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次の二次不等式を解きましょう。
\(x^{2} - 5x + 6 > 0\)
解答：\(x < 2,\ \ 3 < x\)
\(x^{2}\) の係数が正なので、そのまま解けます。
まず左辺を因数分解して、境界の値（\(=0\) になる \(x\)）を求めます。
\(x^{2} - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\)
よって境界の値は \(x = 2,\ 3\) です。
下に凸の放物線が \(x\) 軸より上に出るのは2つの交点の外側なので
\(x < 2,\ \ 3 < x\)
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次の二次不等式を解きましょう。
\(x^{2} - x - 6 \leqq 0\)
解答：\(-2 \leqq x \leqq 3\)
左辺を因数分解します。
\(x^{2} - x - 6 = (x+2)(x-3)\)
境界の値は \(x = -2,\ 3\) です。
下に凸の放物線が \(x\) 軸より下に沈むのは2つの交点の間で、等号が付いているので境界も含めます。
\(-2 \leqq x \leqq 3\)
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次の二次不等式を解きましょう。
\(-x^{2} + 2x + 3 > 0\)
解答：\(-1 < x < 3\)
\(x^{2}\) の係数が負なので、まず両辺に \(-1\) を掛けます。負の数を掛けるため、不等号の向きが変わります。
\(x^{2} - 2x - 3 < 0\)
左辺を因数分解します。
\(x^{2} - 2x - 3 = (x+1)(x-3)\)
境界の値は \(x = -1,\ 3\) で、\(<0\) なので2つの解の間が答えです。
\(-1 < x < 3\)
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次の二次不等式を解きましょう。
\(x^{2} - 6x + 9 > 0\)
解答：\(x \neq 3\)
左辺は2乗の形に因数分解できます。
\(x^{2} - 6x + 9 = (x-3)^{2}\)
判別式は \(D = (-6)^{2} - 4 \times 1 \times 9 = 0\) で、放物線は \(x = 3\) で \(x\) 軸に接します。
2乗した値は必ず 0 以上なので、\((x-3)^{2} > 0\) が成り立たないのは中身が 0 になる \(x = 3\) のときだけです。
\(x \neq 3\)
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次の二次不等式を解きましょう。
\(x^{2} + 2x + 5 < 0\)
解答：解なし
因数分解できないので、判別式を調べます。
\(D = 2^{2} - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16\)
\(D < 0\) なので放物線は \(x\) 軸と交わらず、\(x^{2}\) の係数が正であることから放物線全体が \(x\) 軸より上にあります。
つまり左辺が負になることはないので、解なしです。
（平方完成して \(x^{2}+2x+5 = (x+1)^{2}+4 \geqq 4 > 0\) と確かめることもできます）
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次の二次不等式を解きましょう。
\(2x^{2} - 5x + 2 \geqq 0\)
解答：\(x \leqq \dfrac{1}{2},\ \ 2 \leqq x\)
\(x^{2}\) の係数が 1 でないときも手順は同じです。左辺を因数分解します。
\(2x^{2} - 5x + 2 = (2x-1)(x-2)\)
境界の値は \(2x-1=0\) より \(x = \dfrac{1}{2}\)、\(x-2=0\) より \(x = 2\) です。
\(x^{2}\) の係数 2 は正なので下に凸、\(\geqq 0\) なので2つの解の外側（境界を含む）が答えです。
\(x \leqq \dfrac{1}{2},\ \ 2 \leqq x\)