Della calotta sferica (la forma a cupola tagliata da una sfera) inserisci solo i due valori che conosci tra il raggio di base \(r\), il raggio della sfera \(R\) e l’altezza \(h\). Il terzo viene ricavato e poi vengono calcolati l’area della superficie curva (\(2\pi Rh\)), l’area del cerchio di base e il loro totale.
Inserisci solo due valori (lascia vuoto quello che resta). Le lunghezze devono essere numeri maggiori di 0 (anche decimali), tutte nella stessa unità (per esempio tutte in cm). L’area risulta in quell’unità al quadrato (cm² per i cm). Se inserisci \(r\) e \(R\), per l’altezza \(h\) possono comparire due risposte (una calotta bassa e una alta).
Risultato e figura
Inserisci i due valori che conosci tra i tre nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compare il risultato.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
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Area della superficie curva della calotta
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Area della base (il cerchio di taglio)
-
Area totale (superficie curva + base)
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Come trovare il raggio di base \(r\) (quando conosci \(R\) e \(h\))
-
Come trovare l’altezza \(h\) (quando conosci \(r\) e \(R\); due risposte)
-
Come trovare il raggio della sfera \(R\) (quando conosci \(r\) e \(h\))
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Ottieni subito l’area della calotta sferica (la parte a forma di cupola che si ottiene tagliando una sfera con un solo piano)
- Ti basta inserire i due che conosci tra il raggio di base \(r\), il raggio della sfera \(R\) e l’altezza \(h\). Il terzo viene ricavato in automatico
- Mostra insieme, con i passaggi, l’area della superficie curva (\(2\pi Rh\)), l’area della base (il cerchio di taglio) e il loro totale
- La calotta del risultato è mostrata anche in 3D (trascinala per ruotarla)
- In questa stessa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare per Excel, Fogli Google e Python
L’area risulta nel quadrato dell’unità di lunghezza che inserisci (cm² se inserisci i cm, m² se inserisci i m). Questa pagina riguarda la forma che si ottiene tagliando una sfera con un piano (quindi il taglio è un cerchio). Hanno questa forma le cupole, le ciotole, le lenti e i galleggianti che emergono dall’acqua.
A cosa serve questo calcolo?
Stimare l’area di un planetario o del tetto di una cupola (architettura)
Le coperture rotonde di planetari, osservatori e stadi con cupola sono proprio calotte sferiche. La quantità di materiale per il tetto o di vernice si stima dall’area della superficie curva \(2\pi Rh\).
Per esempio, per una cupola di 16 m di diametro (raggio di base 8 m) e 4 m di altezza, la sfera di partenza ha raggio \(R = (4^2 + 8^2) \div (2 \times 4) = 10\) m, e l’area del tetto è \(2\pi \times 10 \times 4 \approx 251\,\mathrm{m^2}\).
Misurare la curvatura di una lente (raggio di curvatura) (ottica e occhiali)
La superficie di una lente per occhiali o di una lente a contatto ha la forma di una calotta sferica, e la sua curvatura si esprime con il raggio della sfera di partenza (il raggio di curvatura). Lo sferometro, lo strumento usato da chi fa le lenti, misura la larghezza \(2r\) della superficie della lente e quanto si alza, \(h\), e ricava il raggio della sfera di partenza con la formula 6 (\(R = (h^2 + r^2) \div 2h\)).
Per esempio, se la superficie si alza di 0,9 mm su un raggio di 6 mm, il raggio di curvatura è \((0{,}9^2 + 6^2) \div 1{,}8 \approx 20{,}5\) mm.
Stimare la copertura per una torta a cupola (cucina e pasticceria)
Quando versi cioccolato o glassa a specchio su una torta a cupola (una semisfera), la quantità che ti serve è proporzionale all’area della superficie. Per una torta semisferica di 12 cm di diametro, \(R = h = 6\) cm, quindi l’area della superficie curva è \(2\pi \times 6 \times 6 \approx 226\,\mathrm{cm^2}\).
Serve anche per stime come «se raddoppio la misura dello stampo, quanta copertura in più mi serve?» (circa 4 volte, perché è un’area).
L’area della parte visibile di una boa o di un galleggiante (mare e barche)
Quando una boa sferica galleggia, la parte sopra il livello dell’acqua è una calotta sferica. Se una boa di raggio 15 cm emerge di 10 cm, l’area a contatto con l’aria è \(2\pi \times 15 \times 10 \approx 942\,\mathrm{cm^2}\).
Sottraendola dall’area della superficie dell’intera sfera, \(4\pi R^2 \approx 2827\,\mathrm{cm^2}\), ottieni che l’area sott’acqua (quella che richiede la vernice antivegetativa) è circa \(1885\,\mathrm{cm^2}\).
Quanto è ampia l’area coperta dal segnale di un satellite (spazio e telecomunicazioni)
L’area sulla Terra raggiunta dal segnale di un satellite (la sua impronta, o «footprint») si può trattare come una parte della superficie terrestre, cioè una calotta sferica. L’area coperta si può stimare come \(2\pi Rh\), usando il raggio della Terra \(R \approx 6371\) km e la profondità \(h\) della regione coperta (in un progetto reale si considera anche come si distribuisce l’intensità del segnale).
La pianificazione di una rete di telecomunicazioni, come «di quanto si allarga la copertura se il satellite sale più in alto?», si basa sull’idea di questa formula.
Formule e figure
Area della superficie curva della calotta
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(S_1\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(R\)
\(\times\)
\(h\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
⑤
\(S_1\): area della superficie curva
\(=\)
④
la costante \(2\)
\(\times\)
③
\(\pi\): pi greco
\(\times\)
①
\(R\): raggio della sfera
\(\times\)
②
\(h\): altezza della calotta
La formula a parole
①
Moltiplica il
\(R\): raggio della sfera
②
per l’
\(h\): altezza della calotta
,
③
moltiplica per
\(\pi\): pi greco
,
④
e poi per
la costante \(2\)
per ottenere l’
⑤
\(S_1\): area della superficie curva
Un esempio semplice
Taglia una sfera di raggio 10 cm in modo che la calotta sia alta 5 cm, misurati dalla sommità. L’area della superficie curva di questa calotta è
\(S_1\): area della superficie curva
\(=\)
la costante \(2\)
\(\times\)
\(\pi\): pi greco
\(\times\)
raggio della sfera (10 cm)
\(\times\)
altezza (5 cm)
\(2 \times \pi \times 10 \times 5 = 100\pi \approx 314{,}2\,\mathrm{cm^2}\)
L’idea chiave
Sorprendentemente, in questa formula il raggio di base \(r\) non compare. L’area della superficie curva di una calotta dipende solo dal raggio \(R\) della sfera di partenza e dall’altezza \(h\). Inoltre \(2\pi Rh\) è esattamente l’area laterale di un cilindro di raggio \(R\) e altezza \(h\). Se tagli una sfera in strati dello stesso spessore, ogni strato ha la stessa area curva, che sia vicino al bordo o al centro. Questa bella proprietà fu scoperta dal matematico greco Archimede.
Se inserisci \(h = 2R\) (l’intera sfera) ottieni \(2\pi R \times 2R = 4\pi R^2\), che coincide esattamente con la formula dell’area della superficie della sfera.
Area della base (il cerchio di taglio)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(S_2\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(S_2\): area del cerchio di base
\(=\)
③
\(\pi\): pi greco
\(\times\)
①
\(r\): raggio di base
②
al quadrato (il numero moltiplicato per se stesso)
La formula a parole
①
Parti dal
\(r\): raggio di base
,
②
calcolane il
quadrato (il numero moltiplicato per se stesso)
,
③
e moltiplica per
\(\pi\): pi greco
per ottenere l’
④
\(S_2\): area del cerchio di base
Un esempio semplice
Per una calotta la cui base (il cerchio di taglio) ha raggio 3 cm, l’area della base è
\(S_2\): area del cerchio di base
\(=\)
\(\pi\): pi greco
\(\times\)
raggio di base (3 cm)
al quadrato
\(\pi \times 3^{2} = 9\pi \approx 28{,}3\,\mathrm{cm^2}\)
L’idea chiave
È semplicemente la solita formula «area del cerchio = pi greco × raggio al quadrato». Ovunque tagli una sfera con un piano, il taglio è sempre un cerchio, quindi l’area della base si ricava dalla formula dell’area del cerchio.
Area totale (superficie curva + base)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(S\)
\(=\)
\(2\pi R h\)
\(+\)
\(\pi r^2\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(S\): area totale
\(=\)
①
area curva \(2\pi Rh\)
\(+\)
②
area di base \(\pi r^2\)
La formula a parole
①
Somma l’
area della superficie curva \(2\pi Rh\) (formula 1)
②
e l’
area del cerchio di base \(\pi r^2\) (formula 2)
per ottenere l’
③
\(S\): area totale
Un esempio semplice
Per una calotta tagliata da una sfera di raggio 10 cm, alta 5 cm (il raggio di base è \(\sqrt{75} \approx 8{,}66\) cm), l’area totale è
\(S\): area totale
\(=\)
area curva (\(100\pi\) cm²)
\(+\)
area di base (\(75\pi\) cm²)
\(2\pi \times 10 \times 5 + \pi \times (\sqrt{75})^{2} = 100\pi + 75\pi\)
\(100\pi + 75\pi = 175\pi \approx 549{,}8\,\mathrm{cm^2}\)
L’idea chiave
L’«area totale» è l’area di tutta la superficie esterna del segmento sferico a una base tagliato dalla sfera (la superficie curva più il cerchio di taglio).
Se vuoi solo la parte curva, come l’area del tetto di una cupola, usa \(S_1 = 2\pi Rh\) della formula 1 (la «Area della superficie curva della calotta» nel risultato).
Come trovare il raggio di base \(r\) (quando conosci \(R\) e \(h\))
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{2Rh - h^{2}}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(r\): raggio di base
\(=\)
①
radice quadrata di \(2Rh - h^2\)
La formula a parole
①
Calcola la
radice quadrata di \(2Rh - h^2\) (2 volte il raggio della sfera per l’altezza, meno il quadrato dell’altezza)
per ottenere il
②
\(r\): raggio di base
Un esempio semplice
Per una calotta tagliata da una sfera di raggio 10 cm, alta 5 cm, il raggio della base (il cerchio di taglio) è
\(r\): raggio di base
\(=\)
radice quadrata di \(2 \times 10 \times 5 - 5^2\) (= 75)
\(r = \sqrt{2 \times 10 \times 5 - 5^{2}} = \sqrt{100 - 25}\)
\(r = \sqrt{75} \approx 8{,}66\,\mathrm{cm}\)
L’idea chiave
Collega tre punti: il centro della sfera, il centro del cerchio di base e un punto sul bordo del taglio. Formano un triangolo rettangolo. Applicando il teorema di Pitagora ottieni \(r^2 = R^2 - (R-h)^2 = 2Rh - h^2\), che dà questa formula.
L’espressione sotto la radice si può riscrivere come \(2Rh - h^2 = h(2R - h)\). Quindi, finché l’altezza \(h\) non supera il diametro \(2R\), è maggiore o uguale a 0 e la radice quadrata si può sempre calcolare.
Come trovare l’altezza \(h\) (quando conosci \(r\) e \(R\); due risposte)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(h\)
\(=\)
\(R\)
\(\pm\)
\(\sqrt{R^{2} - r^{2}}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(h\): altezza della calotta
\(=\)
①
\(R\): raggio della sfera
\(\pm\)
②
radice quadrata di \(R^2 - r^2\)
La formula a parole
①
Al
\(R\): raggio della sfera
,
②
somma o sottrai la
radice quadrata di \(R^2 - r^2\) (il quadrato del raggio della sfera meno il quadrato del raggio di base)
(i due casi di ±). Ottieni così l’
③
\(h\): altezza della calotta
Un esempio semplice
Quando tagli una sfera di raggio 2 m in modo che la base abbia raggio 1 m, l’altezza della calotta è
\(h\): altezza della calotta
\(=\)
raggio della sfera (2 m)
\(\pm\)
radice quadrata di \(2^2 - 1^2\) (= 3)
\(h = 2 \pm \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = 2 \pm \sqrt{3} \approx 2 \pm 1{,}732\)
\(h = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268, \quad h = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}732\)
L’idea chiave
Le risposte sono due perché con lo stesso cerchio di taglio si può ottenere una calotta bassa (il pezzo piccolo dalla parte della sommità) oppure una calotta alta (il pezzo grande che resta). Le due altezze sommate danno sempre il diametro della sfera, \(2R\) (nell’esempio, \(0{,}268 + 3{,}732 = 4 = 2R\)).
Quando \(r = R\) (il taglio passa per la parte più larga della sfera), \(\sqrt{R^2 - r^2} = 0\), quindi c’è una sola risposta, \(h = R\): esattamente una semisfera.
Come trovare il raggio della sfera \(R\) (quando conosci \(r\) e \(h\))
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(R\)
\(=\)
\((\)
\(h^{2}\)
\(+\)
\(r^{2}\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2h\)
\()\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(R\): raggio della sfera
\(=\)
\((\)
①
altezza \(h\) al quadrato
\(+\)
②
raggio di base \(r\) al quadrato
\()\)
\(\div\)
\((\)
③
il doppio dell’altezza, \(2h\)
\()\)
La formula a parole
①
Somma l’
altezza \(h\) al quadrato
②
e il
raggio di base \(r\) al quadrato
,
③
e dividi per
il doppio dell’altezza, \(2h\)
per ottenere il
④
\(R\): raggio della sfera
Un esempio semplice
Per una forma a cupola (una calotta sferica) con raggio di base 3 cm e altezza 2 cm, il raggio della sfera di partenza è
\(R\): raggio della sfera
\(=\)
\((\)
altezza al quadrato (\(2^2 = 4\))
\(+\)
raggio al quadrato (\(3^2 = 9\))
\()\)
\(\div\)
\((\)
il doppio dell’altezza (\(4\))
\()\)
\(R = \dfrac{2^{2} + 3^{2}}{2 \times 2} = \dfrac{4 + 9}{4} = \dfrac{13}{4} = 3{,}25\,\mathrm{cm}\)
L’idea chiave
Questa formula ricostruisce la grandezza della sfera di partenza da una forma che è solo una parte di una palla, come il coccio di un piatto, una lente o una cupola. Ti bastano due misure, il raggio \(r\) del taglio e di quanto la superficie si alza da lì, \(h\), e conosci il raggio della sfera di partenza.
Anche lo sferometro, lo strumento che misura il raggio di curvatura della superficie di una lente o di uno specchio, usa esattamente questa formula.
L’area della superficie curva di una calotta sferica è semplicemente «2 × pi greco (π) × raggio della sfera R × altezza h» (il punto chiave è che il raggio di base r non compare). Per l’area totale, che comprende il cerchio di taglio, basta aggiungere l’area del cerchio πr². Se conosci due qualsiasi tra r, R e h, puoi calcolare il terzo.
Simboli e termini
Simboli
| \(S\) | esse | La lettera che si usa di solito per un’area, da «superficie». In questa pagina indica l’area totale della calotta sferica (con il suo cerchio di base). |
| \(R\) | erre maiuscola | Il raggio della sfera di partenza (l’intera sfera prima del taglio), dall’iniziale di «raggio». Si scrive in maiuscolo per distinguerlo da \(r\) minuscolo. |
| \(r\) | erre minuscola | Il raggio della base (il cerchio di taglio). È anch’esso un raggio, ma una lunghezza diversa da \(R\) maiuscolo (il raggio della sfera), quindi fai attenzione. |
| \(h\) | acca | L’altezza della calotta, la distanza dal piano di taglio alla sommità della superficie curva. La lettera h viene dall’inglese «height». |
| \(\pi\) | pi greco | Il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro. Vale circa 3,14159… e le sue cifre non finiscono mai. A scuola si usa di solito 3,14. |
| \(r^2\) | erre al quadrato | Il numero \(r\) moltiplicato per se stesso (\(r \times r\)). Il piccolo 2 in alto a destra è un esponente. (Esempio: \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)) |
| \(\sqrt{\phantom{0}}\) | radice quadrata (segno di radice) | Il simbolo del numero maggiore o uguale a 0 che, elevato al quadrato, dà il numero di partenza. (Esempio: \(\sqrt{75}\) è il numero il cui quadrato è 75, circa 8,66) |
| \(\pm\) | più o meno | Un simbolo che dice che sono risposte sia il caso «somma» sia il caso «sottrazione». Nella formula 5 mostra che per l’altezza \(h\) ci sono due risposte. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | centimetro quadrato | Un’unità di area. Un quadrato di 1 cm di lato ha un’area di 1 cm². Questa calcolatrice dà l’area nel quadrato dell’unità di lunghezza che inserisci (m² se inserisci i m). |
Termini
| calotta sferica | La parte di superficie sferica che si ottiene tagliando una sfera con un solo piano, a forma di tetto di cupola, di ciotola o di lente a contatto. Nei libri di testo è la superficie curva (la sua area è \(2\pi Rh\)); nell’uso comune si dice «calotta sferica» anche per il solido, che si chiama segmento sferico a una base. |
| segmento sferico a una base | Il solido che si ottiene tagliando una sfera con un solo piano. La sua superficie è fatta della superficie curva e della base (il cerchio di taglio), e l’«area totale» di questa pagina è l’area di tutta la sua superficie. |
| semisfera | Metà di una sfera, tagliata da un piano che passa per il centro. È una calotta sferica particolare, la cui altezza \(h\) è uguale al raggio della sfera \(R\) (\(h = R\)). |
| area della superficie | L’area di tutta la superficie esterna di un solido. È una grandezza diversa dal volume (quanto spazio c’è dentro) ed è quella che serve per cose come verniciare una superficie o incartare un oggetto. |
| superficie curva | Una superficie rotonda, non piana. La parte rotonda di una calotta sferica è una superficie curva, mentre il cerchio di taglio è piano. |
| teorema di Pitagora | Il teorema secondo cui, in un triangolo rettangolo, «la somma dei quadrati dei due cateti è uguale al quadrato dell’ipotenusa». Le formule 4, 5 e 6, che lavorano a ritroso, derivano dall’applicazione di questo teorema al triangolo rettangolo nella sezione della sfera. |
| radice quadrata | Un numero che, elevato al quadrato, dà il numero di partenza. Il simbolo è \(\sqrt{\phantom{0}}\). Compare nelle formule 4 e 5 per «annullare il quadrato». |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
| Area del cerchio e pi greco (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Potenze ed esponenti (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Area della superficie della sfera (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Radici quadrate (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Il teorema di Pitagora (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare l’area della superficie curva
| Raggio della sfera R | 10 |
| Altezza della calotta h | 5 |
| Area della superficie curva | =2*PI.GRECO()*B1*B2 |
Tabella per trovare l’area della base (il cerchio di taglio)
| Raggio di base r | 3 |
| Area del cerchio di base | =PI.GRECO()*B1^2 |
Tabella per trovare l’area totale (da R e h)
| Raggio della sfera R | 10 |
| Altezza della calotta h | 5 |
| Raggio di base r (calcolato) | =RADQ(2*B1*B2-B2^2) |
| Area totale | =2*PI.GRECO()*B1*B2+PI.GRECO()*B3^2 |
Tabella per trovare il raggio di base r
| Raggio della sfera R | 10 |
| Altezza della calotta h | 5 |
| Raggio di base r | =RADQ(2*B1*B2-B2^2) |
Tabella per trovare l’altezza h (due risposte)
| Raggio di base r | 1 |
| Raggio della sfera R | 2 |
| Altezza h (soluzione 1, calotta bassa) | =B2-RADQ(B2^2-B1^2) |
| Altezza h (soluzione 2, calotta alta) | =B2+RADQ(B2^2-B1^2) |
Tabella per trovare il raggio della sfera R
| Raggio di base r | 3 |
| Altezza della calotta h | 2 |
| Raggio della sfera R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Dopo averla incollata, nella colonna A trovi i nomi delle voci e nella colonna B i numeri. Le righe in alto sono i tuoi dati, e la formula dell’ultima riga calcola il risultato in automatico con quei valori.
«PI.GRECO()» è una funzione che restituisce il pi greco (π, 3,14159…) e «RADQ()» è una funzione che trova la radice quadrata. «*» è la moltiplicazione, «/» la divisione e «^» una potenza (il quadrato).
Per esempio, B3 nella prima tabella mostra circa 314,16 e B4 nella terza tabella circa 549,78. La quinta tabella è un esempio con due risposte per l’altezza (circa 0,268 e circa 3,732). Ti basta sostituire i numeri dei dati con i tuoi.
«PI.GRECO()» è una funzione che restituisce il pi greco (π, 3,14159…) e «RADQ()» è una funzione che trova la radice quadrata. «*» è la moltiplicazione, «/» la divisione e «^» una potenza (il quadrato).
Per esempio, B3 nella prima tabella mostra circa 314,16 e B4 nella terza tabella circa 549,78. La quinta tabella è un esempio con due risposte per l’altezza (circa 0,268 e circa 3,732). Ti basta sostituire i numeri dei dati con i tuoi.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare l’area della superficie curva
| Raggio della sfera R | 10 |
| Altezza della calotta h | 5 |
| Area della superficie curva | =2*PI.GRECO()*B1*B2 |
Tabella per trovare l’area della base (il cerchio di taglio)
| Raggio di base r | 3 |
| Area del cerchio di base | =PI.GRECO()*B1^2 |
Tabella per trovare l’area totale (da R e h)
| Raggio della sfera R | 10 |
| Altezza della calotta h | 5 |
| Raggio di base r (calcolato) | =RADQ(2*B1*B2-B2^2) |
| Area totale | =2*PI.GRECO()*B1*B2+PI.GRECO()*B3^2 |
Tabella per trovare il raggio di base r
| Raggio della sfera R | 10 |
| Altezza della calotta h | 5 |
| Raggio di base r | =RADQ(2*B1*B2-B2^2) |
Tabella per trovare l’altezza h (due risposte)
| Raggio di base r | 1 |
| Raggio della sfera R | 2 |
| Altezza h (soluzione 1, calotta bassa) | =B2-RADQ(B2^2-B1^2) |
| Altezza h (soluzione 2, calotta alta) | =B2+RADQ(B2^2-B1^2) |
Tabella per trovare il raggio della sfera R
| Raggio di base r | 3 |
| Altezza della calotta h | 2 |
| Raggio della sfera R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Funzionano le stesse formule di Excel (comprese le funzioni PI.GRECO() e RADQ()). Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e cambia i dati con i tuoi valori.
Come calcolarlo con Python
import math
ball_radius = 10 # raggio della sfera R (in questo esempio, in cm)
cap_height = 5 # altezza della calotta h
base_radius = math.sqrt(2 * ball_radius * cap_height - cap_height ** 2) # raggio di base r (ricavato)
cap_area = 2 * math.pi * ball_radius * cap_height # area della superficie curva della calotta
base_area = math.pi * base_radius ** 2 # area del cerchio di base
total_area = cap_area + base_area # area totale
print(f"Raggio di base r: {base_radius} cm")
print(f"Area della superficie curva: {cap_area} cm2")
print(f"Area del cerchio di base: {base_area} cm2")
print(f"Area totale: {total_area} cm2")
Funziona con la sola libreria standard. «math.pi» è il pi greco (π), «math.sqrt()» è la radice quadrata e «**» è la potenza (qui il quadrato). Cambia in alto il raggio della sfera e l’altezza ed esegui il codice (l’esempio è per un inserimento in cm). Per ricavare invece il raggio della sfera da r e h, sostituisci quella riga con «ball_radius = (cap_height ** 2 + base_radius ** 2) / (2 * cap_height)».
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Area della superficie curva della calotta
S₁ = 2πRh
S_1 = 2\pi R h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>π</mi>
<mi>R</mi>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S_1 = 2 pi R h
2*Pi*R*h
S1 := 2*Pi*R*h;
S1 = 2*pi*R*h;
S_1 = 2πRh
Area della base (il cerchio di taglio)
S₂ = πr²
S_2 = \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_2 = pi r^2
Pi*r^2
S2 := Pi*r^2;
S2 = pi*r^2;
S_2 = πr^2
Area totale (superficie curva + base)
S = 2πRh + πr²
S = 2\pi R h + \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>π</mi><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>+</mo>
<mi>π</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = 2 pi R h + pi r^2
2*Pi*R*h + Pi*r^2
S := 2*Pi*R*h + Pi*r^2;
S = 2*pi*R*h + pi*r^2;
S = 2πRh + πr^2
Come trovare il raggio di base \(r\) (quando conosci \(R\) e \(h\))
r = √(2Rh − h²)
r = \sqrt{2Rh - h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>−</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = sqrt(2Rh - h^2)
Sqrt[2*R*h - h^2]
r := sqrt(2*R*h - h^2);
r = sqrt(2*R*h - h^2);
r = √(2Rh − h^2)
Come trovare l’altezza \(h\) (quando conosci \(r\) e \(R\); due risposte)
h = R ± √(R² − r²)
h = R \pm \sqrt{R^{2} - r^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
h = R +- sqrt(R^2 - r^2)
Solve[r^2 + (R - h)^2 == R^2, h]
solve(r^2 + (R - h)^2 = R^2, h);
h = [R - sqrt(R^2 - r^2), R + sqrt(R^2 - r^2)];
h = R ± √(R^2 − r^2)
Come trovare il raggio della sfera \(R\) (quando conosci \(r\) e \(h\))
R = (h² + r²) ÷ (2h)
R = \dfrac{h^{2} + r^{2}}{2h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
<mrow><mn>2</mn><mi>h</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
R = (h^2 + r^2) / (2h)
(h^2 + r^2)/(2*h)
R := (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2h)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per i calcoli di matematica. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non calcolare a mente e non stimare). Una sfera di raggio 10 cm viene tagliata da un piano a 5 cm dalla sommità per ottenere una calotta sferica (una forma a cupola). Calcola: 1. Il raggio r della base (il cerchio di taglio) (r = √(2Rh − h²)) 2. L’area della superficie curva della calotta (S₁ = 2πRh) 3. L’area del cerchio di base (S₂ = πr²) 4. L’area totale (S = S₁ + S₂) Mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.
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