Je kunt deze rekenmachine op drie manieren gebruiken. ① Bereken de z-score uit een waarde, het gemiddelde en de standaardafwijking. ② Reken een z-score en een kans in elkaar om (vul maar één veld in). ③ Bereken de kans tussen twee z-scores. Vul alleen de velden in van de groep die je wilt gebruiken.
Vul alleen de velden voor één manier in en laat de andere velden leeg. Vul kansen in als getallen van 0 tot 1 (bijvoorbeeld 0,975 voor 97,5%).
Resultaat en grafiek
Vul links getallen in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen het resultaat en een grafiek.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formule en grafiek
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul een waarde \(x\), het gemiddelde \(\mu\) en de standaardafwijking \(\sigma\) in en je krijgt in één keer de z-score (standaardscore) en de kans op een lagere waarde
- In plaats van een z-tabel (tabel van de standaardnormale verdeling) op te zoeken, reken je z-scores en kansen in beide richtingen om (van z-score naar kans, of van kans terug naar z-score)
- Je vindt ook de kans tussen twee z-scores (bijvoorbeeld tussen −1,96 en 1,96) meteen
- Een uitleg van de formules in gewone taal en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python staan ook op deze pagina
Deze rekenmachine gaat ervan uit dat de gegevens een normale verdeling volgen (een symmetrische klokvorm rond het gemiddelde). Bij gegevens met een sterk scheve verdeling werkt ze niet.
Waarvoor is deze berekening handig?
Weten waar je staat - toetsscores en percentielen (school en examens)
Bij een toets met een gemiddelde van 65 en een standaardafwijking van 5 is een score van 75 gelijk aan \(z = 2\). Als de scores een normale verdeling volgen, zit je daarmee bij ongeveer de hoogste 2,3% (\(1 - \Phi(2) \approx 0{,}0228\)), ongeveer het 97,7e percentiel. IQ-scores en T-scores zijn rechtstreeks uit z-scores opgebouwd (IQ \(= 100 + 15 \times z\), T-score \(= 50 + 10 \times z\)), dus een IQ van 130 is dezelfde positie.
Dit is het bekendste gebruik van z-scores: een ruwe score omzetten in een percentiel en aflezen hoe groot een verschil van een paar punten werkelijk is, zelfs tussen toetsen met een verschillende maximumscore en een verschillend gemiddelde.
Scores van verschillende vakken of toetsen op dezelfde liniaal vergelijken
“80 voor Engels (gemiddelde 70, standaardafwijking 10)” en “65 voor wiskunde (gemiddelde 50, standaardafwijking 15)” lijken bij de ruwe scores een hoger resultaat voor Engels te geven, maar als z-scores zijn beide \(z = 1\), dezelfde positie.
Ook als eenheden, maximumscores of de strengheid van het nakijken verschillen, laten z-scores je eerlijk vergelijken aan de hand van “hoeveel boven de groep” een score ligt. Hetzelfde idee wordt gebruikt om toetsen te normeren en om beoordelingen bij functioneringsgesprekken te normaliseren.
De groeidiagrammen van je kind lezen (opvoeding en gezondheid)
In de groeidiagrammen van de jeugdgezondheidszorg (het consultatiebureau) worden lengte en gewicht beoordeeld met de standaarddeviatiescore (SDS), dat is hetzelfde als een z-score: het geeft aan hoeveel standaardafwijkingen (SD) een kind van het gemiddelde ligt.
Ongeveer 2,3% van de kinderen valt onder de lijn van −2 SD (\(z = -2\)), en evenveel boven de lijn van +2 SD. In de richtlijn voor lengtegroei van de jeugdgezondheidszorg is een lengte onder −2 SDS een reden om met de arts te overleggen (kinderen groeien in verschillend tempo, en de arts beslist na het volgen van het verloop). Als je weet wat de lijn van “−2 SD” betekent, zijn de uitleg bij controles en de groeidiagrammen makkelijker te volgen.
Kwaliteitscontrole in een fabriek - hoeveel producten voldoen niet aan de norm (industrie)
De afmetingen en het gewicht van producten variëren vaak dicht bij een normale verdeling, dus als je de boven- en ondergrens van de specificatie omzet in z-scores, kun je het uitvalpercentage schatten. Liggen de grenzen op het gemiddelde \(\pm 3\sigma\), dan valt ongeveer 0,3% erbuiten (\(2 \times (1 - \Phi(3)) \approx 0{,}0027\)).
De naam van de kwaliteitsverbeteringsmethode “Six Sigma” komt ook uit dit idee van de z-score (hoeveel σ ver weg).
Risicobeheer in de financiële wereld - “met 99% kans blijft het verlies hierbinnen” (banken en beleggen)
Banken en vermogensbeheerders meten het risico op verliezen op hun bezit met een maat die value at risk (VaR) heet. Gaat men ervan uit dat rendementen een normale verdeling volgen, dan is de grens waarbij “het verlies met 99% kans binnen dit bereik blijft” de z-score \(\Phi^{-1}(0{,}99) \approx 2{,}33\), dus 2,33 standaardafwijkingen van het gemiddelde.
Deze omzetting van “kans naar z-score” ligt aan de basis van risicoberekeningen bij financiële instellingen over de hele wereld.
Formule en grafiek
Definitie van de z-score (hoeveel standaardafwijkingen van het gemiddelde)
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(z\)
\(=\)
\((\)
\(x\)
\(-\)
\(\mu\)
\()\)
\(\div\)
\(\sigma\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
\(z\): z-score
\(=\)
\((\)
①
\(x\): waarde
\(-\)
②
\(\mu\): gemiddelde
\()\)
\(\div\)
③
\(\sigma\): standaardafwijking
De formule in woorden
①
Neem de
\(x\): waarde
②
trek daar het
\(\mu\): gemiddelde
van af
③
deel door de
\(\sigma\): standaardafwijking
④
en je krijgt de
\(z\): z-score
Een eenvoudig voorbeeld
Voor iemand die 75 haalde voor een toets met een gemiddelde van 65 en een standaardafwijking van 5 is de z-score
\(z\): z-score
\(=\)
\((\)
score (75)
\(-\)
gemiddelde (65)
\()\)
\(\div\)
standaardafwijking (5)
\((75 - 65) \div 5 = 10 \div 5 = 2\)
Het belangrijkste idee
De z-score (standaardscore) geeft aan hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt. Een positieve z-score ligt boven het gemiddelde, een negatieve eronder, en 0 is precies het gemiddelde.
Zelfs gegevens met verschillende eenheden of verschillende maximumscores kun je met dezelfde liniaal vergelijken als je ze omzet in z-scores. IQ-scores gebruiken dit idee: IQ \(= 100 + 15 \times z\) (de \(z = 2\) in het voorbeeld komt overeen met een IQ van 130).
Van een z-score naar “de kans op een waarde kleiner dan \(Z\)”
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(P(x<Z)\)
\(=\)
\(\Phi(Z)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
kans op minder dan \(Z\)
\(=\)
①
oppervlakte links, \(\Phi(Z)\)
De formule in woorden
①
Vul de z-score \(Z\) in in de cumulatieve verdelingsfunctie \(\Phi\) (fi) en je krijgt de
waarde \(\Phi(Z)\)
(\(\Phi(Z)\) is de oppervlakte onder de standaardnormale kromme links van \(Z\))
②
en dat is de
kans op een waarde kleiner dan \(Z\), \(P(x<Z)\)
Een eenvoudig voorbeeld
Bij een z-score van 2 is de kans op een waarde kleiner dan 2
kans op een waarde kleiner dan 2
\(=\)
waarde van de cumulatieve verdelingsfunctie, \(\Phi(2)\)
\(\Phi(2) \approx 0{,}97725\ \ (97{,}7\%)\)
Het belangrijkste idee
Waarden van \(\Phi\) zocht je vroeger op in de “tabel van de standaardnormale verdeling” (z-tabel) achter in je wiskundeboek. Deze rekenmachine kun je gebruiken in plaats van die z-tabel.
De andere kant, “de kans op een waarde groter dan \(Z\)”, is de totale kans 1 min dit getal: \(1 - \Phi(Z)\). Om van een kans terug te gaan naar een z-score gebruik je de inverse functie \(\Phi^{-1}\) (voorbeeld: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)). Deze rekenmachine rekent in beide richtingen om.
Kans tussen \(-Z\) en \(Z\) (beide kanten samen)
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(P(-Z<x<Z)\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(\Phi(Z)\)
\(-\)
\(1\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
kans tussen \(-Z\) en \(Z\)
\(=\)
②
keer 2 (beide kanten)
\(\times\)
①
oppervlakte links, \(\Phi(Z)\)
\(-\)
③
totale kans \(1\)
De formule in woorden
①
Neem de
waarde \(\Phi(Z)\) (de oppervlakte links van \(Z\))
②
vermenigvuldig die
met 2 (de kromme is symmetrisch, dus twee keer)
③
trek er
de totale kans \(1\)
van af
④
en je krijgt de
kans tussen \(-Z\) en \(Z\)
Een eenvoudig voorbeeld
Bij een z-score van 1,96 (\(\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975\)) is de kans tussen −1,96 en 1,96
kans tussen −1,96 en 1,96
\(=\)
keer 2
\(\times\)
waarde van de cumulatieve verdelingsfunctie (0,975)
\(-\)
totale kans (1)
\(2 \times 0{,}975 - 1 = 1{,}95 - 1 = 0{,}95\ \ (95\%)\)
Het belangrijkste idee
Deze formule werkt als \(Z\) 0 of meer is. De standaardnormale verdeling is symmetrisch rond 0, dus de oppervlakte “van \(-Z\) tot \(Z\)” is de oppervlakte links van \(Z\), \(\Phi(Z)\), verdubbeld, min het ene geheel (1) dat dubbel is meegeteld.
De kans om buiten het bereik te vallen (in de twee staarten) is het complement, \(1 - (2\Phi(Z) - 1)\). Bij \(Z = 1{,}96\) zoals in het voorbeeld ligt 95% binnen en 5% buiten. Deze z-score is de grens voor het “significantieniveau van 5%” dat zo vaak voorkomt bij statistische toetsen.
Kans tussen twee z-scores \(Z_1\) en \(Z_2\)
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(P(Z_1<x<Z_2)\)
\(=\)
\(\Phi(Z_2)\)
\(-\)
\(\Phi(Z_1)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
kans tussen \(Z_1\) en \(Z_2\)
\(=\)
①
oppervlakte links, \(\Phi(Z_2)\)
\(-\)
②
oppervlakte links, \(\Phi(Z_1)\)
De formule in woorden
①
Neem de
oppervlakte links van de bovengrens \(Z_2\), \(\Phi(Z_2)\)
②
trek daar de
oppervlakte links van de ondergrens \(Z_1\), \(\Phi(Z_1)\)
van af
③
en je krijgt de
kans tussen \(Z_1\) en \(Z_2\)
Een eenvoudig voorbeeld
Bij \(Z_1 = -1\) en \(Z_2 = 0\) (\(\Phi(0) = 0{,}5\), \(\Phi(-1) \approx 0{,}15866\)) is de kans tussen −1 en 0
kans tussen −1 en 0
\(=\)
oppervlakte links van de bovengrens, \(\Phi(0)\)
\(-\)
oppervlakte links van de ondergrens, \(\Phi(-1)\)
\(0{,}5 - 0{,}15866 = 0{,}34134\ \ (34{,}1\%)\)
Het belangrijkste idee
Het is alleen “de oppervlakte tot en met de grotere waarde min de oppervlakte tot en met de kleinere”, dus het werkt voor elke \(Z_1\) en \(Z_2\) (ook als beide negatief zijn).
Vul \(Z_1 = -1\) en \(Z_2 = 1\) in en je krijgt ongeveer 0,683 (68,3%). Zo kun je de bekende vuistregel voor de normale verdeling controleren: “ongeveer 68% ligt binnen één standaardafwijking van het gemiddelde” (de 68-95-99,7-regel).
De z-score is een gemeenschappelijke liniaal voor de plaats van een waarde in de gegevens: hoeveel standaardafwijkingen die van het gemiddelde ligt. Als je waarden standaardiseert tot z-scores, kun je gegevens met verschillende eenheden vergelijken, en de cumulatieve verdelingsfunctie \(\Phi\) zet een z-score om in “de kans (oppervlakte) tot en met die waarde”.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(z\) | zet (z-score) | Een getal dat aangeeft hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt, te vinden met \(z = (x - \mu) \div \sigma\). Een positieve waarde ligt boven het gemiddelde en een negatieve eronder. Op deze pagina wordt een z-score die je zelf opgeeft, zoals in ② en ③, met een hoofdletter \(Z\) geschreven. |
| \(x\) | iks | De waarde die je hebt gemeten, zoals een toetsscore of een lengte. Het is de oorspronkelijke waarde die je wilt omzetten in een z-score. |
| \(\mu\) | mu | Het gemiddelde. Het is de plek waar het midden van de piek van de verdeling ligt. Een Griekse letter die overeenkomt met de m. |
| \(\sigma\) | sigma | De standaardafwijking, de grootte van de spreiding van de gegevens. Hoe groter ze is, hoe lager en breder de piek. Een Griekse letter die overeenkomt met de s. |
| \(\Phi(Z)\) | fi van Z | De cumulatieve verdelingsfunctie van de standaardnormale verdeling (gemiddelde 0, standaardafwijking 1). Ze geeft de kans op een waarde kleiner dan \(Z\), dat is de oppervlakte onder de kromme links van \(Z\). |
| \(\Phi^{-1}\) | fi invers (inverse van Φ) | De functie die andersom werkt dan \(\Phi\). Ze neemt een kans (oppervlakte) en geeft de z-score die daarbij hoort. (Voorbeeld: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)) |
| \(Z_1,\ Z_2\) | Z index 1, Z index 2 | De twee z-scores die je invult bij ③. \(Z_1\) is de linkergrens (de kleinere) en \(Z_2\) de rechtergrens (de grotere). |
Begrippen
| z-score (standaardscore) | Een getal zonder eenheid dat aangeeft hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt. Het heet ook wel z-waarde. Het grote voordeel is dat het gegevens met verschillende eenheden of verschillende maximumscores op dezelfde liniaal zet. |
| standaardiseren | Een oorspronkelijke waarde omzetten in een z-score. Na het standaardiseren kun je gegevens uit elke normale verdeling behandelen met de ene standaardnormale verdeling met gemiddelde 0 en standaardafwijking 1. |
| standaardnormale verdeling | De normale verdeling met gemiddelde 0 en standaardafwijking 1. Het is de verdeling van z-scores en dient als gemeenschappelijke liniaal voor kansberekeningen met elke normale verdeling. |
| normale verdeling | Een verdeling die symmetrisch in een klokvorm rond het gemiddelde ligt. Veel gegevens uit de praktijk, zoals toetsscores, lengtes en het gewicht van producten, hebben bij benadering deze vorm. |
| cumulatieve verdelingsfunctie | Een functie die de kans geeft om die waarde of minder te krijgen. Voor de standaardnormale verdeling schrijf je ze als \(\Phi\) (fi). Ze heet zo omdat ze de oppervlakte links van de kromme bij elkaar optelt (cumuleert). |
| z-tabel (tabel van de standaardnormale verdeling) | Een tabel met z-scores en de bijbehorende waarden (oppervlakten) van \(\Phi\). Je vindt hem achterin wiskundeboeken met statistiek. Manier ② op deze pagina kun je gebruiken in plaats van een z-tabel. |
| T-score | Een z-score die zo is omgeschaald dat het gemiddelde 50 is en één standaardafwijking 10 (T-score \(= 50 + 10 \times z\)). Ze wordt gebruikt in sommige psychologische en onderwijskundige testen. IQ-scores werken op dezelfde manier met een gemiddelde van 100 en 15 per standaardafwijking. |
Handig om vooraf te weten
Dit is wat je helpt om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
| Het gemiddelde (groep 7-8, 10-12 jaar) |
|
| Rekenen met negatieve getallen (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Gegevens analyseren en standaardafwijking (bovenbouw havo/vwo, 15-18 jaar) |
|
| De normale verdeling en oppervlakten lezen (bovenbouw havo/vwo, 15-18 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om de z-score te vinden
| Waarde x | 75 |
| Gemiddelde μ | 65 |
| Standaardafwijking σ | 5 |
| z-score | =(B1-B2)/B3 |
Tabel om de kans op een waarde kleiner dan de z-score te vinden, P(x<Z)
| z-score Z | 2 |
| P(x<Z) | =NORM.S.VERD(B1;WAAR) |
Tabel om de kans tussen −Z en Z te vinden
| z-score Z | 1,96 |
| Φ(Z) | =NORM.S.VERD(B1;WAAR) |
| Kans tussen −Z en Z | =2*B2-1 |
Tabel om de kans tussen twee z-scores Z1 en Z2 te vinden
| Links Z1 | -1 |
| Rechts Z2 | 0 |
| Φ(Z1) | =NORM.S.VERD(B1;WAAR) |
| Φ(Z2) | =NORM.S.VERD(B2;WAAR) |
| Kans tussen Z1 en Z2 | =B4-B3 |
Na het plakken van de tabel kun je de getallen in kolom B gebruiken als invoervelden. “NORM.S.VERD(waarde; WAAR)” is de functie voor de cumulatieve verdelingsfunctie \(\Phi\), en WAAR zegt dat ze “de cumulatieve waarde (de oppervlakte links) moet geven”.
Verander in de eerste tabel de waarde, het gemiddelde en de standaardafwijking (B1 tot en met B3) en B4 toont de z-score (met de voorbeeldwaarden is B4 gelijk aan 2). De tweede tabel vindt de kans (B2) uit de z-score (B1); met de voorbeeldwaarde is B2 ongeveer 0,97725 (97,7%).
Vul in de derde tabel de z-score 1,96 in en je krijgt de kans tussen −1,96 en 1,96 (B3) van ongeveer 0,95 (95%). De vierde tabel is de kans tussen twee z-scores; met de voorbeeldwaarden (−1 en 0) is B5 ongeveer 0,34134 (34,1%).
Wil je de andere kant op, “van een kans naar een z-score”, gebruik dan “=NORM.S.INV(kans)” (voorbeeld: `=NORM.S.INV(0,975)` is ongeveer 1,95996).
Verander in de eerste tabel de waarde, het gemiddelde en de standaardafwijking (B1 tot en met B3) en B4 toont de z-score (met de voorbeeldwaarden is B4 gelijk aan 2). De tweede tabel vindt de kans (B2) uit de z-score (B1); met de voorbeeldwaarde is B2 ongeveer 0,97725 (97,7%).
Vul in de derde tabel de z-score 1,96 in en je krijgt de kans tussen −1,96 en 1,96 (B3) van ongeveer 0,95 (95%). De vierde tabel is de kans tussen twee z-scores; met de voorbeeldwaarden (−1 en 0) is B5 ongeveer 0,34134 (34,1%).
Wil je de andere kant op, “van een kans naar een z-score”, gebruik dan “=NORM.S.INV(kans)” (voorbeeld: `=NORM.S.INV(0,975)` is ongeveer 1,95996).
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om de z-score te vinden
| Waarde x | 75 |
| Gemiddelde μ | 65 |
| Standaardafwijking σ | 5 |
| z-score | =(B1-B2)/B3 |
Tabel om de kans op een waarde kleiner dan de z-score te vinden, P(x<Z)
| z-score Z | 2 |
| P(x<Z) | =STAND.NORM.VERD(B1) |
Tabel om de kans tussen −Z en Z te vinden
| z-score Z | 1,96 |
| Φ(Z) | =STAND.NORM.VERD(B1) |
| Kans tussen −Z en Z | =2*B2-1 |
Tabel om de kans tussen twee z-scores Z1 en Z2 te vinden
| Links Z1 | -1 |
| Rechts Z2 | 0 |
| Φ(Z1) | =STAND.NORM.VERD(B1) |
| Φ(Z2) | =STAND.NORM.VERD(B2) |
| Kans tussen Z1 en Z2 | =B4-B3 |
In Google Spreadsheets bereken je de cumulatieve verdelingsfunctie \(\Phi\) met “STAND.NORM.VERD(waarde)” (het werkt hetzelfde als “NORM.S.VERD(waarde; WAAR)” in Excel, maar WAAR is niet nodig). Kopieer de hele tabel, plak ze in cel A1 en verander de getallen in kolom B.
De resultaten zijn dezelfde als in de Excel-versie: de eerste tabel geeft een z-score van 2 uit 75, 65 en 5, en de tweede geeft een kans van ongeveer 0,97725 uit een z-score van 2.
Om een z-score uit een kans te vinden gebruik je “=STAND.NORM.INV(kans)” (voorbeeld: `=STAND.NORM.INV(0,975)` is ongeveer 1,95996).
De resultaten zijn dezelfde als in de Excel-versie: de eerste tabel geeft een z-score van 2 uit 75, 65 en 5, en de tweede geeft een kans van ongeveer 0,97725 uit een z-score van 2.
Om een z-score uit een kans te vinden gebruik je “=STAND.NORM.INV(kans)” (voorbeeld: `=STAND.NORM.INV(0,975)` is ongeveer 1,95996).
Berekenen met Python
import math
def phi(z):
# Cumulatieve verdelingsfunctie van de standaardnormale verdeling, Φ(z) (berekend met de foutfunctie erf)
return 0.5 * (1 + math.erf(z / math.sqrt(2)))
x = 75 # waarde
mean = 65 # gemiddelde
sd = 5 # standaardafwijking
z_score = (x - mean) / sd # z-score
p_less_than_z = phi(z_score) # kans op een waarde kleiner dan de z-score, P(x<Z)
z = 1.96
p_between_minus_z_and_z = 2 * phi(z) - 1 # kans tussen -z en z
z1, z2 = -1, 0
p_between_z1_z2 = phi(z2) - phi(z1) # kans tussen z1 en z2
print(f"z-score: {z_score}")
print(f"P(x<Z): {p_less_than_z}")
print(f"Kans tussen -z en z: {p_between_minus_z_and_z}")
print(f"Kans tussen z1 en z2: {p_between_z1_z2}")
Met alleen math.erf (de foutfunctie) uit de standaardbibliotheek kun je de cumulatieve verdelingsfunctie \(\Phi\) berekenen. Heb je de andere richting nodig (kans naar z-score), gebruik dan NormalDist().inv_cdf() uit de module statistics van de standaardbibliotheek (voorbeeld: `statistics.NormalDist().inv_cdf(0.975)` is ongeveer 1,95996).
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Definitie van de z-score (hoeveel standaardafwijkingen van het gemiddelde)
z = (x − μ) ÷ σ
z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>z</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi></mrow>
<mi>σ</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
z = (x - mu)/sigma
(x - mu)/sigma
z := (x - mu)/sigma;
z = (x - mu)/sigma;
z = (x-μ)/σ
Van een z-score naar “de kans op een waarde kleiner dan \(Z\)”
P(x<Z) = Φ(Z)
P(x<Z) = \Phi(Z)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(x<Z) = Phi(Z)
CDF[NormalDistribution[0, 1], Z]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z);
p = normcdf(Z);
P(x<Z) = Φ(Z)
Kans tussen \(-Z\) en \(Z\) (beide kanten samen)
P(−Z<x<Z) = 2Φ(Z) − 1
P(-Z<x<Z) = 2\Phi(Z) - 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>Z</mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn>
</mrow>
</math>
P(-Z<x<Z) = 2 Phi(Z) - 1
2 CDF[NormalDistribution[0, 1], Z] - 1
with(Statistics): 2*CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z) - 1;
p = 2*normcdf(Z) - 1;
P(-Z<x<Z) = 2Φ(Z) - 1
Kans tussen twee z-scores \(Z_1\) en \(Z_2\)
P(Z₁<x<Z₂) = Φ(Z₂) − Φ(Z₁)
P(Z_1<x<Z_2) = \Phi(Z_2) - \Phi(Z_1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(Z_1<x<Z_2) = Phi(Z_2) - Phi(Z_1)
CDF[NormalDistribution[0, 1], Z2] - CDF[NormalDistribution[0, 1], Z1]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z2) - CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z1);
p = normcdf(Z2) - normcdf(Z1);
P(Z1<x<Z2) = Φ(Z2) - Φ(Z1)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een assistent voor statistische berekeningen. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren, en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het uitvoerresultaat (geen hoofdrekenen of gokken). Iemand haalde 75 punten voor een toets met een gemiddelde van 65 punten en een standaardafwijking van 5 punten. 1. Bereken de z-score van deze persoon. 2. Bereken de kans op een score lager dan die waarde, P(x<Z) (gebruik de cumulatieve verdelingsfunctie Φ van de standaardnormale verdeling; je mag de standaardbibliotheek van Python gebruiken, zoals math.erf of statistics.NormalDist). 3. Bereken ook de kans dat een z-score tussen −1,96 en 1,96 ligt. Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het uitvoerresultaat.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Normale verdeling berekenen (kans tussen twee waarden en z-tabel)
Berekent uit het gemiddelde en de standaardafwijking de kans op een bereik of de bovenste hoeveel procent
Standaardafwijking berekenen voor populatie en steekproef
Berekent uit een lijst getallen de standaardafwijking (populatie en steekproef), de variantie en het gemiddelde
