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次の二次式を因数分解しましょう。
\(x^{2} + 5x + 6\)
解答：\((x + 2)(x + 3)\)
掛けると \(6\)・足すと \(5\) になる2つの数を探します。
掛けると \(6\) になる整数の組は「\(1\) と \(6\)」「\(2\) と \(3\)」（と、それぞれの負の数どうしの組）です。
この中で足すと \(5\) になるのは \(2\) と \(3\) です。
\(x^{2} + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\)
検算として展開すると、元の式に戻ることが確かめられます。
\((x + 2)(x + 3) = x^{2} + 3x + 2x + 6 = x^{2} + 5x + 6\)
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次の二次式を因数分解しましょう。
\(x^{2} - x - 12\)
解答：\((x + 3)(x - 4)\)
掛けると \(-12\)・足すと \(-1\) になる2つの数を探します。
積が負なので、2つの数は符号が違う組です。
掛けると \(-12\) になる組のうち、足すと \(-1\) になるのは \(3\) と \(-4\) です。
\(x^{2} - x - 12 = (x + 3)(x - 4)\)
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次の二次式を因数分解しましょう。
\(x^{2} - 9\)
解答：\((x + 3)(x - 3)\)
\(x\) の項が無い式は、掛けると \(-9\)・足すと \(0\) になる2つの数を探します。
足すと \(0\) になるのは、絶対値が同じで符号だけ違う組なので、\(3\) と \(-3\) です。
\(x^{2} - 9 = (x + 3)(x - 3)\)
この形は「2乗から2乗を引いた形（平方の差）」として覚えておくと速く解けます。
\(x^{2} - 9 = x^{2} - 3^{2} = (x + 3)(x - 3)\)
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次の二次式を因数分解しましょう。
\(x^{2} + 8x + 16\)
解答：\((x + 4)^{2}\)
掛けると \(16\)・足すと \(8\) になる2つの数は、\(4\) と \(4\) です。
2つの数が同じなので、答えは同じ因数の2乗（完全平方式）になります。
\(x^{2} + 8x + 16 = (x + 4)(x + 4) = (x + 4)^{2}\)
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次の二次式を因数分解しましょう。
\(2x^{2} + 7x + 3\)
解答：\((x + 3)(2x + 1)\)
\(x^{2}\) の係数が \(1\) ではないので、たすき掛けを使います。
\(x^{2}\) の係数 \(2\) を \(1 \times 2\) に、定数項 \(3\) を \(3 \times 1\) に分けて縦に並べます。
斜めに掛けて足すと
\(3 \times 2 + 1 \times 1 = 6 + 1 = 7\)
となり、\(x\) の係数と一致します。
上の行の \(1\) と \(3\) が因数 \((x + 3)\)、下の行の \(2\) と \(1\) が因数 \((2x + 1)\) になります。
\(2x^{2} + 7x + 3 = (x + 3)(2x + 1)\)
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次の二次式を因数分解しましょう。
\(3x^{2} - 5x - 2\)
解答：\((x - 2)(3x + 1)\)
たすき掛けを使います。
\(x^{2}\) の係数 \(3\) を \(1 \times 3\) に、定数項 \(-2\) を \((-2) \times 1\) に分けて縦に並べます。
斜めに掛けて足すと
\((-2) \times 3 + 1 \times 1 = -6 + 1 = -5\)
となり、\(x\) の係数と一致します。
上の行の \(1\) と \(-2\) が因数 \((x - 2)\)、下の行の \(3\) と \(1\) が因数 \((3x + 1)\) になります。
\(3x^{2} - 5x - 2 = (x - 2)(3x + 1)\)
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次の二次式を因数分解しましょう。
\(4x^{2} + 10x + 6\)
解答：\(2(x + 1)(2x + 3)\)
まず共通因数を探します。
どの係数も \(2\) で割れるので、\(2\) をくくり出します。
\(4x^{2} + 10x + 6 = 2\left(2x^{2} + 5x + 3\right)\)
かっこの中をたすき掛けします。
\(x^{2}\) の係数 \(2\) を \(1 \times 2\) に、定数項 \(3\) を \(1 \times 3\) に分けると、斜めの積の和は
\(1 \times 2 + 1 \times 3 = 5\)
となり、\(x\) の係数と一致します。
\(2x^{2} + 5x + 3 = (x + 1)(2x + 3)\)
くくり出した \(2\) を忘れずに付けて完成です。
\(4x^{2} + 10x + 6 = 2(x + 1)(2x + 3)\)