分子（上）と分母（下）それぞれの「√が付かない数」「√の前の数」「√の中の数」を入力してください。使わない欄は空欄のままでかまいません。下の数式は入力欄と連動していて、数式の数字の部分を直接書き換えても計算できます。
数値は半角の整数で入力してください（小数・分数は使えません）。√の前の数の空欄は 1（√3 は 1×√3 の意味）、√が付かない数の空欄は 0 として扱います。√の中の数を空欄にすると、その√の項は無いものとして扱います。
計算結果
左の入力欄に分子・分母の数を入れて「計算する」を押すと、ここに有理化した答えと途中式が表示されます。
このページでできること
- \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) や \(\dfrac{2}{3-\sqrt{5}}\) のような「分母に根号（√）がある分数」を、分母に根号がない形（\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)、\(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\)）に直せます（分母の有理化）
- 分母が1項（\(2\sqrt{3}\) など）なら \(\sqrt{3}\) を、2項（\(3-\sqrt{5}\) など）なら共役な式 \(3+\sqrt{5}\) を分母・分子に掛ける、高校1年で習う手順どおりの途中式が見られます
- 途中で \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) のような根号の簡約が必要なときは、その途中式も表示します
- 答えは約分まで済ませた厳密な形（分母は正の整数）と、小数の近似値の両方で表示します
- 計算機には手書きと同じ形の分数の式が表示され、数字の部分を直接書き換えて計算することもできます
入力できるのは整数だけです（分子・分母とも「整数 ＋ 整数×√整数」の形）。分母が \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\) のような「根号どうしの和・差」の形には対応していません（考え方は同じで、共役な式 \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) を掛けます。ドリルの問6で練習できます）。
この計算は何の役に立つ？
割り算を筆算・暗算できる形にする（計算の実務）
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) をそのまま小数にするには「\(1 \div 1.732\dots\)」という割る数が無理数の割り算が必要で、筆算ではほぼ手に負えません。有理化して \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) にすれば「\(1.732 \div 3\)」となり、筆算でも暗算でも計算できます。
電卓が無かった時代、技術者や測量士は平方根の数表とこの変形を組み合わせて実務の計算をこなしていました。今でも、テストの検算や概算で「√を含む式のおよその値」を出すときに役立つ変形です。
コンピュータの計算精度を守る（数値計算・プログラミング）
コンピュータの小数計算では、ほぼ等しい2つの数の引き算で有効数字が大きく失われる「桁落ち」という現象が起きます。例えば \(x\) が大きいとき \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\) をそのまま計算すると精度が落ちますが、分子を有理化して \(\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\) に直すと引き算が消えて精度が保てます。
二次方程式の解を求めるプログラムなど、科学技術計算のソフトウェアではこの「有理化による式の書き換え」が実際に使われています。
交流電気の「0.707倍」を導く（電気・音響）
家庭用コンセントの交流100Vは「実効値」で、電圧の最大値はその \(\sqrt{2}\) 倍（約141V）です。逆に実効値は最大値の \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) 倍で、有理化すると \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0.707\dots\) 倍。電気や音響の現場で使われる「0.707倍」という数字は、この有理化した形から来ています。
音響機器の周波数特性で使われる「−3dB（電圧が \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) 倍になる点）」も同じ数です。
答えを「そろった形」で共有する（学問・試験の慣習）
同じ値でも \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) と \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) のように書き方が何通りもあると、答え合わせや人どうしの共有がしにくくなります。そこで数学では、分母を有理化した形を答えの標準形とする慣習があり、教科書・問題集・試験の模範解答はこの形にそろえられています。
形をそろえる習慣は、公式集や数表など「大勢で同じ数値を参照する場面」で間違いを減らす役割を果たしてきました。
式
分母が1項の有理化（√を掛ける）
数学表記
（一般的な数式）
\(\dfrac{a}{\sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{a \times \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{a\sqrt{b}}{b}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
分母に根号がある分数 \(\dfrac{a}{\sqrt{b}}\)
\(=\)
②
分母と分子に \(\sqrt{b}\) を掛けた形
\(=\)
③
分母が有理数になった形 \(\dfrac{a\sqrt{b}}{b}\)
式を日本語で読むと
①
分母に根号がある分数 \(\dfrac{a}{\sqrt{b}}\)
の
②
分母と分子の両方に同じ数 \(\sqrt{b}\) を掛けて
分母と分子に \(\sqrt{b}\) を掛けた形
を作ると（\(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = 1\) を掛けるのと同じなので、分数の値は変わらない）
③
分母は \(\sqrt{b} \times \sqrt{b} = b\) となって根号が消え、
分母が有理数になった形 \(\dfrac{a\sqrt{b}}{b}\)
になる
簡単な例
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) を有理化すると
分母が \(\sqrt{3}\) の分数
\(=\)
分母と分子に \(\sqrt{3}\) を掛けた形
\(=\)
分母が 3 になった形
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \fallingdotseq 0.577\)
考え方のポイント
分母と分子に同じ数を掛けることは、\(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = 1\) を掛けることと同じです。1 を掛けても数は変わらないので、見た目は変わっても分数の値はまったく同じです。
分母が \(2\sqrt{3}\) のように「整数×√」の形でも、掛けるのは \(\sqrt{3}\) だけで足ります。整数の 2 はもともと有理数なので、消す必要があるのは根号の部分だけだからです。
和と差の積（乗法公式）
数学表記
（一般的な数式）
\(\left(x+y\right)\)
\(\times\)
\(\left(x-y\right)\)
\(=\)
\(x^{2}-y^{2}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
2つの数の和 \((x+y)\)
\(\times\)
②
2つの数の差 \((x-y)\)
\(=\)
③
それぞれの2乗の差 \(x^{2}-y^{2}\)
式を日本語で読むと
①
2つの数の和 \((x+y)\)
と
②
2つの数の差 \((x-y)\)
を掛けると
③
それぞれの2乗の差 \(x^{2}-y^{2}\)
になる
簡単な例
\(x = 2\)、\(y = \sqrt{3}\) を当てはめると
和 \((2+\sqrt{3})\)
\(\times\)
差 \((2-\sqrt{3})\)
\(=\)
2乗の差 \(2^{2}-(\sqrt{3})^{2}\)
\((2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^{2} - (\sqrt{3})^{2} = 4 - 3 = 1\)
考え方のポイント
展開すると \((x+y)(x-y) = x^{2} - xy + xy - y^{2}\) となり、真ん中の \(-xy\) と \(+xy\) が打ち消し合って \(x^{2}-y^{2}\) だけが残ります。
\(y\) に \(\sqrt{b}\) を当てはめると \((\sqrt{b})^{2} = b\) なので、\((a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b}) = a^{2} - b\) と根号が消えます。これが「分母が2項の有理化」の心臓部です。
分母が2項の有理化（共役な式を掛ける）
数学表記
（一般的な数式）
\(\dfrac{c}{a+\sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{c \times \left(a-\sqrt{b}\right)}{\left(a+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{b}\right)}\)
\(=\)
\(\dfrac{c\left(a-\sqrt{b}\right)}{a^{2}-b}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
分母が2項の分数 \(\dfrac{c}{a+\sqrt{b}}\)
\(=\)
②
分母と分子に共役な式 \(a-\sqrt{b}\) を掛けた形
\(=\)
③
分母が有理数になった形 \(\dfrac{c(a-\sqrt{b})}{a^{2}-b}\)
式を日本語で読むと
①
分母が2項の分数 \(\dfrac{c}{a+\sqrt{b}}\)
の
②
分母と分子の両方に、分母の √ の項の符号だけを変えた共役な式 \(a-\sqrt{b}\) を掛けて
分母と分子に共役な式 \(a-\sqrt{b}\) を掛けた形
を作ると
③
分母は和と差の積で \(a^{2}-b\)（有理数）になり、
分母が有理数になった形 \(\dfrac{c(a-\sqrt{b})}{a^{2}-b}\)
になる
簡単な例
\(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\) を有理化すると
分母が \(2+\sqrt{3}\) の分数
\(=\)
分母と分子に \(2-\sqrt{3}\) を掛けた形
\(=\)
分母が 1 になった形
\(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}} = \dfrac{1 \times \left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)} = \dfrac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2-\sqrt{3}\)
考え方のポイント
分母が \(a+\sqrt{b}\) の形のときに \(\sqrt{b}\) だけを掛けると、分母は \(a\sqrt{b}+b\) となって根号が残ってしまいます。そこで、符号だけを変えた共役な式 \(a-\sqrt{b}\) を掛けて「和と差の積」を作るのがこの方法のポイントです。
分母が \(a-\sqrt{b}\)（引き算の形）のときは、逆に \(a+\sqrt{b}\) を掛けます。「√ の項の符号を反対にした式を掛ける」と覚えれば、どちらの形でも使えます。
分母が \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) のような「根号どうしの和・差」でも考え方は同じで、共役な式 \(\sqrt{5}-\sqrt{3}\) を掛けると分母は \(5-3=2\) になります。
分母に根号がある分数は、分母が1項なら \(\sqrt{b}\) を、2項なら共役な式 \(a-\sqrt{b}\) を分母と分子の両方に掛けることで、分母に根号がない形に直せます（分母の有理化）。どちらも「1 を掛けるのと同じ」変形なので、分数の値は変わりません。
用語・記号の解説
記号
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | ルート こんごう（根号） | 平方根を表す記号。\(\sqrt{a}\) は「2乗すると \(a\) になる正の数」を表します。ラテン語で「根」を意味する radix の頭文字 r を変形した記号に由来するといわれます。 |
| \(a,\ b,\ c\) | エー・ビー・シー | 決まった数を表すときに使う文字。「決まった数」にはアルファベットの最初の方の文字 \(a,\ b,\ c\) を使う慣例があります。このページの式では、\(a\) と \(c\) が√の付かない数、\(b\) が√の中の数です。 |
| \(x,\ y\) | エックス・ワイ | 和と差の積の公式 \((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\) で使う文字。有理化では \(y\) の場所に \(\sqrt{b}\) を当てはめて使います。 |
| \(x^{2}\) | エックスの2じょう | \(x\) を2回掛け合わせたもの（2乗・平方）。右上の小さい数（指数）が掛ける回数を表します。\((\sqrt{b})^{2} = b\) となるのが、根号が消える理由です。 |
| \(\fallingdotseq\) | ニアリーイコール | およそ等しいことを表す記号。\(\sqrt{3}\) のような無理数は小数で書き切れないので、小数で表すときはこの記号を使います。 |
用語
| 有理化 | ゆうりか | 分母（または分子）から根号を消して、有理数にする式変形のこと。分母と分子に同じ数を掛ける（＝1 を掛ける）だけなので、分数の値は変わりません。 |
| 有理数 | ゆうりすう | \(\dfrac{2}{3}\) や \(-5\)、\(0.75\) のように、整数の分数で表せる数。「比（ratio）で表せる数」という意味です。 |
| 無理数 | むりすう | \(\sqrt{2}\) や円周率 \(\pi\) のように、整数の分数では表せない数。小数で書くと、循環しない小数が無限に続きます。 |
| 平方根 | へいほうこん | 2乗すると \(a\) になる数を「\(a\) の平方根」といいます。正の数 \(a\) の平方根は \(\sqrt{a}\) と \(-\sqrt{a}\) の2つです。中学3年で学びます。 |
| 根号 | こんごう | 平方根を表す記号 \(\sqrt{\phantom{a}}\) のこと。「ルート」とも読みます。 |
| 共役な式 | きょうやくなしき | \(a+\sqrt{b}\) に対する \(a-\sqrt{b}\) のように、√ の項の符号だけを変えた式。掛けると和と差の積になって根号が消えるので、2項の分母の有理化で使います。「共役」は「対になって働く」という意味で、高校2年の数学IIで学ぶ「共役な複素数」も同じ言葉を使う仲間です。 |
| 和と差の積 | わとさのせき | 乗法公式 \((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\) のこと。展開すると真ん中の項が打ち消し合い、2乗の差だけが残ります。中学3年で学びます。 |
| 乗法公式 | じょうほうこうしき | 式の展開でよく出る形をまとめた公式。和と差の積のほか、\((x+y)^{2} = x^{2}+2xy+y^{2}\) などがあります。 |
| 平方因子 | へいほういんし | \(48 = 4^{2} \times 3\) の \(4^{2}\) のように、数の中に含まれる「2乗のかたまり」。根号の中の平方因子は \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) のように根号の外に出せます。 |
| 約分 | やくぶん | 分母と分子を同じ数で割って、分数を簡単にすること。有理化した後は、分母・分子の最大公約数で約分して答えを整えます。 |
| 分母 | ぶんぼ | 分数の下の数。分母と分子に同じ数（0以外）を掛けても、分数の値は変わりません（分数の性質）。 |
| 分子 | ぶんし | 分数の上の数。分母と分子に同じ数（0以外）を掛けても、分数の値は変わりません（分数の性質）。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。
| 平方根と根号（中学3年） |
|
| 根号の簡約（中学3年〜高校 数学I） |
|
| 式の展開と乗法公式（中学3年） |
|
| 分数の性質と約分（小学5年〜中学1年） |
|
| 有理数と無理数（中学3年） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「分母が1項の有理化」を確かめる表
| 分子の数 a | 1 |
| 分母の√の中の数 b | 3 |
| 元の式 a÷√b | =B1/SQRT(B2) |
| 有理化した形 a×√b÷b | =B1*SQRT(B2)/B2 |
「和と差の積」を確かめる表
| √が付かない数 a | 2 |
| √の中の数 b | 3 |
| (a+√b)×(a−√b) | =(B1+SQRT(B2))*(B1-SQRT(B2)) |
| a²−b | =B1^2-B2 |
「分母が2項の有理化」を確かめる表
| 分子の数 c | 1 |
| 分母の√が付かない数 a | 2 |
| 分母の√の中の数 b | 3 |
| 元の式 c÷(a+√b) | =B1/(B2+SQRT(B3)) |
| 有理化した形 c×(a−√b)÷(a²−b) | =B1*(B2-SQRT(B3))/(B2^2-B3) |
貼り付けると、上の行が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。SQRT は平方根（√）を求める関数、「^」はべき乗の記号です。
1つ目の表は 1/√3 の例で、「元の式」と「有理化した形」がどちらも 0.57735… と同じ値になり、有理化しても分数の値が変わらないことを確かめられます。
2つ目の表は (2+√3)(2−√3) の例で、展開した値と a²−b がどちらも 1 になります。
3つ目の表は 1/(2+√3) の例で、「元の式」と「有理化した形」がどちらも 0.26794… と同じ値になります。
Excelは√を小数（近似値）で計算するため、答えは小数で表示されます。√3 のような厳密な形のまま整理したいときは、このページの計算機を使ってください。
1つ目の表は 1/√3 の例で、「元の式」と「有理化した形」がどちらも 0.57735… と同じ値になり、有理化しても分数の値が変わらないことを確かめられます。
2つ目の表は (2+√3)(2−√3) の例で、展開した値と a²−b がどちらも 1 になります。
3つ目の表は 1/(2+√3) の例で、「元の式」と「有理化した形」がどちらも 0.26794… と同じ値になります。
Excelは√を小数（近似値）で計算するため、答えは小数で表示されます。√3 のような厳密な形のまま整理したいときは、このページの計算機を使ってください。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「分母が1項の有理化」を確かめる表
| 分子の数 a | 1 |
| 分母の√の中の数 b | 3 |
| 元の式 a÷√b | =B1/SQRT(B2) |
| 有理化した形 a×√b÷b | =B1*SQRT(B2)/B2 |
「和と差の積」を確かめる表
| √が付かない数 a | 2 |
| √の中の数 b | 3 |
| (a+√b)×(a−√b) | =(B1+SQRT(B2))*(B1-SQRT(B2)) |
| a²−b | =B1^2-B2 |
「分母が2項の有理化」を確かめる表
| 分子の数 c | 1 |
| 分母の√が付かない数 a | 2 |
| 分母の√の中の数 b | 3 |
| 元の式 c÷(a+√b) | =B1/(B2+SQRT(B3)) |
| 有理化した形 c×(a−√b)÷(a²−b) | =B1*(B2-SQRT(B3))/(B2^2-B3) |
Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、数値を自分の値に書き換えてください。
Pythonで計算する方法
from sympy import sqrt, radsimp
# 有理化したい分数（例：(1 + √2) / (3 + √2)）
expr = (1 + sqrt(2)) / (3 + sqrt(2))
# radsimp が分母の有理化を行う（約分まで済んだ1つの分数の形で返る）
rationalized = radsimp(expr)
print(f"有理化した形: {rationalized}")
print(f"小数で表すと: {float(expr)}")
数式処理ライブラリ sympy（pip install sympy でインストール）を使うと、√を厳密なまま扱って分母の有理化ができます。radsimp が有理化を行う関数です。この例は (1+√2)/(3+√2) を有理化するもので、実行すると「(1 + 2*sqrt(2))/7」（\(\dfrac{1+2\sqrt{2}}{7}\) の意味）と小数値 0.5469… が表示されます。式を書き換えて実行してください。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
分母が1項の有理化（√を掛ける）
a/√b = a√b/b
\dfrac{a}{\sqrt{b}} = \dfrac{a\sqrt{b}}{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac><mi>a</mi><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
a/sqrt(b) = (a sqrt(b))/b
Simplify[a/Sqrt[b]]
rationalize(a/sqrt(b));
simplify(a/sqrt(b))
a/√b = (a√b)/b
和と差の積（乗法公式）
(x + y)(x − y) = x² − y²
(x+y)(x-y) = x^{2} - y^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
(x+y)(x-y) = x^2 - y^2
Expand[(x + y) (x - y)]
expand((x+y)*(x-y));
expand((x+y)*(x-y))
(x+y)(x-y) = x^2 - y^2
分母が2項の有理化（共役な式を掛ける）
c/(a + √b) = c(a − √b)/(a² − b)
\dfrac{c}{a+\sqrt{b}} = \dfrac{c\left(a-\sqrt{b}\right)}{a^{2}-b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac><mi>c</mi><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>c</mi><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>−</mo><msqrt><mi>b</mi></msqrt><mo>)</mo></mrow>
<mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mi>b</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
c/(a+sqrt(b)) = (c(a-sqrt(b)))/(a^2-b)
Simplify[c/(a + Sqrt[b])]
rationalize(c/(a+sqrt(b)));
simplify(c/(a+sqrt(b)))
c/(a+√b) = c(a-√b)/(a^2-b)
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは数学（数と式）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。 分数 (1 + √2) / (3 + √2) の分母を有理化してください。 次の内容をそれぞれ示してください。 1. 分母・分子に掛ける式（共役な式） 2. 分母の計算（和と差の積でどう根号が消えるか） 3. 分子の展開の途中式 4. 有理化した答え（約分済みの厳密な形）と小数の近似値 Pythonでは sympy の sqrt・radsimp を使って厳密に計算し、計算に使った式と実行結果を示してください。
計算ドリル（演習問題）
このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
簡単・無料
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専門知識不要、直感的で簡単な操作
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クレジット表記不要
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商用利用可能
無料で商用利用可能
商用利用許諾の連絡も不要です
商用利用許諾の連絡も不要です
関連機能
根号の簡約 計算機（ルートの計算・簡単な形にする・四則演算）
√48 を 4√3 の形に簡約します。素因数分解の途中式付きで、根号どうしの四則演算にも対応
二次方程式の解の公式 計算機（判別式・虚数解対応）
係数a・b・cを入れるだけで二次方程式の解を計算します。答えに現れる根号も簡約した形で表示
累乗根計算機（平方根・立方根・n乗根）
√27 のような平方根から立方根・n乗根まで、値を小数で計算します。負の数の奇数乗根にも対応
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