}{\cos 45^\circ}\) を求めましょう。
解答：\(180\sqrt{2}\,\text{cm}\)（約 \(255\,\text{cm}\)）
\(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) なので、\(a = b = 90\) を代入します。
\(L(45^\circ) = \dfrac{90}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} + \dfrac{90}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = 90\sqrt{2} + 90\sqrt{2} = 180\sqrt{2}\)
\(\sqrt{2} \fallingdotseq 1.414\) なので
\(180\sqrt{2} \fallingdotseq 254.6\)
よって \(180\sqrt{2}\,\text{cm}\)（約 \(255\,\text{cm}\)）です。
廊下の幅が同じときは \(45^\circ\) が最も厳しい角度なので、これが棒が曲がれる最大の長さでもあります。
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幅 \(60\,\text{cm}\)・高さ \(80\,\text{cm}\) の開口の対角線の長さを求めましょう。また、\(75\,\text{cm} \times 75\,\text{cm}\) の正方形の面は、どう傾けてもこの開口を通らないことを、対角線の長さを使って説明しましょう。
解答：対角線は \(100\,\text{cm}\) で、面の対角線 \(75\sqrt{2}\,\text{cm}\)（約 \(106\,\text{cm}\)）が開口の対角線 \(100\,\text{cm}\) より長いので通らない
開口の対角線は三平方の定理で求めます。
\(\sqrt{60^{2} + 80^{2}} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100\)
正方形の面の対角線も同じように求めます。
\(\sqrt{75^{2} + 75^{2}} = 75\sqrt{2} \fallingdotseq 106.1\)
傾けて収まるためには、面の対角線が開口の対角線以下であることが必要です。
\(106.1 > 100\)
面の対角線のほうが長いので、どう傾けてもこの開口には収まりません。
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幅 \(90\,\text{cm}\)・奥行 \(120\,\text{cm}\)・高さ \(200\,\text{cm}\) のエレベーターのかごについて、床の対角線と空間対角線の長さを求めましょう。
解答：床の対角線 \(150\,\text{cm}\)、空間対角線 \(250\,\text{cm}\)
床の対角線は、幅と奥行から三平方の定理で求めます。
\(\sqrt{90^{2} + 120^{2}} = \sqrt{8100 + 14400} = \sqrt{22500} = 150\)
空間対角線は、床の対角線と高さを2辺とする直角三角形の斜辺なので、3辺の2乗を足して平方根をとります。
\(\sqrt{90^{2} + 120^{2} + 200^{2}} = \sqrt{22500 + 40000} = \sqrt{62500} = 250\)
よって床の対角線は \(150\,\text{cm}\)、空間対角線は \(250\,\text{cm}\) です。