Gelijkvormigheid berekenen (lengteverhouding, oppervlakte- en inhoudsverhouding, schaal op een kaart)
Kies wat je wilt berekenen en vul de getallen in. De lengteverhouding m : n staat in de volgorde “figuur ① : figuur ②”.
Vul alleen getallen in. Decimale getallen en breuken zoals 3/4 mogen (alleen getallen groter dan 0). Ook een lengteverhouding als 1,5 : 2 wordt omgezet naar een vereenvoudigde verhouding van hele getallen.
Resultaat en figuur
Vul links de lengteverhouding in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en de figuren verschijnen hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul de lengteverhouding \(m : n\) in en je ziet meteen de oppervlakteverhouding \(m^2 : n^2\) en de inhoudsverhouding \(m^3 : n^3\). Ook een verhouding met decimale getallen of breuken, zoals 1,5 : 2, wordt omgezet naar een vereenvoudigde verhouding van hele getallen, zoals 3 : 4
- Uit de lengteverhouding en de lengte, oppervlakte of inhoud van de ene figuur reken je de waarde van de andere figuur uit. Het antwoord zie je als vereenvoudigde breuk (exacte waarde), zoals \(\dfrac{21}{2}\), en als decimaal getal
- Ook de schaal van een kaart, zoals 1 : 25.000: reken een lengte op de kaart om naar de werkelijke afstand of andersom, inclusief omrekenen tussen cm, m en km
- Waarom je voor de oppervlakteverhouding de lengteverhouding kwadrateert en voor de inhoudsverhouding tot de derde macht verheft, wordt met formules en figuren uitgelegd
- Bij het resultaat van de lengteverhouding en van het omrekenen zie je een figuur van twee gelijkvormige figuren, en bij het resultaat van de schaal een schema van het omrekenen, zodat je de verhoudingen kunt zien
Vul voor de lengteverhouding, de lengte, de oppervlakte, de inhoud en de noemer van de schaal een getal groter dan 0 in (de zijden en oppervlakten van gelijkvormige figuren zijn altijd positief).
Waarvoor is deze berekening handig?
De werkelijke afstand op een kaart aflezen (wandelen, fietsen en routeplanning)
Op een topografische kaart met schaal 1 : 25.000, zoals veel wandel- en fietskaarten, is 4 cm op de kaart in werkelijkheid 1 km (4 × 25000 = 100000 cm). Meet je de lengte van een route op de kaart en vermenigvuldig je die met de noemer van de schaal, dan weet je ongeveer hoe ver je gaat lopen of fietsen.
Met dezelfde berekening schat je ook de afstand tussen twee plaatsen of van je huis naar het station op een plattegrond.
De afmetingen van modellen, modelbouw en miniaturen (schaal en gelijkvormigheid)
Bij modelspoor is schaal H0 1 : 87 en schaal N 1 : 160, en bij modelbouw en bouwmodellen zie je schalen als 1 : 100. Een echte wagon van 15 m lang is op schaal N 15 m ÷ 160 = 9,4 cm. Het ontwerpen van modellen bestaat uit het steeds opnieuw berekenen van een “verkleining die gelijkvormig is met het echte voorwerp”.
Hoeveel ingrediënten je nodig hebt als je een andere bakvorm of pan gebruikt (oppervlakteverhouding en inhoudsverhouding)
Maak je een recept voor een bakvorm van 15 cm doorsnede in een bakvorm van 18 cm, dan is de verhouding van de doorsneden 15 : 18 = 5 : 6. Is de nieuwe vorm ook evenredig dieper, dus gelijkvormig, dan verhoog je de ingrediënten met de inhoudsverhouding \(5^3 : 6^3 = 125 : 216\) (ongeveer 1,7 keer). Is de vorm even diep, dan komt er alleen oppervlakte van de bodem bij, en reken je met de oppervlakteverhouding \(5^2 : 6^2 = 25 : 36\) (1,44 keer).
Als je weet dat een kleine verandering in de lengte de hoeveelheid met het kwadraat of de derde macht sterk verandert, mislukt er minder in de keuken.
Vergroten en verkleinen op een kopieerapparaat en de papierformaten (oppervlakteverhouding)
Twee vellen A4 zijn precies één vel A3: de papierformaten zijn zo gemaakt dat een formaat groter betekent dat de oppervlakte twee keer zo groot is. De oppervlakteverhouding is \(1 : 2\), dus de lengteverhouding is de wortel daarvan, \(1 : \sqrt{2}\). De knop “141%” op een kopieerapparaat is \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\), dus precies de vergroting van A4 naar A3.
Als je bij het uitprinten van een poster de lengte twee keer zo groot maakt en de inkt of het papier 4 keer zoveel kost, is dat ook de oppervlakteverhouding.
De grenzen aan de grootte van dieren en gebouwen (kwadraat en derde macht)
Wordt een dier met bijna dezelfde vorm twee keer zo lang, dan wordt de doorsnede van zijn botten (waar de sterkte van afhangt) maar \(2^2 = 4\) keer zo groot, terwijl zijn gewicht (inhoud) \(2^3 = 8\) keer zo groot wordt. Daarom hebben grote dieren relatief dikke, stevige poten (in het Engels de square-cube law).
Dat een model in de bouw of techniek goed werkt en het gebouw of apparaat op ware grootte kapotgaat, komt mede door het verschil tussen hoe snel oppervlakte en inhoud toenemen.
Formules en figuren
Lengteverhouding en de lengte van overeenkomstige zijden
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(b\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(\dfrac{n}{m}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(b\): lengte van de overeenkomstige zijde van figuur ②
\(=\)
①
\(a\): lengte van een zijde van figuur ①
\(\times\)
②
\(\dfrac{n}{m}\): vergrotingsfactor van de lengteverhouding
De formule in woorden
①
Bij gelijkvormige figuren met lengteverhouding \(m : n\): neem
\(a\): lengte van een zijde van figuur ①
en
②
vermenigvuldig met de
\(\dfrac{n}{m}\): vergrotingsfactor van de lengteverhouding (\(n\) gedeeld door \(m\))
③
dan krijg je de
\(b\): lengte van de overeenkomstige zijde van figuur ②
Een eenvoudig voorbeeld
Bij gelijkvormige figuren met lengteverhouding \(2 : 3\) is een zijde van figuur ① \(12\) cm. De overeenkomstige zijde van figuur ② is dan
lengte van de overeenkomstige zijde van figuur ②
\(=\)
zijde van figuur ① (12 cm)
\(\times\)
factor \(\dfrac{3}{2}\)
\(b = 12 \times \dfrac{3}{2} = 18\)
Het belangrijkste idee
Bij gelijkvormige figuren is de verhouding van de lengtes van overeenkomstige zijden voor elk paar zijden hetzelfde, namelijk de lengteverhouding \(m : n\). Daarom vind je de lengte in figuur ② met “lengte in figuur ① × \(\dfrac{n}{m}\)” (reken je van figuur ② naar figuur ①, dan vermenigvuldig je met \(\dfrac{m}{n}\)).
Dit geldt niet alleen voor zijden, maar voor alle “lengtes”: omtrek, diagonalen, hoogtes enzovoort blijven in de lengteverhouding \(m : n\).
Oppervlakteverhouding van gelijkvormige figuren (kwadraat van de lengteverhouding)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(S_{1} : S_{2}\)
\(=\)
\(m\)
\(2\)
\(:\)
\(n\)
\(2\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
oppervlakteverhouding (verhouding van de oppervlakten van figuur ① en figuur ②)
\(=\)
①
\(m\) van de lengteverhouding (kant van figuur ①)
③
kwadraat
\(:\)
②
\(n\) van de lengteverhouding (kant van figuur ②)
kwadraat
De formule in woorden
①
Neem bij lengteverhouding \(m : n\) de
waarde \(m\) van figuur ①
en de
②
waarde \(n\) van figuur ②
en neem van beide
③
het kwadraat
dan krijg je de
④
oppervlakteverhouding \(S_1 : S_2\)
Een eenvoudig voorbeeld
De oppervlakteverhouding van gelijkvormige figuren met lengteverhouding \(2 : 3\) is
oppervlakteverhouding
\(=\)
\(2^2 = 4\)
\(:\)
\(3^2 = 9\)
\(S_{1} : S_{2} = 2^{2} : 3^{2} = 4 : 9\)
Het belangrijkste idee
Waarom de oppervlakteverhouding het kwadraat is: een lengteverhouding \(m : n\) betekent dat figuur ② figuur ① is, zowel in de lengte als in de breedte vergroot (of verkleind) met een factor \(\dfrac{n}{m}\). Een oppervlakte is een grootheid die je krijgt door twee lengtes te vermenigvuldigen, zoals “lengte × breedte”; de factor \(\dfrac{n}{m}\) komt dus twee keer voor en de oppervlakte wordt \(\left(\dfrac{n}{m}\right)^2\) keer zo groot. Zoals in de figuur hierboven past bij een rechthoek met lengteverhouding \(1 : 2\) de kleine precies \(4 = 2^2\) keer in de grote.
Ook bij figuren die geen rechthoek zijn, zoals driehoeken en cirkels, geldt hetzelfde (verdeel ze in een fijn rooster), dus bij elke gelijkvormige figuur is de oppervlakteverhouding \(m^2 : n^2\). De verhouding van de totale oppervlakten van ruimtefiguren is ook \(m^2 : n^2\), omdat het om oppervlakte gaat.
Inhoudsverhouding van gelijkvormige ruimtefiguren (derde macht van de lengteverhouding)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(V_{1} : V_{2}\)
\(=\)
\(m\)
\(3\)
\(:\)
\(n\)
\(3\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
inhoudsverhouding (verhouding van de inhouden van ruimtefiguur ① en ②)
\(=\)
①
\(m\) van de lengteverhouding (kant van ruimtefiguur ①)
③
derde macht
\(:\)
②
\(n\) van de lengteverhouding (kant van ruimtefiguur ②)
derde macht
De formule in woorden
①
Neem bij lengteverhouding \(m : n\) de
waarde \(m\) van ruimtefiguur ①
en de
②
waarde \(n\) van ruimtefiguur ②
en neem van beide
③
de derde macht
dan krijg je de
④
inhoudsverhouding \(V_1 : V_2\)
Een eenvoudig voorbeeld
De inhoudsverhouding van gelijkvormige ruimtefiguren met lengteverhouding \(2 : 3\) is
inhoudsverhouding
\(=\)
\(2^3 = 8\)
\(:\)
\(3^3 = 27\)
\(V_{1} : V_{2} = 2^{3} : 3^{3} = 8 : 27\)
Het belangrijkste idee
Waarom de inhoudsverhouding de derde macht is, volgt hetzelfde idee als het kwadraat bij oppervlakte. Een inhoud krijg je door drie lengtes te vermenigvuldigen, zoals “lengte × breedte × hoogte”; de factor \(\dfrac{n}{m}\) komt dus drie keer voor en de inhoud wordt \(\left(\dfrac{n}{m}\right)^3\) keer zo groot.
In een kubus met zijden die twee keer zo lang zijn, past de oorspronkelijke kubus bijvoorbeeld precies \(8 = 2^3\) keer. Onthoud het als set: “lengte: de macht 1, oppervlakte: het kwadraat, inhoud: de derde macht”, dan weet je het zowel op een toets als in het dagelijks leven.
De schaal van een kaart en de werkelijke afstand
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(L\)
\(=\)
\(\ell\)
\(\times\)
\(d\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(L\): werkelijke afstand
\(=\)
①
\(\ell\): lengte op de kaart
\(\times\)
②
\(d\): noemer van de schaal
De formule in woorden
①
Neem bij een kaart met schaal \(1 : d\) de
\(\ell\): lengte op de kaart
en
②
vermenigvuldig met de
\(d\): noemer van de schaal (zoals 25000)
③
dan krijg je de
\(L\): werkelijke afstand
Een eenvoudig voorbeeld
Op een kaart met schaal \(1 : 25.000\) is een lengte op de kaart \(4\) cm. In werkelijkheid is de afstand
werkelijke afstand
\(=\)
lengte op de kaart (4 cm)
\(\times\)
noemer van de schaal (25000)
\(L = 4 \times 25000 = 100000\)
\(100000\ \mathrm{cm} = 1000\ \mathrm{m} = 1\ \mathrm{km}\)
Het belangrijkste idee
Een kaart met schaal \(1 : 25.000\) is de werkelijkheid met factor \(\dfrac{1}{25000}\) verkleind: een “verkleining die gelijkvormig is met de werkelijkheid”. De lengteverhouding tussen kaart en werkelijkheid is dus \(1 : 25000\) en de berekening voor de lengte van overeenkomstige zijden (de eerste formule) werkt zonder aanpassing.
Reken je omgekeerd uit een werkelijke afstand de lengte op de kaart uit, dan deel je door de noemer van de schaal (\(\ell = L \div d\)).
Vergeet het omrekenen van eenheden niet: \(1\) m \(= 100\) cm en \(1\) km \(= 1000\) m \(= 100000\) cm. Bij opgaven over kaarten reken je meestal eerst in cm en zet je het antwoord daarna om naar km.
Bij gelijkvormige figuren met lengteverhouding \(m : n\) blijft de verhouding van lengtes, zoals die van overeenkomstige zijden, \(m : n\), is de oppervlakteverhouding het kwadraat \(m^2 : n^2\) en de inhoudsverhouding de derde macht \(m^3 : n^3\). Een kaart met schaal \(1 : d\) is “een verkleining met lengteverhouding \(1 : d\) tot de werkelijkheid”, dus de werkelijke afstand is “lengte op de kaart × \(d\)”.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(m,\ n\) | m en n | De twee getallen van de lengteverhouding. Op deze pagina hoort \(m\) bij figuur ① en \(n\) bij figuur ②. Normaal is het een verhouding van hele getallen, maar een verhouding als 1,5 : 2 kun je vereenvoudigen tot een verhouding van hele getallen (hier 3 : 4). |
| \(:\) | staat tot | Het teken voor een verhouding. \(2 : 3\) lees je als “2 staat tot 3” en geeft aan dat twee hoeveelheden zich verhouden als 2 en 3. |
| \(a,\ b\) | a en b | De lengtes van overeenkomstige zijden. Een zijde van figuur ① is \(a\) en de overeenkomstige zijde van figuur ② is \(b\). Voor vaste lengtes gebruik je meestal letters vooraan in het alfabet. |
| \(S_1,\ S_2\) | S één en S twee | De oppervlakten van figuur ① en figuur ②. \(S\) is een letter die vaak voor oppervlakte wordt gebruikt (in Nederlandse schoolboeken ook \(A\) of \(O\)). Het kleine cijfer rechtsonder (de index) geeft aan om welke figuur het gaat. |
| \(V_1,\ V_2\) | V één en V twee | De inhouden van ruimtefiguur ① en ruimtefiguur ②. \(V\) komt van “volume”. |
| \(m^2\) | m kwadraat | \(m\) met zichzelf vermenigvuldigd (\(m^2 = m \times m\)). Je noemt dit het “kwadraat”. De oppervlakteverhouding is het kwadraat van de lengteverhouding. |
| \(m^3\) | m tot de derde macht | \(m\) drie keer met zichzelf vermenigvuldigd (\(m^3 = m \times m \times m\)). Je noemt dit “de derde macht”. De inhoudsverhouding is de derde macht van de lengteverhouding. |
| \(\ell\) | ℓ | De lengte op de kaart. Het is de schrijfletter l van “lengte”, zodat je hem niet met het cijfer 1 of een hoofdletter I verwart. |
| \(L\) | L (hoofdletter) | De werkelijke afstand. Hij is met een hoofdletter geschreven om hem te onderscheiden van de lengte op de kaart \(\ell\). |
| \(d\) | d | De noemer van de schaal. Bij schaal \(1 : 25.000\) is \(d = 25000\). De letter komt van “deler” (noemer). |
Begrippen
| gelijkvormig | De relatie tussen twee figuren met dezelfde vorm maar een verschillende grootte. Vergroot of verklein je de ene, dan valt die precies over de andere. Je schrijft bijvoorbeeld \(\triangle ABC \backsim \triangle DEF\). |
| lengteverhouding | De verhouding van de lengtes van overeenkomstige zijden van twee gelijkvormige figuren. Welke twee overeenkomstige zijden je ook neemt, de verhouding is steeds hetzelfde. In schoolboeken wordt het getal waarmee je vermenigvuldigt ook vergrotingsfactor of gelijkvormigheidsfactor genoemd. |
| overeenkomstige zijden | Bij twee gelijkvormige (of congruente) figuren de zijden die op dezelfde plaats liggen. Bij gelijkvormige figuren is de verhouding van de lengtes van overeenkomstige zijden steeds gelijk. |
| oppervlakteverhouding | De verhouding van de oppervlakten van twee figuren. Bij gelijkvormige figuren is het het kwadraat van de lengteverhouding \(m : n\), dus \(m^2 : n^2\). |
| inhoudsverhouding | De verhouding van de inhouden van twee ruimtefiguren. Bij gelijkvormige ruimtefiguren is het de derde macht van de lengteverhouding \(m : n\), dus \(m^3 : n^3\). |
| totale oppervlakte | De oppervlakte van het hele buitenvlak van een ruimtefiguur. Omdat het om oppervlakte gaat, is de verhouding van de totale oppervlakten van gelijkvormige ruimtefiguren gelijk aan de oppervlakteverhouding \(m^2 : n^2\). |
| schaal | De mate waarin de werkelijkheid is verkleind op een kaart of tekening. Je geeft hem aan als een verhouding zoals 1 : 25.000. Een kaart met schaal \(1 : 25.000\) is een verkleining met lengteverhouding \(1 : 25000\) tot de werkelijkheid. |
| verkleining | Een figuur die kleiner is gemaakt zonder de vorm te veranderen. Dit leer je in de bovenbouw van de basisschool; “gelijkvormigheid” in de brugklas is dezelfde gedachte in wiskundetaal. |
| vergroting | Een figuur die groter is gemaakt zonder de vorm te veranderen. Dit leer je in de bovenbouw van de basisschool; “gelijkvormigheid” in de brugklas is dezelfde gedachte in wiskundetaal. |
| verhouding vereenvoudigen | Een verhouding schrijven met de kleinst mogelijke hele getallen. Je deelt beide delen door hun grootste gemene deler (bijvoorbeeld \(12 : 18 = 2 : 3\)). Bij decimale getallen of breuken vermenigvuldig je eerst beide delen met hetzelfde getal tot hele getallen en vereenvoudig je daarna (bijvoorbeeld \(1{,}5 : 2 = 3 : 4\)). |
| grootste gemene deler | Het grootste getal waardoor twee of meer hele getallen allemaal deelbaar zijn (afgekort ggd). Bij het vereenvoudigen van een verhouding deel je beide delen door dit getal. |
| macht | Hetzelfde getal herhaald met zichzelf vermenigvuldigd. Bij \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) geeft het kleine verhoogde getal (de exponent) aan hoe vaak je vermenigvuldigt. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Loop je ergens vast, dan is het snelst om het onderdeel in deze lijst nog eens door te nemen.
| Verhoudingen (groep 7-8, 10-12 jaar) |
|
| Vergroten en verkleinen (groep 7-8, 10-12 jaar) |
|
| Machten (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Breuken vermenigvuldigen en delen (groep 7-8, 10-12 jaar) |
|
| Eenheden van lengte omrekenen (groep 4-6, 7-10 jaar) |
|
| Gelijkvormige figuren (klas 2 havo/vwo, 13-14 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om uit de lengteverhouding de oppervlakteverhouding en de inhoudsverhouding te berekenen
| m van de lengteverhouding (kant van figuur ①) | 2 |
| n van de lengteverhouding (kant van figuur ②) | 3 |
| Kant van figuur ① in de oppervlakteverhouding m² | =B1^2 |
| Kant van figuur ② in de oppervlakteverhouding n² | =B2^2 |
| Kant van figuur ① in de inhoudsverhouding m³ | =B1^3 |
| Kant van figuur ② in de inhoudsverhouding n³ | =B2^3 |
Tabel om met de lengteverhouding een lengte, oppervlakte of inhoud om te rekenen (voorbeeld met oppervlakte)
| m van de lengteverhouding (kant van figuur ①) | 3 |
| n van de lengteverhouding (kant van figuur ②) | 5 |
| Oppervlakte van figuur ① | 18 |
| Oppervlakte van figuur ② (× (n/m)²) | =B3*(B2/B1)^2 |
Tabel om de schaal van een kaart om te rekenen naar een werkelijke afstand
| Noemer van de schaal (de 25000 in 1 : 25000) | 25000 |
| Lengte op de kaart (cm) | 4 |
| Werkelijke afstand (cm) | =B1*B2 |
| Werkelijke afstand (m) | =B3/100 |
| Werkelijke afstand (km) | =B3/100000 |
Tabel om een werkelijke afstand om te rekenen naar een lengte op de kaart
| Noemer van de schaal (de 50000 in 1 : 50000) | 50000 |
| Werkelijke afstand (km) | 3 |
| Werkelijke afstand (cm) | =B2*100000 |
| Lengte op de kaart (cm) | =B3/B1 |
Na het plakken zijn de bovenste rijen je invoer en de onderste rijen het automatisch berekende resultaat. “^” is machtsverheffen, “*” is vermenigvuldigen en “/” is delen.
De eerste tabel is een voorbeeld met lengteverhouding 2 : 3: je krijgt 4 en 9 voor de oppervlakteverhouding en 8 en 27 voor de inhoudsverhouding. Vul de lengteverhouding in als verhouding van hele getallen (een verhouding als 1,5 : 2 zet je eerst om in een verhouding van hele getallen door beide delen met 2 te vermenigvuldigen: 3 : 4; dan is het resultaat beter af te lezen).
De tweede tabel is een voorbeeld met lengteverhouding 3 : 5 en een oppervlakte van figuur ① van 18; de oppervlakte van figuur ② is dan 50. Voor een lengte haal je de “^2” weg en voor een inhoud maak je er “^3” van.
De derde tabel is een voorbeeld met 4 cm op een kaart met schaal 1 : 25.000: de werkelijke afstand is 100000 cm = 1000 m = 1 km.
De vierde tabel rekent een werkelijke afstand van 3 km om naar een kaart met schaal 1 : 50.000: de lengte op de kaart is 6 cm.
De eerste tabel is een voorbeeld met lengteverhouding 2 : 3: je krijgt 4 en 9 voor de oppervlakteverhouding en 8 en 27 voor de inhoudsverhouding. Vul de lengteverhouding in als verhouding van hele getallen (een verhouding als 1,5 : 2 zet je eerst om in een verhouding van hele getallen door beide delen met 2 te vermenigvuldigen: 3 : 4; dan is het resultaat beter af te lezen).
De tweede tabel is een voorbeeld met lengteverhouding 3 : 5 en een oppervlakte van figuur ① van 18; de oppervlakte van figuur ② is dan 50. Voor een lengte haal je de “^2” weg en voor een inhoud maak je er “^3” van.
De derde tabel is een voorbeeld met 4 cm op een kaart met schaal 1 : 25.000: de werkelijke afstand is 100000 cm = 1000 m = 1 km.
De vierde tabel rekent een werkelijke afstand van 3 km om naar een kaart met schaal 1 : 50.000: de lengte op de kaart is 6 cm.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om uit de lengteverhouding de oppervlakteverhouding en de inhoudsverhouding te berekenen
| m van de lengteverhouding (kant van figuur ①) | 2 |
| n van de lengteverhouding (kant van figuur ②) | 3 |
| Kant van figuur ① in de oppervlakteverhouding m² | =B1^2 |
| Kant van figuur ② in de oppervlakteverhouding n² | =B2^2 |
| Kant van figuur ① in de inhoudsverhouding m³ | =B1^3 |
| Kant van figuur ② in de inhoudsverhouding n³ | =B2^3 |
Tabel om met de lengteverhouding een lengte, oppervlakte of inhoud om te rekenen (voorbeeld met oppervlakte)
| m van de lengteverhouding (kant van figuur ①) | 3 |
| n van de lengteverhouding (kant van figuur ②) | 5 |
| Oppervlakte van figuur ① | 18 |
| Oppervlakte van figuur ② (× (n/m)²) | =B3*(B2/B1)^2 |
Tabel om de schaal van een kaart om te rekenen naar een werkelijke afstand
| Noemer van de schaal (de 25000 in 1 : 25000) | 25000 |
| Lengte op de kaart (cm) | 4 |
| Werkelijke afstand (cm) | =B1*B2 |
| Werkelijke afstand (m) | =B3/100 |
| Werkelijke afstand (km) | =B3/100000 |
Tabel om een werkelijke afstand om te rekenen naar een lengte op de kaart
| Noemer van de schaal (de 50000 in 1 : 50000) | 50000 |
| Werkelijke afstand (km) | 3 |
| Werkelijke afstand (cm) | =B2*100000 |
| Lengte op de kaart (cm) | =B3/B1 |
Dezelfde formules als in Excel werken ook hier. Kopieer de hele tabel, plak hem in cel A1 en vervang de lengteverhouding of de lengtes door je eigen getallen.
Berekenen met Python
from fractions import Fraction
# lengteverhouding m : n (figuur ① : figuur ②). Een decimaal getal zoals 1.5 kun je gewoon zo schrijven
ratio_m = Fraction('1.5')
ratio_n = Fraction('2')
# maak er een vereenvoudigde verhouding van hele getallen van (vereenvoudig m ÷ n: teller : noemer is dan de verhouding van hele getallen)
reduced = ratio_m / ratio_n
int_m, int_n = reduced.numerator, reduced.denominator
print(f"Lengteverhouding: {int_m} : {int_n}")
print(f"Oppervlakteverhouding: {int_m ** 2} : {int_n ** 2}")
print(f"Inhoudsverhouding: {int_m ** 3} : {int_n ** 3}")
# uit de lengteverhouding en de oppervlakte van figuur ① de oppervlakte van figuur ② berekenen (oppervlakte reken je om met het kwadraat van de lengteverhouding)
area_of_first = Fraction(18)
area_of_second = area_of_first * (ratio_n / ratio_m) ** 2
print(f"Oppervlakte van figuur ②: {area_of_second} = {float(area_of_second)}")
Met de module fractions uit de standaardbibliotheek reken je exact met breuken, zonder afrondfouten bij decimale getallen. Dit voorbeeld gebruikt de lengteverhouding 1,5 : 2. Voer je de code uit, dan zie je de lengteverhouding “3 : 4”, de oppervlakteverhouding “9 : 16”, de inhoudsverhouding “27 : 64” en de oppervlakte van figuur ② “32” als de oppervlakte van figuur ① 18 is. Pas de lengteverhouding en de oppervlakte aan en voer de code uit. Voor een lengte haal je “** 2” weg en voor een inhoud maak je er “** 3” van.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Lengteverhouding en de lengte van overeenkomstige zijden
b = a × n/m
b = a \times \dfrac{n}{m}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>×</mo>
<mfrac><mi>n</mi><mi>m</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
b = a xx n/m
b = a*(n/m)
b := a*n/m;
b = a*n/m;
b = a(n/m)
Oppervlakteverhouding van gelijkvormige figuren (kwadraat van de lengteverhouding)
S₁ : S₂ = m² : n²
S_{1} : S_{2} = m^{2} : n^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>:</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>:</mo>
<msup><mi>n</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_1 : S_2 = m^2 : n^2
S1/S2 == m^2/n^2
S1/S2 = m^2/n^2;
S1/S2 == m^2/n^2
S_1 : S_2 = m^2 : n^2
Inhoudsverhouding van gelijkvormige ruimtefiguren (derde macht van de lengteverhouding)
V₁ : V₂ = m³ : n³
V_{1} : V_{2} = m^{3} : n^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>:</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msup><mi>m</mi><mn>3</mn></msup>
<mo>:</mo>
<msup><mi>n</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V_1 : V_2 = m^3 : n^3
V1/V2 == m^3/n^3
V1/V2 = m^3/n^3;
V1/V2 == m^3/n^3
V_1 : V_2 = m^3 : n^3
De schaal van een kaart en de werkelijke afstand
L = ℓ × d
L = \ell \times d
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>L</mi>
<mo>=</mo>
<mi>ℓ</mi>
<mo>×</mo>
<mi>d</mi>
</mrow>
</math>
L = l xx d
L = l*d
L := l*d;
L = l*d;
L = ℓ × d
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een assistent voor wiskundeberekeningen (gelijkvormigheid in de onderbouw van het voortgezet onderwijs). Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord uit het hoofd of op basis van een schatting). Geef voor gelijkvormige figuren met lengteverhouding 1,5 : 2 het volgende: 1. De lengteverhouding, vereenvoudigd tot een verhouding van hele getallen 2. De oppervlakteverhouding (het kwadraat van de lengteverhouding) en de inhoudsverhouding (de derde macht van de lengteverhouding), beide als verhouding van hele getallen 3. De oppervlakte van figuur ② als de oppervlakte van figuur ① 18 cm² is Bereken ook hoeveel km de werkelijke afstand is als de lengte op een kaart met schaal 1 : 25.000 4 cm is. Reken in Python exact met de module fractions uit de standaardbibliotheek en laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Verhoudingen berekenen (A:B = C:D oplossen, vergroten en verkleinen)
Bereken de onbekende in een verhoudingstabel als “3 : 4 = 600 : □” met kruislings vermenigvuldigen
Hoeken van een veelhoek berekenen (hoekensom, buitenhoeken en regelmatige veelhoeken)
Bereken de som van de hoeken en de som van de buitenhoeken van een n-hoek en één hoek van een regelmatige n-hoek, met een figuur waarin je de veelhoek in driehoeken verdeelt
