Kies het soort punt en de dimensie en vul dan de coördinaten van de twee punten A en B en de verhouding m:n in. De formule hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt de coördinaten of de verhouding ook direct in de formule aanpassen.
Je kunt decimale getallen, negatieve getallen en breuken als 3/4 gebruiken. Een leeg veld voor een coördinaat telt als 0 en een leeg getal van de verhouding telt als 1. De verhouding m:n staat in de volgorde “m vanaf A, daarna n vanaf dat punt tot B”.
Resultaat en figuur
Vul links de coördinaten van de twee punten en de verhouding in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een figuur verschijnen hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul de coördinaten van twee punten \(\mathrm{A}\) en \(\mathrm{B}\) en een verhouding \(m:n\) in en je ziet meteen de coördinaten van het punt dat lijnstuk \(\mathrm{AB}\) inwendig of uitwendig verdeelt in de verhouding \(m:n\)
- Het midden (de inwendige verdeling in de verhouding \(1:1\)) en het zwaartepunt van een driehoek (het gemiddelde van de coördinaten van de drie hoekpunten) bereken je op dezelfde pagina
- Werkt op de getallenlijn (1D), in het assenstelsel (2D) en in de ruimte (3D)
- Het antwoord staat zowel als exacte breuk in de eenvoudigste vorm, zoals \(\dfrac{13}{2}\), als als decimaal getal. Je ziet ook de stappen met de getallen in de formule ingevuld
- Een figuur laat zien waar het punt op het lijnstuk ligt (binnen het lijnstuk, of buiten het lijnstuk aan welke kant). Coördinaten en verhoudingen mogen decimale getallen, negatieve getallen of breuken als 3/4 zijn
- Op deze pagina vind je ook uitleg over het “kruislings verwisselen” in de formule (waarom \(m\) en \(n\) van plaats lijken te wisselen) en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python
Vul de verhouding \(m:n\) in op deze volgorde - \(m\) geteld vanaf \(\mathrm{A}\), daarna \(n\) vanaf dat punt tot \(\mathrm{B}\). Wissel je de volgorde om, dan krijg je een ander punt.
Waarvoor is deze berekening handig?
Soepel bewegen tussen twee punten in animatie en games (computergraphics en video)
Als een personage of een camera van punt A naar punt B beweegt, bepaalt de computer de positie in elk beeldje als “het punt dat lijnstuk AB inwendig verdeelt in de verhouding \(t : \left(1-t\right)\)” (waarbij \(t\) een getal tussen \(0\) en \(1\) is). Dit heet lineaire interpolatie (lerp), de meest basale berekening in computergraphics.
Laat t beetje bij beetje van 0 naar 1 oplopen en het object beweegt met een constante snelheid van A naar B; verander hoe snel t oploopt en je krijgt een natuurlijke beweging die rustig begint en rustig stopt. Kleuren mengen, afbeeldingen vergroten of verkleinen en morphen tussen twee gezichten gebruiken allemaal dezelfde inwendige verdeling op kleuren of coördinaten.
In evenwicht brengen van een wip of een balans (natuurkunde en zwaartepunt)
Hang een gewicht van 1 kg en een gewicht van 2 kg aan de twee uiteinden van een stok van 1 m (neem aan dat het gewicht van de stok zelf zo klein is dat je het kunt negeren). Waar moet het steunpunt komen om in evenwicht te zijn? Dat is precies een berekening met een inwendige verdeling. Het antwoord is \(\dfrac{2}{3}\) m vanaf het uiteinde met 1 kg: het zwaartepunt is een gemiddelde gewogen met de gewichten en schuift op naar het zwaardere uiteinde. Als formule, met massa \(m_1\) op plaats \(x_1\) en massa \(m_2\) op plaats \(x_2\), is het zwaartepunt \(\dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\), dezelfde vorm als de formule voor inwendig verdelen.
Hier lijkt het niet alsof “de coördinaat van het lichtere uiteinde met de grotere massa wordt vermenigvuldigd”, omdat de massa’s zelf de gewichten zijn. Bij inwendig verdelen, waar je met de verhouding van lengtes werkt, is het gewicht “de lengte van het deel aan de overkant”. Hetzelfde idee wordt gebruikt om het zwaartepunt van driehoeken, platen, auto’s en vliegtuigen te vinden.
Gemiddelde cijfers van klassen combineren, gewogen naar het aantal leerlingen (statistiek en gewogen gemiddelde)
Heeft een klas van 30 leerlingen gemiddeld een 5 en een klas van 15 leerlingen gemiddeld een 8, dan is het gemiddelde van de twee klassen samen geen 6,5 maar \(\dfrac{30 \times 5 + 15 \times 8}{30 + 15} = 6\). Zie 5 en 8 als twee punten \(\mathrm{A}\) en \(\mathrm{B}\) op de getallenlijn: het antwoord verdeelt lijnstuk \(\mathrm{AB}\) inwendig in de verhouding \(15:30\), de verhouding van de aantallen leerlingen \(30:15\) omgedraaid. Het antwoord schuift op naar 5, de kant met meer leerlingen, omdat het aantal leerlingen aan de andere kant het gewicht is. Het is precies hetzelfde verwisselen als het kruislings verwisselen op deze pagina.
Prijsindexen, slaggemiddelden in honkbal, algemene beoordelingen in enquêtes en de gemiddelde aankoopprijs per aandeel bij beleggen zijn allemaal gemiddelden waarin groepen van verschillende grootte worden gecombineerd, en ze hebben allemaal deze vorm. Zo voorkom je de fout om gewoon op te tellen en door 2 te delen, waardoor de kleinere groep te veel gewicht krijgt.
De plaats van piketpalen tussen twee punten bepalen bij landmeten en civiele techniek (bouw)
Bij de aanleg van wegen en bouwterreinen gebruiken werknemers de coördinaten van twee ingemeten punten om “de plaats op een bepaald deel van de weg ertussen” te vinden en daar een paal te slaan. De punten die een stuk van 100 m in vier gelijke delen splitsen, op 25, 50 en 75 m, zijn de inwendige verdelingspunten voor de verhoudingen 1:3, 1:1 en 3:1.
Met 3D-coördinaten, waarin ook de hoogte zit, vind je met dezelfde formule punten halverwege een helling. Zelfs bij een tunnel die vanaf twee kanten wordt gegraven en precies in het midden moet samenkomen, houden veel coördinatenberekeningen als deze het werk nauwkeurig.
Een punt onderweg of een plek halverwege om af te spreken vinden in kaart-apps (geografische informatie)
Zie je de breedte- en lengtegraad van twee plaatsen als coördinaten, dan geeft de formule voor het midden een plek ongeveer halverwege. Dat wordt gebruikt door functies die afspreekplekken voorstellen en om een lange route in gelijke stukken te splitsen om onderweg de hoogte of het weer te controleren.
Over lange afstanden heb je berekeningen nodig die rekening houden met de bolvorm van de aarde, maar binnen een stad maakt het in de praktijk bijna geen verschil als je de coördinaten als plat behandelt en inwendig verdeelt.
Formules en figuren
Inwendig verdelingspunt (het punt dat een lijnstuk inwendig verdeelt in de verhouding \(m:n\))
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(x\)
\(=\)
\((\)
\(n\)
\(\times\)
\(x_1\)
\(+\)
\(m\)
\(\times\)
\(x_2\)
\()\)
\(\div\)
\(m+n\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
⑥
\(x\): x-coördinaat van het punt \(\mathrm{P}\)
\(=\)
\((\)
①
\(n\): verhoudingsgetal van het punt tot \(\mathrm{B}\)
\(\times\)
②
\(x_1\): x-coördinaat van \(\mathrm{A}\)
\(+\)
③
\(m\): verhoudingsgetal van \(\mathrm{A}\) tot het punt
\(\times\)
④
\(x_2\): x-coördinaat van \(\mathrm{B}\)
\()\)
\(\div\)
⑤
\(m+n\): som van de verhoudingsgetallen
De formule in woorden
①
Noem \(\mathrm{P}\) het punt dat lijnstuk \(\mathrm{AB}\) inwendig verdeelt in de verhouding \(m:n\). Neem het
\(n\): verhoudingsgetal van het punt tot \(\mathrm{B}\)
②
en vermenigvuldig het met de
\(x_1\): x-coördinaat van punt \(\mathrm{A}\)
③
Neem het
\(m\): verhoudingsgetal van \(\mathrm{A}\) tot het punt
④
en vermenigvuldig het met de
\(x_2\): x-coördinaat van punt \(\mathrm{B}\)
(tel daarna de twee producten op)
⑤
Deel de som door de
\(m+n\): som van de verhoudingsgetallen
⑥
en je krijgt de
x-coördinaat van het punt \(\mathrm{P}\)
(de \(y\)- en \(z\)-coördinaat vind je met precies dezelfde formule)
Een eenvoudig voorbeeld
De \(x\)-coördinaat van het punt \(\mathrm{P}\) dat \(\mathrm{A}(1;\ 2)\) en \(\mathrm{B}(7;\ 5)\) inwendig verdeelt in de verhouding \(2:1\) is
x-coördinaat van \(\mathrm{P}\)
\(=\)
\((\)
verhoudingsgetal aan de kant van \(\mathrm{B}\) (1)
\(\times\)
x-coördinaat van \(\mathrm{A}\) (1)
\(+\)
verhoudingsgetal aan de kant van \(\mathrm{A}\) (2)
\(\times\)
x-coördinaat van \(\mathrm{B}\) (7)
\()\)
\(\div\)
som van de verhoudingsgetallen (3)
\(x = \dfrac{1 \times 1 + 2 \times 7}{2 + 1} = \dfrac{15}{3} = 5\)
\(y = \dfrac{1 \times 2 + 2 \times 5}{2 + 1} = \dfrac{12}{3} = 4 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{P}(5;\ 4)\)
Het belangrijkste idee
We verdelen in de verhouding \(m:n\), dus waarom wordt \(m\) vermenigvuldigd met \(x_2\) (de coördinaat van punt B) en \(n\) met \(x_1\) (de coördinaat van punt A)? Dit verwisselen, “kruislings”, is de belangrijkste reden dat de formule moeilijk te onthouden is. Als je de redenering volgt, zie je dat het verwisselen een natuurlijk gevolg is.
Het punt \(\mathrm{P}\) ligt op \(\dfrac{m}{m+n}\) van de weg van \(\mathrm{A}\) naar \(\mathrm{B}\). \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\) zegt dat het hele lijnstuk \(\mathrm{AB}\) in \(m + n\) gelijke delen is verdeeld, waarvan er \(m\) aan de kant van \(\mathrm{A}\) liggen. Begin dus bij de coördinaat van \(\mathrm{A}\) en ga \(\dfrac{m}{m+n}\) van de toename van \(\mathrm{A}\) naar \(\mathrm{B}\), \(x_2 - x_1\), verder. Vereenvoudig je dit, dan krijg je
\(x = x_1 + \dfrac{m}{m+n}\left(x_2 - x_1\right) = \dfrac{\left(m+n\right)x_1 + m x_2 - m x_1}{m+n} = \dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\)
en aan de kant van \(x_1\) blijft alleen \(n\) over.
Om het via de betekenis te onthouden: “het getal van de overkant is het gewicht”. Ligt \(\mathrm{P}\) dicht bij \(\mathrm{A}\), dan is het \(m\) aan de kant van \(\mathrm{A}\) klein en het \(n\) aan de kant van \(\mathrm{B}\) groot. Het antwoord moet dicht bij de coördinaat van \(\mathrm{A}\) liggen, dus is het logisch dat het grotere getal (\(n\)) met \(x_1\) wordt vermenigvuldigd. Het is hetzelfde als bij een balans, waar het evenwichtspunt naar het zwaardere gewicht opschuift.
Verwissel je \(m:n\) en \(n:m\), dan krijg je een heel ander punt. Schrijf de verhouding altijd op in de volgorde “\(m\) geteld vanaf \(\mathrm{A}\), daarna \(n\) vanaf dat punt tot \(\mathrm{B}\)” en je maakt minder snel een fout.
Uitwendig verdelingspunt (het punt dat een lijnstuk uitwendig verdeelt in de verhouding \(m:n\))
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(x\)
\(=\)
\((\)
\(-n\)
\(\times\)
\(x_1\)
\(+\)
\(m\)
\(\times\)
\(x_2\)
\()\)
\(\div\)
\(m-n\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
⑥
\(x\): x-coördinaat van het punt \(\mathrm{Q}\)
\(=\)
\((\)
①
\(-n\): verhoudingsgetal van het punt tot \(\mathrm{B}\), met omgekeerd teken
\(\times\)
②
\(x_1\): x-coördinaat van \(\mathrm{A}\)
\(+\)
③
\(m\): verhoudingsgetal van \(\mathrm{A}\) tot het punt
\(\times\)
④
\(x_2\): x-coördinaat van \(\mathrm{B}\)
\()\)
\(\div\)
⑤
\(m-n\): verschil van de verhoudingsgetallen
De formule in woorden
①
Noem \(\mathrm{Q}\) het punt dat lijnstuk \(\mathrm{AB}\) uitwendig verdeelt in de verhouding \(m:n\). Neem het
\(-n\): verhoudingsgetal \(n\) met omgekeerd teken
②
en vermenigvuldig het met de
\(x_1\): x-coördinaat van punt \(\mathrm{A}\)
③
Neem het
\(m\): verhoudingsgetal van \(\mathrm{A}\) tot het punt
④
en vermenigvuldig het met de
\(x_2\): x-coördinaat van punt \(\mathrm{B}\)
(tel daarna de twee producten op)
⑤
Deel de som door het
\(m-n\): verschil van de verhoudingsgetallen
⑥
en je krijgt de
x-coördinaat van het punt \(\mathrm{Q}\)
(zijn \(m\) en \(n\) gelijk, dan is het verschil \(0\) en bestaat er geen uitwendig verdelingspunt)
Een eenvoudig voorbeeld
De \(x\)-coördinaat van het punt \(\mathrm{Q}\) dat \(\mathrm{A}(1;\ 2)\) en \(\mathrm{B}(7;\ 5)\) uitwendig verdeelt in de verhouding \(3:1\) is
x-coördinaat van \(\mathrm{Q}\)
\(=\)
\((\)
verhoudingsgetal aan de kant van \(\mathrm{B}\), teken omgekeerd (−1)
\(\times\)
x-coördinaat van \(\mathrm{A}\) (1)
\(+\)
verhoudingsgetal aan de kant van \(\mathrm{A}\) (3)
\(\times\)
x-coördinaat van \(\mathrm{B}\) (7)
\()\)
\(\div\)
verschil van de verhoudingsgetallen (2)
\(x = \dfrac{-1 \times 1 + 3 \times 7}{3 - 1} = \dfrac{20}{2} = 10\)
\(y = \dfrac{-1 \times 2 + 3 \times 5}{3 - 1} = \dfrac{13}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Q}\left(10;\ \dfrac{13}{2}\right)\)
Het belangrijkste idee
Het uitwendig verdelingspunt \(\mathrm{Q}\) ligt buiten lijnstuk \(\mathrm{AB}\), en toch is \(\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n\). Zie inwendig verdelen als verdelen binnen het lijnstuk en uitwendig verdelen als verdelen op de verlenging van het lijnstuk.
De formule lijkt precies op die voor inwendig verdelen, met \(n\) vervangen door \(-n\). Waarom mag dat minteken? Denk aan richting én lengte. Bij inwendig verdelen lopen de weg van \(\mathrm{A}\) naar \(\mathrm{P}\) en de weg van \(\mathrm{P}\) naar \(\mathrm{B}\) in dezelfde richting. Bij uitwendig verdelen lopen de weg van \(\mathrm{A}\) naar \(\mathrm{Q}\) en de weg van \(\mathrm{Q}\) naar \(\mathrm{B}\) altijd in tegengestelde richting (\(\mathrm{Q}\) ligt buiten het lijnstuk, dus je moet vanaf \(\mathrm{Q}\) terug om bij \(\mathrm{B}\) te komen). De lengtes staan nog steeds in de verhouding \(m:n\), maar met de richting erbij wordt de verhouding \(m : \left(-n\right)\). Vul je \(m : \left(-n\right)\) in in de formule voor inwendig verdelen, dan krijg je
\(\dfrac{\left(-n\right)x_1 + m x_2}{m + \left(-n\right)} = \dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n}\)
en dat is precies de formule voor uitwendig verdelen. Onthoud “uitwendig verdelen is inwendig verdelen met een minteken voor het tweede getal” en je hoeft niet twee formules te leren.
Aan welke kant het punt terechtkomt, hangt af van welke van \(m\) en \(n\) groter is. Is \(m > n\), dan ligt het voorbij \(\mathrm{B}\); is \(m < n\), dan ligt het vóór \(\mathrm{A}\) (aan de kant van \(\mathrm{A}\) die van \(\mathrm{B}\) af wijst). \(\mathrm{Q}\) ligt altijd aan de kant van het punt, \(\mathrm{A}\) of \(\mathrm{B}\), met het kleinere verhoudingsgetal.
Alleen als \(m = n\) bestaat er geen uitwendig verdelingspunt. In de formule wordt de noemer \(m - n\) dan \(0\). In de figuur ligt er op lijn \(\mathrm{AB}\) geen punt dat buiten het lijnstuk ligt en ook even ver van \(\mathrm{A}\) als van \(\mathrm{B}\).
Midden van een lijnstuk (inwendige verdeling in de verhouding \(1:1\))
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(x\)
\(=\)
\((\)
\(x_1\)
\(+\)
\(x_2\)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(x\): x-coördinaat van het midden \(\mathrm{M}\)
\(=\)
\((\)
①
\(x_1\): x-coördinaat van \(\mathrm{A}\)
\(+\)
②
\(x_2\): x-coördinaat van \(\mathrm{B}\)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
De formule in woorden
①
Tel de
\(x_1\): x-coördinaat van punt \(\mathrm{A}\)
②
en de
\(x_2\): x-coördinaat van punt \(\mathrm{B}\)
bij elkaar op en deel door 2
③
en je krijgt de
x-coördinaat van het midden \(\mathrm{M}\)
(precies het gemiddelde van de twee coördinaten)
Een eenvoudig voorbeeld
De \(x\)-coördinaat van het midden \(\mathrm{M}\) van \(\mathrm{A}(1;\ 2)\) en \(\mathrm{B}(7;\ 5)\) is
x-coördinaat van \(\mathrm{M}\)
\(=\)
\((\)
x-coördinaat van \(\mathrm{A}\) (1)
\(+\)
x-coördinaat van \(\mathrm{B}\) (7)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
\(x = \dfrac{1 + 7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\)
\(y = \dfrac{2 + 5}{2} = \dfrac{7}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{M}\left(4;\ \dfrac{7}{2}\right)\)
Het belangrijkste idee
Het midden is de inwendige verdeling in de verhouding \(1:1\). Vul je \(m = 1\) en \(n = 1\) in in de formule voor inwendig verdelen, dan krijg je
\(x = \dfrac{1 \times x_1 + 1 \times x_2}{1 + 1} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\)
en het kruislings verwisselen verdwijnt. Beide coördinaten worden met dezelfde \(1\) vermenigvuldigd, dus het maakt niet uit welke bij welke hoort. Daarom voelt de formule voor inwendig verdelen plotseling moeilijk als je de formule voor het midden gewend bent: je begon bij dit bijzondere geval, waarin het verwisselen verborgen blijft.
Het enige wat je doet, is het gemiddelde van twee coördinaten nemen. Zie het als dezelfde berekening als het gemiddelde van twee toetscijfers, apart gedaan voor de \(x\)-coördinaten en de \(y\)-coördinaten, en je raakt niet de weg kwijt.
Zwaartepunt van een driehoek
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(x\)
\(=\)
\((\)
\(x_1\)
\(+\)
\(x_2\)
\(+\)
\(x_3\)
\()\)
\(\div\)
\(3\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
\(x\): x-coördinaat van het zwaartepunt \(\mathrm{G}\)
\(=\)
\((\)
①
\(x_1\): x-coördinaat van hoekpunt \(\mathrm{A}\)
\(+\)
②
\(x_2\): x-coördinaat van hoekpunt \(\mathrm{B}\)
\(+\)
③
\(x_3\): x-coördinaat van hoekpunt \(\mathrm{C}\)
\()\)
\(\div\)
\(3\)
De formule in woorden
①
Tel bij driehoek \(\mathrm{ABC}\) de
\(x_1\): x-coördinaat van hoekpunt \(\mathrm{A}\)
②
de
\(x_2\): x-coördinaat van hoekpunt \(\mathrm{B}\)
③
en de
\(x_3\): x-coördinaat van hoekpunt \(\mathrm{C}\)
bij elkaar op en deel door 3
④
en je krijgt de
x-coördinaat van het zwaartepunt \(\mathrm{G}\)
(het gemiddelde van de coördinaten van de drie hoekpunten)
Een eenvoudig voorbeeld
De \(x\)-coördinaat van het zwaartepunt \(\mathrm{G}\) van de driehoek met hoekpunten \(\mathrm{A}(1;\ 2)\), \(\mathrm{B}(7;\ 5)\) en \(\mathrm{C}(4;\ 8)\) is
x-coördinaat van \(\mathrm{G}\)
\(=\)
\((\)
x-coördinaat van \(\mathrm{A}\) (1)
\(+\)
x-coördinaat van \(\mathrm{B}\) (7)
\(+\)
x-coördinaat van \(\mathrm{C}\) (4)
\()\)
\(\div\)
\(3\)
\(x = \dfrac{1 + 7 + 4}{3} = \dfrac{12}{3} = 4\)
\(y = \dfrac{2 + 5 + 8}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{G}(4;\ 5)\)
Het belangrijkste idee
Het zwaartepunt \(\mathrm{G}\) is het punt waar de drie zwaartelijnen (de lijnstukken van elk hoekpunt naar het midden van de overstaande zijde) elkaar snijden. Een platte driehoekige plaat blijft horizontaal in evenwicht als je hem in dit ene punt ondersteunt, en daarom heet het zwaartepunt.
Met de formule voor inwendig verdelen kun je nagaan waarom het gemiddelde van de coördinaten werkt. De \(x\)-coördinaat van het midden \(\mathrm{M}\) van zijde \(\mathrm{BC}\) is \(\dfrac{x_2 + x_3}{2}\). Het zwaartepunt verdeelt de zwaartelijn \(\mathrm{AM}\) inwendig in de verhouding \(2:1\), gerekend vanaf het hoekpunt, dus met \(m = 2\) en \(n = 1\) in de formule voor inwendig verdelen krijg je
\(x = \dfrac{1 \times x_1 + 2 \times \dfrac{x_2 + x_3}{2}}{2 + 1} = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\)
en dat is het gemiddelde van de drie coördinaten.
Deze \(2:1\) is de belangrijkste eigenschap van het zwaartepunt: \(\mathrm{AG}\) is precies twee keer zo lang als \(\mathrm{GM}\). De verhouding is bij elke zwaartelijn hetzelfde, dus het helpt bij meetkundeopgaven om te onthouden dat “het zwaartepunt elke zwaartelijn vanaf het hoekpunt verdeelt in de verhouding 2:1”.
Het punt dat lijnstuk \(\mathrm{AB}\) verdeelt in de verhouding \(m:n\) is \(\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n};\ \dfrac{n y_1 + m y_2}{m+n}\right)\) bij inwendig verdelen en \(\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m-n};\ \dfrac{-n y_1 + m y_2}{m-n}\right)\), met \(n\) vervangen door \(-n\), bij uitwendig verdelen. De coördinaat van punt \(\mathrm{A}\) wordt vermenigvuldigd met \(n\), het getal van de kant ver van \(\mathrm{A}\), zodat het punt dichter bij \(\mathrm{A}\) komt naarmate \(n\) groter is (het verdelingspunt schuift op naar het uiteinde met het kleinere verhoudingsgetal). Het midden is de inwendige verdeling in de verhouding \(1:1\) en het zwaartepunt van een driehoek is het gemiddelde van de coördinaten van de drie hoekpunten. Ze hangen allemaal samen via hetzelfde idee: een gewogen gemiddelde.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}\) | A, B, C | Namen voor punten. In de meetkunde noem je punten met hoofdletters, meestal in de volgorde A, B, C. Op deze pagina zijn de uiteinden van het lijnstuk \(\mathrm{A}\) en \(\mathrm{B}\) en is het derde hoekpunt van de driehoek \(\mathrm{C}\). |
| \(x_1,\ y_1\) | iks een, ypsilon een | De coördinaten van punt \(\mathrm{A}\). Het kleine getal rechtsonder (de index) is een nummer dat aangeeft om welk punt het gaat en geen getal dat in de berekening wordt gebruikt. Zo zijn \(x_2,\ y_2\) de coördinaten van punt \(\mathrm{B}\) en \(x_3,\ y_3\) die van punt \(\mathrm{C}\). |
| \(m:n\) | m staat tot n | De verhouding waarin het lijnstuk wordt verdeeld. \(m\) is het aandeel voor het deel van \(\mathrm{A}\) tot het verdelingspunt en \(n\) het aandeel voor het deel van het verdelingspunt tot \(\mathrm{B}\). \(m\) en \(n\) zijn gewoon letters die vaak voor verhoudingen worden gebruikt. Wissel je de volgorde om, dan krijg je een ander punt. |
| \(\mathrm{P}\) | P | Een naam die vaak aan het punt van de inwendige verdeling wordt gegeven, naar de eerste letter van “punt”. |
| \(\mathrm{Q}\) | Q | Een naam die vaak aan het punt van de uitwendige verdeling wordt gegeven. Volgens de gewoonte is het de letter na \(\mathrm{P}\). |
| \(\mathrm{M}\) | M | Een naam die vaak aan het midden van een lijnstuk wordt gegeven, naar de eerste letter van “midden”. |
| \(\mathrm{G}\) | G | Een naam die vaak aan het zwaartepunt wordt gegeven. Hij komt van de G in “gravity” (zwaartekracht). |
| \(\mathrm{AB}\) | lijnstuk AB | Het lijnstuk tussen punt \(\mathrm{A}\) en punt \(\mathrm{B}\): het deel van een rechte lijn tussen twee vaste uiteinden. Op deze pagina schrijf je ook de lengte ervan als \(\mathrm{AB}\). |
| \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB}\) | AP staat tot PB | De verhouding van de lengte van lijnstuk \(\mathrm{AP}\) tot de lengte van lijnstuk \(\mathrm{PB}\). Het punt \(\mathrm{P}\) met \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\) is het punt dat lijnstuk \(\mathrm{AB}\) inwendig verdeelt in de verhouding \(m:n\). |
Begrippen
| lijnstuk | Het deel van een rechte lijn tussen twee punten. Een deel met twee uiteinden is een lijnstuk, een deel dat aan één kant eindeloos doorloopt is een halve lijn en een lijn die aan beide kanten eindeloos doorloopt is een rechte lijn. |
| inwendige verdeling | Een lijnstuk verdelen met een punt binnen het lijnstuk in een gegeven verhouding. Het punt \(\mathrm{P}\) dat lijnstuk \(\mathrm{AB}\) inwendig verdeelt in de verhouding \(m:n\) is het punt op lijnstuk \(\mathrm{AB}\) met \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\). |
| uitwendige verdeling | Een lijnstuk verdelen met een punt op de verlenging, buiten het lijnstuk, zodat \(\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n\). Het punt ligt aan de kant van het uiteinde met het kleinere verhoudingsgetal (voorbij \(\mathrm{B}\) als \(m > n\), vóór \(\mathrm{A}\) als \(m < n\)). Zo’n punt bestaat niet als \(m\) en \(n\) gelijk zijn. |
| verdelingspunt | Een algemene naam voor een punt dat een lijnstuk verdeelt in een gegeven verhouding, zowel bij inwendig als bij uitwendig verdelen. |
| midden | Het punt in het midden van een lijnstuk, even ver van beide uiteinden. Het is de inwendige verdeling in de verhouding \(1:1\). |
| zwaartepunt | Het ene punt waar de drie zwaartelijnen van een driehoek elkaar snijden. Een driehoekige plaat blijft horizontaal in evenwicht als je hem hier ondersteunt (zijn zwaartepunt), en de coördinaten ervan zijn het gemiddelde van de coördinaten van de drie hoekpunten. |
| zwaartelijn | Het lijnstuk van een hoekpunt van een driehoek naar het midden van de overstaande zijde. De drie zwaartelijnen snijden elkaar altijd in één punt (het zwaartepunt), dat elke zwaartelijn vanaf het hoekpunt inwendig verdeelt in de verhouding \(2:1\). |
| verhouding | Een manier om twee hoeveelheden te vergelijken, naast elkaar opgeschreven zoals “\(2:1\)”. \(2:1\) en \(4:2\) zijn dezelfde verhouding. Op deze pagina vergelijkt ze de lengtes van de twee delen van een verdeeld lijnstuk. |
| coördinaten | Getallen die de plaats van een punt aangeven: één getal op de getallenlijn, twee \((x;\ y)\) in het vlak en drie \((x;\ y;\ z)\) in de ruimte. |
| getallenlijn | Een rechte lijn met een schaalverdeling, zodat elk getal bij precies één punt hoort. Het is de eenvoudigste soort coördinaat, waarbij één getal een plaats aangeeft. |
| assenstelsel | Een vlak met een horizontale \(x\)-as en een verticale \(y\)-as, zodat elk punt erin met twee getallen \((x;\ y)\) kan worden aangegeven. |
| gewogen gemiddelde | Een gemiddelde waarbij elk getal een “gewicht” krijgt. De coördinaat van de inwendige verdeling \(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\) is precies het gewogen gemiddelde van \(x_1\) met gewicht \(n\) en \(x_2\) met gewicht \(m\). Een gewoon gemiddelde is het bijzondere geval waarin alle gewichten gelijk zijn. |
| index | Een klein getal rechtsonder bij een letter, zoals bij \(x_1\) en \(x_2\). Het is een nummer om hoeveelheden van dezelfde soort uit elkaar te houden; het is geen factor en geen exponent. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je de berekening op deze pagina echt te begrijpen en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan is het het snelst om deze onderwerpen eerst te herhalen.
| De getallenlijn en coördinaten (groep 6-8 en klas 1, 9-13 jaar) |
|
| Verhoudingen en breuken (groep 7-8 en klas 1, 10-13 jaar) |
|
| Rekenen met positieve en negatieve getallen (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Rekenen met breuken (groep 6-8, 9-12 jaar) |
|
| Formules met letters en invullen (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Gemiddelde (groep 7, 10-11 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om het punt van de inwendige verdeling te vinden
| x-coördinaat van punt A, x1 | 1 |
| y-coördinaat van punt A, y1 | 2 |
| x-coördinaat van punt B, x2 | 7 |
| y-coördinaat van punt B, y2 | 5 |
| Verhoudingsgetal m (van A tot het punt) | 2 |
| Verhoudingsgetal n (van het punt tot B) | 1 |
| x-coördinaat van P (inwendig) | =(B6*B1+B5*B3)/(B5+B6) |
| y-coördinaat van P (inwendig) | =(B6*B2+B5*B4)/(B5+B6) |
Tabel om het punt van de uitwendige verdeling te vinden
| x-coördinaat van punt A, x1 | 1 |
| y-coördinaat van punt A, y1 | 2 |
| x-coördinaat van punt B, x2 | 7 |
| y-coördinaat van punt B, y2 | 5 |
| Verhoudingsgetal m (van A tot het punt) | 3 |
| Verhoudingsgetal n (van het punt tot B) | 1 |
| x-coördinaat van Q (uitwendig) | =(-B6*B1+B5*B3)/(B5-B6) |
| y-coördinaat van Q (uitwendig) | =(-B6*B2+B5*B4)/(B5-B6) |
Tabel om het midden te vinden
| x-coördinaat van punt A, x1 | 1 |
| y-coördinaat van punt A, y1 | 2 |
| x-coördinaat van punt B, x2 | 7 |
| y-coördinaat van punt B, y2 | 5 |
| x-coördinaat van het midden M | =(B1+B3)/2 |
| y-coördinaat van het midden M | =(B2+B4)/2 |
Tabel om het zwaartepunt van een driehoek te vinden
| x-coördinaat van hoekpunt A, x1 | 1 |
| y-coördinaat van hoekpunt A, y1 | 2 |
| x-coördinaat van hoekpunt B, x2 | 7 |
| y-coördinaat van hoekpunt B, y2 | 5 |
| x-coördinaat van hoekpunt C, x3 | 4 |
| y-coördinaat van hoekpunt C, y3 | 8 |
| x-coördinaat van het zwaartepunt G | =(B1+B3+B5)/3 |
| y-coördinaat van het zwaartepunt G | =(B2+B4+B6)/3 |
Na het plakken zijn de bovenste rijen (de coördinaten en de verhouding) je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend. “*” is vermenigvuldigen en “/” is delen.
De eerste tabel verdeelt A(1; 2) en B(7; 5) inwendig in de verhouding 2:1 en geeft P(5; 4). De formule voor de x-coördinaat, “=(B6*B1+B5*B3)/(B5+B6)”, lijkt op het eerste gezicht niet te kloppen, omdat B1 (de x-coördinaat van A) met B6 (het verhoudingsgetal n) wordt vermenigvuldigd en B3 (de x-coördinaat van B) met B5 (het verhoudingsgetal m). Dit is het kruislings verwisselen, en wissel je ze terug, dan verandert het antwoord.
De tweede tabel verdeelt dezelfde twee punten uitwendig in de verhouding 3:1 en geeft Q(10; 6,5). De enige verschillen met de eerste tabel zijn het minteken voor B6 en de aftrekking in plaats van de optelling in de noemer. Vul je voor m en n dezelfde waarde in, dan wordt de noemer 0 en verschijnt een foutmelding (#DEEL/0!); dat laat zien dat er geen uitwendig verdelingspunt bestaat.
De derde tabel geeft het midden M(4; 3,5). De vierde tabel geeft het zwaartepunt G(4; 5) van de driehoek met hoekpunten A(1; 2), B(7; 5) en C(4; 8).
De eerste tabel verdeelt A(1; 2) en B(7; 5) inwendig in de verhouding 2:1 en geeft P(5; 4). De formule voor de x-coördinaat, “=(B6*B1+B5*B3)/(B5+B6)”, lijkt op het eerste gezicht niet te kloppen, omdat B1 (de x-coördinaat van A) met B6 (het verhoudingsgetal n) wordt vermenigvuldigd en B3 (de x-coördinaat van B) met B5 (het verhoudingsgetal m). Dit is het kruislings verwisselen, en wissel je ze terug, dan verandert het antwoord.
De tweede tabel verdeelt dezelfde twee punten uitwendig in de verhouding 3:1 en geeft Q(10; 6,5). De enige verschillen met de eerste tabel zijn het minteken voor B6 en de aftrekking in plaats van de optelling in de noemer. Vul je voor m en n dezelfde waarde in, dan wordt de noemer 0 en verschijnt een foutmelding (#DEEL/0!); dat laat zien dat er geen uitwendig verdelingspunt bestaat.
De derde tabel geeft het midden M(4; 3,5). De vierde tabel geeft het zwaartepunt G(4; 5) van de driehoek met hoekpunten A(1; 2), B(7; 5) en C(4; 8).
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om het punt van de inwendige verdeling te vinden
| x-coördinaat van punt A, x1 | 1 |
| y-coördinaat van punt A, y1 | 2 |
| x-coördinaat van punt B, x2 | 7 |
| y-coördinaat van punt B, y2 | 5 |
| Verhoudingsgetal m (van A tot het punt) | 2 |
| Verhoudingsgetal n (van het punt tot B) | 1 |
| x-coördinaat van P (inwendig) | =(B6*B1+B5*B3)/(B5+B6) |
| y-coördinaat van P (inwendig) | =(B6*B2+B5*B4)/(B5+B6) |
Tabel om het punt van de uitwendige verdeling te vinden
| x-coördinaat van punt A, x1 | 1 |
| y-coördinaat van punt A, y1 | 2 |
| x-coördinaat van punt B, x2 | 7 |
| y-coördinaat van punt B, y2 | 5 |
| Verhoudingsgetal m (van A tot het punt) | 3 |
| Verhoudingsgetal n (van het punt tot B) | 1 |
| x-coördinaat van Q (uitwendig) | =(-B6*B1+B5*B3)/(B5-B6) |
| y-coördinaat van Q (uitwendig) | =(-B6*B2+B5*B4)/(B5-B6) |
Tabel om het midden te vinden
| x-coördinaat van punt A, x1 | 1 |
| y-coördinaat van punt A, y1 | 2 |
| x-coördinaat van punt B, x2 | 7 |
| y-coördinaat van punt B, y2 | 5 |
| x-coördinaat van het midden M | =(B1+B3)/2 |
| y-coördinaat van het midden M | =(B2+B4)/2 |
Tabel om het zwaartepunt van een driehoek te vinden
| x-coördinaat van hoekpunt A, x1 | 1 |
| y-coördinaat van hoekpunt A, y1 | 2 |
| x-coördinaat van hoekpunt B, x2 | 7 |
| y-coördinaat van hoekpunt B, y2 | 5 |
| x-coördinaat van hoekpunt C, x3 | 4 |
| y-coördinaat van hoekpunt C, y3 | 8 |
| x-coördinaat van het zwaartepunt G | =(B1+B3+B5)/3 |
| y-coördinaat van het zwaartepunt G | =(B2+B4+B6)/3 |
Dezelfde formules als in Excel werken hier ook. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de coördinaten en de verhouding door je eigen getallen.
Berekenen met Python
from fractions import Fraction
# Coördinaten van de punten (een breuk als 3/4 schrijf je als Fraction(3, 4))
point_a = (Fraction(1), Fraction(2))
point_b = (Fraction(7), Fraction(5))
point_c = (Fraction(4), Fraction(8)) # derde hoekpunt, gebruikt voor het zwaartepunt
def internal_point(a, b, m, n):
# Inwendig verdelen: vermenigvuldig met het getal van de overkant (n bij punt A, m bij punt B)
return tuple((n * p + m * q) / (m + n) for p, q in zip(a, b))
def external_point(a, b, m, n):
# Uitwendig verdelen: inwendig verdelen met n vervangen door -n (niet te berekenen als m gelijk is aan n)
return tuple((-n * p + m * q) / (m - n) for p, q in zip(a, b))
def midpoint(a, b):
# Midden: het gemiddelde van de twee coördinaten (inwendig verdelen 1:1)
return tuple((p + q) / 2 for p, q in zip(a, b))
def centroid(a, b, c):
# Zwaartepunt van een driehoek: het gemiddelde van de coördinaten van de drie hoekpunten
return tuple((p + q + r) / 3 for p, q, r in zip(a, b, c))
def show(point):
# Toon de breuken in een goed leesbare vorm zoals "(5, 4)" of "(10, 13/2)"
return "(" + ", ".join(str(v) for v in point) + ")"
print("Inwendig 2:1 :", show(internal_point(point_a, point_b, Fraction(2), Fraction(1))))
print("Uitwendig 3:1:", show(external_point(point_a, point_b, Fraction(3), Fraction(1))))
print("Midden :", show(midpoint(point_a, point_b)))
print("Zwaartepunt :", show(centroid(point_a, point_b, point_c)))
Met de module fractions uit de standaardbibliotheek reken je met exacte breuken, zonder afrondingsfouten van decimale getallen. Dit voorbeeld gebruikt A(1; 2), B(7; 5) en C(4; 8). Als je het uitvoert, zie je het punt van de inwendige verdeling (5, 4), het punt van de uitwendige verdeling (10, 13/2), het midden (4, 7/2) en het zwaartepunt (4, 5). Omdat het zip gebruikt, werkt het zonder aanpassing ook in de ruimte (3D) als je elk punt drie coördinaten geeft.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Inwendig verdelingspunt (het punt dat een lijnstuk inwendig verdeelt in de verhouding \(m:n\))
P = ((n·x₁ + m·x₂) ÷ (m + n), (n·y₁ + m·y₂) ÷ (m + n))
P\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n},\ \dfrac{n y_1 + m y_2}{m + n}\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>n</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
</mrow>
<mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
x = (n*x_1 + m*x_2)/(m + n)
{(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)}
P := [(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)];
P = [(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)];
x = (n x_1 + m x_2)/(m + n)
Uitwendig verdelingspunt (het punt dat een lijnstuk uitwendig verdeelt in de verhouding \(m:n\))
Q = ((−n·x₁ + m·x₂) ÷ (m − n), (−n·y₁ + m·y₂) ÷ (m − n))
Q\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n},\ \dfrac{-n y_1 + m y_2}{m - n}\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>−</mo><mi>n</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
</mrow>
<mrow><mi>m</mi><mo>−</mo><mi>n</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
x = (-n*x_1 + m*x_2)/(m - n)
{(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)}
Q := [(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)];
Q = [(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)];
x = (-n x_1 + m x_2)/(m - n)
Midden van een lijnstuk (inwendige verdeling in de verhouding \(1:1\))
M = ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2)
M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\ \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
x = (x_1 + x_2)/2
{(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2}
M := [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2];
M = [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2];
x = (x_1 + x_2)/2
Zwaartepunt van een driehoek
G = ((x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3, (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3)
G\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\ \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo>
<msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo>
<msub><mi>x</mi><mn>3</mn></msub>
</mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
x = (x_1 + x_2 + x_3)/3
{(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3}
G := [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3];
G = [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3];
x = (x_1 + x_2 + x_3)/3
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor coördinatenmeetkunde. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit de uitvoer (antwoord niet uit het hoofd en niet op basis van een schatting). Bepaal voor de twee punten A(1; 2) en B(7; 5) in het assenstelsel: 1. De coördinaten van het punt P dat lijnstuk AB inwendig verdeelt in de verhouding 2:1 2. De coördinaten van het punt Q dat lijnstuk AB uitwendig verdeelt in de verhouding 3:1 3. De coördinaten van het midden M van lijnstuk AB 4. De coördinaten van het zwaartepunt G van driehoek ABC, met het extra punt C(4; 8) Gebruik in Python de module fractions uit de standaardbibliotheek om exact te rekenen en geef elk antwoord zowel als breuk in de eenvoudigste vorm als als decimaal getal. Leg ook uit, door de algebra stap voor stap te volgen, waarom de coördinaat van punt A bij het inwendig verdelen met n wordt vermenigvuldigd (waarom de formule “kruislings verwisseld” is).
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Afstand tussen twee punten berekenen (afstandsformule, richtingscoëfficiënt en vergelijking van de lijn)
Bereken uit de coördinaten van twee punten de lengte (afstand) van het lijnstuk ertussen. Samen met verdelingspunten krijg je een goed beeld van het lijnstuk
Richtingscoëfficiënt berekenen (helling van een lijn, afstand en hoek)
Bereken uit twee punten de richtingscoëfficiënt, de hoek met de x-as en de vergelijking van de lijn. De verdelingspunten liggen allemaal op deze lijn
Vectoren berekenen (som, verschil, lengte, inproduct en hoek)
Inwendige en uitwendige verdelingspunten zijn ook met plaatsvectoren te schrijven. Hier staan de basisberekeningen met vectoren
