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行列 \(\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\) の逆行列を求めましょう。
解答：\(\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\)
行列式を求めます。
\(2 \times 1 - 1 \times 1 = 1\)
左上と右下を入れ替え、右上と左下の符号を変えます。
\(\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\)
行列式が1なので割っても変わらず、これがそのまま答えです。
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行列 \(\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}\) の逆行列を求めましょう。
解答：\(\begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}\)
行列式を求めます。
\(3 \times 1 - 1 \times 2 = 1\)
左上と右下を入れ替え、右上と左下の符号を変えます。
\(\begin{pmatrix}1&-1\\-2&3\end{pmatrix}\)
1で割ってもそのままなので、これが答えです。
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行列 \(\begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix}\) の逆行列を求めましょう。
解答：\(\begin{pmatrix}2&-1\\-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\)
行列式を求めます。
\(1 \times 4 - 2 \times 1 = 2\)
左上と右下を入れ替え、右上と左下の符号を変えます。
\(\begin{pmatrix}4&-2\\-1&1\end{pmatrix}\)
各成分を2で割ります。
\(\begin{pmatrix}2&-1\\-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\)
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行列 \(\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}\) の逆行列を求めましょう。
解答：逆行列は存在しない
行列式を求めます。
\(2 \times 2 - 4 \times 1 = 4 - 4 = 0\)
行列式が0の行列に逆行列は存在しません（0で割ることになってしまうため）。
1行目が2行目のちょうど2倍になっていることにも注目しましょう。
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行列 \(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)（単位行列）の逆行列を求めましょう。
解答：\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)（単位行列そのもの）
行列式を求めます。
\(1 \times 1 - 0 \times 0 = 1\)
入れ替えと符号変えをしても形が変わらないので、単位行列の逆行列は単位行列自身です。
数の世界で「1の逆数は1」であることに対応しています。