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\(2^{10}\) は何桁の整数か求めましょう。
ただし \(\log_{10} 2 = 0.3010\) とします。
解答：\(4\) 桁
常用対数をとり、累乗の法則で指数を前に出します。
\(\log_{10} 2^{10} = 10 \log_{10} 2 = 10 \times 0.3010 = 3.010\)
整数部分に注目して、10 の累乗ではさみます。
\(3 \le 3.010 < 4\)
\(10^{3} \le 2^{10} < 10^{4}\)
\(10^{3}\)（=1000）は 4 桁で一番小さい数なので、\(2^{10}\) は 4 桁です。
実際に \(2^{10} = 1024\) で、確かに 4 桁です。
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\(3^{20}\) は何桁の整数か求めましょう。
ただし \(\log_{10} 3 = 0.4771\) とします。
解答：\(10\) 桁
常用対数をとって指数を前に出します。
\(\log_{10} 3^{20} = 20 \log_{10} 3 = 20 \times 0.4771 = 9.542\)
整数部分は 9 なので、10 の累乗ではさみます。
\(9 \le 9.542 < 10\)
\(10^{9} \le 3^{20} < 10^{10}\)
よって \(3^{20}\) は 10 桁です。
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\(5^{20}\) は何桁の整数か求めましょう。
ただし \(\log_{10} 2 = 0.3010\) とします。
解答：\(14\) 桁
\(\log_{10} 5\) は与えられていませんが、\(5 = \dfrac{10}{2}\) を使うと \(\log_{10} 2\) から導けます。
\(\log_{10} 5 = \log_{10} \dfrac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990\)
あとは指数を前に出して整数部分を見ます。
\(\log_{10} 5^{20} = 20 \times 0.6990 = 13.98\)
\(13 \le 13.98 < 14\)
よって \(10^{13} \le 5^{20} < 10^{14}\) となり、\(5^{20}\) は 14 桁です。
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\(6^{30}\) は何桁の整数か求めましょう。
ただし \(\log_{10} 2 = 0.3010\)、\(\log_{10} 3 = 0.4771\) とします。
解答：\(24\) 桁
\(6 = 2 \times 3\) なので、積の法則で \(\log_{10} 6\) を求めます。
\(\log_{10} 6 = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781\)
指数を前に出して計算します。
\(\log_{10} 6^{30} = 30 \times 0.7781 = 23.343\)
整数部分は 23 なので、10 の累乗ではさみます。
\(23 \le 23.343 < 24\)
\(10^{23} \le 6^{30} < 10^{24}\)
よって \(6^{30}\) は 24 桁です。
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\(2^{100}\) の最高位の数字（一番左の数字）を求めましょう。
ただし \(\log_{10} 2 = 0.3010\) とします。
解答：\(1\)
まず常用対数を計算します。
\(\log_{10} 2^{100} = 100 \times 0.3010 = 30.10\)
最高位の数字を決めるのは小数部分です。
\(2^{100} = 10^{30.10} = 10^{30} \times 10^{0.10}\)
小数部分 \(0.10\) を、1〜9 の常用対数の値と見比べます。
\(\log_{10} 1 = 0 \le 0.10 < 0.3010 = \log_{10} 2\)
\(1 \le 10^{0.10} < 2\)
よって \(2^{100}\) は \(1.\cdots \times 10^{30}\) の形なので、最高位の数字は 1 です。
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\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{100}\) を小数で表すとき、小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか求めましょう。
ただし \(\log_{10} 2 = 0.3010\) とします。
解答：小数第 \(31\) 位
\(\dfrac{1}{2}\) の常用対数は、商の法則からマイナスの値になります。
\(\log_{10} \dfrac{1}{2} = \log_{10} 1 - \log_{10} 2 = 0 - 0.3010 = -0.3010\)
指数を前に出して計算します。
\(\log_{10} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{100} = 100 \times (-0.3010) = -30.10\)
マイナスの数の整数部分に注意して、10 の累乗ではさみます（\(-30.10\) のすぐ左の整数は \(-31\) です）。
\(-31 \le -30.10 < -30\)
\(10^{-31} \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^{100} < 10^{-30}\)
\(10^{-31}\) は小数第 31 位に初めて 1 が現れる数なので、\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{100}\) は小数第 31 位に初めて 0 でない数字が現れます。