Scegli «Semplifica un radicale» oppure «Due radicali», poi scrivi il numero davanti alla radice e il numero sotto la radice. La formula qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche modificare direttamente i numeri nella formula.
Un coefficiente lasciato vuoto vale 1 e può essere un numero decimale, negativo o una frazione come 3/4. Il numero sotto la radice deve essere un numero intero uguale o maggiore di 1.
Risultato e grafico
Scrivi il numero sotto la radice nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono la forma semplificata e la retta dei numeri.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
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Che cosa significano radice quadrata e segno di radice
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Semplificare un radicale (si porta fuori il quadrato perfetto)
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Somma e sottrazione di radicali (si riducono i radicali simili)
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Moltiplicazione di radicali (si moltiplicano i radicandi e si ottiene un solo radicale)
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Divisione di radicali e razionalizzazione del denominatore
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
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Come calcolarlo con Python
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La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
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Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
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I punti di forza di DataChef
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Funzioni correlate
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Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Semplifica una radice quadrata come \(\sqrt{48}\) in \(4\sqrt{3}\) (la forma con il più piccolo numero intero possibile sotto la radice). I passaggi mostrano la scomposizione in fattori primi del radicando e come il quadrato perfetto esce dal segno di radice
- Puoi vedere anche che, quando il radicando è un quadrato perfetto, la radice sparisce e resta un numero intero, come in \(\sqrt{36} = 6\)
- Somma, sottrai, moltiplica e dividi radicali come \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\) e \(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2}\), con risposte esatte in forma semplificata
- Quando una divisione lascia una radice al denominatore, la risposta è data con il denominatore razionalizzato. Esempio: \(6 \div \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
- La forma esatta è la risposta principale, accompagnata dal valore decimale e dai due numeri interi tra cui si trova. Una retta dei numeri ne mostra anche la grandezza
- La calcolatrice mostra il radicale scritto come a mano e puoi modificare i numeri dentro la radice o davanti direttamente al suo interno
Questa pagina tratta le radici quadrate di numeri interi positivi. Non tratta le radici quadrate di numeri negativi, le radici cubiche o di indice superiore, né i radicali doppi come \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\).
A cosa serve questo calcolo?
Il rapporto tra i lati dei fogli A4 e A3 (formati di uso quotidiano)
I fogli della serie A, come A4 e A3, sono fatti in modo che il rapporto tra i lati sia \(1 : \sqrt{2}\). Con questo rapporto, piegando a metà il lato lungo il rapporto non cambia, quindi un A3 piegato a metà dà esattamente un A4. In effetti l’A4 misura 210 mm × 297 mm e \(297 \div 210 \approx 1{,}4143\) coincide quasi con \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\).
Se si fissa l’area dell’A0 a 1 metro quadrato e si usa questo rapporto, l’A0 misura 841 mm × 1189 mm. Anche l’«ingrandimento A4 → A3 141%» che compare sulle fotocopiatrici è proprio questo fattore \(\sqrt{2}\).
Trovare una lunghezza in diagonale (edilizia, progettazione, rilievi)
Quando ricavi una diagonale da due lati che si incontrano ad angolo retto (il teorema di Pitagora), la risposta è spesso un radicale. La diagonale di un quadrato di lato 1 m è \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) m, e per lati di 3 m e 4 m è \(\sqrt{25} = 5\) m.
Nei cantieri e nei lavori di falegnameria si misura questa diagonale per controllare che l’angolo sia retto (la regola 3-4-5). Su un progetto, invece di scrivere un valore come \(\sqrt{18}\) m, scrivilo semplificato come \(3\sqrt{2}\) m e capisci subito che è 3 volte \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\), cioè circa 4,24 m.
La deviazione standard, la dispersione dei dati (statistica e controllo qualità)
La deviazione standard è la radice quadrata della media dei quadrati degli scarti dalla media (la varianza). Elevare al quadrato e poi estrarre la radice riporta il risultato alla stessa unità di misura dei dati di partenza.
Per esempio, i cinque valori 4, 6, 8, 10, 12 hanno media 8 e varianza 8, quindi la deviazione standard è \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\). I voti di una verifica, la variabilità dei prodotti in una fabbrica, i valori di riferimento delle analisi del sangue: le radici quadrate compaiono ovunque si trattano dei dati.
Quanto dura una caduta e il periodo di un pendolo (fisica)
Un oggetto lasciato cadere da un’altezza di \(h\) metri arriva a terra in \(\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\) secondi (\(g\), l’accelerazione di gravità, vale circa 9,8), cioè circa 1,01 secondi da 5 m. Anche il tempo di un’oscillazione completa di un pendolo è proporzionale alla radice quadrata della lunghezza del filo (circa 2,0 secondi per un pendolo lungo 1 m).
Questa relazione, «il tempo è proporzionale alla radice quadrata della distanza», si usa in situazioni quotidiane come la progettazione di orologi e giochi per bambini e l’analisi di cadute accidentali.
Ricavare la velocità dalle tracce di frenata (rilievi degli incidenti stradali)
Dalla lunghezza delle tracce di frenata lasciate dai pneumatici sulla strada si può stimare la velocità all’inizio della frenata con \(\sqrt{2\mu g d}\) (\(\mu\) è il coefficiente di attrito tra strada e pneumatici, \(g\) l’accelerazione di gravità, \(d\) la lunghezza della traccia). Su asfalto asciutto con \(\mu = 0{,}7\) e una traccia di 20 m si ha \(\sqrt{274{,}4} \approx 16{,}6\) m/s, cioè circa 60 km/h.
Questa stima si usa davvero nei rilievi degli incidenti stradali. Spiega anche un fatto chiave per la guida sicura: se la velocità raddoppia, lo spazio di frenata (la distanza da quando i freni cominciano a agire fino all’arresto) diventa quattro volte più lungo, perché lo spazio di frenata è proporzionale al quadrato della velocità.
Formule e figure
Che cosa significano radice quadrata e segno di radice
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\left(\sqrt{a}\right)^{2}\)
\(=\)
\(a\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
\(\sqrt{a}\), il numero positivo il cui quadrato è \(a\), elevato di nuovo al quadrato
\(=\)
②
\(a\): numero sotto la radice
La formula a parole
①
Per un numero \(a\) uguale o maggiore di 0, prendi
\(\sqrt{a}\), il numero positivo il cui quadrato è \(a\), elevato di nuovo al quadrato
②
e torni al
\(a\): numero sotto la radice
stesso
Un esempio semplice
La radice quadrata di \(2\), \(\sqrt{2}\), è la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato \(1\). Elevandola al quadrato si ottiene
la diagonale \(\sqrt{2}\) al quadrato
\(=\)
numero sotto la radice, \(2\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{2} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\)
\(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\)
L’idea chiave
Immagina un quadrato di area \(a\). La lunghezza del suo lato è esattamente \(\sqrt{a}\). Elevando il lato al quadrato si riottiene l’area \(a\), ed è questo che significa il segno di radice.
\(\sqrt{2}\) e \(\sqrt{3}\) non si possono scrivere come frazioni (sono numeri irrazionali). Come numeri decimali non finiscono mai e non sono periodici. Quindi, invece di scrivere \(1{,}41421356\dots\) all’infinito, il solo simbolo \(\sqrt{2}\) dà il valore esatto.
I numeri il cui quadrato è \(a\) sono due: \(+\sqrt{a}\) e \(-\sqrt{a}\). Per convenzione, il simbolo \(\sqrt{a}\) indica solo quello positivo (la radice quadrata aritmetica).
Semplificare un radicale (si porta fuori il quadrato perfetto)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\sqrt{a^{2}b}\)
\(=\)
\(a\)
\(\sqrt{b}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
una radice quadrata il cui radicando è un quadrato perfetto \(a^2\) per il resto \(b\)
\(=\)
①
\(a\): radice del quadrato perfetto (esce dal segno di radice)
②
\(\sqrt{b}\): radice quadrata del resto (resta dentro)
La formula a parole
①
Per numeri \(a\) e \(b\) uguali o maggiori di 0, dividi il radicando in «quadrato perfetto × il resto». Porta
\(a\): radice del quadrato perfetto
fuori dal segno di radice
②
lascia
\(\sqrt{b}\): radice quadrata del resto
dentro e moltiplica. Il risultato è uguale alla
③
radice quadrata di partenza \(\sqrt{a^2b}\)
Un esempio semplice
Poiché \(48 = 2^4 \times 3 = 4^2 \times 3\), \(\sqrt{48}\) diventa
radice quadrata di partenza \(\sqrt{48}\)
\(=\)
esce \(4\)
resta dentro \(\sqrt{3}\)
\(48 = 2^{4} \times 3 = 4^{2} \times 3\)
\(\sqrt{48} = \sqrt{4^{2} \times 3} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}9282\)
L’idea chiave
Per capire perché può uscire, scrivi \(\sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \times \sqrt{b}\). \(\sqrt{a^2}\) è «il numero positivo il cui quadrato è \(a^2\)», cioè proprio \(a\). Quindi solo \(a\) esce dal segno di radice, e \(\sqrt{b}\) resta dentro.
La scomposizione in fattori primi è il modo sicuro per trovare i quadrati perfetti. Ogni coppia dello stesso fattore primo fa uscire una copia di quel primo, e restano dentro solo i primi rimasti senza compagno. Per esempio \(72 = 2^3 \times 3^2\). Ci sono tre 2, che formano una coppia, quindi un 2 esce e un 2 resta dentro. Ci sono due 3, esattamente una coppia, quindi un 3 esce. Quindi \(\sqrt{72} = 2 \times 3 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
Ci sono due motivi per semplificare. Primo, la grandezza si vede meglio: \(\sqrt{48}\) dice poco a prima vista, ma \(4\sqrt{3}\) è 4 volte \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\), cioè circa 6,9. Secondo, valori uguali finiscono nella stessa forma, così puoi controllare le risposte e riordinare le espressioni.
Somma e sottrazione di radicali (si riducono i radicali simili)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(p\sqrt{a}\)
\(+\)
\(q\sqrt{a}\)
\(=\)
\(\left(p+q\right)\sqrt{a}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
\(p\) copie di \(\sqrt{a}\)
\(+\)
②
\(q\) copie di \(\sqrt{a}\)
\(=\)
③
\(p+q\) copie di \(\sqrt{a}\)
La formula a parole
①
Quando i radicandi sono uguali, \(a\),
\(p\) copie di \(\sqrt{a}\)
②
più
\(q\) copie di \(\sqrt{a}\)
sono pezzi della stessa misura, quindi puoi sommare i numeri, e ottieni
③
\(p+q\) copie di \(\sqrt{a}\)
Un esempio semplice
In \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\), entrambi sono fatti di pezzi \(\sqrt{2}\), quindi
3 copie di \(\sqrt{2}\)
\(+\)
5 copie di \(\sqrt{2}\)
\(=\)
8 copie di \(\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = \left(3+5\right)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \approx 11{,}3137\)
L’idea chiave
È la stessa idea di «3 mele + 5 mele = 8 mele». Quando in algebra riduci \(3x + 5x = 8x\), la \(x\) qui è semplicemente \(\sqrt{2}\). Si chiama riduzione dei radicali simili.
Al contrario, i radicali con radicandi diversi non si possono ridurre a uno solo. L’errore più comune è sommare i radicandi, scrivendo \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}\). Non è vero. Un esempio con numeri interi lo chiarisce: \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\), ma \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), un numero completamente diverso. La sottrazione è uguale: \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) non è nemmeno \(\sqrt{a-b}\).
Quindi \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) non è \(\sqrt{5}\) (in realtà \(\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3{,}1463\), mentre \(\sqrt{5} \approx 2{,}2361\)). La risposta è \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) così com’è. Non forzare insieme cose che non si possono ridurre è il modo corretto di rispondere.
Radicali che sembrano diversi possono diventare radicali simili dopo la semplificazione. \(\sqrt{2} + \sqrt{8}\) non sembra riducibile, ma \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), quindi \(\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\). Per somma e sottrazione, il primo passo è sempre semplificare entrambi i radicali.
Moltiplicazione di radicali (si moltiplicano i radicandi e si ottiene un solo radicale)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\sqrt{a}\)
\(\times\)
\(\sqrt{b}\)
\(=\)
\(\sqrt{ab}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
radice quadrata di \(a\)
\(\times\)
②
radice quadrata di \(b\)
\(=\)
③
radice quadrata del prodotto dei radicandi, \(ab\)
La formula a parole
①
Per numeri \(a\) e \(b\) entrambi uguali o maggiori di 0, moltiplicare la
radice quadrata di \(a\), \(\sqrt{a}\)
②
per la
radice quadrata di \(b\), \(\sqrt{b}\)
significa moltiplicare tra loro i radicandi, e si ottiene la
③
radice quadrata di \(ab\), \(\sqrt{ab}\)
Un esempio semplice
Per \(\sqrt{3} \times \sqrt{6}\), moltiplica i radicandi per ottenere \(\sqrt{18}\), poi semplifica
\(\sqrt{3}\)
\(\times\)
\(\sqrt{6}\)
\(=\)
\(\sqrt{18}\) (semplificato, \(3\sqrt{2}\))
\(\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{3 \times 6} = \sqrt{18}\)
\(\sqrt{18} = \sqrt{3^{2} \times 2} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}2426\)
L’idea chiave
Ha senso se pensi a un rettangolo con altezza \(\sqrt{a}\) e base \(\sqrt{b}\): la sua area è \(\sqrt{ab}\). A differenza della somma, la moltiplicazione riunisce i radicali in uno solo anche quando i radicandi sono diversi.
Se davanti ai radicali ci sono dei numeri, moltiplica tra loro i numeri davanti e, separatamente, i radicandi. Per esempio, \(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2} = (2 \times 3)\sqrt{6 \times 2} = 6\sqrt{12}\). Poi semplifica \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) e ottieni \(6 \times 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\). Dopo la moltiplicazione il radicando diventa più grande e spesso contiene un quadrato perfetto, quindi non dimenticare di semplificare alla fine.
Moltiplicare un radicale per se stesso fa sparire la radice (\(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = \sqrt{25} = 5\)). Dice la stessa cosa della prima formula, \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\).
Nota che questa formula vale solo quando \(a\) e \(b\) sono entrambi uguali o maggiori di 0. Non funziona allo stesso modo per le radici quadrate dei numeri negativi (numeri immaginari), quindi non usarla quando sotto la radice c’è un numero negativo.
Divisione di radicali e razionalizzazione del denominatore
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{a} \times \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{ab}}{b}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
una radice rimasta al denominatore
\(=\)
②
numeratore e denominatore entrambi moltiplicati per \(\sqrt{b}\)
\(=\)
③
il denominatore è ora il numero intero \(b\)
La formula a parole
①
Per \(a\) uguale o maggiore di 0 e \(b\) positivo (è un denominatore, quindi non 0), scrivi la divisione come frazione, con
una radice rimasta al denominatore
②
Riscrivila con
numeratore e denominatore entrambi moltiplicati per \(\sqrt{b}\)
Il denominatore diventa \(\sqrt{b} \times \sqrt{b} = b\), quindi la radice sparisce, e
③
il denominatore è ora il numero intero \(b\)
Un esempio semplice
Riscrivendo \(1 \div \sqrt{3}\) senza radice al denominatore si ottiene
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(=\)
entrambi moltiplicati per \(\sqrt{3}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}5774\)
L’idea chiave
Moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso numero non cambia il valore di una frazione. La razionalizzazione del denominatore sfrutta questo per togliere la radice solo dal denominatore. Cambia l’aspetto, non il valore, quindi \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) e \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) sono lo stesso numero (circa 0,5774).
Le risposte si scrivono senza radice al denominatore perché la grandezza si giudica più facilmente e le risposte si confrontano più facilmente. Con \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) dovresti dividere 1 per 1,73…, mentre con \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) devi solo dividere 1,73… per 3.
I passaggi sono gli stessi quando davanti ai radicali ci sono dei numeri: dividi i numeri davanti, poi razionalizza la parte con la radice (esempio: \(6\sqrt{6} \div 3\sqrt{2} = 2\sqrt{3}\)). Quando il denominatore ha due termini, come \(\sqrt{3} + 1\), serve un altro metodo (moltiplicare per l’espressione coniugata). Questa calcolatrice tratta solo i denominatori con una sola radice.
Semplificare un radicale significa scomporre il radicando in fattori primi, trovare i quadrati perfetti e portare le loro radici fuori dal segno di radice (\(\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}\)). In somma e sottrazione si possono ridurre solo i radicali con lo stesso radicando (radicali simili). In moltiplicazione e divisione i radicandi si possono moltiplicare o dividere tra loro. Per convenzione, un quoziente si scrive senza radice al denominatore (con il denominatore razionalizzato).
Simboli e termini
Simboli
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | radice quadrata (segno di radice) | Il simbolo della radice quadrata, detto segno di radice. Si dice che derivi da una r stilizzata, l’iniziale della parola latina radix, «radice». Indica il numero positivo il cui quadrato è il numero scritto sotto, come in \(\sqrt{9} = 3\). |
| \(\sqrt{a}\) | radice quadrata di a | La radice quadrata positiva di \(a\). Elevata al quadrato dà di nuovo \(a\) (\(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\)). Il numero \(a\) sotto la radice deve essere uguale o maggiore di 0. |
| \(a\sqrt{b}\) | a radice di b | \(a\) per \(\sqrt{b}\) (il segno di moltiplicazione è omesso). Un radicale semplificato ha questa forma: \(a\) è il numero uscito dalla radice e \(b\) è il numero rimasto dentro. |
| \(a^2\) | a al quadrato | \(a\) moltiplicato per se stesso (\(a \times a\)). Il piccolo 2 in alto a destra indica quante volte si moltiplica. Il primo lavoro nel semplificare un radicale è trovare questa forma al suo interno. |
| \(\approx\) | è circa uguale a | Il simbolo di «circa uguale». Il valore di un radicale non è esatto, quindi quando lo scrivi come numero decimale usi questo simbolo, come in \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\). |
| \(p, q\) | p, q | Lettere usate spesso per i numeri davanti ai radicali. In questa pagina, come in \(p\sqrt{a} + q\sqrt{a}\), indicano quante copie di \(\sqrt{a}\) ci sono. |
| \(<\) | è minore di | Il simbolo che dice che il primo membro è minore del secondo. In questa pagina serve a mostrare tra quali due numeri interi si trova un radicale, come in \(6 < 4\sqrt{3} < 7\). |
Termini
| radice quadrata | Un numero il cui quadrato è il numero dato. \(9\) ha due radici quadrate, \(3\) e \(-3\). Quella positiva si scrive \(\sqrt{9}\) e quella negativa \(-\sqrt{9}\). |
| segno di radice | Il simbolo √ della radice quadrata. Un’espressione come \(\sqrt{5}\) si chiama radicale e indica la radice quadrata positiva del numero scritto dentro. |
| radicando | Il numero sotto il segno di radice. In \(\sqrt{48}\), il radicando è 48. |
| semplificazione di un radicale | La forma che si ottiene semplificando un radicale senza cambiarne il valore: i quadrati perfetti vengono portati fuori in modo che il radicando sia il più piccolo numero intero possibile (\(\sqrt{48} \to 4\sqrt{3}\)). Non c’è nemmeno una radice al denominatore. |
| quadrato perfetto | Un numero che si ottiene elevando al quadrato un numero intero, come \(1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots\). Se il radicando è un quadrato perfetto, la radice sparisce e resta un numero intero (\(\sqrt{36} = 6\)). |
| fattore quadrato | Un divisore di un numero che è un quadrato perfetto. \(48\) ha il fattore quadrato \(16 = 4^2\), quindi \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\). I numeri il cui unico fattore quadrato è \(1\) (\(2, 3, 5, 6, 7, 10, \dots\)) non si possono semplificare ulteriormente. |
| scomposizione in fattori primi | Scrivere un numero intero come prodotto di soli numeri primi (\(48 = 2^4 \times 3\)). Ogni coppia dello stesso fattore primo fa uscire una copia dal segno di radice, quindi i primi con esponente pari escono del tutto e quelli con esponente dispari ne lasciano una copia dentro. È il modo sicuro per trovare i quadrati perfetti. |
| numero primo | Un numero intero uguale o maggiore di 2 che è divisibile solo per 1 e per se stesso, come \(2, 3, 5, 7, 11, \dots\). I primi sono i mattoni della scomposizione in fattori primi. |
| radicali simili | Radicali con lo stesso indice e lo stesso radicando, come \(3\sqrt{2}\) e \(5\sqrt{2}\) (come i termini simili \(3x\) e \(5x\) in algebra). Solo i radicali simili si possono ridurre a uno solo. |
| razionalizzazione del denominatore | Riscrivere una frazione con una radice al denominatore moltiplicando numeratore e denominatore per lo stesso numero, in modo che al denominatore non resti nessuna radice. Il valore non cambia (\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)). |
| numero razionale | Un numero che si può scrivere come frazione di due numeri interi. Numeri interi, decimali finiti e decimali periodici sono tutti razionali. «Razionale» viene da «rapporto» (ratio). |
| numero irrazionale | Un numero che non si può scrivere come frazione. Come numero decimale non finisce mai e non è periodico. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) e \(\pi\) sono irrazionali. |
| numero reale | Tutti i numeri razionali e irrazionali insieme, che corrispondono ai punti della retta dei numeri. Questa pagina lavora con le radici quadrate nell’ambito dei numeri reali. |
| valore approssimato | Un valore vicino al valore esatto, usato al suo posto. In \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\), il secondo membro è un valore approssimato. Un radicale non è mai esatto, quindi ogni numero decimale che ne scrivi è un’approssimazione. |
| numero immaginario | Un numero che non è reale. Se \(i\) è il numero il cui quadrato è \(-1\), le radici quadrate di \(-4\) sono \(2i\) e \(-2i\). Le radici quadrate dei numeri negativi sono immaginarie e non si possono mettere sulla retta dei numeri. Si studiano con i numeri complessi negli ultimi anni della scuola secondaria di secondo grado. |
| radicale doppio | Un radicale con un altro radicale dentro, come \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\). Quando le condizioni sono giuste, si può riscrivere senza l’annidamento, come \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\). Questa calcolatrice non li tratta. |
| retta dei numeri | I numeri disposti come punti su una retta. Permette di vedere quanto è grande un radicale e tra quali due numeri interi si trova. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a ripassare questi argomenti è la strada più veloce.
| Potenze e quadrati (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Scomposizione in fattori primi (scuola primaria e secondaria di primo grado) |
|
| Il significato della radice quadrata (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Monomi simili in algebra (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Frazioni e semplificazione (scuola primaria e scuola secondaria di primo grado) |
|
| Il teorema di Pitagora (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per verificare che cosa significa radice quadrata
| Numero sotto la radice a | 3 |
| Valore di √a | =RADQ(B1) |
| √a al quadrato (torna a B1) | =B2^2 |
Tabella per verificare un radicale semplificato
| Numero che esce dalla radice a | 4 |
| Numero che resta dentro b | 3 |
| Numero di partenza a²×b | =B1^2*B2 |
| Valore di √(a²b) | =RADQ(B3) |
| Valore di a√b (lo stesso) | =B1*RADQ(B2) |
Tabella per verificare la somma di radicali
| Numero sotto la radice a | 2 |
| Primo coefficiente p | 3 |
| Secondo coefficiente q | 5 |
| Valore di p√a + q√a | =B2*RADQ(B1)+B3*RADQ(B1) |
| Valore di (p+q)√a (lo stesso) | =(B2+B3)*RADQ(B1) |
Tabella per verificare la moltiplicazione di radicali
| Primo numero sotto la radice a | 3 |
| Secondo numero sotto la radice b | 6 |
| Valore di √a × √b | =RADQ(B1)*RADQ(B2) |
| Valore di √(ab) (lo stesso) | =RADQ(B1*B2) |
| Valore di 3√2 semplificato (lo stesso) | =3*RADQ(2) |
Tabella per verificare la razionalizzazione del denominatore
| Numero sotto la radice b | 3 |
| Valore di 1 ÷ √b | =1/RADQ(B1) |
| Valore di √b ÷ b (lo stesso) | =RADQ(B1)/B1 |
Copia una tabella e incollala nella cella A1. Le righe in alto sono i dati da inserire e le righe in basso si calcolano da sole. RADQ è la funzione della radice quadrata e «^» è la potenza.
La prima tabella mette 3 in a: √3 vale 1,732050808… e, elevato al quadrato, torna 3.
La seconda tabella mette 4 in a e 3 in b. Il numero di partenza è 48, e √48 e 4√3 danno entrambi 6,928203230….
La terza tabella è 3√2 + 5√2 e i due calcoli danno 11,31370850…. La quarta tabella è √3 × √6 e le tre formule danno 4,242640687….
La quinta tabella è 1 ÷ √3 e il valore razionalizzato √3 ÷ 3 dà lo stesso 0,5773502692…. Cambia i valori e puoi controllare che funziona per qualsiasi combinazione.
Nota che Excel mostra valori approssimati decimali. Usa la calcolatrice di questa pagina per vedere le forme esatte come 4√3.
La prima tabella mette 3 in a: √3 vale 1,732050808… e, elevato al quadrato, torna 3.
La seconda tabella mette 4 in a e 3 in b. Il numero di partenza è 48, e √48 e 4√3 danno entrambi 6,928203230….
La terza tabella è 3√2 + 5√2 e i due calcoli danno 11,31370850…. La quarta tabella è √3 × √6 e le tre formule danno 4,242640687….
La quinta tabella è 1 ÷ √3 e il valore razionalizzato √3 ÷ 3 dà lo stesso 0,5773502692…. Cambia i valori e puoi controllare che funziona per qualsiasi combinazione.
Nota che Excel mostra valori approssimati decimali. Usa la calcolatrice di questa pagina per vedere le forme esatte come 4√3.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per verificare che cosa significa radice quadrata
| Numero sotto la radice a | 3 |
| Valore di √a | =RADQ(B1) |
| √a al quadrato (torna a B1) | =B2^2 |
Tabella per verificare un radicale semplificato
| Numero che esce dalla radice a | 4 |
| Numero che resta dentro b | 3 |
| Numero di partenza a²×b | =B1^2*B2 |
| Valore di √(a²b) | =RADQ(B3) |
| Valore di a√b (lo stesso) | =B1*RADQ(B2) |
Tabella per verificare la somma di radicali
| Numero sotto la radice a | 2 |
| Primo coefficiente p | 3 |
| Secondo coefficiente q | 5 |
| Valore di p√a + q√a | =B2*RADQ(B1)+B3*RADQ(B1) |
| Valore di (p+q)√a (lo stesso) | =(B2+B3)*RADQ(B1) |
Tabella per verificare la moltiplicazione di radicali
| Primo numero sotto la radice a | 3 |
| Secondo numero sotto la radice b | 6 |
| Valore di √a × √b | =RADQ(B1)*RADQ(B2) |
| Valore di √(ab) (lo stesso) | =RADQ(B1*B2) |
| Valore di 3√2 semplificato (lo stesso) | =3*RADQ(2) |
Tabella per verificare la razionalizzazione del denominatore
| Numero sotto la radice b | 3 |
| Valore di 1 ÷ √b | =1/RADQ(B1) |
| Valore di √b ÷ b (lo stesso) | =RADQ(B1)/B1 |
Le formule sono le stesse di Excel e funzionano così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri con i tuoi.
Come calcolarlo con Python
from math import isqrt
def simplify_radical(n):
# Riscrivi √n come a√b (b non ha fattori quadrati perfetti) e restituisci (a, b)
outside = 1
inside = n
d = 2
while d * d <= inside:
while inside % (d * d) == 0:
inside //= d * d
outside *= d
d += 1
return outside, inside
outside, inside = simplify_radical(48)
if inside == 1:
print(f"√48 = {outside}")
else:
print(f"√48 = {outside}√{inside}")
# Controlla anche con i valori decimali (sono uguali)
print(48 ** 0.5, outside * inside ** 0.5)
# Se il radicando è un quadrato perfetto, la radice sparisce
print(simplify_radical(36), isqrt(36))
Usa solo la libreria standard. Prova d = 2, 3, 4, … in ordine. Finché il numero è divisibile per d al quadrato, continua a dividere e porta fuori un d dal segno di radice a ogni volta. Eseguendolo stampa «√48 = 4√3», poi due volte lo stesso valore decimale, il che mostra che il valore è uguale prima e dopo la semplificazione (Python scrive i decimali con il punto). L’ultima riga riguarda √36, dove la radice sparisce, e stampa (6, 1) e 6. Cambia i numeri e prova.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Che cosa significano radice quadrata e segno di radice
(√a)² = a
\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msqrt><mi>a</mi></msqrt><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
(sqrt(a))^2 = a
Sqrt[a]^2 == a
sqrt(a)^2 = a;
sqrt(a)^2 == a
(√a)^2 = a
Semplificare un radicale (si porta fuori il quadrato perfetto)
√(a²b) = a√b
\sqrt{a^{2}b} = a\sqrt{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>b</mi></mrow></msqrt>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a^2 b) = a sqrt(b)
Sqrt[a^2 b] == a Sqrt[b]
sqrt(a^2*b) = a*sqrt(b);
sqrt(a^2*b) == a*sqrt(b)
√(a^2 b) = a√b
Somma e sottrazione di radicali (si riducono i radicali simili)
p√a + q√a = (p + q)√a
p\sqrt{a} + q\sqrt{a} = \left(p + q\right)\sqrt{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>p</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
p sqrt(a) + q sqrt(a) = (p + q) sqrt(a)
p Sqrt[a] + q Sqrt[a] == (p + q) Sqrt[a]
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) = (p + q)*sqrt(a);
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) == (p + q)*sqrt(a)
p√a + q√a = (p + q)√a
Moltiplicazione di radicali (si moltiplicano i radicandi e si ottiene un solo radicale)
√a × √b = √(ab)
\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>×</mo>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a) * sqrt(b) = sqrt(a b)
Sqrt[a] Sqrt[b] == Sqrt[a b]
sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(a*b);
sqrt(a)*sqrt(b) == sqrt(a*b)
√a × √b = √(ab)
Divisione di radicali e razionalizzazione del denominatore
√a ÷ √b = √(ab) / b
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
<mrow><msqrt><mi>b</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac><msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
sqrt(a)/sqrt(b) = (sqrt(a) sqrt(b))/(sqrt(b) sqrt(b)) = sqrt(a b)/b
Sqrt[a]/Sqrt[b] == Sqrt[a b]/b
sqrt(a)/sqrt(b) = sqrt(a*b)/b;
sqrt(a)/sqrt(b) == sqrt(a*b)/b
√a/√b = √(ab)/b
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di calcolo per la matematica (radici quadrate). Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con il calcolo a mente né a intuito). 1. Semplifica √48 in modo che il numero sotto la radice sia il più piccolo numero intero possibile. 2. Mostra anche la scomposizione in fattori primi di 48 usata lungo il percorso. 3. Dai 3√2 + 5√2, 2√6 × 3√2 e 6 ÷ √3 ciascuno in forma semplificata (per la divisione, senza radice al denominatore). In Python scrivi una tua funzione che scompone il radicando in fattori primi e porta fuori i quadrati perfetti, e controlla che i valori decimali prima e dopo la semplificazione coincidano. Mostra il codice usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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