Kies het type opstelling en vul het aantal elementen n in. De rekenmachine telt de manieren om ze in een cirkel te zetten, met stappen en een figuur.
Vul n in als geheel getal van 1 tot en met 1000. Het veld r gebruik je alleen bij “r van n in een cirkel”. Antwoorden worden met alle cijfers getoond, zonder afronding.
Resultaat en figuur
Kies links het type opstelling, vul het aantal in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen het resultaat en een figuur.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Circulaire permutaties \((n-1)!\) (alle \(n\) elementen in een cirkel)
-
Circulaire permutaties \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) van \(n\) elementen in een cirkel)
-
Kettingen \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (omdraaien telt als hetzelfde)
-
Circulaire permutaties met 2 bepaalde elementen naast elkaar, \(2 \times (n-2)!\)
-
Circulaire permutaties met 2 bepaalde elementen niet naast elkaar, \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
-
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul het aantal personen in en zie op hoeveel manieren \(n\) personen aan een ronde tafel kunnen zitten (circulaire permutaties), \((n-1)!\)
- Ook \(r\) van de \(n\) elementen kiezen en in een cirkel zetten, \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\), kan
- Je kunt ook kettingen \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) berekenen, waarbij opstellingen die na omdraaien samenvallen als één tellen, zoals bij een ketting (ook \(n = 1,\ 2\), waarbij gewoon delen een fout antwoord geeft, wordt goed verwerkt)
- Ook het aantal zitopstellingen waarbij 2 bepaalde personen naast elkaar zitten, of juist niet, met stappen waarin je de 2 als één blok behandelt
- Antwoorden worden met alle cijfers getoond, zonder afronding. Bij lange antwoorden komt er een benadering bij, zoals \(1{,}23\times10^{35}\), zodat je in één oogopslag de grootte ziet
- Figuren met draaiende cirkels laten zien waarom je \(n!\) deelt door \(n\). Ook de formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python staan op deze pagina
Op deze pagina zijn alle elementen verschillend (geen gelijke elementen). Voor de permutaties \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) en combinaties \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) van elementen in een rij zie je de gerelateerde pagina’s onderaan.
Waarvoor is deze berekening handig?
Zitplaatsen plannen aan ronde tafels (diners, vergaderingen en bruiloften)
Aan een ronde tafel verandert het niets aan wie naast wie zit als je de hele tafel draait. Het aantal zitplannen is dus niet de \(n!\) van een rij, maar de circulaire permutaties \((n-1)!\). Dat zijn 120 manieren voor 6 personen en 5.040 manieren voor 8 personen.
Wensen als “zet deze 2 bij elkaar (of juist niet)” veranderen het aantal sterk. Bij 6 personen zijn er 48 manieren met 2 bepaalde personen naast elkaar en 72 met ze uit elkaar. In plaats van te gokken weet je precies uit hoeveel zitplannen een organisator van een evenement kan kiezen.
Het aantal bezorgroutes schatten (logistiek en het handelsreizigersprobleem)
Denk aan een route die \(n\) plaatsen één keer bezoekt en terugkeert naar het begin, waarbij het depot als een van de stops telt. Dezelfde route is dezelfde ring, ongeacht waar je begint (draaien), en als elke weg in beide richtingen even lang is, geeft de route in de andere richting dezelfde afstand (omdraaien). Het aantal verschillende routes is dus gelijk aan het aantal kettingen, \(\dfrac{(n-1)!}{2}\).
Met 10 stops inclusief het depot zijn er 181.440 routes en met 15 stops ongeveer \(4{,}36\times10^{10}\). Ze allemaal uitproberen om de kortste te vinden is niet realistisch, dus routeplanningssoftware gebruikt slimme kortere wegen (optimalisatiemethoden). Dit aantal is de reden waarom “gewoon elke route nagaan” niet werkt.
Armbanden en kettingen ontwerpen (sieraden)
Het aantal ontwerpen om \(n\) kralen van verschillende kleur of vorm tot een lus te rijgen is het aantal kettingen, \(\dfrac{(n-1)!}{2}\). Een lus is hetzelfde sieraad of je hem nu draait of omdraait, dus deel je de circulaire permutaties nog een keer door \(2\). Dat zijn 12 ontwerpen voor 5 kralen en 60 ontwerpen voor 6 kralen.
Maar heeft het sieraad een voor- en achterkant die je kunt onderscheiden en kun je het niet omgedraaid dragen, bijvoorbeeld kralen met maar aan één kant een patroon, dan mag omdraaien niet als hetzelfde tellen. Dan deel je niet door \(2\) en tel je de circulaire permutaties \((n-1)!\) (120 voor 6 kralen). Of omdraaien telt, maakt dus een factor 2 verschil in het aantal ontwerpen.
De beurtvolgorde bij bord- en kaartspellen
Bij veel spellen gaat de beurt in één richting rond de tafel. Het patroon “wie speelt na wie” verandert niet als je alle stoelen opschuift, dus het is een circulaire permutatie, \((n-1)!\). Dat zijn 6 patronen voor 4 spelers en 24 voor 5 spelers.
Bij spellen waarbij beginnen een voordeel is, wil je misschien ook onderscheid maken tussen wie begint. Vermenigvuldig dan de \((n-1)!\) beurtpatronen met de \(n\) keuzes voor de eerste speler, en je krijgt \(n!\) (24 voor 4 spelers). Als je “alleen de zitvolgorde” en “inclusief de eerste speler” gescheiden houdt, kun je makkelijker nadenken over eerlijke manieren om te beslissen.
Rouleersystemen voor taken en diensten opstellen (school en werk)
Een rooster dat de lijst in volgorde doorloopt en aan het eind weer bovenaan begint, is dezelfde cyclus, wie ook begint, dus telt het als een circulaire permutatie. Een rooster voor 5 personen heeft \((5-1)! = 24\) mogelijkheden.
Voeg de voorwaarde toe “deze 2 mogen niet direct na elkaar (naast elkaar)”, en je trekt de gevallen waarin ze naast elkaar staan af van het totaal: \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\). Voor 5 personen blijven dan 24 − 12 = 12 over. De formule laat goed zien hoe één extra voorwaarde de keuzes met de helft vermindert.
Formules en figuren
Circulaire permutaties \((n-1)!\) (alle \(n\) elementen in een cirkel)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(N\)
\(=\)
\(\dfrac{n!}{n}\)
\(=\)
\((n-1)!\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(N\): aantal circulaire permutaties
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{opstellingen in een rij, }n!}{\text{draaiingen die samenvallen, }n}\)
\(=\)
②
\((n-1)!\): faculteit van \(n-1\), één minder
De formule in woorden
①
Het aantal
manieren om \(n\) elementen in een rij te zetten, \(n!\), gedeeld door de \(n\) opstellingen die door draaien samenvallen
is gelijk aan
②
\((n-1)!\): faculteit van \(n-1\), één minder
③
en zo vind je
\(N\): aantal circulaire permutaties
Een eenvoudig voorbeeld
Het aantal manieren waarop \(4\) personen aan een ronde tafel kunnen zitten, is
aantal circulaire permutaties van 4 personen
\(=\)
\(\dfrac{\text{4 personen in een rij, }24}{\text{door draaien samenvallend, }4}\)
\(=\)
faculteit van \(3\), \(3!\)
\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
\(\dfrac{24}{4} = 6\)
\((4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
Het belangrijkste idee
Als je dingen in een cirkel zet, geldt de regel dat opstellingen die door draaien samenvallen als dezelfde 1 manier tellen. Als je een ronde tafel met iedereen eraan laat draaien, verandert er niets aan wie naast wie zit.
Waarom je door \(n\) deelt, zie je het snelst met \(4\) personen A, B, C en D. De rijen ABCD, BCDA, CDAB en DABC zijn als lettergroepen allemaal verschillend. Maar zet je elke rij in een cirkel en lees je met de klok mee vanaf boven, dan krijg je steeds precies dezelfde ring: “B zit rechts van A, C rechts van B, D rechts van C en A rechts van D”. Bij elke rij schuift gewoon de eerste letter naar het einde.
Elke ring valt dus samen met precies \(n\) rijen (in één hele draai kun je \(n\) keer opschuiven, niet vaker en niet minder). De \(n!\) rijen tellen elke ring \(n\) keer mee. Door te delen door \(n\) verdwijnen de dubbele en houd je het aantal verschillende ringen over.
Je kunt ook één element vastzetten. Zodra je eerst de plek van één persoon bepaalt, kun je de opstelling niet meer draaien tot een andere. De overige \(n-1\) personen zet je gewoon in een rij, wat \((n-1)!\) manieren geeft. Je komt zo zonder te delen op hetzelfde antwoord.
Circulaire permutaties \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) van \(n\) elementen in een cirkel)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(N\)
\(=\)
\(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(N\): aantal manieren om in een cirkel te zetten
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{r van n in een rij, }{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{\text{draaiingen die samenvallen, }r}\)
De formule in woorden
①
Het aantal
manieren om \(r\) van \(n\) elementen in een rij te zetten, \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\), gedeeld door de \(r\) opstellingen die door draaien samenvallen
is gelijk aan
②
\(N\): aantal manieren om in een cirkel te zetten
Een eenvoudig voorbeeld
Het aantal manieren om \(3\) van \(8\) personen te kiezen en aan een ronde tafel voor 3 te zetten, is
aantal circulaire permutaties van 3 van 8 personen
\(=\)
\(\dfrac{\text{3 van 8 in een rij, }336}{\text{door draaien samenvallend, }3}\)
\({}_{8}\mathrm{P}_{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336\)
\(\dfrac{336}{3} = 112\)
Het belangrijkste idee
Stel je een ronde tafel voor met maar \(r\) stoelen, bezet door personen uit \(n\) kandidaten. Er staan maar \(r\) elementen in de cirkel, dus opstellingen die door draaien samenvallen komen in groepen van \(r\). Pas op dat je niet per ongeluk door \(n\) deelt.
Bij \(r = n\) is \({}_{n}\mathrm{P}_{n} = n!\), dus \(\dfrac{n!}{n} = (n-1)!\), precies de vorige formule. Dit is dus de algemene vorm en \((n-1)!\) is een speciaal geval.
Kettingen \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (omdraaien telt als hetzelfde)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(M\)
\(=\)
\(\dfrac{(n-1)!}{2}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(M\): aantal kettingen
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{circulaire permutaties, }(n-1)!}{\text{omdraaiingen die samenvallen, }2}\)
De formule in woorden
①
Het aantal
circulaire permutaties \((n-1)!\), gedeeld door de \(2\) opstellingen die door omdraaien samenvallen
is gelijk aan
②
\(M\): aantal kettingen
(als \(n\) minstens \(3\) is)
Een eenvoudig voorbeeld
Het aantal manieren om \(5\) kralen van verschillende kleur tot een armband te rijgen, is
aantal kettingen van 5 kralen
\(=\)
\(\dfrac{\text{5 kralen circulair, }24}{\text{door omdraaien samenvallend, }2}\)
\((5-1)! = 4! = 24\)
\(\dfrac{24}{2} = 12\)
Het belangrijkste idee
Draai je een ketting of armband om op tafel, dan wisselen links en rechts. Of je de ring nu draait of omdraait, het blijft hetzelfde sieraad, dus deel je de circulaire permutaties nog een keer door \(2\). Je kunt ook denken: “\(n\) opstellingen vallen samen door draaien en \(2\) door omdraaien, dus de opstellingen komen in groepen van \(2n\)”, en \(\dfrac{n!}{2n}\) schrijven. Dat is hetzelfde.
Het verschil tussen circulaire permutaties en kettingen is of je de ring kunt oppakken en omdraaien. Een ronde tafel met mensen eraan kun je niet omdraaien, dus zitplaatsen zijn een circulaire permutatie. Een armband kun je oppakken en omdraaien, dus dat is een ketting. Noemt een opgave een ring, ketting, armband, sleutelring of krans, ga dan na of omdraaien telt. Zo haal je ze niet door elkaar.
Pas op bij \(n = 1\) en \(n = 2\). Een ring van 1 of 2 kralen ziet er omgedraaid precies hetzelfde uit. De opstellingen komen dus niet in paren, en de formule zonder meer geeft \(\dfrac{1}{2}\) manier. Het juiste antwoord is in beide gevallen \(1\) manier (deze rekenmachine verwerkt die gevallen automatisch).
Vanaf \(n = 3\) hoort elke opstelling altijd bij zijn omgedraaide versie, dus delen door \(2\) telt dan goed.
Circulaire permutaties met 2 bepaalde elementen naast elkaar, \(2 \times (n-2)!\)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(A\)
\(=\)
\((n-2)!\)
\(\times\)
\(2\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(A\): opstellingen met de 2 naast elkaar
\(=\)
①
\((n-2)!\): circulaire permutaties van \(n-1\) elementen, met het blok als één
\(\times\)
②
\(2\): volgordes van de 2 in het blok
De formule in woorden
①
Neem de
\((n-2)!\): circulaire permutaties van \(n-1\) elementen, waarbij je de 2 die bij elkaar moeten als één blok neemt
②
vermenigvuldig met de
\(2\): volgordes van de 2 in het blok
③
en zo vind je
\(A\): opstellingen met de 2 naast elkaar
Een eenvoudig voorbeeld
Als \(6\) personen aan een ronde tafel zitten, is het aantal manieren waarop Daan en Emma naast elkaar zitten
manieren met de 2 naast elkaar
\(=\)
circulair, 5 elementen met de 2 als blok, \(4!\)
\(\times\)
volgordes van de 2 in het blok, \(2\)
\((6-2)! = 4! = 24\)
\(24 \times 2 = 48\)
Het belangrijkste idee
Bij de voorwaarde “moeten naast elkaar zitten” bind je de 2 vast aan elkaar tot één blok. Worden 2 van 6 personen één blok, dan zijn er 5 elementen om in de cirkel te zetten: “het blok plus de andere 4 personen”. Dat is een circulaire permutatie van 5 elementen, dus \((5-1)! = 4!\) manieren.
Vermenigvuldig ten slotte met de \(2\) volgordes in het blok, “Daan dan Emma” of “Emma dan Daan”. De grootste valkuil is vergeten te vermenigvuldigen met de volgorde in het blok zodra je het blok hebt gemaakt.
\(n = 2\) is de enige uitzondering. Met maar 2 personen zitten ze altijd naast elkaar, dus het antwoord is \(1\) manier. Maar de blokformule zonder meer geeft \(2 \times 0! = 2\) manieren (deze rekenmachine verwerkt dit geval automatisch).
Circulaire permutaties met 2 bepaalde elementen niet naast elkaar, \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(B\)
\(=\)
\((n-1)!\)
\(-\)
\((n-2)!\)
\(\times\)
\(2\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
\(B\): opstellingen met de 2 uit elkaar
\(=\)
①
\((n-1)!\): circulaire permutaties zonder voorwaarde
\(-\)
②
\((n-2)!\): circulaire permutaties van \(n-1\) elementen, met het blok als één
\(\times\)
③
\(2\): volgordes van de 2 in het blok
De formule in woorden
①
Van de
\((n-1)!\): circulaire permutaties zonder voorwaarde
trek je
②
de
\((n-2)!\): circulaire permutaties van \(n-1\) elementen, waarbij je de 2 als één blok neemt
③
maal de
\(2\): volgordes van de 2 in het blok
(dit product is het aantal opstellingen met de 2 naast elkaar) af
④
en zo vind je
\(B\): opstellingen met de 2 uit elkaar
Een eenvoudig voorbeeld
Als \(6\) personen aan een ronde tafel zitten, is het aantal manieren waarop Daan en Emma niet naast elkaar zitten
manieren met de 2 uit elkaar
\(=\)
circulair, 6 personen, \(5!\)
\(-\)
circulair, 5 elementen met de 2 als blok, \(4!\)
\(\times\)
volgordes van de 2 in het blok, \(2\)
\((6-1)! = 5! = 120\)
\(2 \times (6-2)! = 2 \times 24 = 48\)
\(120 - 48 = 72\)
Het belangrijkste idee
Als je “niet naast elkaar” rechtstreeks telt, moet je veel gevallen bekijken: waar kan iedereen zitten? Trek daarom liever “de opstellingen waarbij ze naast elkaar zitten” af van “alle opstellingen”. Het tegenovergestelde van wat je wilt tellen (het complement) tellen en van het totaal aftrekken is een standaardtruc.
Vereenvoudigd kun je het ook schrijven als \((n-1)! - 2(n-2)! = (n-1)(n-2)! - 2(n-2)! = (n-3) \times (n-2)!\). Voor \(n = 3\) geeft dit \(0 \times 1! = 0\) manieren. Aan een ronde tafel voor 3 zitten alle paren altijd naast elkaar, dus \(0\) manieren klopt inderdaad.
In een cirkel tellen opstellingen die door draaien samenvallen als dezelfde 1 manier, dus deel je de \(n!\) manieren in een rij door \(n\), wat \((n-1)!\) manieren geeft. Telt omdraaien ook als hetzelfde, zoals bij een ketting (kettingen), deel dan nog een keer door \(2\) voor \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) manieren (alleen voor \(n \le 2\) is het een uitzondering: \(1\) manier).
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(n\) | en | Het totale aantal elementen dat je rangschikt. De letter n wordt veel gebruikt voor een aantal. Op deze pagina is het het aantal personen aan een ronde tafel of het aantal kralen aan een ring. |
| \(r\) | er | Het aantal elementen dat je uit de \(n\) kiest en echt rangschikt. Je gebruikt het samen met \(n\), zoals in \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\), gelezen als “\(r\) uit \(n\)”. |
| \(n!\) | n faculteit | De faculteit, \(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\), het aantal manieren om alle \(n\) elementen in een rij te zetten. Het uitroepteken als notatie is volgens overlevering in 1808 ingevoerd door de Franse wiskundige Christian Kramp. Per definitie is \(0! = 1\). |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | n P r | Permutaties. Het aantal manieren om \(r\) van \(n\) elementen te kiezen en in een rij te zetten, berekend als \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)\). \(\mathrm{P}\) staat voor “permutatie”. Ook geschreven als \(P(n, r)\). |
| \(N\) | hoofdletter N | De letter die op deze pagina staat voor het aantal circulaire permutaties. Het is een hoofdletter N, vaak gebruikt voor een aantal dat je wilt vinden. |
| \(M\) | em | De letter die op deze pagina staat voor het aantal kettingen. Het is de letter naast \(N\), die je gebruikt als je naast \(N\) nog een tweede aantal nodig hebt. |
| \(A,\ B\) | a, be | Op deze pagina is \(A\) het aantal opstellingen met 2 bepaalde elementen naast elkaar en \(B\) het aantal met ze uit elkaar. Letters vanaf het begin van het alfabet gebruik je gewoonlijk voor vaste hoeveelheden die je wilt vinden. |
| \((n-1)!\) | n min 1 faculteit | De uitdrukking voor het aantal circulaire permutaties. Het is wat overblijft nadat je de \(n\)-voudige herhalingen door draaien hebt weggehaald als \(n\) elementen in een cirkel staan. Denk je “één element vastzetten en de andere \(n-1\) rangschikken”, dan krijg je dezelfde uitdrukking. |
Begrippen
| aantal manieren | Op hoeveel verschillende manieren je in totaal iets kunt doen dat aan een voorwaarde voldoet. Elke vraag “op hoeveel manieren?” vraagt om het aantal manieren (tellen). |
| permutatie | Een rangschikking van elementen waarbij de volgorde telt, of het aantal van zulke rangschikkingen. Rangschikken in een rij heet een lineaire permutatie en tel je met \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\). |
| lineaire permutatie | Een gewone permutatie in een rechte rij, zo genoemd om haar te onderscheiden van een circulaire permutatie. Een rij heeft uiteinden, dus opschuiven geeft een andere opstelling. |
| circulaire permutatie | Een rangschikking van elementen in een cirkel (een ring). Volgens afspraak tellen opstellingen die door draaien samenvallen als dezelfde 1 manier, dus \(n\) elementen geven \((n-1)!\) manieren. |
| ketting | Een circulaire permutatie waarbij opstellingen die door omdraaien samenvallen ook als dezelfde 1 manier tellen. Je gebruikt het voor ringen die je kunt omdraaien, zoals kettingen en armbanden, en het geeft \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) manieren als \(n\) minstens \(3\) is. (In gevorderde combinatoriek heet dit geval ook wel een armband.) |
| faculteit | Het product van alle gehele getallen van \(1\) tot en met \(n\) (geschreven \(n!\)). Het is gelijk aan het aantal manieren om \(n\) elementen in een rij te zetten en groeit explosief als \(n\) toeneemt (\(10! = 3.628.800\)). |
| samenvallen door draaien | Als je een ring zomaar draait en hij precies gelijk wordt aan een andere opstelling. Bij circulaire permutaties maak je geen onderscheid tussen zulke opstellingen en tellen ze als dezelfde 1 manier. Eén volle draai geeft \(n\) opstellingen die samenvallen. |
| samenvallen door omdraaien | Als je een ring omdraait (links en rechts omkeren, zoals in een spiegel) en hij gelijk wordt aan een andere opstelling. Bij kettingen tellen ook die als dezelfde 1 manier. |
| als blok behandelen | De elementen die naast elkaar moeten staan aan elkaar binden en als één element behandelen. Het totale aantal gaat met 1 omlaag en aan het eind vermenigvuldig je met het aantal volgordes in het blok. |
| complement | Alle gevallen waarin een voorwaarde niet geldt, geschreven \(A^c\). Een voorwaarde die lastig rechtstreeks te tellen is, zoals “niet naast elkaar”, vind je door de gevallen “naast elkaar” van het totaal af te trekken. |
| dubbel tellen | Hetzelfde twee keer of vaker tellen. Bij circulaire permutaties tel je elke ring \(n\) keer, dus deel je aan het eind door \(n\) om de herhalingen weg te halen. |
| één element vastzetten | Een standaardmanier om over circulaire permutaties te denken. Zodra de plek van één persoon eerst is bepaald, kun je de opstelling niet meer draaien tot een andere, dus het komt neer op de andere \(n-1\) elementen in een rij zetten. |
| productregel | De telregel dat er, als er \(a\) manieren zijn om A te bepalen en voor elk daarvan \(b\) manieren om B te bepalen, in totaal \(a \times b\) manieren zijn. Als je de circulaire permutaties van het blok vermenigvuldigt met de \(2\) volgordes, gebruik je deze regel. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen en niet alleen op de knop te drukken.
Loop je vast, dan is het snelst om de onderwerpen in deze tabel nog eens door te nemen.
| Telproblemen, de basis (klas 1 tot havo/vwo 4, 12-16 jaar) |
|
| Permutaties en faculteiten (havo/vwo 4, 15-16 jaar) |
|
| Delen om herhalingen weg te halen (groep 5 tot 7, 8-11 jaar) |
|
| Draaiing en symmetrie van figuren (groep 6 tot klas 2, 9-14 jaar) |
|
| Het complement (havo/vwo 4, 15-16 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel voor het berekenen van de circulaire permutaties (n−1)!
| Aantal elementen n | 8 |
| Circulaire permutaties (n−1)! | =FACULTEIT(B1-1) |
Tabel voor het berekenen van de circulaire permutaties van r van n elementen
| Totaal aantal elementen n | 8 |
| Aantal in de cirkel r | 3 |
| Manieren in een rij nPr | =PERMUTATIES(B1;B2) |
| Circulaire permutaties nPr÷r | =B3/B2 |
Tabel voor het berekenen van de kettingen (n−1)!÷2
| Aantal elementen n | 5 |
| Aantal kettingen | =ALS(B1<=2;1;FACULTEIT(B1-1)/2) |
Tabel voor het berekenen van circulaire permutaties met 2 bepaalde elementen naast elkaar of uit elkaar
| Aantal elementen n | 6 |
| Zonder voorwaarde (n−1)! | =FACULTEIT(B1-1) |
| 2 naast elkaar 2×(n−2)! | =2*FACULTEIT(B1-2) |
| 2 uit elkaar | =B2-B3 |
Na het plakken zijn de bovenste rijen (de aantallen) je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend.
FACULTEIT berekent de faculteit (n!) en PERMUTATIES berekent de permutaties (nPr).
De eerste tabel is 8 personen aan een ronde tafel en het antwoord is 5.040.
De tweede tabel zet 3 van 8 personen aan een ronde tafel: nPr is 336 en delen door r geeft 112.
De ALS in de derde tabel vangt het geval op dat n gelijk is aan 2 of kleiner, waarbij je niet door 2 mag delen. Vul 5 in voor n en je krijgt 12.
De vierde tabel is het voorbeeld van 6 personen aan een ronde tafel: 120 zonder voorwaarde, 48 naast elkaar en 72 uit elkaar.
FACULTEIT berekent de faculteit (n!) en PERMUTATIES berekent de permutaties (nPr).
De eerste tabel is 8 personen aan een ronde tafel en het antwoord is 5.040.
De tweede tabel zet 3 van 8 personen aan een ronde tafel: nPr is 336 en delen door r geeft 112.
De ALS in de derde tabel vangt het geval op dat n gelijk is aan 2 of kleiner, waarbij je niet door 2 mag delen. Vul 5 in voor n en je krijgt 12.
De vierde tabel is het voorbeeld van 6 personen aan een ronde tafel: 120 zonder voorwaarde, 48 naast elkaar en 72 uit elkaar.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel voor het berekenen van de circulaire permutaties (n−1)!
| Aantal elementen n | 8 |
| Circulaire permutaties (n−1)! | =FACULTEIT(B1-1) |
Tabel voor het berekenen van de circulaire permutaties van r van n elementen
| Totaal aantal elementen n | 8 |
| Aantal in de cirkel r | 3 |
| Manieren in een rij nPr | =PERMUTATIES(B1;B2) |
| Circulaire permutaties nPr÷r | =B3/B2 |
Tabel voor het berekenen van de kettingen (n−1)!÷2
| Aantal elementen n | 5 |
| Aantal kettingen | =ALS(B1<=2;1;FACULTEIT(B1-1)/2) |
Tabel voor het berekenen van circulaire permutaties met 2 bepaalde elementen naast elkaar of uit elkaar
| Aantal elementen n | 6 |
| Zonder voorwaarde (n−1)! | =FACULTEIT(B1-1) |
| 2 naast elkaar 2×(n−2)! | =2*FACULTEIT(B1-2) |
| 2 uit elkaar | =B2-B3 |
Dezelfde formules als in Excel (FACULTEIT, PERMUTATIES en ALS) werken zonder aanpassing. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de aantallen door je eigen getallen.
Berekenen met Python
from math import factorial, perm
n = 8 # aantal elementen
r = 3 # aantal in de cirkel (bij kiezen uit n)
# circulaire permutaties: alle n elementen in een cirkel
circular = factorial(n - 1)
# circulaire permutaties: r van n elementen in een cirkel
circular_select = perm(n, r) // r
# kettingen: omdraaien telt als hetzelfde
# bij n = 1 of 2 verandert omdraaien niets aan de opstelling, dus is het 1 manier zonder te delen door 2
necklace = 1 if n <= 2 else factorial(n - 1) // 2
# circulaire permutaties met 2 bepaalde elementen naast elkaar / uit elkaar (voor n van 3 of meer)
adjacent = 2 * factorial(n - 2)
not_adjacent = factorial(n - 1) - adjacent
print(f"Circulaire permutaties: {circular}")
print(f"Circulaire permutaties van {r} uit {n}: {circular_select}")
print(f"Kettingen: {necklace}")
print(f"Naast elkaar: {adjacent} Uit elkaar: {not_adjacent}")
Werkt met alleen de standaardmodule math (perm vereist Python 3.8 of hoger). Gebruik bij het delen van gehele getallen “//”, zodat het resultaat geen decimaal getal wordt. Als je dit voorbeeld uitvoert, zie je circulaire permutaties 5040, circulaire permutaties van 3 uit 8 = 112, kettingen 2520, naast elkaar 1440 en uit elkaar 3600. Pas n en r aan en voer het uit.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Circulaire permutaties \((n-1)!\) (alle \(n\) elementen in een cirkel)
N = n! ÷ n = (n−1)!
N = \frac{n!}{n} = (n-1)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
N = (n!)/n = (n-1)!
N = (n - 1)!
N := (n-1)!;
N = factorial(n-1);
N = n!/n = (n-1)!
Circulaire permutaties \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) (\(r\) van \(n\) elementen in een cirkel)
N = ₙPᵣ ÷ r
N = \frac{{}_{n}P_{r}}{r}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mmultiscripts><mi>P</mi><mi>r</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts></mrow>
<mi>r</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
N = (nPr)/r
N = (n!/(n - r)!)/r
N := numbperm(n, r)/r;
N = nchoosek(n,r)*factorial(r)/r;
N = nPr/r
Kettingen \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) (omdraaien telt als hetzelfde)
M = (n−1)! ÷ 2
M = \frac{(n-1)!}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>M</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
M = ((n-1)!)/2
M = (n - 1)!/2
M := (n-1)!/2;
M = factorial(n-1)/2;
M = (n-1)!/2
Circulaire permutaties met 2 bepaalde elementen naast elkaar, \(2 \times (n-2)!\)
A = 2 × (n−2)!
A = 2 \times (n-2)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
A = 2 * (n-2)!
A = 2 (n - 2)!
A := 2*(n-2)!;
A = 2*factorial(n-2);
A = 2(n-2)!
Circulaire permutaties met 2 bepaalde elementen niet naast elkaar, \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
B = (n−1)! − 2 × (n−2)!
B = (n-1)! - 2 \times (n-2)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>B</mi>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
<mo>−</mo>
<mn>2</mn>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
B = (n-1)! - 2 * (n-2)!
B = (n - 1)! - 2 (n - 2)!
B := (n-1)! - 2*(n-2)!;
B = factorial(n-1) - 2*factorial(n-2);
B = (n-1)! - 2(n-2)!
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor wiskunde (telproblemen). Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord uit het hoofd of op gevoel). 8 personen zitten aan een ronde tafel. Bepaal de volgende 4 dingen: 1. De circulaire permutaties van alle 8 personen (zitopstellingen die door draaien samenvallen tellen als dezelfde 1 manier) 2. Het aantal manieren om 3 van de 8 personen te kiezen en aan een ronde tafel voor 3 te zetten 3. De kettingen van 8 kralen aan een ring (opstellingen die door draaien of omdraaien samenvallen tellen als 1 manier) 4. Aan de ronde tafel van 8 het aantal zitopstellingen waarbij 2 bepaalde personen naast elkaar zitten, en waarbij ze dat niet doen Reken in Python exact met de standaardmodule math (factorial en perm) en toon de formules die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering. Leg ook uit waarom elke formule die vorm heeft.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Permutaties en combinaties berekenen (nPr, nCr)
Bereken de permutaties nPr voor het ordenen in een rij en de combinaties nCr voor kiezen zonder volgorde
Permutaties en combinaties met herhaling berekenen (nΠr, nHr, anagrammen)
Tel de manieren als hetzelfde element steeds opnieuw gekozen mag worden, en permutaties met gelijke elementen
