Calculadora del punto medio y de la división de un segmento en una razón (división interna y externa, baricentro)

Elige el tipo de punto y la dimensión, y escribe las coordenadas de los dos puntos A y B y la razón m:n. La fórmula de abajo está enlazada con los campos, así que también puedes cambiar las coordenadas o la razón directamente en la fórmula.

Punto que se busca

Dimensión

Coordenada x del punto A, x₁

Coordenada y del punto A, y₁

Coordenada z del punto A, z₁

Coordenada x del punto B, x₂

Coordenada y del punto B, y₂

Coordenada z del punto B, z₂

Coordenada x del punto C, x₃

Coordenada y del punto C, y₃

Coordenada z del punto C, z₃

Parte m de la razón (de A al punto)

Parte n de la razón (del punto a B)

Puedes usar decimales, números negativos y fracciones como 3/4. Una coordenada en blanco cuenta como 0 y un número de la razón en blanco cuenta como 1. La razón m:n va en el orden «m desde A y n desde ese punto hasta B».

Resultado y figura

Escribe las coordenadas de los dos puntos y la razón en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y una figura.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmulas y figuras
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Escribe las coordenadas de dos puntos \(\mathrm{A}\) y \(\mathrm{B}\) y una razón \(m:n\), y obtendrás al instante las coordenadas del punto que divide al segmento \(\mathrm{AB}\) en la razón \(m:n\), de forma interna o externa
En la misma página se puede calcular también el punto medio (división interna en la razón \(1:1\)) y el baricentro de un triángulo (la media de las coordenadas de sus tres vértices)
Sirve en la recta numérica (1D), en el plano de coordenadas (2D) y en el espacio (3D)
La respuesta se muestra tanto como fracción exacta simplificada, como \(\dfrac{13}{2}\), como en decimales. También puedes ver los pasos con los números sustituidos en la fórmula
Una figura muestra dónde está el punto en el segmento (dentro de él, o fuera y de qué lado). Las coordenadas y las razones pueden ser decimales, números negativos o fracciones como 3/4
En esta página también encontrarás la explicación del «cruce» de la fórmula (por qué parece que \(m\) y \(n\) se intercambian) y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python

Escribe la razón \(m:n\) en este orden, \(m\) contado desde \(\mathrm{A}\) y \(n\) desde ese punto hasta \(\mathrm{B}\). Si cambias el orden, obtienes un punto distinto.

¿Para qué sirve este cálculo?

Mover un objeto con suavidad entre dos puntos en animación y videojuegos (gráficos por ordenador y vídeo)

Cuando un personaje o una cámara se mueve del punto A al punto B, el ordenador halla su posición en cada fotograma como «el punto que divide al segmento AB por dentro en la razón \(t : \left(1-t\right)\)» (donde \(t\) es un número entre \(0\) y \(1\)). Esto se llama interpolación lineal (lerp) y es el cálculo más básico de los gráficos por ordenador.
Aumenta t poco a poco de 0 a 1 y el objeto se mueve de A a B a velocidad constante; cambia la rapidez con que aumenta t y obtendrás un movimiento natural que empieza despacio y termina despacio. Mezclar colores, cambiar el tamaño de las imágenes y hacer una transición entre dos caras aplican el mismo cálculo de división interna a colores o coordenadas.

El equilibrio de una balanza o de un balancín (física y centro de gravedad)

Pon un peso de 1 kg y otro de 2 kg en los dos extremos de una barra de 1 m (supón que el peso de la propia barra es tan pequeño que se puede ignorar). ¿Dónde hay que poner el apoyo para que quede en equilibrio? Es exactamente un cálculo de división interna. La respuesta es 2/3 m desde el extremo de 1 kg: el centro de gravedad es una media ponderada por los pesos y se desplaza hacia el extremo más pesado. En fórmula, con una masa \(m_1\) en la posición \(x_1\) y una masa \(m_2\) en la posición \(x_2\), el centro de gravedad es \(\dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\), con la misma forma que la fórmula de la división interna.
Aquí no parece que «la coordenada del extremo más ligero se multiplique por la masa mayor», porque las propias masas son los pesos. En la división interna, que trabaja con la razón de longitudes, el peso es «la longitud del tramo del otro lado». La misma idea se usa para hallar el centro de gravedad de triángulos, placas, coches y aviones.

Combinar las notas medias de dos clases ponderadas por el número de alumnos (estadística y medias ponderadas)

Si una clase de 40 alumnos tiene una nota media de 6 y una clase de 20 alumnos tiene una nota media de 9, la media de las dos clases juntas no es 7,5 sino \(\dfrac{40 \times 6 + 20 \times 9}{40 + 20} = 7\). Piensa en 6 y 9 como dos puntos \(\mathrm{A}\) y \(\mathrm{B}\) de la recta numérica: la respuesta divide el segmento \(\mathrm{AB}\) por dentro en la razón \(20:40\), que es la razón de alumnos \(40:20\) dada la vuelta. La respuesta se acerca a 6, el lado con más alumnos, porque el número de alumnos del otro lado es el peso. Es exactamente el mismo intercambio que el cruce de esta página.
Los índices de precios, los promedios de bateo, las valoraciones globales de una encuesta y el precio medio de compra por acción de una inversión son medias que combinan grupos de distinto tamaño, y todos tienen esta forma. Evita el error de sumar sin más y dividir entre 2, que da demasiado peso al grupo más pequeño.

Colocar estacas entre dos puntos en topografía e ingeniería civil (construcción)

En las obras de carreteras y de terrenos, se usan las coordenadas de dos puntos medidos para hallar «la posición situada a una fracción dada del camino entre ellos» y se clava allí una estaca. Los puntos que dividen un tramo de 100 m en cuatro partes iguales, a 25, 50 y 75 m, son los puntos de división interna para las razones 1:3, 1:1 y 3:1.
Con coordenadas 3D que incluyen la altura, la misma fórmula halla puntos a mitad de una pendiente. Incluso en un túnel excavado desde los dos extremos que debe encontrarse exactamente en el medio, muchos cálculos de coordenadas como este mantienen la precisión del trabajo.

Hallar un punto intermedio o un lugar de encuentro a medio camino en las aplicaciones de mapas (información geográfica)

Si se tratan la latitud y la longitud de dos lugares como coordenadas, la fórmula del punto medio da un lugar más o menos a medio camino entre ellos. Se usa en las funciones que sugieren lugares de encuentro y para dividir una ruta larga en puntos igualmente espaciados y consultar la altitud o el tiempo a lo largo del camino.
En distancias largas hacen falta cálculos que tengan en cuenta la forma redonda de la Tierra, pero dentro de una ciudad, tratar las coordenadas como planas y usar la división interna casi no cambia nada en la práctica.

Fórmulas y figuras

División interna (el punto que divide un segmento por dentro en la razón \(m:n\))

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(x\) \(=\) \((\) \(n\) \(\times\) \(x_1\) \(+\) \(m\) \(\times\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(m+n\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

⑥ \(x\): coordenada x del punto \(\mathrm{P}\) \(=\) \((\) ① \(n\): parte de la razón del punto a \(\mathrm{B}\) \(\times\) ② \(x_1\): coordenada x de \(\mathrm{A}\) \(+\) ③ \(m\): parte de la razón de \(\mathrm{A}\) al punto \(\times\) ④ \(x_2\): coordenada x de \(\mathrm{B}\) \()\) \(\div\) ⑤ \(m+n\): suma de las partes de la razón

La fórmula en palabras

① Sea \(\mathrm{P}\) el punto que divide al segmento \(\mathrm{AB}\) por dentro en la razón \(m:n\). Toma \(n\): parte de la razón del punto a \(\mathrm{B}\)

② y multiplícala por \(x_1\): coordenada x del punto \(\mathrm{A}\)

③ Toma \(m\): parte de la razón de \(\mathrm{A}\) al punto

④ y multiplícala por \(x_2\): coordenada x del punto \(\mathrm{B}\) (y suma los dos productos)

⑤ Divide la suma entre \(m+n\): suma de las partes de la razón

⑥ y obtienes coordenada x del punto \(\mathrm{P}\) (las coordenadas \(y\) y \(z\) se hallan con exactamente la misma fórmula)

Un ejemplo sencillo

La coordenada \(x\) del punto \(\mathrm{P}\) que divide a \(\mathrm{A}(1\,;\,2)\) y \(\mathrm{B}(7\,;\,5)\) por dentro en la razón \(2:1\) es

coordenada x de \(\mathrm{P}\) \(=\) \((\) parte de la razón del lado de \(\mathrm{B}\) (1) \(\times\) coordenada x de \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) parte de la razón del lado de \(\mathrm{A}\) (2) \(\times\) coordenada x de \(\mathrm{B}\) (7) \()\) \(\div\) suma de las partes de la razón (3)

\(x = \dfrac{1 \times 1 + 2 \times 7}{2 + 1} = \dfrac{15}{3} = 5\)

\(y = \dfrac{1 \times 2 + 2 \times 5}{2 + 1} = \dfrac{12}{3} = 4 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{P}(5\,;\,4)\)

La idea clave

Dividimos en la razón \(m:n\), así que ¿por qué \(m\) multiplica a \(x_2\) (la coordenada del punto B) y \(n\) a \(x_1\) (la coordenada del punto A)? Este intercambio, el «cruce», es la razón principal por la que cuesta recordar la fórmula. Si sigues el razonamiento, verás que el intercambio es el resultado natural. El punto \(\mathrm{P}\) está a \(\dfrac{m}{m+n}\) del camino de \(\mathrm{A}\) a \(\mathrm{B}\). \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\) dice que todo el segmento \(\mathrm{AB}\) se reparte en \(m + n\) partes iguales y que \(m\) de ellas están del lado de \(\mathrm{A}\). Así que se parte de la coordenada de \(\mathrm{A}\) y se avanza \(\dfrac{m}{m+n}\) del cambio de \(\mathrm{A}\) a \(\mathrm{B}\), \(x_2 - x_1\). Al simplificar resulta \(x = x_1 + \dfrac{m}{m+n}\left(x_2 - x_1\right) = \dfrac{\left(m+n\right)x_1 + m x_2 - m x_1}{m+n} = \dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\) y solo queda \(n\) del lado de \(x_1\). Para recordarlo por su significado: «el número del lado lejano es el peso». Cuando \(\mathrm{P}\) está cerca de \(\mathrm{A}\), la \(m\) del lado de \(\mathrm{A}\) es pequeña y la \(n\) del lado de \(\mathrm{B}\) es grande. La respuesta debe quedar cerca de la coordenada de \(\mathrm{A}\), así que es natural que el número mayor (\(n\)) multiplique a \(x_1\). Es como una balanza, en la que el punto de equilibrio se acerca al peso mayor. Confundir \(m:n\) con \(n:m\) da un punto totalmente distinto. Escribe siempre la razón en el orden «\(m\) contado desde \(\mathrm{A}\) y \(n\) desde ese punto hasta \(\mathrm{B}\)» y será menos probable que te equivoques.

División externa (el punto que divide un segmento por fuera en la razón \(m:n\))

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(x\) \(=\) \((\) \(-n\) \(\times\) \(x_1\) \(+\) \(m\) \(\times\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(m-n\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

⑥ \(x\): coordenada x del punto \(\mathrm{Q}\) \(=\) \((\) ① \(-n\): parte de la razón del punto a \(\mathrm{B}\), con el signo cambiado \(\times\) ② \(x_1\): coordenada x de \(\mathrm{A}\) \(+\) ③ \(m\): parte de la razón de \(\mathrm{A}\) al punto \(\times\) ④ \(x_2\): coordenada x de \(\mathrm{B}\) \()\) \(\div\) ⑤ \(m-n\): diferencia de las partes de la razón

La fórmula en palabras

① Sea \(\mathrm{Q}\) el punto que divide al segmento \(\mathrm{AB}\) por fuera en la razón \(m:n\). Toma \(-n\): parte \(n\) de la razón con el signo cambiado

② y multiplícala por \(x_1\): coordenada x del punto \(\mathrm{A}\)

③ Toma \(m\): parte de la razón de \(\mathrm{A}\) al punto

④ y multiplícala por \(x_2\): coordenada x del punto \(\mathrm{B}\) (y suma los dos productos)

⑤ Divide la suma entre \(m-n\): diferencia de las partes de la razón

⑥ y obtienes coordenada x del punto \(\mathrm{Q}\) (cuando \(m\) y \(n\) son iguales, la diferencia es \(0\) y no existe el punto de división externa)

Un ejemplo sencillo

La coordenada \(x\) del punto \(\mathrm{Q}\) que divide a \(\mathrm{A}(1\,;\,2)\) y \(\mathrm{B}(7\,;\,5)\) por fuera en la razón \(3:1\) es

coordenada x de \(\mathrm{Q}\) \(=\) \((\) parte de la razón del lado de \(\mathrm{B}\), con el signo cambiado (−1) \(\times\) coordenada x de \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) parte de la razón del lado de \(\mathrm{A}\) (3) \(\times\) coordenada x de \(\mathrm{B}\) (7) \()\) \(\div\) diferencia de las partes de la razón (2)

\(x = \dfrac{-1 \times 1 + 3 \times 7}{3 - 1} = \dfrac{20}{2} = 10\)

\(y = \dfrac{-1 \times 2 + 3 \times 5}{3 - 1} = \dfrac{13}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{Q}\left(10\,;\,\dfrac{13}{2}\right)\)

La idea clave

El punto de división externa \(\mathrm{Q}\) está fuera del segmento \(\mathrm{AB}\), y aun así \(\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n\). Piensa en la división interna como dividir por dentro del segmento y en la división externa como dividir en la prolongación del segmento. La fórmula se parece a la de la división interna, con \(n\) sustituida por \(-n\). ¿Por qué se permite el signo menos? Piensa en la dirección además de en la longitud. En la división interna, ir de \(\mathrm{A}\) a \(\mathrm{P}\) y de \(\mathrm{P}\) a \(\mathrm{B}\) va en el mismo sentido. En la división externa, ir de \(\mathrm{A}\) a \(\mathrm{Q}\) y de \(\mathrm{Q}\) a \(\mathrm{B}\) va siempre en sentidos contrarios (\(\mathrm{Q}\) está fuera del segmento, así que hay que volver atrás desde \(\mathrm{Q}\) para llegar a \(\mathrm{B}\)). Las longitudes siguen estando en la razón \(m:n\), pero al tener en cuenta el sentido la razón pasa a ser \(m : \left(-n\right)\). De hecho, al poner \(m : \left(-n\right)\) en la fórmula de la división interna resulta \(\dfrac{\left(-n\right)x_1 + m x_2}{m + \left(-n\right)} = \dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n}\) que es exactamente la fórmula de la división externa. Recuerda que «la división externa es la división interna con un signo menos en el segundo número» y no necesitarás memorizar dos fórmulas. El lado en el que cae el punto depende de cuál de \(m\) y \(n\) sea mayor. Si \(m > n\), queda más allá de \(\mathrm{B}\); si \(m < n\), queda antes de \(\mathrm{A}\) (en el sentido contrario a \(\mathrm{B}\)). \(\mathrm{Q}\) cae siempre del lado del punto, \(\mathrm{A}\) o \(\mathrm{B}\), que tenga la parte de la razón más pequeña. Solo cuando \(m = n\) no existe el punto de división externa. En la fórmula, el denominador \(m - n\) vale \(0\). En la figura, no hay ningún punto de la recta \(\mathrm{AB}\) que esté fuera del segmento y a la vez a la misma distancia de \(\mathrm{A}\) y de \(\mathrm{B}\).

Punto medio (división interna en la razón \(1:1\))

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(x\) \(=\) \((\) \(x_1\) \(+\) \(x_2\) \()\) \(\div\) \(2\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(x\): coordenada x del punto medio \(\mathrm{M}\) \(=\) \((\) ① \(x_1\): coordenada x de \(\mathrm{A}\) \(+\) ② \(x_2\): coordenada x de \(\mathrm{B}\) \()\) \(\div\) \(2\)

La fórmula en palabras

① Suma la \(x_1\): coordenada x del punto \(\mathrm{A}\)

② y la \(x_2\): coordenada x del punto \(\mathrm{B}\) y divide entre 2

③ y obtienes la coordenada x del punto medio \(\mathrm{M}\) (simplemente la media de las dos coordenadas)

Un ejemplo sencillo

La coordenada \(x\) del punto medio \(\mathrm{M}\) de \(\mathrm{A}(1\,;\,2)\) y \(\mathrm{B}(7\,;\,5)\) es

coordenada x de \(\mathrm{M}\) \(=\) \((\) coordenada x de \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) coordenada x de \(\mathrm{B}\) (7) \()\) \(\div\) \(2\)

\(x = \dfrac{1 + 7}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\)

\(y = \dfrac{2 + 5}{2} = \dfrac{7}{2} \quad \Rightarrow \quad \mathrm{M}\left(4\,;\,\dfrac{7}{2}\right)\)

La idea clave

El punto medio es la división interna en la razón \(1:1\). Al poner \(m = 1\) y \(n = 1\) en la fórmula de la división interna resulta \(x = \dfrac{1 \times x_1 + 1 \times x_2}{1 + 1} = \dfrac{x_1 + x_2}{2}\) y el intercambio del cruce desaparece. Las dos coordenadas se multiplican por el mismo \(1\), así que da igual cuál va con cuál. Por eso la fórmula de la división interna parece de pronto difícil cuando ya estás acostumbrado a la fórmula del punto medio: empezaste por este caso particular, en el que el intercambio queda oculto. Lo único que hace es hallar la media de dos coordenadas. Piensa que es el mismo cálculo que hacer la media de dos notas, hecho por separado con las coordenadas \(x\) y con las coordenadas \(y\), y no te perderás.

Baricentro de un triángulo

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(x\) \(=\) \((\) \(x_1\) \(+\) \(x_2\) \(+\) \(x_3\) \()\) \(\div\) \(3\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

④ \(x\): coordenada x del baricentro \(\mathrm{G}\) \(=\) \((\) ① \(x_1\): coordenada x del vértice \(\mathrm{A}\) \(+\) ② \(x_2\): coordenada x del vértice \(\mathrm{B}\) \(+\) ③ \(x_3\): coordenada x del vértice \(\mathrm{C}\) \()\) \(\div\) \(3\)

La fórmula en palabras

① En el triángulo \(\mathrm{ABC}\), suma la \(x_1\): coordenada x del vértice \(\mathrm{A}\)

② la \(x_2\): coordenada x del vértice \(\mathrm{B}\)

③ y la \(x_3\): coordenada x del vértice \(\mathrm{C}\) y divide entre 3

④ y obtienes la coordenada x del baricentro \(\mathrm{G}\) (la media de las coordenadas de los tres vértices)

Un ejemplo sencillo

La coordenada \(x\) del baricentro \(\mathrm{G}\) del triángulo de vértices \(\mathrm{A}(1\,;\,2)\), \(\mathrm{B}(7\,;\,5)\) y \(\mathrm{C}(4\,;\,8)\) es

coordenada x de \(\mathrm{G}\) \(=\) \((\) coordenada x de \(\mathrm{A}\) (1) \(+\) coordenada x de \(\mathrm{B}\) (7) \(+\) coordenada x de \(\mathrm{C}\) (4) \()\) \(\div\) \(3\)

\(x = \dfrac{1 + 7 + 4}{3} = \dfrac{12}{3} = 4\)

\(y = \dfrac{2 + 5 + 8}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{G}(4\,;\,5)\)

La idea clave

El baricentro \(\mathrm{G}\) es el punto donde se cortan las tres medianas (los segmentos que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto). Una placa triangular plana se mantiene horizontal en equilibrio cuando se apoya en este único punto, por eso se llama también centro de gravedad. Puedes comprobar con la fórmula de la división interna por qué funciona la media de las coordenadas. La coordenada \(x\) del punto medio \(\mathrm{M}\) del lado \(\mathrm{BC}\) es \(\dfrac{x_2 + x_3}{2}\). El baricentro divide a la mediana \(\mathrm{AM}\) por dentro en la razón \(2:1\), contando desde el vértice, así que al poner \(m = 2\) y \(n = 1\) en la fórmula de la división interna resulta \(x = \dfrac{1 \times x_1 + 2 \times \dfrac{x_2 + x_3}{2}}{2 + 1} = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\) que es la media de las tres coordenadas. Este \(2:1\) es la propiedad más importante del baricentro: \(\mathrm{AG}\) mide exactamente el doble que \(\mathrm{GM}\). La razón es la misma en todas las medianas, así que recordar que «el baricentro divide cada mediana en la razón 2:1 desde el vértice» ayuda en los problemas de geometría.

El punto que divide al segmento \(\mathrm{AB}\) en la razón \(m:n\) es \(\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\,;\,\dfrac{n y_1 + m y_2}{m+n}\right)\) en la división interna y \(\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m-n}\,;\,\dfrac{-n y_1 + m y_2}{m-n}\right)\), con \(n\) sustituida por \(-n\), en la división externa. La coordenada del punto \(\mathrm{A}\) se multiplica por \(n\), el número del lado lejano de \(\mathrm{A}\), de modo que cuanto mayor es \(n\), más se acerca el punto a \(\mathrm{A}\) (el punto de división se desplaza hacia el extremo de la parte más pequeña de la razón). El punto medio es la división interna en la razón \(1:1\), y el baricentro de un triángulo es la media de las coordenadas de sus tres vértices. Todos están unidos por la misma idea: una media ponderada.

Símbolos y términos

Símbolos

\(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}\)	A, B, C	Los nombres de los puntos. En geometría, los puntos se nombran con letras mayúsculas, normalmente A, B, C en orden. En esta página, los extremos del segmento son \(\mathrm{A}\) y \(\mathrm{B}\), y el tercer vértice del triángulo es \(\mathrm{C}\).
\(x_1,\ y_1\)	x sub uno, i griega sub uno	Las coordenadas del punto \(\mathrm{A}\). El número pequeño de abajo a la derecha (el subíndice) es una etiqueta que indica de qué punto se trata, no un número que se use en el cálculo. Del mismo modo, \(x_2,\ y_2\) son las coordenadas del punto \(\mathrm{B}\) y \(x_3,\ y_3\) las del punto \(\mathrm{C}\).
\(m:n\)	m a n	La razón que divide el segmento. \(m\) es la parte que corresponde al tramo de \(\mathrm{A}\) al punto de división y \(n\) la que corresponde al tramo del punto de división a \(\mathrm{B}\). \(m\) y \(n\) son simplemente letras que se usan a menudo para las razones. Si cambias el orden, obtienes un punto distinto.
\(\mathrm{P}\)	P	Un nombre que se da a menudo al punto de división interna, por la inicial de «punto».
\(\mathrm{Q}\)	Q	Un nombre que se da a menudo al punto de división externa. Por costumbre, es la letra que sigue a \(\mathrm{P}\).
\(\mathrm{M}\)	M	Un nombre que se da a menudo al punto medio, por la inicial de «punto medio».
\(\mathrm{G}\)	G	Un nombre que se da a menudo al baricentro. Se dice que viene de la «G» de «centro de gravedad».
\(\mathrm{AB}\)	segmento AB	El segmento que une el punto \(\mathrm{A}\) y el punto \(\mathrm{B}\): la parte de una recta comprendida entre dos extremos fijos. En esta página, su longitud también se escribe \(\mathrm{AB}\).
\(\mathrm{AP} : \mathrm{PB}\)	AP a PB	La razón entre la longitud del segmento \(\mathrm{AP}\) y la del segmento \(\mathrm{PB}\). El punto \(\mathrm{P}\) con \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\) es el punto que divide al segmento \(\mathrm{AB}\) por dentro en la razón \(m:n\).

Términos

segmento	La parte de una recta comprendida entre dos puntos. Una parte con dos extremos es un segmento, una que sigue indefinidamente en un sentido es una semirrecta y una que sigue indefinidamente en los dos sentidos es una recta.
división interna	Dividir un segmento en un punto de su interior según una razón dada. El punto \(\mathrm{P}\) que divide al segmento \(\mathrm{AB}\) por dentro en la razón \(m:n\) es el punto del segmento \(\mathrm{AB}\) con \(\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n\). También se llama división interior.
división externa	Dividir un segmento en un punto de su prolongación, fuera del segmento, de modo que \(\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n\). El punto cae del lado del extremo con la parte más pequeña de la razón (más allá de \(\mathrm{B}\) si \(m > n\), antes de \(\mathrm{A}\) si \(m < n\)). No existe tal punto cuando \(m\) y \(n\) son iguales.
punto de división	Un nombre general para un punto que divide un segmento en una razón dada, que abarca tanto la división interna como la división externa.
punto medio	El punto del centro de un segmento, a la misma distancia de los dos extremos. Es la división interna en la razón \(1:1\).
baricentro	El único punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo. Una placa triangular se mantiene horizontal en equilibrio al apoyarla ahí (es su centro de gravedad), y sus coordenadas son la media de las coordenadas de los tres vértices.
mediana	El segmento que une un vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas se cortan siempre en un punto (el baricentro), que divide cada mediana por dentro en la razón \(2:1\) desde el vértice.
razón	Una forma de comparar dos cantidades, escritas una junto a otra, como en «\(2:1\)». \(2:1\) y \(4:2\) son la misma razón. En esta página, compara las longitudes de las dos partes de un segmento dividido.
coordenadas	Los números que dan la posición de un punto: un número en la recta numérica, dos \((x\,;\,y)\) en el plano y tres \((x\,;\,y\,;\,z)\) en el espacio.
recta numérica	Una recta con una escala marcada, de modo que cada número corresponde exactamente a un punto. Es el tipo de coordenada más sencillo, en el que un solo número da una posición.
plano de coordenadas	Un plano con un eje \(x\) horizontal y un eje \(y\) vertical, de modo que cualquier punto suyo se puede dar con dos números \((x\,;\,y)\).
media ponderada	Una media en la que a cada número se le da un «peso». La coordenada de la división interna \(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m+n}\) es exactamente la media ponderada de \(x_1\) con peso \(n\) y \(x_2\) con peso \(m\). Una media normal es el caso particular en el que todos los pesos son iguales.
subíndice	Un número pequeño escrito abajo a la derecha de una letra, como en \(x_1\) y \(x_2\). Es una etiqueta que distingue magnitudes del mismo tipo; no es ni un factor ni un exponente.

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido para avanzar.

La recta numérica y las coordenadas (4.º–6.º de Primaria, 9-12 años)	Saber que una recta numérica es una recta con una escala en la que los números se corresponden con puntos, y saber encontrar dónde están los números negativos Saber leer el punto \((3\,;\,-2)\) en el plano de coordenadas como «3 a la derecha y 2 hacia abajo» Saber que, cuando las coordenadas del punto \(\mathrm{A}\) se escriben con letras y subíndices, como en \((x_1\,;\,y_1)\), el subíndice \(1\) es una etiqueta que significa «el primer punto», no un número por el que multiplicar
Razones y proporciones (6.º de Primaria y 1.º de ESO, 11-13 años)	Saber que una razón como \(2:1\) reparte un todo en 3 partes iguales, repartidas como 2 y 1 Saber que \(2:1\) y \(4:2\) son la misma razón (multiplicar o dividir las dos partes por el mismo número no cambia la razón) Saber que, cuando un segmento se divide en la razón \(m:n\), la parte del lado de \(\mathrm{A}\) es \(\dfrac{m}{m+n}\) del total
Operaciones con números positivos y negativos (1.º de ESO, 12-13 años)	Saber acertar con el signo al multiplicar y dividir números negativos, como en \(-3 \times 4 = -12\) y \(\left(-9\right) \div \left(-2\right) = \dfrac{9}{2}\) Saber calcular con una letra que lleva un signo menos, como la \(-n\) de la fórmula de la división externa
Cálculo con fracciones (4.º–6.º de Primaria, 9-12 años)	Saber simplificar, como en \(\dfrac{15}{3} = 5\), y escribir las respuestas como fracciones simplificadas Sentirse cómodo dejando una fracción como \(\dfrac{9}{2}\) como respuesta (sin necesidad de pasarla a decimal)
Expresiones algebraicas y sustitución (1.º y 2.º de ESO, 12-14 años)	Saber sustituir números en una expresión como \(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n}\) y calcular Saber desarrollar una expresión como \(x_1 + \dfrac{m}{m+n}\left(x_2 - x_1\right)\) y reducir los términos semejantes
Medias (5.º de Primaria, 10-11 años)	Saber que una media se halla sumando todo y dividiendo entre cuántos hay (el punto medio y el baricentro son exactamente este tipo de media) Saber que, para combinar las medias de grupos de distinto tamaño, no se puede simplemente sumarlas y dividir

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para calcular el punto de división interna

Coordenada x del punto A, x1	1
Coordenada y del punto A, y1	2
Coordenada x del punto B, x2	7
Coordenada y del punto B, y2	5
Parte m de la razón (de A al punto)	2
Parte n de la razón (del punto a B)	1
Coordenada x de P (interno)	=(B6B1+B5B3)/(B5+B6)
Coordenada y de P (interno)	=(B6B2+B5B4)/(B5+B6)

Tabla para calcular el punto de división externa

Coordenada x del punto A, x1	1
Coordenada y del punto A, y1	2
Coordenada x del punto B, x2	7
Coordenada y del punto B, y2	5
Parte m de la razón (de A al punto)	3
Parte n de la razón (del punto a B)	1
Coordenada x de Q (externo)	=(-B6B1+B5B3)/(B5-B6)
Coordenada y de Q (externo)	=(-B6B2+B5B4)/(B5-B6)

Tabla para calcular el punto medio

Coordenada x del punto A, x1	1
Coordenada y del punto A, y1	2
Coordenada x del punto B, x2	7
Coordenada y del punto B, y2	5
Coordenada x del punto medio M	=(B1+B3)/2
Coordenada y del punto medio M	=(B2+B4)/2

Tabla para calcular el baricentro de un triángulo

Coordenada x del vértice A, x1	1
Coordenada y del vértice A, y1	2
Coordenada x del vértice B, x2	7
Coordenada y del vértice B, y2	5
Coordenada x del vértice C, x3	4
Coordenada y del vértice C, y3	8
Coordenada x del baricentro G	=(B1+B3+B5)/3
Coordenada y del baricentro G	=(B2+B4+B6)/3

Al pegar, las filas de arriba (las coordenadas y la razón) son tus datos de entrada y las filas de abajo se calculan solas. «*» es la multiplicación y «/» la división.
La primera tabla divide A(1 ; 2) y B(7 ; 5) por dentro en la razón 2:1 y da P(5 ; 4). La fórmula de la coordenada x, «=(B6*B1+B5*B3)/(B5+B6)», parece al principio desajustada porque multiplica B1 (la coordenada x de A) por B6 (la parte n de la razón) y B3 (la coordenada x de B) por B5 (la parte m de la razón). Es el cruce, y si se intercambian cambia la respuesta.
La segunda tabla divide los mismos dos puntos por fuera en la razón 3:1 y da Q(10 ; 6,5). Las únicas diferencias con la primera tabla son el signo menos delante de B6 y la resta en lugar de la suma en el denominador. Si escribes el mismo valor para m y n, el denominador vale 0 y aparece un error (#¡DIV/0!); eso indica que no existe el punto de división externa.
La tercera tabla da el punto medio M(4 ; 3,5). La cuarta tabla da el baricentro G(4 ; 5) del triángulo de vértices A(1 ; 2), B(7 ; 5) y C(4 ; 8).

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para calcular el punto de división interna

Coordenada x del punto A, x1	1
Coordenada y del punto A, y1	2
Coordenada x del punto B, x2	7
Coordenada y del punto B, y2	5
Parte m de la razón (de A al punto)	2
Parte n de la razón (del punto a B)	1
Coordenada x de P (interno)	=(B6B1+B5B3)/(B5+B6)
Coordenada y de P (interno)	=(B6B2+B5B4)/(B5+B6)

Tabla para calcular el punto de división externa

Coordenada x del punto A, x1	1
Coordenada y del punto A, y1	2
Coordenada x del punto B, x2	7
Coordenada y del punto B, y2	5
Parte m de la razón (de A al punto)	3
Parte n de la razón (del punto a B)	1
Coordenada x de Q (externo)	=(-B6B1+B5B3)/(B5-B6)
Coordenada y de Q (externo)	=(-B6B2+B5B4)/(B5-B6)

Tabla para calcular el punto medio

Coordenada x del punto A, x1	1
Coordenada y del punto A, y1	2
Coordenada x del punto B, x2	7
Coordenada y del punto B, y2	5
Coordenada x del punto medio M	=(B1+B3)/2
Coordenada y del punto medio M	=(B2+B4)/2

Tabla para calcular el baricentro de un triángulo

Coordenada x del vértice A, x1	1
Coordenada y del vértice A, y1	2
Coordenada x del vértice B, x2	7
Coordenada y del vértice B, y2	5
Coordenada x del vértice C, x3	4
Coordenada y del vértice C, y3	8
Coordenada x del baricentro G	=(B1+B3+B5)/3
Coordenada y del baricentro G	=(B2+B4+B6)/3

Sirven las mismas fórmulas que en Excel. Copia toda la tabla, pégala en la celda A1 y sustituye las coordenadas y la razón por tus propios números.

Cómo calcularlo con Python

from fractions import Fraction

# Coordenadas de los puntos (una fracción como 3/4 se escribe Fraction(3, 4))
point_a = (Fraction(1), Fraction(2))
point_b = (Fraction(7), Fraction(5))
point_c = (Fraction(4), Fraction(8))   # tercer vértice, que se usa para el baricentro

def internal_point(a, b, m, n):
    # División interna: se multiplica por el número del lado lejano (n para el punto A, m para el punto B)
    return tuple((n * p + m * q) / (m + n) for p, q in zip(a, b))

def external_point(a, b, m, n):
    # División externa: la división interna con n sustituida por -n (no se puede calcular cuando m es igual a n)
    return tuple((-n * p + m * q) / (m - n) for p, q in zip(a, b))

def midpoint(a, b):
    # Punto medio: la media de las dos coordenadas (división interna 1:1)
    return tuple((p + q) / 2 for p, q in zip(a, b))

def centroid(a, b, c):
    # Baricentro de un triángulo: la media de las coordenadas de los tres vértices
    return tuple((p + q + r) / 3 for p, q, r in zip(a, b, c))

def show(point):
    # Se muestran las fracciones de forma fácil de leer, como "(5, 4)" o "(10, 13/2)"
    return "(" + ", ".join(str(v) for v in point) + ")"

print("Interna 2:1  :", show(internal_point(point_a, point_b, Fraction(2), Fraction(1))))
print("Externa 3:1  :", show(external_point(point_a, point_b, Fraction(3), Fraction(1))))
print("Punto medio  :", show(midpoint(point_a, point_b)))
print("Baricentro   :", show(centroid(point_a, point_b, point_c)))

El módulo fractions de la biblioteca estándar permite calcular con fracciones exactas, sin errores de redondeo decimal. Este ejemplo usa A(1 ; 2), B(7 ; 5) y C(4 ; 8). Al ejecutarlo, muestra el punto de división interna (5, 4), el punto de división externa (10, 13/2), el punto medio (4, 7/2) y el baricentro (4, 5). Como usa zip, también funciona tal cual en el espacio (3D) si das tres coordenadas a cada punto.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

División interna (el punto que divide un segmento por dentro en la razón \(m:n\))

P = ((n·x₁ + m·x₂) ÷ (m + n),  (n·y₁ + m·y₂) ÷ (m + n))

P\left(\dfrac{n x_1 + m x_2}{m + n},\ \dfrac{n y_1 + m y_2}{m + n}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>n</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
      </mrow>
      <mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (n*x_1 + m*x_2)/(m + n)

{(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)}

P := [(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)];

P = [(n*x1 + m*x2)/(m + n), (n*y1 + m*y2)/(m + n)];

x = (n x_1 + m x_2)/(m + n)

División externa (el punto que divide un segmento por fuera en la razón \(m:n\))

Q = ((−n·x₁ + m·x₂) ÷ (m − n),  (−n·y₁ + m·y₂) ÷ (m − n))

Q\left(\dfrac{-n x_1 + m x_2}{m - n},\ \dfrac{-n y_1 + m y_2}{m - n}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
      </mrow>
      <mrow><mi>m</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-n*x_1 + m*x_2)/(m - n)

{(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)}

Q := [(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)];

Q = [(-n*x1 + m*x2)/(m - n), (-n*y1 + m*y2)/(m - n)];

x = (-n x_1 + m x_2)/(m - n)

Punto medio (división interna en la razón \(1:1\))

M = ((x₁ + x₂) ÷ 2,  (y₁ + y₂) ÷ 2)

M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\ \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mrow>
      <mn>2</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (x_1 + x_2)/2

{(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2}

M := [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2];

M = [(x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2];

x = (x_1 + x_2)/2

Baricentro de un triángulo

G = ((x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3,  (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3)

G\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\ \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>3</mn></msub>
      </mrow>
      <mn>3</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (x_1 + x_2 + x_3)/3

{(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3}

G := [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3];

G = [(x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3];

x = (x_1 + x_2 + x_3)/3

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo matemático para geometría analítica. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni a ojo).

Para los dos puntos A(1 ; 2) y B(7 ; 5) del plano de coordenadas, halla:
1. Las coordenadas del punto P que divide al segmento AB por dentro en la razón 2:1
2. Las coordenadas del punto Q que divide al segmento AB por fuera en la razón 3:1
3. Las coordenadas del punto medio M del segmento AB
4. Las coordenadas del baricentro G del triángulo ABC, con el punto añadido C(4 ; 8)

En Python, usa el módulo fractions de la biblioteca estándar para calcular con exactitud y da cada respuesta tanto como fracción simplificada como en decimales.
Explica también, siguiendo el álgebra paso a paso, por qué la coordenada del punto A se multiplica por n en la fórmula de la división interna (por qué la fórmula está «cruzada»).

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula