-
次の一次不定方程式の整数解を1組見つけましょう。
\(3x + 5y = 1\)
解答：\((x,\ y) = (2,\ -1)\)
\(3\) と \(5\) の最大公約数は \(1\) で、右辺の \(1\) は \(1\) の倍数なので整数解があります。
数が小さいので、\(x\) に整数を順に入れて \(y\) が整数になる組を探します。
\(x = 2\) のとき \(3 \times 2 + 5y = 1\) となり、\(5y = -5\) から \(y = -1\)
よって \((x,\ y) = (2,\ -1)\) が1組の整数解です。
実際に代入すると
\(3 \times 2 + 5 \times (-1) = 6 - 5 = 1\)
-
次の一次不定方程式に整数解があるかどうかを判定し、その理由も答えましょう。
\(4x + 6y = 5\)
解答：整数解はない
\(4\) と \(6\) の最大公約数は \(2\) です。
左辺を \(2\) でくくると
\(4x + 6y = 2(2x + 3y)\)
\(x\) と \(y\) が整数なら \(2x + 3y\) も整数なので、左辺は必ず \(2\) の倍数になります。
ところが右辺の \(5\) は \(2\) の倍数ではありません。
したがって、この方程式を満たす整数の組 \(x,\ y\) は存在しません。
-
ユークリッドの互除法を使って、次の一次不定方程式の整数解を1組見つけましょう。
\(13x + 5y = 1\)
解答：\((x,\ y) = (2,\ -5)\)
まず \(13\) を \(5\) で割ることから始めて、余りが \(0\) になるまでくり返します。
\(13 = 5 \times 2 + 3\)
\(5 = 3 \times 1 + 2\)
\(3 = 2 \times 1 + 1\)
\(2 = 1 \times 2 + 0\)
余りが \(0\) になったときの割る数 \(1\) が最大公約数です。
次に、余りを表す式を下から順に代入して、\(1\) を \(13\) と \(5\) の整数倍の和に直します。
\(1 = 3 - 2\)
\(1 = 3 - (5 - 3) = 2 \times 3 - 5\)
\(1 = 2 \times (13 - 5 \times 2) - 5 = 2 \times 13 - 5 \times 5\)
よって \(13 \times 2 + 5 \times (-5) = 1\) となり、\((x,\ y) = (2,\ -5)\) が1組の整数解です。
-
\((x,\ y) = (3,\ -5)\) が \(7x + 4y = 1\) の整数解であることを確かめ、この方程式のすべての整数解を、整数 \(t\) を使って表しましょう。
解答：\(x = 3 + 4t,\quad y = -5 - 7t\)
代入すると
\(7 \times 3 + 4 \times (-5) = 21 - 20 = 1\)
となり、確かに整数解です。
\(7\) と \(4\) の最大公約数は \(1\) なので、\(x\) は \(4\) ずつ、\(y\) は \(7\) ずつ変わります。
\(x\) が \(4\) 増えるたびに \(y\) は \(7\) 減るので
\(x = 3 + 4t, \quad y = -5 - 7t\)
検算すると
\(7(3 + 4t) + 4(-5 - 7t) = 21 + 28t - 20 - 28t = 1\)
となり、\(t\) がどんな整数でも成り立ちます。
-
\(3x + 5y = 30\) を満たす正の整数の組 \(x,\ y\) をすべて求めましょう。
解答：\((x,\ y) = (5,\ 3)\)
\(3\) と \(5\) の最大公約数は \(1\) で、\(30\) は \(1\) の倍数なので整数解があります。
\((x,\ y) = (0,\ 6)\) が1組の整数解で、\(x\) は \(5\) ずつ、\(y\) は \(3\) ずつ変わるので
\(x = 5t, \quad y = 6 - 3t\)
正の整数解を求めるので、\(x \geqq 1\) と \(y \geqq 1\) を同時に満たす \(t\) を探します。
\(5t \geqq 1\) より \(t \geqq \dfrac{1}{5}\)、\(t\) は整数なので \(t \geqq 1\)
\(6 - 3t \geqq 1\) より \(t \leqq \dfrac{5}{3}\)、\(t\) は整数なので \(t \leqq 1\)
よって \(t = 1\) だけとなり、\((x,\ y) = (5,\ 3)\) が答えです。
-
50円切手と80円切手を合わせて買い、代金をちょうど1000円にします。
どちらの切手も1枚以上買うとき、買い方は何通りあるか求め、その組み合わせをすべて答えましょう。
解答：2通り。50円切手4枚と80円切手10枚、または50円切手12枚と80円切手5枚
50円切手を \(x\) 枚、80円切手を \(y\) 枚とすると
\(50x + 80y = 1000\)
\(50\) と \(80\) の最大公約数は \(10\) で、\(1000\) は \(10\) の倍数なので整数解があります。
両辺を \(10\) で割ると
\(5x + 8y = 100\)
\((x,\ y) = (4,\ 10)\) が1組の解で、\(x\) は \(8\) ずつ、\(y\) は \(5\) ずつ変わるので
\(x = 4 + 8t, \quad y = 10 - 5t\)
どちらも1枚以上なので \(x \geqq 1\) かつ \(y \geqq 1\) です。
\(4 + 8t \geqq 1\) より \(t \geqq -\dfrac{3}{8}\)、\(t\) は整数なので \(t \geqq 0\)
\(10 - 5t \geqq 1\) より \(t \leqq \dfrac{9}{5}\)、\(t\) は整数なので \(t \leqq 1\)
よって \(t = 0,\ 1\) の2通りで、\((x,\ y) = (4,\ 10),\ (12,\ 5)\) です。