Introduce solo dos de estos tres datos de un casquete esférico (una esfera cortada por un plano, con forma de cúpula), el «radio de la base \(r\)», el «radio de la esfera \(R\)» y la «altura \(h\)». Se calcula el que falta y después el área de la superficie curva (\(2\pi Rh\)), el área del círculo de la base y la suma de las dos.
Introduce solo dos datos (deja vacío el campo del tercero). Las longitudes son números mayores que 0 (con decimales, si quieres) y deben estar en la misma unidad (por ejemplo, todas en cm). El área sale en la unidad introducida al cuadrado (cm² si usas cm). Si introduces \(r\) y \(R\), la altura \(h\) puede tener dos soluciones (un casquete poco profundo y otro profundo).
Resultado y figura
Introduce dos de los tres datos que conozcas en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». El resultado aparecerá aquí.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y dibujos
-
Área del casquete esférico (la superficie curva)
-
Área de la base (el círculo del corte)
-
Área total (superficie curva + base)
-
Cómo hallar el radio de la base \(r\) (si conoces \(R\) y \(h\))
-
Cómo hallar la altura \(h\) (si conoces \(r\) y \(R\); dos soluciones)
-
Cómo hallar el radio de la esfera \(R\) (si conoces \(r\) y \(h\))
-
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Obtienes al instante el área de un casquete esférico (el trozo de una esfera cortada por un plano, con forma de cúpula)
- Solo tienes que introducir dos de estos tres datos: el «radio de la base \(r\)», el «radio de la esfera \(R\)» y la «altura \(h\)». El que falta se calcula automáticamente
- Muestra a la vez, con los pasos, el área de la superficie curva (\(2\pi Rh\)), el área de la base (el círculo del corte) y la suma de las dos
- El casquete del resultado también se muestra en 3D (puedes girarlo arrastrándolo)
- En esta misma página también encontrarás una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
El área sale en la unidad de longitud introducida elevada al cuadrado (cm² si introduces cm). La calculadora sirve para «una esfera cortada por un plano» (el corte es un círculo). Una cúpula, un cuenco, una lente o la parte de una boya que sobresale del agua tienen esta forma.
¿Para qué sirve este cálculo?
Estimar el área de un planetario o de una cubierta en cúpula (arquitectura)
La cubierta redonda de un planetario, de un observatorio o de un pabellón con cúpula tiene justo forma de casquete esférico. La cantidad de material de cubierta o de pintura se estima con el área de la superficie curva, \(2\pi Rh\).
Por ejemplo, para una cúpula de 16 m de diámetro (8 m de radio en la base) y 4 m de altura, el radio de la esfera original es \(R = (4^2 + 8^2) \div (2 \times 4) = 10\) m y el área de la cubierta es \(2\pi \times 10 \times 4 \approx 251\,\mathrm{m^2}\).
Medir la curvatura (el radio de curvatura) de una lente (óptica y gafas)
La superficie de las gafas y de las lentes de contacto tiene forma de casquete esférico, y su curvatura se expresa con el «radio de la esfera original» (el radio de curvatura). El esferómetro, un instrumento que se usa en óptica, mide el ancho de la superficie de la lente \(2r\) y su abombamiento \(h\) y saca el radio de la esfera original con la fórmula 6 (\(R = (h^2 + r^2) \div 2h\)).
Por ejemplo, con un abombamiento de 0,9 mm en un radio de 6 mm, el radio de curvatura es \((0{,}9^2 + 6^2) \div 1{,}8 \approx 20{,}5\) mm.
Estimar el glaseado de una tarta en forma de cúpula (cocina y repostería)
Al cubrir una tarta en forma de cúpula (una semiesfera) con chocolate o con glaseado espejo, la cantidad necesaria es proporcional al área de la superficie. Para una tarta semiesférica de 12 cm de diámetro, \(R = h = 6\) cm, así que el área de la superficie curva es \(2\pi \times 6 \times 6 \approx 226\,\mathrm{cm^2}\).
También sirve para estimaciones como «si duplico el tamaño del molde, ¿cuánto glaseado necesito?» (como es un área, unas 4 veces más).
El área de la «parte que se ve» de una boya que flota (mar y barcos)
Cuando una boya esférica flota, la parte que sobresale del agua es un casquete esférico. Si una boya de 15 cm de radio sobresale 10 cm sobre el agua, el área en contacto con el aire es \(2\pi \times 15 \times 10 \approx 942\,\mathrm{cm^2}\).
Si la restas del área de toda la esfera, \(4\pi R^2 \approx 2827\,\mathrm{cm^2}\), sabes que el área sumergida (la que necesita pintura antiincrustante) es de unos \(1885\,\mathrm{cm^2}\).
La extensión de la zona a la que llega la señal de un satélite (espacio y comunicaciones)
La zona de la Tierra a la que llega la señal de un satélite (su huella de cobertura) se puede aproximar por una parte de la superficie de la Tierra, es decir, por un casquete esférico. El área que cubre se estima con \(2\pi Rh\), a partir del radio de la Tierra, \(R \approx 6371\) km, y de la «altura» \(h\) de la zona (en un diseño real también se tiene en cuenta cómo se reparte la intensidad de la señal).
La planificación de las redes de comunicaciones, que se pregunta cuánto se amplía la zona de cobertura al subir el satélite, se apoya en la idea de esta fórmula.
Fórmulas y dibujos
Área del casquete esférico (la superficie curva)
Dibujo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(S_1\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(R\)
\(\times\)
\(h\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
⑤
\(S_1\): área de la superficie curva del casquete
\(=\)
④
constante \(2\)
\(\times\)
③
\(\pi\): número π
\(\times\)
①
\(R\): radio de la esfera
\(\times\)
②
\(h\): altura del casquete
La fórmula en palabras
①
Toma el
\(R\): radio de la esfera
②
multiplícalo por la
\(h\): altura del casquete
③
por el
\(\pi\): número π
④
y por la
constante \(2\)
⑤
y obtienes el
\(S_1\): área de la superficie curva del casquete
Un ejemplo sencillo
El área de la superficie curva de un casquete que se obtiene al cortar una esfera de 10 cm de radio a 5 cm de altura desde el vértice es
\(S_1\): área de la superficie curva del casquete
\(=\)
constante \(2\)
\(\times\)
\(\pi\): número π
\(\times\)
radio de la esfera (10 cm)
\(\times\)
altura (5 cm)
\(2 \times \pi \times 10 \times 5 = 100\pi \approx 314{,}2\,\mathrm{cm^2}\)
La idea clave
Lo curioso es que en esta fórmula no aparece el radio de la base \(r\). El área de la superficie curva del casquete solo depende del radio de la esfera original \(R\) y de la altura \(h\). Además, \(2\pi Rh\) es exactamente el área lateral de un cilindro de radio \(R\) y altura \(h\): si cortas una esfera en rodajas del mismo grosor, la superficie curva de cada rodaja tiene la misma área, tanto cerca del extremo como en el centro. Es una propiedad muy bonita que descubrió el matemático griego Arquímedes.
También puedes comprobar que, si pones \(h = 2R\) (la esfera entera), sale \(2\pi R \times 2R = 4\pi R^2\), que coincide exactamente con la fórmula del área de la esfera.
Área de la base (el círculo del corte)
Dibujo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(S_2\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
\(S_2\): área del círculo de la base
\(=\)
③
\(\pi\): número π
\(\times\)
①
\(r\): radio de la base
②
al cuadrado (el número multiplicado por sí mismo)
La fórmula en palabras
①
Toma el
\(r\): radio de la base
②
elévalo
al cuadrado (el número multiplicado por sí mismo)
③
multiplícalo por el
\(\pi\): número π
④
y obtienes el
\(S_2\): área del círculo de la base
Un ejemplo sencillo
El área de la base (el círculo del corte) de un casquete cuya base tiene 3 cm de radio es
\(S_2\): área del círculo de la base
\(=\)
\(\pi\): número π
\(\times\)
radio de la base (3 cm)
al cuadrado
\(\pi \times 3^{2} = 9\pi \approx 28{,}3\,\mathrm{cm^2}\)
La idea clave
Es la fórmula de siempre del área del círculo («número π × radio al cuadrado»). Da igual por dónde cortes la esfera: el corte con un plano siempre es un círculo, así que el área de la base se calcula con la fórmula del área del círculo.
Área total (superficie curva + base)
Dibujo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(S\)
\(=\)
\(2\pi R h\)
\(+\)
\(\pi r^2\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(S\): área total
\(=\)
①
área de la superficie curva \(2\pi Rh\)
\(+\)
②
área de la base \(\pi r^2\)
La fórmula en palabras
①
Toma el
área de la superficie curva \(2\pi Rh\) (fórmula 1)
②
suma el
área del círculo de la base \(\pi r^2\) (fórmula 2)
③
y obtienes el
\(S\): área total
Un ejemplo sencillo
El área total de un casquete que se obtiene al cortar una esfera de 10 cm de radio a 5 cm de altura (el radio de la base es \(\sqrt{75} \approx 8{,}66\) cm) es
\(S\): área total
\(=\)
superficie curva (\(100\pi\) cm²)
\(+\)
base (\(75\pi\) cm²)
\(2\pi \times 10 \times 5 + \pi \times (\sqrt{75})^{2} = 100\pi + 75\pi\)
\(100\pi + 75\pi = 175\pi \approx 549{,}8\,\mathrm{cm^2}\)
La idea clave
El «área total» es el área de toda la superficie exterior del trozo macizo que queda al cortar la esfera (el segmento esférico de una base): la superficie curva más el círculo del corte.
Si solo quieres saber el área de la parte curva, como el área del tejado de una cúpula, usa el valor de \(S_1 = 2\pi Rh\) de la fórmula 1 (el «área del casquete (superficie curva)» del resultado).
Cómo hallar el radio de la base \(r\) (si conoces \(R\) y \(h\))
Dibujo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{2Rh - h^{2}}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
②
\(r\): radio de la base
\(=\)
①
raíz cuadrada de \(2Rh - h^2\)
La fórmula en palabras
①
Halla la
raíz cuadrada de \(2Rh - h^2\) (el doble de radio por altura, menos la altura al cuadrado)
②
y obtienes el
\(r\): radio de la base
Un ejemplo sencillo
El radio de la base (el círculo del corte) de un casquete que se obtiene al cortar una esfera de 10 cm de radio a 5 cm de altura es
\(r\): radio de la base
\(=\)
raíz cuadrada de \(2 \times 10 \times 5 - 5^2\) (= 75)
\(r = \sqrt{2 \times 10 \times 5 - 5^{2}} = \sqrt{100 - 25}\)
\(r = \sqrt{75} \approx 8{,}66\,\mathrm{cm}\)
La idea clave
Si unes el centro de la esfera, el centro del círculo de la base y un punto del borde del corte, obtienes un triángulo rectángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras se llega a \(r^2 = R^2 - (R-h)^2 = 2Rh - h^2\), y de ahí esta fórmula.
Lo de dentro de la raíz se puede escribir como \(2Rh - h^2 = h(2R - h)\), así que, mientras la altura \(h\) no supere el diámetro \(2R\), es mayor o igual que 0 y siempre se puede calcular.
Cómo hallar la altura \(h\) (si conoces \(r\) y \(R\); dos soluciones)
Dibujo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(h\)
\(=\)
\(R\)
\(\pm\)
\(\sqrt{R^{2} - r^{2}}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(h\): altura del casquete
\(=\)
①
\(R\): radio de la esfera
\(\pm\)
②
raíz cuadrada de \(R^2 - r^2\)
La fórmula en palabras
①
Parte del
\(R\): radio de la esfera
②
y súmale o réstale la
raíz cuadrada de \(R^2 - r^2\) (el cuadrado del radio de la esfera menos el cuadrado del radio de la base)
(las dos posibilidades del ±); se obtiene la
③
\(h\): altura del casquete
Un ejemplo sencillo
Al cortar una esfera de 2 m de radio de modo que la base tenga 1 m de radio, la altura del casquete es
\(h\): altura del casquete
\(=\)
radio de la esfera (2 m)
\(\pm\)
raíz cuadrada de \(2^2 - 1^2\) (= 3)
\(h = 2 \pm \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = 2 \pm \sqrt{3} \approx 2 \pm 1{,}732\)
\(h = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268, \quad h = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}732\)
La idea clave
Salen dos respuestas porque, con un mismo círculo de corte, se pueden hacer dos casquetes: uno poco profundo (el pequeño, del lado del vértice) y otro profundo (el grande, el resto de la esfera). La suma de las dos alturas siempre es el diámetro de la esfera, \(2R\) (en el ejemplo, \(0{,}268 + 3{,}732 = 4 = 2R\)).
Cuando \(r = R\) (el corte pasa por la parte más ancha de la esfera), \(\sqrt{R^2 - r^2} = 0\) y solo hay una respuesta, \(h = R\): justo una semiesfera.
Cómo hallar el radio de la esfera \(R\) (si conoces \(r\) y \(h\))
Dibujo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(R\)
\(=\)
\((\)
\(h^{2}\)
\(+\)
\(r^{2}\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2h\)
\()\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
\(R\): radio de la esfera
\(=\)
\((\)
①
altura \(h\) al cuadrado
\(+\)
②
radio de la base \(r\) al cuadrado
\()\)
\(\div\)
\((\)
③
el doble de la altura \(h\), \(2h\)
\()\)
La fórmula en palabras
①
Toma
la altura \(h\) al cuadrado
②
súmale
el radio de la base \(r\) al cuadrado
③
divide entre
el doble de la altura \(h\), \(2h\)
④
y obtienes el
\(R\): radio de la esfera
Un ejemplo sencillo
El radio de la esfera original de una cúpula (casquete) de 3 cm de radio en la base y 2 cm de altura es
\(R\): radio de la esfera
\(=\)
\((\)
altura al cuadrado (\(2^2 = 4\))
\(+\)
radio al cuadrado (\(3^2 = 9\))
\()\)
\(\div\)
\((\)
doble de la altura (\(4\))
\()\)
\(R = \dfrac{2^{2} + 3^{2}}{2 \times 2} = \dfrac{4 + 9}{4} = \dfrac{13}{4} = 3{,}25\,\mathrm{cm}\)
La idea clave
Es la fórmula que permite reconstruir el tamaño de la esfera original a partir de una forma en la que solo queda «un trozo de esfera» (el trozo de un plato, una lente o una cúpula). Solo tienes que medir dos cosas: el radio \(r\) del corte y la altura \(h\) del abombamiento.
El instrumento que mide el «radio de curvatura» de la superficie de una lente o de un espejo, el esferómetro, calcula justo con esta fórmula.
El área de la superficie curva de un casquete esférico se obtiene solo con «2 × número π × radio de la esfera R × altura h» (lo clave es que no aparece el radio de la base r). El área total, que incluye el círculo del corte, es esa área más la del círculo, πr². Con dos cualesquiera de r, R y h se calcula el tercero.
Símbolos y términos
Símbolos
| \(S\) | ese | Una letra que se usa a menudo para un área (de «superficie»). En esta página es el área total del casquete. Los libros de texto españoles suelen escribir \(A\). |
| \(R\) | erre (mayúscula) | El radio de la esfera original (la esfera entera antes de cortarla). Se escribe con mayúscula para distinguirlo del \(r\) (minúscula). |
| \(r\) | erre (minúscula) | El radio de la base (el círculo del corte). Aunque los dos son «radios», es una longitud distinta de la \(R\) mayúscula (el radio de la esfera). |
| \(h\) | hache | La altura del casquete, la distancia desde el plano del corte hasta lo más alto de la superficie esférica. La letra h viene del inglés «height», y es la que se usa en los libros de texto. |
| \(\pi\) | pi | El número π. Es la constante que indica cuántas veces cabe el diámetro en la longitud de la circunferencia. Vale 3,14159… y sus decimales no terminan nunca; en clase se suele calcular con 3,14. |
| \(r^2\) | erre al cuadrado | El número \(r\) multiplicado por sí mismo (\(r \times r\)). El pequeño 2 de arriba a la derecha es un exponente que indica cuántas veces aparece el número como factor. (Ejemplo: \(3^2 = 3 \times 3 = 9\).) |
| \(\sqrt{\phantom{0}}\) | raíz raíz cuadrada | El símbolo del número (mayor o igual que 0) que, elevado al cuadrado, da el número de dentro. (Ejemplo: \(\sqrt{75}\) es «el número que al cuadrado da 75», unos 8,66.) |
| \(\pm\) | más menos | Un símbolo que significa «las dos posibilidades, sumar y restar, son respuestas». En la fórmula 5 indica que la altura \(h\) tiene dos soluciones. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | centímetro cuadrado | Una unidad de área. Un cuadrado de 1 cm de lado tiene un área de 1 cm². El área de esta calculadora sale en la unidad de longitud introducida al cuadrado (m² si introduces m). |
Términos
| casquete esférico | La parte curva que queda al cortar una esfera con un único plano. Tiene forma de cúpula, de cuenco o de lente de contacto. Con rigor, es la superficie curva (zona esférica de una base), pero en la práctica se llama casquete también al cuerpo macizo (en inglés, «spherical cap»). |
| segmento esférico de una base | El «trozo macizo» que queda al cortar una esfera con un único plano. Su superficie está formada por el casquete (la parte curva) y la base (el círculo del corte), y el «área total» de esta página es el área de toda la superficie de este cuerpo. |
| semiesfera | La esfera cortada justo por la mitad con un plano que pasa por su centro (también se llama hemisferio). Es un casquete especial cuya altura \(h\) es igual al radio \(R\) de la esfera (\(h = R\)). |
| área total | El área de toda la superficie exterior de un cuerpo. Es una cantidad distinta del volumen (lo que cabe dentro) y se usa para calcular la superficie que hay que pintar o el papel para envolver. |
| superficie curva | Una superficie que no es plana, sino curva. La «parte redonda» del casquete es una superficie curva, y el círculo del corte es plano. |
| teorema de Pitágoras | En un triángulo rectángulo, «la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa». Las fórmulas de las fórmulas 4 a 6 para hallar el dato que falta salen de aplicar este teorema al triángulo rectángulo que aparece en la sección de la esfera. |
| raíz cuadrada | El número que, elevado al cuadrado, da el número de partida. Su símbolo es \(\sqrt{\phantom{0}}\) (raíz). Aparece en las fórmulas 4 y 5 para «deshacer» el cuadrado. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que conviene saber para usar el cálculo de esta página entendiéndolo de verdad, y no solo pulsando el botón.
| Área del círculo y número π (6.º de Primaria–1.º de ESO, 11-13 años) |
|
| Potencias y exponentes (1.º–2.º de ESO, 12-14 años) |
|
| Fórmula del área de la esfera (2.º de ESO, 13-14 años) |
|
| Raíces cuadradas (2.º–3.º de ESO, 13-15 años) |
|
| El teorema de Pitágoras (2.º–3.º de ESO, 13-15 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para calcular el área del casquete (superficie curva)
| Radio de la esfera R | 10 |
| Altura del casquete h | 5 |
| Área del casquete (superficie curva) | =2*PI()*B1*B2 |
Tabla para calcular el área de la base (el círculo del corte)
| Radio de la base r | 3 |
| Área del círculo de la base | =PI()*B1^2 |
Tabla para calcular el área total (a partir de R y h)
| Radio de la esfera R | 10 |
| Altura del casquete h | 5 |
| Radio de la base r (automático) | =RAIZ(2*B1*B2-B2^2) |
| Área total | =2*PI()*B1*B2+PI()*B3^2 |
Tabla para hallar el radio de la base r
| Radio de la esfera R | 10 |
| Altura del casquete h | 5 |
| Radio de la base r | =RAIZ(2*B1*B2-B2^2) |
Tabla para hallar la altura h (dos soluciones)
| Radio de la base r | 1 |
| Radio de la esfera R | 2 |
| Altura h (Solución 1, casquete poco profundo) | =B2-RAIZ(B2^2-B1^2) |
| Altura h (Solución 2, casquete profundo) | =B2+RAIZ(B2^2-B1^2) |
Tabla para hallar el radio de la esfera R
| Radio de la base r | 3 |
| Altura del casquete h | 2 |
| Radio de la esfera R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Al pegarla, la columna A contiene los nombres y la columna B los números. Las filas de arriba son tus datos, y la fórmula de la última fila calcula el resultado automáticamente con esos valores.
«PI()» es la función que devuelve π (3,14159…) y «RAIZ()» la que calcula la raíz cuadrada. «*» es la multiplicación, «/» la división y «^» la potencia (al cuadrado).
Por ejemplo, la primera tabla muestra en B3 unos 314,16 y la tercera, en B4, unos 549,78. La quinta tabla es un ejemplo con dos soluciones para la altura (unos 0,268 y 3,732). Solo tienes que cambiar los datos por tus propios valores.
«PI()» es la función que devuelve π (3,14159…) y «RAIZ()» la que calcula la raíz cuadrada. «*» es la multiplicación, «/» la división y «^» la potencia (al cuadrado).
Por ejemplo, la primera tabla muestra en B3 unos 314,16 y la tercera, en B4, unos 549,78. La quinta tabla es un ejemplo con dos soluciones para la altura (unos 0,268 y 3,732). Solo tienes que cambiar los datos por tus propios valores.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para calcular el área del casquete (superficie curva)
| Radio de la esfera R | 10 |
| Altura del casquete h | 5 |
| Área del casquete (superficie curva) | =2*PI()*B1*B2 |
Tabla para calcular el área de la base (el círculo del corte)
| Radio de la base r | 3 |
| Área del círculo de la base | =PI()*B1^2 |
Tabla para calcular el área total (a partir de R y h)
| Radio de la esfera R | 10 |
| Altura del casquete h | 5 |
| Radio de la base r (automático) | =RAIZ(2*B1*B2-B2^2) |
| Área total | =2*PI()*B1*B2+PI()*B3^2 |
Tabla para hallar el radio de la base r
| Radio de la esfera R | 10 |
| Altura del casquete h | 5 |
| Radio de la base r | =RAIZ(2*B1*B2-B2^2) |
Tabla para hallar la altura h (dos soluciones)
| Radio de la base r | 1 |
| Radio de la esfera R | 2 |
| Altura h (Solución 1, casquete poco profundo) | =B2-RAIZ(B2^2-B1^2) |
| Altura h (Solución 2, casquete profundo) | =B2+RAIZ(B2^2-B1^2) |
Tabla para hallar el radio de la esfera R
| Radio de la base r | 3 |
| Altura del casquete h | 2 |
| Radio de la esfera R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Funcionan las mismas fórmulas que en Excel (incluidas las funciones PI() y RAIZ()). Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y cambia los datos por tus propios valores.
Cómo calcularlo con Python
import math
ball_radius = 10 # radio de la esfera R (en este ejemplo, en cm)
cap_height = 5 # altura del casquete h
base_radius = math.sqrt(2 * ball_radius * cap_height - cap_height ** 2) # radio r de la base (calculado)
cap_area = 2 * math.pi * ball_radius * cap_height # área del casquete (superficie curva)
base_area = math.pi * base_radius ** 2 # área del círculo de la base
total_area = cap_area + base_area # área total
print(f"Radio de la base r: {base_radius} cm")
print(f"Área del casquete (superficie curva): {cap_area} cm2")
print(f"Área del círculo de la base: {base_area} cm2")
print(f"Área total: {total_area} cm2")
Funciona solo con la biblioteca estándar. «math.pi» es el número π, «math.sqrt()» la raíz cuadrada y «**» la potencia (al cuadrado, en este caso). Cambia arriba el radio de la esfera y la altura y ejecuta el código (el ejemplo corresponde a una entrada en cm). Si quieres hallar el radio de la esfera a partir de r y h, sustituye la línea por «ball_radius = (cap_height ** 2 + base_radius ** 2) / (2 * cap_height)».
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Área del casquete esférico (la superficie curva)
S₁ = 2 × π × R × h
S_{1} = 2 \pi R h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>R</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S_1 = 2 pi R h
Subscript[S, 1] == 2*Pi*R*h
S[1] := 2*Pi*R*h;
S1 = 2*pi*R*h;
S_1 = 2πRh
Área de la base (el círculo del corte)
S₂ = π × r²
S_{2} = \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_2 = pi r^2
Subscript[S, 2] == Pi*r^2
S[2] := Pi*r^2;
S2 = pi*r^2;
S_2 = πr^2
Área total (superficie curva + base)
S = 2πRh + πr²
S = 2\pi R h + \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>R</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>h</mi>
<mo>+</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = 2 pi R h + pi r^2
2*Pi*R*h + Pi*r^2
S := 2*Pi*R*h + Pi*r^2;
S = 2*pi*R*h + pi*r^2;
S = 2πRh + πr^2
Cómo hallar el radio de la base \(r\) (si conoces \(R\) y \(h\))
r = √(2Rh − h²)
r = \sqrt{2Rh - h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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<mi>r</mi>
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<mn>2</mn>
<mi>R</mi>
<mi>h</mi>
<mo>−</mo>
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</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = sqrt(2Rh - h^2)
Sqrt[2*R*h - h^2]
r := sqrt(2*R*h - h^2);
r = sqrt(2*R*h - h^2);
r = √(2Rh − h^2)
Cómo hallar la altura \(h\) (si conoces \(r\) y \(R\); dos soluciones)
h = R ± √(R² − r²)
h = R \pm \sqrt{R^{2} - r^{2}}
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<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<mo>±</mo>
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<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
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</msqrt>
</mrow>
</math>
h = R +- sqrt(R^2 - r^2)
R + {-1, 1}*Sqrt[R^2 - r^2]
h := R + [-1, 1]*sqrt(R^2 - r^2);
h = R + [-1, 1]*sqrt(R^2 - r^2);
h = R ± √(R^2 − r^2)
Cómo hallar el radio de la esfera \(R\) (si conoces \(r\) y \(h\))
R = (h² + r²) ÷ (2h)
R = \dfrac{h^{2} + r^{2}}{2h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
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<mo>+</mo>
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<mrow>
<mn>2</mn>
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<mi>h</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
R = (h^2 + r^2)/(2h)
(h^2 + r^2)/(2*h)
R := (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2h)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo matemático. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no calcules de cabeza ni estimes). Se corta una esfera de 10 cm de radio con un plano, a 5 cm de altura desde el vértice, para obtener un casquete esférico (con forma de cúpula). Calcula: 1. El radio r de la base (el círculo del corte) (r = √(2Rh − h²)) 2. El área de la superficie curva del casquete (S₁ = 2πRh) 3. El área del círculo de la base (S₂ = πr²) 4. El área total (S = S₁ + S₂) Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.
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Calcula a la vez el radio, la longitud de la circunferencia y el área de la base del casquete (el círculo del corte)
