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次の式を展開しましょう。
\((x+2)(x+3)\)
解答：\(x^{2} + 5x + 6\)
\((x+a)(x+b)\) の公式が使える形です。
\(x\) の係数は「足した数」、定数項は「掛けた数」になります。
足すと \(2+3=5\)、掛けると \(2 \times 3 = 6\) なので
\((x+2)(x+3) = x^{2} + 5x + 6\)
分配法則で確かめると、同じ答えになります。
\((x+2)(x+3) = x^{2} + 3x + 2x + 6 = x^{2} + 5x + 6\)
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次の式を展開しましょう。
\((x+4)(x-2)\)
解答：\(x^{2} + 2x - 8\)
\((x+a)(x+b)\) の公式が使える形です。符号ごと「足す」「掛ける」のがコツです。
足すと \(4+(-2)=2\)、掛けると \(4 \times (-2) = -8\) なので
\((x+4)(x-2) = x^{2} + 2x - 8\)
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次の式を展開しましょう。
\((x+6)^{2}\)
解答：\(x^{2} + 12x + 36\)
平方公式（和の2乗）が使える形です。
\((a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\)
前の数が \(x\)、後ろの数が \(6\) にあたるので
\((x+6)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 6 + 6^{2} = x^{2} + 12x + 36\)
真ん中の項は「積の2倍」です。\(x^{2} + 36\) と書いてしまわないように注意しましょう。
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次の式を展開しましょう。
\((x-5)^{2}\)
解答：\(x^{2} - 10x + 25\)
平方公式（差の2乗）が使える形です。真ん中の項だけがマイナスになります。
\((a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\)
前の数が \(x\)、後ろの数が \(5\) にあたるので
\((x-5)^{2} = x^{2} - 2 \times x \times 5 + 5^{2} = x^{2} - 10x + 25\)
最後の項は \((-5) \times (-5) = 25\) なので、必ずプラスになります。
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次の式を展開しましょう。
\((x+7)(x-7)\)
解答：\(x^{2} - 49\)
同じ数の和と差を掛けているので、和と差の積の公式が使えます。
\((a+b)(a-b) = a^{2} - b^{2}\)
\((x+7)(x-7) = x^{2} - 7^{2} = x^{2} - 49\)
分配法則で確かめると、真ん中の項が打ち消し合って消えることがわかります。
\((x+7)(x-7) = x^{2} - 7x + 7x - 49 = x^{2} - 49\)
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\((x+8)(x-8)\)・\((x-8)^{2}\)・\((x+8)(x-3)\) のうち、和と差の積の公式 \((a+b)(a-b) = a^{2} - b^{2}\) が使えるものを1つ選び、その式を展開しましょう。
解答：\((x+8)(x-8) = x^{2} - 64\)
和と差の積の公式が使えるのは、「同じ2つの数の和と差」を掛けている式だけです。
\((x+8)(x-8)\) は \(x\) と \(8\) の和と差なので、公式が使えます。
\((x+8)(x-8) = x^{2} - 8^{2} = x^{2} - 64\)
\((x-8)^{2}\) は同じかっこの2乗なので、使うのは平方公式（差の2乗）です。
展開すると \(x^{2} - 16x + 64\) で、真ん中の項が残ります。
\((x+8)(x-3)\) は後ろの数が \(8\) と \(-3\) で別の数なので、使うのは \((x+a)(x+b)\) の公式です。
展開すると \(x^{2} + 5x - 24\) です。
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次の式を展開しましょう。
\((2x+1)(3x+2)\)
解答：\(6x^{2} + 7x + 2\)
\(x\) の係数が \(1\) ではなく、乗法公式の形にも当てはまらないので、分配法則ですべて掛け合わせます。
\((2x+1)(3x+2) = 2x \times 3x + 2x \times 2 + 1 \times 3x + 1 \times 2\)
\(= 6x^{2} + 4x + 3x + 2\)
同類項（\(x\) の項）をまとめます。
\(4x + 3x = 7x\) なので
\((2x+1)(3x+2) = 6x^{2} + 7x + 2\)
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乗法公式を使って、\(101 \times 99\) を工夫して計算しましょう。
解答：\(9999\)
\(101 = 100+1\)、\(99 = 100-1\) と見ると、同じ数の和と差の掛け算になっています。
和と差の積の公式で
\(101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 100^{2} - 1^{2} = 10000 - 1 = 9999\)
筆算をしなくても、2乗の引き算だけで答えが出せます。