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次の分数の分母を有理化しましょう。
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
解答：\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
分母が1項なので、分母と分子に \(\sqrt{2}\) を掛けます。
\(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
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次の分数の分母を有理化しましょう。
\(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\)
解答：\(2\sqrt{3}\)
分母と分子に \(\sqrt{3}\) を掛けます。
\(\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3}\)
最後に分母・分子を 3 で約分します。
\(\dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\)
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次の分数の分母を有理化しましょう。
\(\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
解答：\(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
分母が \(2\sqrt{3}\) のような「整数と根号の積」の形でも、掛けるのは \(\sqrt{3}\) だけで足ります。
\(\dfrac{1}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1 \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2 \times 3} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}\)
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次の分数の分母を有理化しましょう。
\(\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}\)
解答：\(\sqrt{5}-2\)
分母が2項なので、2つの項の間の符号を反対にした共役な式 \(\sqrt{5}-2\) を、分母と分子に掛けます。
分母は和と差の積 \((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\) で根号が消えます。
\((\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = (\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1\)
分子は \(1 \times (\sqrt{5}-2) = \sqrt{5}-2\) です。
\(\dfrac{1}{\sqrt{5}+2} = \dfrac{\sqrt{5}-2}{1} = \sqrt{5}-2\)
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次の分数の分母を有理化しましょう。
\(\dfrac{2}{3-\sqrt{7}}\)
解答：\(3+\sqrt{7}\)
分母が引き算の形なので、共役な式は符号を反対にした \(3+\sqrt{7}\) です。
分母は和と差の積で計算します。
\((3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7}) = 3^{2} - (\sqrt{7})^{2} = 9 - 7 = 2\)
分子は \(2 \times (3+\sqrt{7}) = 6+2\sqrt{7}\) です。
\(\dfrac{2}{3-\sqrt{7}} = \dfrac{6+2\sqrt{7}}{2}\)
最後に分母・分子を 2 で約分します。
\(\dfrac{6+2\sqrt{7}}{2} = 3+\sqrt{7}\)
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次の分数の分母を有理化しましょう。
\(\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)
解答：\(\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}\)
分母が根号どうしの和でも、考え方は同じです。
2つの項の間の符号を変えた共役な式 \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\) を分母と分子に掛けます。
分母は和と差の積で根号が消えます。
\((\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{3})^{2} = 5 - 3 = 2\)
分子は \(1 \times (\sqrt{5}-\sqrt{3}) = \sqrt{5}-\sqrt{3}\) です。
\(\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}\)