Zスコア計算機（標準得点・z値と確率の相互変換）

使い方は3つあります。①測った値・平均・標準偏差からzスコアを求める ②zスコアと確率を相互変換する（どれか1つだけ入力） ③2つのzスコアの間に入る確率を求める。使いたい組の欄だけに入力してください。

【使い方①】測った値 x

【①】平均 μ

【①】標準偏差 σ

【使い方②】zスコア Z（確率の欄とどちらか1つだけ）

【②】確率 P(x<Z)

【②】確率 P(x>Z)

【②】確率 P(0とZの間)

【②】確率 P(−Z<x<Z)

【②】確率 P(x<−Z または x>Z)

【使い方③】左側 Z1

【③】右側 Z2

どれか1つの使い方の欄だけに入力し、ほかの欄は空欄のままにしてください。確率は0〜1の数値で入力します（例：97.5%なら 0.975）。

計算結果・グラフ

左の入力欄に数値を入れて「計算する」を押すと、ここに結果とグラフが表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式とグラフ
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

測った値 \(x\)・平均 \(\mu\)・標準偏差 \(\sigma\) を入れるだけで、zスコア（標準得点）とその値より小さくなる確率をまとめて計算します
「標準正規分布表（z表）」を引く代わりに、zスコアと確率をどちらの向きにも変換できます（zスコア→確率、確率→zスコアの逆算も可）
2つのzスコアの間に入る確率（例：−1.96〜1.96の間に入る確率）もその場で計算できます
式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

この計算機は「データが正規分布（平均を中心に左右対称の釣り鐘型）に従う」ことを前提にしています。分布の形が大きく偏っているデータには使えません。

この計算は何の役に立つ？

偏差値のしくみ——自分の位置を全国の中で知る（テスト・受験）

偏差値はzスコアそのものからできていて、偏差値 \(= 50 + 10 \times z\) です。平均65点・標準偏差5点のテストで75点なら \(z = 2\)、つまり偏差値70で、正規分布なら上位約2.3%（\(1 - \Phi(2) \fallingdotseq 0.0228\)）の位置とわかります。
満点も平均も違う模試同士の成績を比べたり、「あと偏差値5」が実際どのくらいの差なのかを確率で読み取ったりできる、一番身近なzスコアの応用です。

科目や試験が違う成績を同じものさしで比べる

「英語80点（平均70点・標準偏差10点）」と「数学65点（平均50点・標準偏差15点）」は、素点では英語が上に見えますが、zスコアに直すとどちらも \(z = 1\) で同じ位置です。
単位や満点、採点の厳しさが違うデータ同士でも、zスコアなら「集団の中でどのくらい上か」で公平に比べられます。入試の得点調整や人事評価の正規化にも、この考え方が使われています。

子どもの成長曲線（SDスコア）を読む（育児・保健）

母子健康手帳や小児科の成長曲線では、身長・体重の評価に「SDスコア」という指標が使われます。これはzスコアと同じもので、平均から標準偏差（SD）いくつ分離れているかを表します。
目安として±2SD（\(z = \pm 2\)）の外側はそれぞれ約2.3%で、経過を確認する目安の一つとされています（成長には個人差があり、判断は医師が経過を見て行います）。グラフの「−2SD」の線の意味がわかると、健診の説明が読み取りやすくなります。

工場の品質管理——規格外れがどれくらい出るか（製造業）

製品の寸法や重さのばらつきは正規分布に近くなることが多く、規格の上限・下限をzスコアに直せば不良率を見積もれます。規格が平均±3σの位置なら、外れるのは約0.3%（\(2 \times (1 - \Phi(3)) \fallingdotseq 0.0027\)）です。
「シックスシグマ」という品質改善活動の名前も、このzスコア（σ何個分か）から来ています。

金融のリスク管理——「99%の確率で損失はここまで」（銀行・投資）

銀行や運用会社は、保有資産の損失リスクを「バリュー・アット・リスク（VaR）」という指標で測ります。収益率が正規分布に従うと仮定すると、「99%の確率で損失がこの範囲に収まる」境界はzスコアで \(\Phi^{-1}(0.99) \fallingdotseq 2.33\)、つまり平均から標準偏差2.33個分の位置です。
世界中の金融機関のリスク計算の土台に、この「確率→zスコア」の逆変換が使われています。

式とグラフ

zスコアの定義（平均から標準偏差いくつ分離れているか）

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(z\) \(=\) \((\) \(x\) \(-\) \(\mu\) \()\) \(\div\) \(\sigma\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ zスコア \(z\) \(=\) \((\) ① 測った値 \(x\) \(-\) ② 平均 \(\mu\) \()\) \(\div\) ③ 標準偏差 \(\sigma\)

式を日本語で読むと

① 測った値 \(x\) から

② 平均 \(\mu\) を引いて、

③ 標準偏差 \(\sigma\) で割ると

④ zスコア \(z\) になる

簡単な例

平均65点・標準偏差5点のテストで75点を取った人のzスコアは

zスコア \(z\) \(=\) \((\) 得点（75） \(-\) 平均（65） \()\) \(\div\) 標準偏差（5）

\((75 - 65) \div 5 = 10 \div 5 = 2\)

考え方のポイント

zスコア（標準得点）は「平均から標準偏差いくつ分離れているか」を表す数です。プラスなら平均より上、マイナスなら平均より下、0ならちょうど平均です。単位や満点が違うデータ同士でも、zスコアに直せば同じものさしで比べられます。テストの偏差値もこの考え方で、偏差値 \(= 50 + 10 \times z\) です（例の \(z = 2\) は偏差値70にあたります）。

zスコアから「\(Z\) より小さい値になる確率」を求める

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(P(x<Z)\) \(=\) \(\Phi(Z)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

② \(Z\) より小さい確率 \(=\) ① 左側の面積 \(\Phi(Z)\)

式を日本語で読むと

① 累積分布関数 \(\Phi\)（ファイ）にzスコア \(Z\) を入れた値を求めると（\(\Phi(Z)\) は標準正規分布の曲線の \(Z\) より左側の面積です）

② \(Z\) より小さい値になる確率 \(P(x<Z)\) になる

簡単な例

zスコアが2のとき、2より小さい値になる確率は

2より小さい値になる確率 \(=\) 累積分布関数の値 \(\Phi(2)\)

\(\Phi(2) \fallingdotseq 0.97725\ \ (97.7\%)\)

考え方のポイント

\(\Phi\) の値は、昔は教科書の巻末にある「標準正規分布表（z表）」を引いて調べていました。この計算機はそのz表の代わりになります。反対側の「\(Z\) より大きい値になる確率」は、全体の確率1から引いた \(1 - \Phi(Z)\) です。また、確率からzスコアへ逆向きに戻すには逆関数 \(\Phi^{-1}\) を使います（例：\(\Phi^{-1}(0.975) \fallingdotseq 1.96\)）。この計算機はどちら向きの変換もできます。

\(-Z\) と \(Z\) の間になる確率（両側をまとめて）

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(P(-Z<x<Z)\) \(=\) \(2\) \(\times\) \(\Phi(Z)\) \(-\) \(1\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ \(-Z\) と \(Z\) の間の確率 \(=\) ② 2倍（両側分） \(\times\) ① 左側の面積 \(\Phi(Z)\) \(-\) ③ 全体の確率 \(1\)

式を日本語で読むと

① 累積分布関数の値 \(\Phi(Z)\)（\(Z\) より左側の面積）を

② 2倍（左右対称なので2つ分）して、

③ 全体の確率 \(1\) を引くと

④ \(-Z\) と \(Z\) の間になる確率になる

簡単な例

zスコアが1.96のとき（\(\Phi(1.96) \fallingdotseq 0.975\)）、−1.96と1.96の間になる確率は

−1.96と1.96の間になる確率 \(=\) 2倍 \(\times\) 累積分布関数の値（0.975） \(-\) 全体の確率（1）

\(2 \times 0.975 - 1 = 1.95 - 1 = 0.95\ \ (95\%)\)

考え方のポイント

この式が使えるのは \(Z\) が0以上のときです。標準正規分布は0を中心に左右対称なので、「\(-Z\) から \(Z\) まで」の面積は「\(Z\) より左側の面積 \(\Phi(Z)\)」を2倍して、はみ出した全体1つ分を引くと求められます。外側（両すそ）に出る確率はその余事象で \(1 - (2\Phi(Z) - 1)\) です。例の \(Z = 1.96\) では内側が95%・外側が5%になり、統計の検定でよく出てくる「有意水準5%」の境界がこのzスコアです。

2つのzスコア \(Z_1\)・\(Z_2\) の間になる確率

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(P(Z_1<x<Z_2)\) \(=\) \(\Phi(Z_2)\) \(-\) \(\Phi(Z_1)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ \(Z_1\) と \(Z_2\) の間の確率 \(=\) ① 左側の面積 \(\Phi(Z_2)\) \(-\) ② 左側の面積 \(\Phi(Z_1)\)

式を日本語で読むと

① 上限 \(Z_2\) より左側の面積 \(\Phi(Z_2)\) から

② 下限 \(Z_1\) より左側の面積 \(\Phi(Z_1)\) を引くと

③ \(Z_1\) と \(Z_2\) の間になる確率になる

簡単な例

\(Z_1 = -1\)、\(Z_2 = 0\) のとき（\(\Phi(0) = 0.5\)、\(\Phi(-1) \fallingdotseq 0.15866\)）、−1と0の間になる確率は

−1と0の間になる確率 \(=\) 上限より左側の面積 \(\Phi(0)\) \(-\) 下限より左側の面積 \(\Phi(-1)\)

\(0.5 - 0.15866 = 0.34134\ \ (34.1\%)\)

考え方のポイント

「大きい方までの面積から、小さい方までの面積を引く」だけなので、\(Z_1\)・\(Z_2\) がどんな組み合わせでも（両方マイナスでも）使えます。 \(Z_1 = -1\)、\(Z_2 = 1\) を入れると約0.683（68.3%）になり、「平均±標準偏差1つ分に約68%が入る」という正規分布の有名な目安（68–95–99.7ルール）をこの式で確かめられます。

zスコアは「平均から標準偏差いくつ分離れているか」を表す、データの位置の共通のものさしです。zスコアに直せば、単位の違うデータ同士を比べられ、累積分布関数 \(\Phi\) で「その値までの確率（面積）」に変換できます。

用語・記号の解説

記号

\(z\)	ゼット（zスコア・z値）	値が平均から標準偏差いくつ分離れているかを表す数。\(z = (x - \mu) \div \sigma\) で求めます。プラスは平均より上、マイナスは平均より下です。このページの使い方②・③のように「指定したzスコアの値」を指すときは、大文字の \(Z\) で書き分けています。
\(x\)	エックス	測った値。テストの得点や身長など、zスコアに直したい元の値です。
\(\mu\)	ミュー	平均。分布の山の中心の位置です。ギリシャ文字で、英語のmにあたります。
\(\sigma\)	シグマ	標準偏差。データの散らばりの大きさです。大きいほど山は低く広くなります。ギリシャ文字で、英語のsにあたります。
\(\Phi(Z)\)	ファイ・ゼット	標準正規分布（平均0・標準偏差1）の累積分布関数。「\(Z\) より小さい値になる確率」＝曲線の \(Z\) より左側の面積を返します。
\(\Phi^{-1}\)	ファイ・インバース（Φの逆関数）	\(\Phi\) の逆向きの関数。「確率（面積）」から「そうなるzスコア」を返します。（例：\(\Phi^{-1}(0.975) \fallingdotseq 1.96\)）
\(Z_1,\ Z_2\)	ゼットいち・ゼットに	使い方③で指定する2つのzスコア。\(Z_1\) が左側（小さい方）、\(Z_2\) が右側（大きい方）の境界です。

用語

zスコア（標準得点）	ゼットスコア（ひょうじゅんとくてん）	値が「平均から標準偏差いくつ分離れているか」を表す無単位の数。standard score、z値、基準値とも呼ばれます。単位や満点が違うデータ同士を同じものさしで比べられるのが最大の特長です。
標準化	ひょうじゅんか	元の値をzスコアに直すこと。どんな正規分布のデータも、標準化すれば平均0・標準偏差1の標準正規分布1つで扱えるようになります。
標準正規分布	ひょうじゅんせいきぶんぷ	平均0・標準偏差1の正規分布。zスコアの世界の分布で、あらゆる正規分布の確率計算の「共通のものさし」として使われます。
正規分布	せいきぶんぷ	平均の周りに左右対称の釣り鐘型（ベル型）で散らばる分布。テストの点数・身長・製品の重さのばらつきなど、世の中の多くのデータがこの形に近くなります。
累積分布関数	るいせきぶんぷかんすう	「その値以下になる確率」を返す関数。標準正規分布のものは記号 \(\Phi\)（ファイ）で表します。曲線の左側の面積を足し上げた（累積した）ものなのでこの名前です。
標準正規分布表（z表）	ひょうじゅんせいきぶんぷひょう	zスコアと \(\Phi\) の値（面積）の対応をまとめた数表。高校の教科書や統計の本の巻末に載っています。このページの使い方②は、このz表の代わりとして使えます。
偏差値	へんさち	zスコアを「平均50・標準偏差1つ分を10」に置き直した値（偏差値 \(= 50 + 10 \times z\)）。日本の模試・受験で広く使われる、zスコアの身近な応用例です。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。

平均（小学5年）	データをすべて足して個数で割ると平均が求められること平均が「分布の真ん中あたり」を表す代表の値だとわかること
正負の数の計算（中学1年）	\(55 - 70 = -15\) のように、引き算の結果がマイナスになる計算ができることマイナスの数を正の数で割ると答えもマイナスになること
データの分析・標準偏差（高校数学I）	同じ平均でも「散らばりが大きいデータ」と「小さいデータ」があること標準偏差が、その散らばりの大きさを一つの数で表したものだとわかること
正規分布と面積の見方（高校数学B／統計）	分布の曲線とヨコ軸で囲まれた面積が「全体に対する割合（確率）」を表す、という見方ができること正規分布が平均を中心に左右対称であることを知っていること

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「zスコア」を求める表

測った値 x	75
平均 μ	65
標準偏差 σ	5
zスコア	=(B1-B2)/B3

「zスコアより小さい値になる確率 P(x<Z)」を求める表

zスコア Z	2
P(x<Z)	=NORM.S.DIST(B1,TRUE)

「−ZとZの間になる確率」を求める表

zスコア Z	1.96
Φ(Z)	=NORM.S.DIST(B1,TRUE)
−ZとZの間になる確率	=2*B2-1

「2つのzスコアZ1・Z2の間になる確率」を求める表

左側 Z1	-1
右側 Z2	0
Φ(Z1)	=NORM.S.DIST(B1,TRUE)
Φ(Z2)	=NORM.S.DIST(B2,TRUE)
Z1とZ2の間になる確率	=B4-B3

表を貼り付けると、B列の数字を入力欄として使えます。「NORM.S.DIST(値, TRUE)」が累積分布関数 \(\Phi\) にあたる関数で、TRUEは「累積（左側の面積）で返す」という意味です。
1つ目の表なら測った値・平均・標準偏差（B1〜B3）を書き換えるとB4にzスコアが出ます（例の値だとB4は2）。2つ目の表はzスコア（B1）から確率（B2）を求め、例の値だとB2は約0.97725（97.7%）になります。
3つ目の表はzスコア1.96を入れると、−1.96〜1.96の間になる確率（B3）が約0.95（95%）と出ます。4つ目の表は2つのzスコアの間になる確率で、例の値（−1と0）だとB5は約0.34134（34.1%）になります。
逆に「確率からzスコアを知りたい」ときは「=NORM.S.INV(確率)」を使います（例：`=NORM.S.INV(0.975)` は約1.95996）。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「zスコア」を求める表

測った値 x	75
平均 μ	65
標準偏差 σ	5
zスコア	=(B1-B2)/B3

「zスコアより小さい値になる確率 P(x<Z)」を求める表

zスコア Z	2
P(x<Z)	=NORMSDIST(B1)

「−ZとZの間になる確率」を求める表

zスコア Z	1.96
Φ(Z)	=NORMSDIST(B1)
−ZとZの間になる確率	=2*B2-1

「2つのzスコアZ1・Z2の間になる確率」を求める表

左側 Z1	-1
右側 Z2	0
Φ(Z1)	=NORMSDIST(B1)
Φ(Z2)	=NORMSDIST(B2)
Z1とZ2の間になる確率	=B4-B3

Googleスプレッドシートでは累積分布関数 \(\Phi\) を「NORMSDIST(値)」で計算します（Excelの「NORM.S.DIST(値, TRUE)」と同じ働きですが、TRUEの指定は不要です）。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、B列の数字を書き換えて使ってください。
値の出方はExcel版と同じで、1つ目の表なら75・65・5からzスコア2、2つ目の表ならzスコア2から確率約0.97725が出ます。
逆に確率からzスコアを求めるときは「=NORMSINV(確率)」を使います（例：`=NORMSINV(0.975)` は約1.95996）。

Pythonで計算する方法

import math

def phi(z):
    # 標準正規分布の累積分布関数 Φ(z)（誤差関数 erf を使って計算）
    return 0.5 * (1 + math.erf(z / math.sqrt(2)))

x = 75       # 測った値
mean = 65    # 平均
sd = 5       # 標準偏差

z_score = (x - mean) / sd             # zスコア
p_less_than_z = phi(z_score)          # zスコアより小さい値になる確率 P(x<Z)

z = 1.96
p_between_minus_z_and_z = 2 * phi(z) - 1   # −zとzの間になる確率

z1, z2 = -1, 0
p_between_z1_z2 = phi(z2) - phi(z1)        # z1とz2の間になる確率

print(f"zスコア: {z_score}")
print(f"P(x<Z): {p_less_than_z}")
print(f"−zとzの間になる確率: {p_between_minus_z_and_z}")
print(f"z1とz2の間になる確率: {p_between_z1_z2}")

標準ライブラリのmath.erf（誤差関数）だけで累積分布関数 \(\Phi\) を計算できます。逆向き（確率→zスコア）が必要なときは、標準ライブラリのstatisticsモジュールにあるNormalDist().inv_cdf()が使えます（例：`statistics.NormalDist().inv_cdf(0.975)` は約1.95996）。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

zスコアの定義（平均から標準偏差いくつ分離れているか）

z = (x − μ) ÷ σ

z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>z</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>x</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x3BC;</mi></mrow>
      <mi>&#x3C3;</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

z = (x - mu)/sigma

(x - mu)/sigma

z := (x - mu)/sigma;

z = (x - mu)/sigma;

z = (x-μ)/σ

zスコアから「\(Z\) より小さい値になる確率」を求める

P(x<Z) = Φ(Z)

P(x<Z) = \Phi(Z)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>&lt;</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x3A6;</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

P(x<Z) = Phi(Z)

CDF[NormalDistribution[0, 1], Z]

with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z);

p = normcdf(Z);

P(x<Z) = Φ(Z)

\(-Z\) と \(Z\) の間になる確率（両側をまとめて）

P(−Z<x<Z) = 2Φ(Z) − 1

P(-Z<x<Z) = 2\Phi(Z) - 1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>Z</mi><mo>&lt;</mo><mi>x</mi><mo>&lt;</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mn>2</mn><mi>&#x3A6;</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn>
  </mrow>
</math>

P(-Z<x<Z) = 2 Phi(Z) - 1

2 CDF[NormalDistribution[0, 1], Z] - 1

with(Statistics): 2*CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z) - 1;

p = 2*normcdf(Z) - 1;

P(-Z<x<Z) = 2Φ(Z) - 1

2つのzスコア \(Z_1\)・\(Z_2\) の間になる確率

P(Z₁<x<Z₂) = Φ(Z₂) − Φ(Z₁)

P(Z_1<x<Z_2) = \Phi(Z_2) - \Phi(Z_1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo>&lt;</mo><mi>x</mi><mo>&lt;</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x3A6;</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>&#x3A6;</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

P(Z_1<x<Z_2) = Phi(Z_2) - Phi(Z_1)

CDF[NormalDistribution[0, 1], Z2] - CDF[NormalDistribution[0, 1], Z1]

with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z2) - CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z1);

p = normcdf(Z2) - normcdf(Z1);

P(Z1<x<Z2) = Φ(Z2) - Φ(Z1)

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは統計の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

平均65点・標準偏差5点のテストで75点を取った人がいます。
1. この人のzスコアを求めてください。
2. その値より小さい点数を取る確率 P(x<Z) を求めてください（標準正規分布の累積分布関数 Φ を使ってください。math.erfやstatistics.NormalDistなど、Pythonの標準ライブラリを使って構いません）。
3. さらに、zスコアが−1.96から1.96の間に入る確率も求めてください。

計算に使った式と、実行結果の数値を示してください。