Calcolatrice del prodotto vettoriale (componenti, area del parallelogramma, versore normale)

Scrivi le componenti dei due vettori a e b. La formula qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche calcolare modificando direttamente i numeri in colonna al suo interno. Per i vettori del piano, lascia vuoti (0) i campi della componente z.

Componente x di a (a₁)

Componente y di a (a₂)

Componente z di a (a₃)

Componente x di b (b₁)

Componente y di b (b₂)

Componente z di b (b₃)

Scrivi solo numeri. Sono accettati decimali, numeri negativi e frazioni come 3/4. Le componenti vuote valgono 0.

Risultato e figura

Scrivi le componenti dei due vettori nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compariranno il risultato e una figura 3D.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e figure
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Scrivi le componenti di due vettori 3D \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) e ottieni le componenti del prodotto vettoriale \(\vec{a}\times\vec{b}\), con ogni passaggio dei prodotti in croce
Il modulo \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) (l’area del parallelogramma formato dai due vettori) viene mostrato sia come valore esatto con una radice quadrata, come \(3\sqrt{6}\), sia in decimale. Viene calcolata nello stesso momento anche l’area del triangolo (la metà)
Ottieni anche il versore normale \(\vec{n}\), perpendicolare sia a \(\vec{a}\) sia a \(\vec{b}\), l’angolo \(\theta\) tra i due vettori e la verifica che i prodotti scalari valgano 0 (prova della perpendicolarità)
Il risultato è disegnato anche come figura 3D che puoi ruotare con il mouse, così vedi come il prodotto vettoriale sta perpendicolare al parallelogramma (regola della mano destra)
Le componenti possono essere decimali, numeri negativi o frazioni come 3/4. Lascia vuote le componenti z (0) per usarla anche con vettori del piano
In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python

Il prodotto vettoriale è definito solo per i vettori dello spazio 3D. Per i vettori del piano si considera la componente z uguale a 0; il prodotto vettoriale ha allora solo la componente z. In Italia di solito si incontra in fisica (momento di una forza, forza di Lorentz) e nella geometria analitica dello spazio, poi all’università. In ingegneria, fisica e grafica 3D è uno dei primi strumenti di base che si imparano.

A cosa serve questo calcolo?

L’ombreggiatura nella grafica 3D e nei videogiochi (trovare da che parte è rivolta una superficie)

Nelle immagini 3D dei videogiochi e dei film, la superficie di un oggetto è suddivisa in tanti piccoli triangoli. Il vettore normale che indica da che parte è rivolto ogni triangolo si calcola come prodotto vettoriale di due vettori dei suoi lati. Come si relazionano la direzione della luce e questo vettore normale decide se la superficie appare chiara o scura.
Le superfici curve sembrano illuminate in modo uniforme perché l’ombreggiatura si calcola da questi vettori normali, faccia per faccia.

Stringere un bullone con una chiave (momento di una forza)

L’effetto rotante di una forza si chiama momento della forza (o momento torcente, in inglese torque). È il prodotto vettoriale del vettore che va dal centro di rotazione al punto in cui spingi e del vettore della forza. Il suo modulo, \(|\vec{r}||\vec{F}|\sin\theta\), corrisponde all’esperienza di ogni giorno: «una chiave più lunga gira più facilmente» e «spingere ad angolo retto rispetto al manico funziona meglio».
I meccanici usano una chiave dinamometrica per stringere i bulloni dell’auto a un valore stabilito, perché è questa la grandezza che devono controllare.

Come gira un motore elettrico (forza di un campo magnetico)

Una corrente elettrica in un campo magnetico subisce una forza perpendicolare sia alla corrente sia al campo. La direzione e l’intensità di questa forza sono date dal prodotto vettoriale del vettore della corrente e del vettore del campo magnetico (per una singola carica come un elettrone, è il prodotto vettoriale tra la sua velocità e il campo, \(\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}\), la forza di Lorentz). Questa forza perpendicolare è ciò che fa girare un motore e muove il cono di un altoparlante.
La regola della mano destra che si studia in fisica a scuola è un modo per trovare con la mano la direzione di questo prodotto vettoriale.

Rilievo topografico e area dei terreni (area dalle coordinate)

L’area di un terreno si calcola dalle coordinate misurate dei suoi punti di confine. Percorri in ordine i vertici del poligono, calcola \(x_1y_2 - x_2y_1\) per ogni coppia di punti vicini, sommali tutti e prendi la metà del valore assoluto del totale. Ottieni l’area senza misurare ogni lato. Il punto chiave è sommare i termini con il loro segno, senza prendere il valore assoluto uno per uno. Le parti in più si cancellano allora automaticamente, e anche un terreno con rientranze (concavo) dà l’area corretta. Si usa la componente \(z\) del prodotto vettoriale (l’area con segno) ed è nota come formula di Gauss per l’area, o formula dei lacci.
La stessa idea si usa per calcolare le aree dei lotti nei rilievi catastali e nei software di cartografia (GIS).

Orientare droni e robot (trovare l’asse di rotazione)

Per far ruotare un drone o un robot dalla «direzione in cui è rivolto ora» alla «direzione in cui deve essere rivolto», devi decidere attorno a quale asse ruotare e di quanti gradi. Il prodotto vettoriale dei due vettori direzione dà un vettore perpendicolare a entrambi, che è proprio l’asse di rotazione. L’angolo si trova combinando il modulo del prodotto vettoriale (la parte \(\sin\theta\)) e il prodotto scalare (la parte \(\cos\theta\)).
La stessa idea si usa per il controllo di volo dei droni e per girare la testa o il braccio di un personaggio verso un bersaglio nell’animazione 3D.

Formule e figure

Componenti del prodotto vettoriale (prodotti in croce)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\vec{a} \times \vec{b}\) \(=\) \((\) \(a_2 b_3 - a_3 b_2\) \(\,;\,\) \(a_3 b_1 - a_1 b_3\) \(\,;\,\) \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) \()\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(\vec{a}\times\vec{b}\): prodotto vettoriale \(=\) \((\) ① componente \(x\) (incrocio di \(y\) e \(z\)) \(\,;\,\) ② componente \(y\) (incrocio di \(z\) e \(x\)) \(\,;\,\) ③ componente \(z\) (incrocio di \(x\) e \(y\)) \()\)

La formula a parole

① Con \(\vec{a} = (a_1\,;\,a_2\,;\,a_3)\) e \(\vec{b} = (b_1\,;\,b_2\,;\,b_3)\), costruisci prima la componente \(x\), l’incrocio di \(y\) e \(z\): \(a_2b_3 - a_3b_2\) ,

② poi la componente \(y\), l’incrocio di \(z\) e \(x\): \(a_3b_1 - a_1b_3\) ,

③ e la componente \(z\), l’incrocio di \(x\) e \(y\): \(a_1b_2 - a_2b_1\) .

④ Il vettore che ha questi tre numeri come componenti è il \(\vec{a}\times\vec{b}\): prodotto vettoriale

Un esempio semplice

Il prodotto vettoriale di \(\vec{a} = (1\,;\,2\,;\,3)\) e \(\vec{b} = (4\,;\,5\,;\,6)\) è

\(\vec{a}\times\vec{b}\): prodotto vettoriale \(=\) \((\) componente \(x\) (\(2 \times 6 - 3 \times 5\)) \(\,;\,\) componente \(y\) (\(3 \times 4 - 1 \times 6\)) \(\,;\,\) componente \(z\) (\(1 \times 5 - 2 \times 4\)) \()\)

\(\vec{a} \times \vec{b} = (2 \times 6 - 3 \times 5\,;\ \ 3 \times 4 - 1 \times 6\,;\ \ 1 \times 5 - 2 \times 4)\)

\(= (12 - 15\,;\ \ 12 - 6\,;\ \ 5 - 8) = (-3\,;\ 6\,;\ -3)\)

L’idea chiave

Non serve memorizzare le tre componenti una per una: i prodotti in croce le costruiscono. Immagina l’ordine \(x \to y \to z \to x \to y \to z\), che gira in cerchio (si chiama ordine ciclico). Copri la lettera della componente che vuoi e leggi le due lettere seguenti: per la componente \(x\) sono \(y,\ z\), per la componente \(y\) sono \(z,\ x\) e per la componente \(z\) sono \(x,\ y\). Scrivi solo quelle due colonne di \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) su due righe, poi fai il prodotto in discesa verso destra meno il prodotto in salita verso destra. La figura qui sopra mostra questi passaggi. Solo la componente \(y\), \(a_3b_1 - a_1b_3\), sembra invertita rispetto alle altre. Questo perché le lettere si leggono nell’ordine \(z,\ x\), non \(x,\ z\). Se confondi questo ordine, solo la componente \(y\) esce con il segno sbagliato. Molti libri di testo scrivono lo stesso calcolo come determinante 3×3 (il «determinante simbolico»), con i versori \(\mathbf{i},\ \mathbf{j},\ \mathbf{k}\) nella riga in alto e le componenti di \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) nelle due righe sotto. Sviluppandolo lungo la riga in alto si ottengono esattamente queste tre componenti (il segno meno davanti a \(\mathbf{j}\) è il motivo per cui la componente \(y\) sembra invertita). Nota anche che \(\vec{b} \times \vec{a}\) ha il segno opposto di \(\vec{a} \times \vec{b}\) (\(\vec{b} \times \vec{a} = -\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)). Scambiare l’ordine cambia la risposta, quindi, a differenza del prodotto scalare, l’ordine conta.

Modulo del prodotto vettoriale (\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\))

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\) \(=\) \(\left| \vec{a} \right|\) \(\left| \vec{b} \right|\) \(\sin\theta\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): modulo del prodotto vettoriale \(=\) ① \(|\vec{a}|\): modulo di \(\vec{a}\) ② \(|\vec{b}|\): modulo di \(\vec{b}\) ③ \(\sin\theta\): seno dell’angolo \(\theta\) tra i due vettori

La formula a parole

① Moltiplica il \(|\vec{a}|\): modulo di \(\vec{a}\)

② per il \(|\vec{b}|\): modulo di \(\vec{b}\) ,

③ poi per il \(\sin\theta\): seno dell’angolo \(\theta\) tra i due vettori ,

④ e ottieni il \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): modulo del prodotto vettoriale

Un esempio semplice

Quando un vettore di modulo 4 e un vettore di modulo 3 formano un angolo di 30°, il modulo del prodotto vettoriale è

modulo del prodotto vettoriale \(=\) modulo di \(\vec{a}\) (4) modulo di \(\vec{b}\) (3) \(\sin 30^\circ\)

\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = 4 \times 3 \times \sin 30^\circ = 4 \times 3 \times \dfrac{1}{2} = 6\)

L’idea chiave

L’area di un parallelogramma è «base × altezza». Se la base è \(|\vec{a}|\), l’altezza è \(|\vec{b}|\sin\theta\) (la linea tratteggiata nella figura qui sopra). Quindi \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) è esattamente l’area del parallelogramma. L’angolo \(\theta\) si prende tra 0° e 180°. In questo intervallo \(\sin\theta\) non è mai negativo, quindi nemmeno \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) lo è e vale direttamente come lunghezza o come area. (\(\cos\theta\) diventa negativo oltre 90°, ed è per questo che il prodotto scalare può essere negativo.) Il prodotto scalare è \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\), mentre il modulo del prodotto vettoriale usa \(\sin\theta\). Quando i due vettori hanno lo stesso verso (\(\theta = 0^\circ\)) o versi opposti (\(\theta = 180^\circ\)), \(\sin\theta = 0\) e il prodotto vettoriale è il vettore nullo. Ad angolo retto (\(\theta = 90^\circ\)), \(\sin\theta = 1\), il valore massimo. «Zero quando sono paralleli, massimo quando sono perpendicolari» è esattamente il contrario del prodotto scalare. Questa formula è comoda quando conosci l’angolo. Quando conosci le componenti, è più veloce trovare le componenti con i prodotti in croce (formula 1) e poi prendere il modulo, senza che entri alcun errore di arrotondamento dovuto all’angolo. Anche questa calcolatrice lavora in modo esatto a partire dalle componenti.

Area del parallelogramma e del triangolo

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(S\) \(=\) \(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\)

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

② \(S\): area del parallelogramma \(=\) ① \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): modulo del prodotto vettoriale

④ \(S_{\triangle}\): area del triangolo \(=\) ③ metà del modulo del prodotto vettoriale

La formula a parole

① Pensa al parallelogramma che ha i due vettori come due lati. Il \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): modulo del prodotto vettoriale è esattamente

② \(S\): area del parallelogramma ,

③ e metà del modulo del prodotto vettoriale è

④ \(S_{\triangle}\): area del triangolo che ha i due vettori come due lati

Un esempio semplice

Le aree del parallelogramma e del triangolo formati da \(\vec{a} = (1\,;\,2\,;\,3)\) e \(\vec{b} = (4\,;\,5\,;\,6)\) sono (il prodotto vettoriale è \((-3\,;\,6\,;\,-3)\) dalla formula 1)

area del parallelogramma \(=\) modulo del prodotto vettoriale \((-3\,;\,6\,;\,-3)\)

\(S = \sqrt{(-3)^{2} + 6^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7{,}34846922835\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \times 3\sqrt{6} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3{,}67423461417\)

L’idea chiave

Taglia un parallelogramma lungo una diagonale e ottieni due triangoli congruenti. Quindi l’area del triangolo è esattamente la metà dell’area del parallelogramma. Per trovare l’area del triangolo formato da tre punti A, B e C nello spazio, calcola il prodotto vettoriale di \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) e \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) e dimezzane il modulo. Non serve misurare i tre lati e usare la formula di Erone: basta conoscere le coordinate per ottenere l’area. È un punto di forza del prodotto vettoriale. I moduli spesso escono con numeri grandi sotto la radice, come \(\sqrt{54}\). Cerca un quadrato perfetto, come in \(54 = 9 \times 6\), e semplifica in \(3\sqrt{6}\) (la regola è portare fuori dalla radice ogni fattore possibile). Questa calcolatrice mostra sia il radicale semplificato sia il decimale.

Versore normale (perpendicolare a entrambi, lunghezza 1)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\vec{n}\) \(=\) \(\dfrac{1}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}\) \(\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(\vec{n}\): versore normale \(=\) ② dividi per il modulo (porta la lunghezza a 1) ① \(\vec{a}\times\vec{b}\): prodotto vettoriale

La formula a parole

① Prendi il \(\vec{a}\times\vec{b}\): prodotto vettoriale e

② dividilo per il suo modulo \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) (= moltiplica per 1 diviso il modulo) . La direzione resta la stessa e solo la lunghezza diventa 1, e ottieni il

③ \(\vec{n}\): versore normale

Un esempio semplice

Quando il prodotto vettoriale è \((-3\,;\,6\,;\,-3)\) e il suo modulo è \(3\sqrt{6}\), il versore normale è

\(\vec{n}\): versore normale \(=\) dividi per il modulo \(3\sqrt{6}\) prodotto vettoriale \((-3\,;\,6\,;\,-3)\)

\(\vec{n} = \dfrac{1}{3\sqrt{6}}(-3\,;\,6\,;\,-3) \approx (-0{,}408248290464\,;\,0{,}816496580928\,;\,-0{,}408248290464)\)

\(\vec{a} \cdot \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) = 1 \times (-3) + 2 \times 6 + 3 \times (-3) = 0\)

L’idea chiave

Il prodotto vettoriale è perpendicolare a entrambi i vettori di partenza. Se calcoli i prodotti scalari, ottieni sempre \(\vec{a} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\) e \(\vec{b} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\) (un prodotto scalare uguale a 0 dice che i vettori sono perpendicolari). Questa calcolatrice verifica che siano entrambi 0 e li mostra nel risultato. Un vettore perpendicolare a un piano si chiama vettore normale, e un vettore normale portato a lunghezza 1 è un versore normale. Butta via la lunghezza e tiene solo la direzione, ed è ciò che serve quando conta solo «da che parte è rivolta la superficie», come nell’ombreggiatura della grafica 3D. Un piano ha due direzioni perpendicolari, davanti e dietro, e la tua mano destra decide quale ottieni. Piega le dita della mano destra da \(\vec{a}\) verso \(\vec{b}\); il pollice punta allora nella direzione di \(\vec{a}\times\vec{b}\) (la regola della mano destra). \(\vec{b}\times\vec{a}\) punta dalla parte opposta, verso il retro del piano. Quindi un piano ha due versori normali, \(\vec{n}\) e \(-\vec{n}\), ed entrambi sono «di lunghezza 1 e perpendicolari al piano». Quale ottieni dipende dall’ordine in cui moltiplichi \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\); questa calcolatrice mostra quello nella direzione di \(\vec{a}\times\vec{b}\). Se ti serve una sola risposta, fissa tu una regola, come «quello con la componente \(z\) positiva».

Per i vettori del piano (la formula dell’area del triangolo)

Figure

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\Bigl|\) \(x_1 y_2\) \(-\) \(x_2 y_1\) \(\Bigr|\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(S_{\triangle}\): area del triangolo OAB \(=\) ③ metà del parallelogramma \(\Bigl|\) ① \(x\): ascissa di A per ordinata di B \(-\) ② \(x\): ascissa di B per ordinata di A \(\Bigr|\)

La formula a parole

① Per i tre punti \(\mathrm{O}(0\,;\,0)\), \(\mathrm{A}(x_1\,;\,y_1)\) e \(\mathrm{B}(x_2\,;\,y_2)\) del piano, prendi il \(x_1y_2\): ascissa di A per ordinata di B ,

② sottrai il \(x_2y_1\): ascissa di B per ordinata di A , e prendi il valore assoluto (togli il segno meno, se c’è).

③ Dividi per 2 per prendere la metà del parallelogramma e ottieni

④ \(S_{\triangle}\): area del triangolo OAB

Un esempio semplice

L’area del triangolo formato da \(\mathrm{O}(0\,;\,0)\), \(\mathrm{A}(4\,;\,1)\) e \(\mathrm{B}(1\,;\,3)\) è

area del triangolo \(=\) metà del parallelogramma \(\Bigl|\) ascissa di A per ordinata di B (\(4 \times 3\)) \(-\) ascissa di B per ordinata di A (\(1 \times 1\)) \(\Bigr|\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}\left| 4 \times 3 - 1 \times 1 \right| = \dfrac{1}{2}\left| 12 - 1 \right| = \dfrac{11}{2} = 5{,}5\)

L’idea chiave

I vettori del piano \(\vec{a} = (x_1\,;\,y_1)\) e \(\vec{b} = (x_2\,;\,y_2)\) si possono trattare come i vettori 3D \((x_1\,;\,y_1\,;\,0)\) e \((x_2\,;\,y_2\,;\,0)\), con componente z uguale a 0. Se ne fai il prodotto vettoriale, le componenti \(x\) e \(y\) sono 0 e resta solo la componente \(z\), \(x_1y_2 - x_2y_1\). In altre parole, la formula dell’area del triangolo che si trova sui libri di testo, \(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|\), è esattamente la metà del valore assoluto della componente \(z\) del prodotto vettoriale. In questa calcolatrice lascia vuoti (0) i campi della componente z per vederlo di persona. Anche il segno di \(x_1y_2 - x_2y_1\), prima di prendere il valore assoluto, porta un’informazione. Se è positivo, la rotazione da \(\vec{a}\) a \(\vec{b}\) è antioraria; se è negativo, è oraria. Questa «area con segno» serve a trovare l’area di un poligono dalle sue coordinate in un solo passaggio (la formula di Gauss per l’area, detta anche formula dei lacci).

Il prodotto vettoriale \(\vec{a}\times\vec{b}\) costruisce un nuovo vettore a partire da due vettori 3D. Le sue componenti si ottengono con tre sottrazioni di prodotti in croce. La sua direzione è perpendicolare a entrambi i vettori di partenza (regola della mano destra) e il suo modulo \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) è uguale all’area del parallelogramma formato dai due vettori. La metà è l’area del triangolo, e dividendo il prodotto vettoriale per il suo modulo si ottiene il versore normale.

Simboli e termini

Simboli

\(\vec{a}\)	vettore a	Un simbolo per una grandezza con una direzione e un modulo (lunghezza). La freccia sopra la lettera la indica come vettore. All’università e in fisica i vettori si stampano spesso in grassetto (a) invece che con la freccia.
\(a_1,\ a_2,\ a_3\)	a uno, a due, a tre	Le componenti del vettore \(\vec{a}\): tre numeri che dicono quanto va nelle direzioni \(x\), \(y\) e \(z\). Il piccolo numero in basso a destra (il pedice) dice di quale componente si tratta. Alcuni libri scrivono invece \(a_x,\ a_y,\ a_z\).
\(\vec{a} \times \vec{b}\)	a vettoriale b	Il prodotto vettoriale. Si indica con il segno \(\times\) (per), a volte anche \(\vec{a}\wedge\vec{b}\). Il risultato è un vettore, non un numero.
\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)	a scalare b	Il prodotto scalare. Si indica con un punto. Il risultato è un numero (uno scalare). Il nome e il simbolo somigliano a quelli del prodotto vettoriale, quindi tienili distinti.
\(\left\| \vec{a} \right\|\)	modulo di a	Il modulo (la lunghezza) di un vettore, cioè la lunghezza della freccia. Dalle componenti è \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\), che si ricava con il teorema di Pitagora. Usa le stesse barre del valore assoluto, ed entrambi descrivono una distanza dall’origine.
\(\theta\)	teta	L’angolo tra i due vettori. È una lettera greca usata spesso per gli angoli. Per il prodotto vettoriale si prende tra 0° e 180°.
\(\sin\theta\)	seno di teta	Il seno dell’angolo \(\theta\). In un triangolo rettangolo è il rapporto «cateto opposto ÷ ipotenusa», che si scrive in breve \(\sin\) (in Italia anche \(\operatorname{sen}\)). Tra 0° e 180° non è mai negativo: \(\sin 0^\circ = 0\), \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\), \(\sin 90^\circ = 1\), \(\sin 180^\circ = 0\).
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)	vettore AB	Il vettore che parte dal punto A e arriva al punto B. Le sue componenti sono «coordinate del punto finale − coordinate del punto iniziale». Per ricavare l’area di un triangolo da tre punti, si costruiscono prima due vettori dei lati in questa forma.
\(S\)	S	Una lettera usata spesso per l’area (in Italia si usa anche \(A\)). In questa pagina indica l’area del parallelogramma.
\(S_{\triangle}\)	S triangolo	L’area del triangolo. Si aggiunge un piccolo triangolo a \(S\) per distinguerla dall’area del parallelogramma.
\(\vec{n}\)	vettore n	Il vettore normale. Per convenzione si usa \(n\), la prima lettera di «normale» (perpendicolare). In questa pagina è il versore normale, portato a lunghezza 1.
\(\vec{0}\)	vettore nullo	Il vettore con tutte le componenti uguali a 0 (il vettore nullo). Il suo modulo è 0 e non ha direzione. Quando due vettori sono paralleli, il loro prodotto vettoriale è questo vettore nullo.
\(\sqrt{\phantom{a}}\)	radice quadrata	Il segno di radice quadrata (radicale). \(\sqrt{54}\) è «il numero positivo che al quadrato dà 54». Quando sotto la radice si nasconde un quadrato perfetto (\(4,\ 9,\ 16, \dots\)), lo si porta fuori per semplificare, come in \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}\).

Termini

vettore	Una grandezza con direzione e modulo. Due frecce con la stessa direzione e la stessa lunghezza contano come lo stesso vettore, ovunque siano disegnate. Grandezze che dicono «da che parte e quanto», come forza, velocità e vento, sono vettori.
componenti cartesiane	Scrivere un vettore come un elenco di quanto va nelle direzioni \(x\), \(y\) e \(z\), come \((1\,;\,2\,;\,3)\). Si può scrivere anche in colonna (un vettore colonna) con lo stesso significato. Molti libri usano anche \(\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}\), dove \(\mathbf{i},\ \mathbf{j},\ \mathbf{k}\) sono i versori degli assi.
prodotto vettoriale	Un’operazione che costruisce un nuovo vettore a partire da due vettori 3D. Il nuovo vettore è perpendicolare a entrambi i vettori di partenza e il suo modulo è uguale all’area del parallelogramma che formano.
prodotto scalare	Un’operazione che costruisce un numero (uno scalare) a partire da due vettori. È uguale a \(\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\) e, quando è 0, i due vettori sono perpendicolari. È diverso dal prodotto vettoriale, il cui risultato è un vettore.
modulo	La lunghezza di un vettore. Per le componenti \((a_1\,;\,a_2\,;\,a_3)\) è \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\), il teorema di Pitagora esteso allo spazio. Si chiama anche norma.
angolo tra due vettori	L’angolo che si forma tra due vettori quando partono dallo stesso punto. Si considera tra 0° e 180°.
parallelogramma	Un quadrilatero con i due paia di lati opposti paralleli. Quando due vettori sono due dei suoi lati, la sua area è il modulo del prodotto vettoriale.
vettore normale	Un vettore perpendicolare a un piano (o a una retta). Indica da che parte è rivolta la superficie e il prodotto vettoriale ne costruisce facilmente uno a partire da due vettori che giacciono nel piano.
versore	Un vettore di lunghezza 1. Dividendo un vettore per il proprio modulo si conserva la direzione e si porta la lunghezza a 1, ottenendo un versore.
versore normale	Un vettore normale portato a lunghezza 1. Si usa quando si vuole solo la direzione.
prodotto in croce	Un modo di calcolare con quattro numeri scritti su due righe: si moltiplica lungo le due diagonali (in discesa verso destra e in salita verso destra) e si sottrae. È lo schema \(ad - bc\) del determinante 2×2, e ogni componente del prodotto vettoriale ha questa forma.
regola della mano destra	La regola che dà la direzione del prodotto vettoriale. Piega le dita della mano destra da \(\vec{a}\) verso \(\vec{b}\); il pollice punta nella direzione di \(\vec{a}\times\vec{b}\). Un sistema di coordinate che segue questa regola si dice destrorso.
vettore nullo	Il vettore con tutte le componenti uguali a 0. Il suo modulo è 0 e non ha direzione. Quando due vettori sono paralleli, il loro prodotto vettoriale è il vettore nullo.
perpendicolare	Quando l’angolo tra due vettori è 90°. Si dice anche ortogonale. Lo si verifica vedendo che il prodotto scalare è 0.
parallelo	Quando due vettori hanno la stessa direzione o direzioni esattamente opposte. Allora possono stare sulla stessa retta e non possono formare un parallelogramma (si appiattisce con area 0).
area con segno	Un’area a cui si dà il segno più o meno a seconda del verso di rotazione. Nel piano, \(x_1y_2 - x_2y_1\) è un’area con segno: positiva per il senso antiorario e negativa per il senso orario. Il suo valore assoluto è l’area ordinaria.
determinante	Un singolo numero determinato da numeri disposti in un quadrato. Il determinante 2×2 \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\) è proprio un prodotto in croce, e ogni componente del prodotto vettoriale ha la forma di questo determinante 2×2.
ordine ciclico	Un ordine che gira in cerchio e torna all’inizio, come in \(x \to y \to z \to x\). Le tre componenti del prodotto vettoriale ripetono la stessa forma in questo ordine ciclico.

Cosa conviene sapere prima

Ecco cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendo davvero cosa fai, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a rivedere questi argomenti è la strada più rapida.

Che cos’è un vettore (scuola secondaria di secondo grado)	Sapere che un vettore è una grandezza con una direzione e un modulo e si può disegnare come una freccia (una grandezza che dice «da che parte e quanto», come la forza o la velocità) Saper scrivere un vettore con componenti cartesiane come \((1\,;\,2\,;\,3)\) (quanto va in ciascuna delle direzioni \(x\), \(y\) e \(z\))
Coordinate nello spazio (dalla scuola secondaria di primo grado alla secondaria di secondo grado)	Sapere che aggiungendo un’altezza \(z\) alle coordinate del piano \((x\,;\,y)\) si ottiene \((x\,;\,y\,;\,z)\), che fissa la posizione di un punto nello spazio Saper immaginare gli assi \(x\), \(y\) e \(z\) che si incontrano ad angolo retto
Il teorema di Pitagora e il modulo di un vettore (classe 2ª della secondaria di primo grado e scuola secondaria di secondo grado)	Sapere che in un triangolo rettangolo vale \(a^2 + b^2 = c^2\) Sapere che il modulo di un vettore 3D è \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) (il teorema di Pitagora usato due volte)
Calcoli con le radici quadrate (scuola secondaria di primo e di secondo grado)	Saper semplificare un radicale portando fuori dalla radice un quadrato perfetto, come in \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}\) Conoscere il valore decimale approssimato di una radice, come \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\)
Il prodotto scalare (scuola secondaria di secondo grado)	Sapere che il prodotto scalare \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) è \(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\) e che il risultato è un numero Sapere che due vettori sono perpendicolari quando il loro prodotto scalare è 0 (questa pagina lo usa per verificare che il prodotto vettoriale sia perpendicolare)
Trigonometria del triangolo rettangolo (scuola secondaria di secondo grado)	Sapere che \(\sin\theta\) è il rapporto «cateto opposto ÷ ipotenusa» in un triangolo rettangolo Ricordare valori fondamentali come \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) e \(\sin 90^\circ = 1\)
Area di parallelogrammi e triangoli (classe 5ª della primaria, 10-11 anni)	Sapere che l’area di un parallelogramma è «base × altezza» Sapere che un triangolo ha esattamente la metà dell’area di un parallelogramma con la stessa base e la stessa altezza

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per ricavare le componenti del prodotto vettoriale

Componente x di a (a₁)	1
Componente y di a (a₂)	2
Componente z di a (a₃)	3
Componente x di b (b₁)	4
Componente y di b (b₂)	5
Componente z di b (b₃)	6
Componente x di a×b (a₂b₃ − a₃b₂)	=B2B6-B3B5
Componente y di a×b (a₃b₁ − a₁b₃)	=B3B4-B1B6
Componente z di a×b (a₁b₂ − a₂b₁)	=B1B5-B2B4

Tabella per verificare che il modulo = |a||b|sinθ

Componente x di a (a₁)	1
Componente y di a (a₂)	2
Componente z di a (a₃)	3
Componente x di b (b₁)	4
Componente y di b (b₂)	5
Componente z di b (b₃)	6
Modulo \|a×b\| (dalle componenti)	=RADQ((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
Modulo di a \|a\|	=RADQ(B1^2+B2^2+B3^2)
Modulo di b \|b\|	=RADQ(B4^2+B5^2+B6^2)
Prodotto scalare a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6
Angolo θ (gradi)	=GRADI(ARCCOS(B10/(B8*B9)))
\|a\|\|b\|sinθ	=B8B9SEN(RADIANTI(B11))

Tabella per ricavare le aree del parallelogramma e del triangolo

Componente x di a×b	-3
Componente y di a×b	6
Componente z di a×b	-3
Area del parallelogramma S (= modulo)	=RADQ(B1^2+B2^2+B3^2)
Area del triangolo (metà del parallelogramma)	=B4/2

Tabella per ricavare il versore normale

Componente x di a×b	-3
Componente y di a×b	6
Componente z di a×b	-3
Modulo \|a×b\|	=RADQ(B1^2+B2^2+B3^2)
Componente x del versore normale	=B1/B4
Componente y del versore normale	=B2/B4
Componente z del versore normale	=B3/B4

Tabella per ricavare l’area di un triangolo nel piano

Ascissa di A (x₁)	4
Ordinata di A (y₁)	1
Ascissa di B (x₂)	1
Ordinata di B (y₂)	3
Componente z del prodotto vettoriale (x₁y₂ − x₂y₁)	=B1B4-B3B2
Area del triangolo OAB	=ASS(B5)/2

Dopo l’incollaggio, le righe in alto (le componenti dei vettori) sono i tuoi input e le righe in basso si calcolano in automatico.
«*» è la moltiplicazione, «^» è la potenza e RADQ è la funzione radice quadrata. La prima tabella usa a = (1 ; 2 ; 3) e b = (4 ; 5 ; 6) e la risposta è (−3 ; 6 ; −3).
La seconda tabella controlla che «il modulo ricavato dalle componenti» e «il valore di |a||b|sinθ» coincidano. B7 e B12 escono entrambi 7,348469… (l’angolo è circa 12,93°).
Nella terza tabella l’area del parallelogramma è 7,348469… e l’area del triangolo è la metà, 3,674234…. Nella quarta tabella il versore normale è (−0,408248… ; 0,816497… ; −0,408248…).
La quinta tabella è il caso dei vettori del piano con componente z uguale a 0. L’area del triangolo con O(0 ; 0), A(4 ; 1) e B(1 ; 3) è 5,5.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per ricavare le componenti del prodotto vettoriale

Componente x di a (a₁)	1
Componente y di a (a₂)	2
Componente z di a (a₃)	3
Componente x di b (b₁)	4
Componente y di b (b₂)	5
Componente z di b (b₃)	6
Componente x di a×b (a₂b₃ − a₃b₂)	=B2B6-B3B5
Componente y di a×b (a₃b₁ − a₁b₃)	=B3B4-B1B6
Componente z di a×b (a₁b₂ − a₂b₁)	=B1B5-B2B4

Tabella per verificare che il modulo = |a||b|sinθ

Componente x di a (a₁)	1
Componente y di a (a₂)	2
Componente z di a (a₃)	3
Componente x di b (b₁)	4
Componente y di b (b₂)	5
Componente z di b (b₃)	6
Modulo \|a×b\| (dalle componenti)	=RADQ((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
Modulo di a \|a\|	=RADQ(B1^2+B2^2+B3^2)
Modulo di b \|b\|	=RADQ(B4^2+B5^2+B6^2)
Prodotto scalare a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6
Angolo θ (gradi)	=GRADI(ARCCOS(B10/(B8*B9)))
\|a\|\|b\|sinθ	=B8B9SEN(RADIANTI(B11))

Tabella per ricavare le aree del parallelogramma e del triangolo

Componente x di a×b	-3
Componente y di a×b	6
Componente z di a×b	-3
Area del parallelogramma S (= modulo)	=RADQ(B1^2+B2^2+B3^2)
Area del triangolo (metà del parallelogramma)	=B4/2

Tabella per ricavare il versore normale

Componente x di a×b	-3
Componente y di a×b	6
Componente z di a×b	-3
Modulo \|a×b\|	=RADQ(B1^2+B2^2+B3^2)
Componente x del versore normale	=B1/B4
Componente y del versore normale	=B2/B4
Componente z del versore normale	=B3/B4

Tabella per ricavare l’area di un triangolo nel piano

Ascissa di A (x₁)	4
Ordinata di A (y₁)	1
Ascissa di B (x₂)	1
Ordinata di B (y₂)	3
Componente z del prodotto vettoriale (x₁y₂ − x₂y₁)	=B1B4-B3B2
Area del triangolo OAB	=ASS(B5)/2

Le stesse formule di Excel funzionano così come sono (RADQ, ARCCOS, GRADI, RADIANTI, SEN e ASS hanno gli stessi nomi in Fogli Google con l’interfaccia in italiano). Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci le componenti con i tuoi numeri.

Come calcolarlo con Python

from fractions import Fraction
import math

# Componenti dei vettori (una frazione come 3/4 si scrive Fraction(3, 4))
a = (Fraction(1), Fraction(2), Fraction(3))
b = (Fraction(4), Fraction(5), Fraction(6))

def cross(u, v):
    # Prodotto vettoriale (prodotti in croce), costruito nell’ordine x, y, z
    return (u[1] * v[2] - u[2] * v[1],
            u[2] * v[0] - u[0] * v[2],
            u[0] * v[1] - u[1] * v[0])

def dot(u, v):
    return u[0] * v[0] + u[1] * v[1] + u[2] * v[2]

c = cross(a, b)
area = math.sqrt(dot(c, c))       # area del parallelogramma (= modulo del prodotto vettoriale)

print(f"Prodotto vettoriale a×b = ({c[0]}, {c[1]}, {c[2]})")
print(f"Area del parallelogramma: {area}")
print(f"Area del triangolo: {area / 2}")
print(f"Verifica di perpendicolarità (entrambi 0): {dot(a, c)}, {dot(b, c)}")

Con il modulo fractions della libreria standard il calcolo resta esatto, senza errori di arrotondamento, anche quando le componenti sono frazioni. Questo esempio è il prodotto vettoriale di a = (1, 2, 3) e b = (4, 5, 6). Eseguendolo stampa il prodotto vettoriale (-3, 6, -3), l’area del parallelogramma (circa 7,348), l’area del triangolo (circa 3,674) e la verifica di perpendicolarità con i valori 0 e 0. Cambia le componenti ed eseguilo di nuovo.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Componenti del prodotto vettoriale (prodotti in croce)

a×b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a xx vec b = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)

Cross[{a1, a2, a3}, {b1, b2, b3}]

LinearAlgebra:-CrossProduct(Vector([a1, a2, a3]), Vector([b1, b2, b3]));

c = cross(a, b);

a⃗×b⃗ = (a_2 b_3 − a_3 b_2, a_3 b_1 − a_1 b_3, a_1 b_2 − a_2 b_1)

Modulo del prodotto vettoriale (\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\))

|a×b| = |a||b|sinθ

\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin\theta

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi>
  </mrow>
</math>

|vec a xx vec b| = |vec a| |vec b| sin theta

Norm[Cross[a, b]] == Norm[a] Norm[b] Sin[theta]

LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

m = norm(cross(a, b));

|a⃗×b⃗| = |a⃗||b⃗| sin⁡θ

Area del parallelogramma e del triangolo

S = |a×b|,  S△ = |a×b| ÷ 2

S = \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|,\quad S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S = |vec a xx vec b|, S_triangle = 1/2 |vec a xx vec b|

area = Norm[Cross[a, b]]; triangle = area/2

S := LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

S = norm(cross(a, b)); tri = S / 2;

S = |a⃗×b⃗|,  S_△ = 1/2 |a⃗×b⃗|

Versore normale (perpendicolare a entrambi, lunghezza 1)

n = (a×b) ÷ |a×b|

\vec{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>n</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

vec n = (vec a xx vec b) / |vec a xx vec b|

n = Normalize[Cross[a, b]]

n := LinearAlgebra:-Normalize(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

n = cross(a, b) / norm(cross(a, b));

n⃗ = (a⃗×b⃗)/|a⃗×b⃗|

Per i vettori del piano (la formula dell’area del triangolo)

S△ = |x₁y₂ − x₂y₁| ÷ 2

S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 - x_2 y_1 \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S_triangle = 1/2 |x_1 y_2 - x_2 y_1|

Abs[x1*y2 - x2*y1]/2

S := abs(x1*y2 - x2*y1)/2;

S = abs(x1*y2 - x2*y1) / 2;

S_△ = 1/2 |x_1 y_2 − x_2 y_1|

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente per calcoli sui vettori (geometria dello spazio). Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e rispondi basandoti soltanto sui numeri ottenuti dall’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito).

Per i vettori a = (1 ; 2 ; 3) e b = (4 ; 5 ; 6), trova quanto segue.
1. Le componenti del prodotto vettoriale a×b (mostra anche i passaggi dei prodotti in croce)
2. Il modulo |a×b| (sia come valore esatto con il radicale semplificato sia in decimale)
3. Le aree del parallelogramma e del triangolo formati da a e b
4. I valori di a·(a×b) e b·(a×b), per controllare che il prodotto vettoriale sia perpendicolare a entrambi

In Python calcola le componenti in modo esatto con il modulo fractions della libreria standard; puoi usare sympy per semplificare il radicale. Mostra le formule che hai usato e i numeri ottenuti dall’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

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Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula

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Calcolatrice del prodotto vettoriale (componenti, area del parallelogramma, versore normale)

Indice

Cosa puoi fare in questa pagina

A cosa serve questo calcolo?

Formule e figure

Simboli e termini

Simboli

Termini

Cosa conviene sapere prima

Come calcolarlo con Excel

Come calcolarlo con Fogli Google

Come calcolarlo con Python

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Come si usa

I punti di forza di DataChef

Funzioni correlate

Calcolatrice di vettori (somma, differenza, modulo, prodotto scalare e angolo)

Somma, sottrae e moltiplica per uno scalare i vettori, e calcola prodotto scalare, modulo e angolo. Lì trovi spiegate anche le basi dei vettori

Calcolatrice del determinante (2×2, 3×3, 4×4)

I prodotti in croce del prodotto vettoriale sono lo stesso calcolo di un determinante. Qui puoi calcolare i determinanti veri e propri

Calcolatrice dell’area del triangolo (dai tre lati con la formula di Erone)

Trova l’area di un triangolo quando conosci i tre lati. Quando conosci le coordinate, il prodotto vettoriale è più comodo

Consigliato

Probabilità e numeri casuali

Medie e statistica

Percentuali e proporzioni

Velocità

Densità e concentrazione

Fisica ed elettricità

Conversione di unità

Numeri interi e relativi

Frazioni, decimali e arrotondamenti

Equazioni e disequazioni

Polinomi

Radici quadrate e radici n-esime

Potenze e logaritmi

Numeri complessi

Funzioni e grafici

Successioni

Vettori

Matrici

Geometria piana

Geometria solida

Date e ore

Finanza ed economia

Marketing online e metriche pubblicitarie

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