Scegli che cosa vuoi controllare e poi scrivi le misure del mobile e della porta, del corridoio o dell’ascensore (cm). Il margine si toglie dalla luce o dal corridoio per l’imballo, le maniglie e le protezioni (3 cm per impostazione predefinita; lascialo vuoto per 3 cm o scrivi 0 per nessuno).
Misure del mobile o dell’elettrodomestico (cm)
cm
cm
cm
Misura la porta dalla faccia interna del telaio alla faccia interna del telaio (la misura interna, o luce). Se la porta si può smontare dai cardini, la larghezza senza l’anta può cambiare il verdetto.
Risultato e figura
Scrivi a sinistra le tre misure del mobile e quelle della porta (del corridoio o dell’ascensore) e fai clic su «Calcola». Qui compaiono il verdetto e una figura con la faccia del mobile sulla luce.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
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Condizione per passare da una porta (luce utile e faccia che passa)
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Condizione per passare inclinato (larghezza e altezza del rettangolo che circoscrive la faccia inclinata)
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Lunghezza massima che gira all’angolo di un corridoio a L
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Diagonali della cabina di un ascensore (il limite per oggetti lunghi e sottili)
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
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Come calcolarlo con Python
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La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
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Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
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I punti di forza di DataChef
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Funzioni correlate
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Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi larghezza, profondità e altezza di un mobile o di un elettrodomestico, e larghezza e altezza di una porta, di una finestra o di un’altra apertura. Ottieni uno di tre verdetti: «dovrebbe passare», «dovrebbe passare inclinato» o «non dovrebbe passare»
- Vedi quale faccia del mobile (frontale, laterale o superiore) devi presentare alla luce (in piedi, di lato o sdraiato) e quanti centimetri avanzano
- Per un mobile alto e sottile, vedi di quanti gradi va inclinato rispetto alla verticale. Se non passa, vedi quanti centimetri mancano
- Per l’angolo di un corridoio a L, calcola la lunghezza massima che riesce a girare tenendo conto della larghezza del mobile e l’angolo più critico
- Dalle misure interne della cabina di un ascensore, vedi se il mobile entra così com’è o inclinato, e calcoli la diagonale del pavimento e la diagonale spaziale (il limite per un oggetto lungo e sottile)
Il verdetto è un calcolo geometrico che considera la luce come un rettangolo e il mobile come un parallelepipedo. Lo spazio per l’imballo, le maniglie, i pomelli delle ante e le protezioni si toglie con il campo «Margine». In un trasloco vero, chi trasporta ha bisogno anche di spazio per le mani: se avanzano solo pochi centimetri, chiedi prima alla ditta di traslochi.
A cosa serve questo calcolo?
Controllare da soli, prima del preventivo del trasloco, che i mobili grandi entrino nella casa nuova (trasloco)
Un divano largo 180 cm, profondo 90 cm e alto 75 cm dovrebbe passare da una porta larga 80 cm e alta 200 cm (margine di 3 cm) se si presenta alla luce la sua faccia laterale (profondità 90 × altezza 75): il divano sdraiato sullo schienale che entra da un’estremità, con i 75 cm di altezza come larghezza e i 90 cm di profondità come altezza. Passa con 2 cm di avanzo in larghezza. Prima di liberarti di un divano pensando che «un divano da 180 cm non passerà mai da una porta da 80 cm», puoi controllare con i numeri se basta scegliere bene la faccia.
Con soli 2 cm di avanzo, in pratica andrà molto stretto, una volta contati i pomelli delle ante, le cerniere e le protezioni. Per un passaggio così stretto, dai le misure alla ditta di traslochi durante il sopralluogo e studia con lei soluzioni come smontare la porta o togliere i piedini del mobile.
Controllare la porta d’ingresso e quella del bagno prima di comprare un frigorifero o una lavatrice (acquisto di elettrodomestici)
Una lavatrice a carica frontale standard larga 60 cm, profonda 60 cm e alta 85 cm non dovrebbe passare da una porta del bagno di 58 cm di luce (margine di 3 cm, cioè una larghezza utile di 55 cm). Tutte le sue facce hanno un lato corto di 60 cm: mancano 5 cm di larghezza. In un frigorifero o in una lavatrice, le cui facce sono tutte larghe, cambiare faccia o inclinare non compensa la mancanza di larghezza. Bisogna smontare la porta, passare da un’altra strada o scegliere un modello un po’ più piccolo.
Le guide alla consegna dei negozi e dei produttori indicano spesso la larghezza di passaggio necessaria nella forma «larghezza dell’apparecchio + tot centimetri». Scrivi quel margine nel campo «Margine» e controllerai la stessa cosa della guida. Lo spazio nel posto definitivo (altezza dei rubinetti, attacco dell’acqua) è un’altra questione: guarda le istruzioni di installazione.
Portare in una stanza una libreria alta, un armadio o uno specchio a figura intera senza sdraiarli (acquisto o cambio dell’arredamento)
Un pannello sottile alto 202 cm e spesso 10 cm (uno specchio a figura intera o il fondo di un armadio prima del montaggio) sfora di 2 cm per entrare in piedi da una porta alta 200 cm. Inclinalo di circa 20° rispetto alla verticale: l’altezza necessaria scende a circa 193 cm e la larghezza necessaria è di circa 79 cm, quindi dovrebbe passare da una porta larga 90 cm. Perciò «basta inclinarlo un po’» funziona solo con oggetti sottili che sforano di poco in altezza.
Una libreria o un armadio spessi hanno bisogno di molta più larghezza appena si inclinano: di solito si portano sdraiati (con la faccia superiore o la faccia laterale presentata alla luce). In un mobile in kit che si monta nella stanza, devono passare solo i pezzi sciolti: non ci si deve preoccupare della dimensione del mobile finito.
Stimare se un divano lungo o un letto passano l’angolo di un corridoio a L o una scala con svolta (appartamento in affitto, condominio)
In un angolo retto tra corridoi larghi 85 cm e 110 cm (margine di 3 cm), una barra senza larghezza potrebbe girare fino a circa 267 cm. Ma per un divano profondo 60 cm, la lunghezza massima che può girare è di appena circa 145 cm: un divano di 230 cm portato sdraiato non dovrebbe passare. In un mobile che ha una larghezza, la formula della barra dà una risposta molto sbagliata; serve la formula che tiene conto della larghezza.
In quel caso, portare il divano in piedi (l’altezza nel campo della lunghezza e la profondità in quello della larghezza) di solito funziona. Per una scala con svolta (a U), prendi la larghezza della scala e la profondità del pianerottolo come larghezze di corridoio \(a\) e \(b\), e considera la scala come due angoli retti consecutivi: la stessa formula dà una stima (conta il corrimano e le applique nel margine).
Scegliere tra la scala e il montacarichi esterno per un mobile che non entra in ascensore (trasloco in un condominio)
In una cabina larga 140 cm, profonda 110 cm e alta 230 cm (margine di 3 cm), un tappeto arrotolato lungo 235 cm e spesso 20 cm supera l’altezza utile di 227 cm, ma dovrebbe entrare se si solleva il suo lato lungo di circa 62° nella faccia larghezza × altezza della cabina. Invece, un pacco della stessa lunghezza con una sezione di 40 × 40 cm non dovrebbe entrare, nemmeno inclinato. Anche se la diagonale spaziale (circa 286 cm) ha spazio, lo spessore lo impedisce.
Quando sai che un mobile non entrerà in ascensore, puoi confrontare, prima del preventivo, la scala (controlla gli angoli con la formula dell’angolo del corridoio) e il montacarichi esterno dalla finestra o dal balcone (che di solito si paga a parte). L’amministratore di condominio o la scheda tecnica del produttore dell’ascensore danno le misure interne della cabina e quelle della porta; come riferimento, per gli ascensori dei nuovi edifici residenziali il DM 236/1989 prescrive almeno 1,30 m di profondità e 0,95 m di larghezza di cabina e 0,80 m di luce netta della porta. La porta di solito è più stretta: scrivi anche le sue misure.
Usi quotidiani di seno, coseno e di un minimo (matematica delle superiori)
La larghezza necessaria di una faccia inclinata, \(p\cos\theta + q\sin\theta\), e l’altezza necessaria, \(p\sin\theta + q\cos\theta\), sommano soltanto le parti orizzontale e verticale (\(p\cos\theta\) e \(p\sin\theta\)) di un lato di lunghezza \(p\) inclinato di un angolo \(\theta\). È l’uso più semplice dei rapporti trigonometrici. La lunghezza massima che può girare all’angolo di un corridoio è il valore minimo di \(L(\theta) = \dfrac{a}{\sin\theta} + \dfrac{b}{\cos\theta}\), un classico problema di ottimizzazione (il problema della «scala nell’angolo di un corridoio»).
Pensare a un mobile vero che gira in un angolo aiuta a capire perché il minimo dà la lunghezza massima: girando, il mobile passa per tutti gli angoli.
Formule e figure
Condizione per passare da una porta (luce utile e faccia che passa)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(w'\)
\(=\)
\(w\)
\(-\)
\(c\)
\(h'\)
\(=\)
\(h\)
\(-\)
\(c\)
\(p\)
\(\leq\)
\(w'\)
\(\quad\text{e}\)
\(q\)
\(\leq\)
\(h'\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(w'\): larghezza della luce utile
\(=\)
①
\(w\): larghezza della luce (misura interna)
\(-\)
②
\(c\): margine
④
\(h'\): altezza della luce utile
\(=\)
\(h\): altezza della luce (misura interna)
\(-\)
\(c\): margine
⑤
\(p\): lato della faccia nel senso della larghezza
\(\leq\)
\(w'\): larghezza della luce utile
\(\quad\text{e}\)
⑥
\(q\): lato della faccia nel senso dell’altezza
\(\leq\)
\(h'\): altezza della luce utile
La formula a parole
①
Dalla
\(w\): larghezza della luce
②
si toglie il
\(c\): margine
(per l’imballo, le maniglie e le protezioni)
③
e si ottiene la
\(w'\): larghezza della luce utile
④
Allo stesso modo, togliendo il margine \(c\) dall’altezza della luce \(h\) si ottiene l’
\(h'\): altezza della luce utile
⑤
Prendi una delle tre facce del mobile (frontale \(W \times H\), laterale \(D \times H\) o superiore \(W \times D\)). Se, presentando quella faccia alla luce, il
\(p\): lato nel senso della larghezza
è al massimo uguale alla larghezza della luce utile \(w'\), e se il
⑥
\(q\): lato nel senso dell’altezza
è al massimo uguale all’altezza della luce utile \(h'\), il mobile passa con quella faccia presentata alla luce (puoi anche girare la faccia di 90° e scambiare \(p\) e \(q\))
Un esempio semplice
Un divano largo 180 cm, profondo 90 cm e alto 75 cm passa da una porta larga 80 cm e alta 200 cm (margine di 3 cm)? Si presenta la faccia laterale (profondità 90 × altezza 75) alla luce, con i 75 cm di altezza come larghezza e i 90 cm di profondità come altezza (il divano sdraiato sullo schienale che entra da un’estremità):
\(w'\): larghezza della luce utile
\(=\)
larghezza della luce (80 cm)
\(-\)
margine (3 cm)
lato nel senso della larghezza (75 cm)
\(\leq\)
larghezza della luce utile (77 cm)
\(\quad\text{e}\)
lato nel senso dell’altezza (90 cm)
\(\leq\)
altezza della luce utile (197 cm)
\(w' = 80 - 3 = 77\ (\mathrm{cm}),\quad h' = 200 - 3 = 197\ (\mathrm{cm})\)
\(75 \leq 77,\quad 90 \leq 197\)
L’idea chiave
Un mobile a forma di parallelepipedo ha tre tipi di facce che si possono presentare alla luce. Faccia frontale (larghezza \(W\) × altezza \(H\)): il mobile passa entrando dalla profondità. Faccia laterale (profondità \(D\) × altezza \(H\)): passa entrando dalla larghezza. Faccia superiore (larghezza \(W\) × profondità \(D\)): passa entrando dall’altezza (portato in piedi o sdraiato). Ogni faccia si può inoltre girare di 90° (metterla di lato), quindi le posizioni sono sei in tutto. Un divano di 180 cm sembra troppo largo per una porta di 80 cm, eppure passa se si presenta la sua faccia laterale di 90 × 75. Tutto sta nello scegliere bene la faccia.
Il margine \(c\) copre l’imballo (cartone e polistirolo), le maniglie, i pomelli e le cerniere che sporgono, e le protezioni di pavimento e telaio. Di solito si contano da 2 a 5 cm. Il calcolo si fa sulla «luce utile», cioè con questo valore tolto da larghezza e altezza: per questo il verdetto dipende dal margine che scegli. Se è molto stretto, si può smontare la porta dai cardini (la luce si allarga) o togliere i piedini o le maniglie dal mobile (il mobile si riduce).
Questa condizione è la geometria di «un foro rettangolare in una lastra sottile, con il mobile spinto in linea retta». Se il corridoio è troppo stretto per mettere il mobile davanti alla luce, o se c’è un gradino davanti alla porta, controlla anche la condizione dell’angolo del corridoio più in basso.
Condizione per passare inclinato (larghezza e altezza del rettangolo che circoscrive la faccia inclinata)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(W_{\theta}\)
\(=\)
\(p\)
\(\cos\theta\)
\(+\)
\(q\)
\(\sin\theta\)
\(H_{\theta}\)
\(=\)
\(p\)
\(\sin\theta\)
\(+\)
\(q\)
\(\cos\theta\)
\(W_{\theta}\)
\(\leq\)
\(w'\)
\(\quad\text{e}\)
\(H_{\theta}\)
\(\leq\)
\(h'\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(W_{\theta}\): larghezza necessaria
\(=\)
①
\(p\): lato lungo della faccia
③
\(\cos\theta\): coseno dell’angolo \(\theta\)
\(+\)
②
\(q\): lato corto della faccia
\(\sin\theta\): seno dell’angolo \(\theta\)
⑤
\(H_{\theta}\): altezza necessaria
\(=\)
\(p\): lato lungo della faccia
\(\sin\theta\): seno dell’angolo \(\theta\)
\(+\)
\(q\): lato corto della faccia
\(\cos\theta\): coseno dell’angolo \(\theta\)
\(W_{\theta}\): larghezza necessaria
\(\leq\)
⑥
\(w'\): larghezza della luce utile
\(\quad\text{e}\)
\(H_{\theta}\): altezza necessaria
\(\leq\)
\(h'\): altezza della luce utile
La formula a parole
①
Prendi una faccia con un
\(p\): lato lungo
e un
②
\(q\): lato corto
e inclinala in modo che il lato lungo formi un angolo \(\theta\) con il pavimento.
③
La parte orizzontale del lato lungo vale \(p\) per il
\(\cos\theta\): coseno dell’angolo \(\theta\)
, e la parte orizzontale del lato corto vale \(q\) per \(\sin\theta\). Sommandole si ottiene la
④
\(W_{\theta}\): larghezza necessaria
, la larghezza del rettangolo che contiene per intero la faccia inclinata
⑤
Sommando allo stesso modo le parti verticali si ottiene l’
\(H_{\theta}\): altezza necessaria
, che vale \(p\sin\theta + q\cos\theta\)
⑥
Se, per qualche angolo tra 0° e 90°, la larghezza necessaria e l’altezza necessaria sono entrambe al massimo uguali alla
\(w'\), \(h'\): larghezza e altezza della luce utile
, il mobile passa inclinato con quell’angolo
Un esempio semplice
Un pannello sottile alto 202 cm e spesso 10 cm (faccia 202 × 10) sfora di 2 cm per entrare in piedi da una porta larga 90 cm e alta 200 cm (margine 0). Si inclina il suo lato lungo di 70° rispetto al pavimento (20° rispetto alla verticale), con \(\cos 70^\circ \approx 0{,}3420\) e \(\sin 70^\circ \approx 0{,}9397\):
\(W_{\theta}\): larghezza necessaria
\(=\)
lato lungo (202 cm)
coseno \(\cos 70^\circ\) (≈ 0,3420)
\(+\)
lato corto (10 cm)
seno \(\sin 70^\circ\) (≈ 0,9397)
\(H_{\theta}\): altezza necessaria
\(=\)
lato lungo (202 cm)
seno \(\sin 70^\circ\) (≈ 0,9397)
\(+\)
lato corto (10 cm)
coseno \(\cos 70^\circ\) (≈ 0,3420)
\(W_{\theta} = 202 \times 0{,}3420 + 10 \times 0{,}9397 \approx 69{,}1 + 9{,}4 = 78{,}5\ (\mathrm{cm}) \leq 90\)
\(H_{\theta} = 202 \times 0{,}9397 + 10 \times 0{,}3420 \approx 189{,}8 + 3{,}4 = 193{,}2\ (\mathrm{cm}) \leq 200\)
L’idea chiave
Quando si inclina una faccia, la larghezza e l’altezza che servono nella luce sono la larghezza e l’altezza del rettangolo circoscritto alla faccia inclinata. Se sollevi il lato lungo \(p\) di un angolo \(\theta\) rispetto al pavimento, la sua parte orizzontale vale \(p\cos\theta\) e la sua parte verticale \(p\sin\theta\). Il lato corto \(q\) è perpendicolare al lato lungo, quindi la sua parte orizzontale vale \(q\sin\theta\) e la sua parte verticale \(q\cos\theta\). Sommandole si ottengono la larghezza e l’altezza necessarie (è l’uso più semplice dei rapporti trigonometrici \(\sin\) e \(\cos\)).
La formula mostra due cose importanti. Primo, la larghezza necessaria \(p\cos\theta + q\sin\theta\) non è mai minore del lato corto \(q\), qualunque sia l’angolo (vale al minimo \(q\), per \(\theta = 90^\circ\)). Quindi inclinare non può compensare la mancanza di larghezza. In una faccia quadrata (\(p = q\)), inclinare ingrandisce soltanto il rettangolo circoscritto: non serve a niente. Secondo, inclinare aiuta solo con oggetti sottili il cui lato corto sta nella larghezza della luce ma il cui lato lungo supera di poco l’altezza. Come nel pannello di 202 cm dell’esempio, quando mancano pochi centimetri di altezza, una leggera inclinazione riduce l’altezza necessaria a circa \(p\sin\theta\), ma la larghezza necessaria aumenta di circa \(p\cos\theta\). In un mobile spesso, quella larghezza in più supera subito la larghezza della luce.
Per sapere se la faccia passa con un certo angolo, questa calcolatrice prova gli angoli da 0° a 90° a piccoli passi. In matematica esiste anche un criterio esatto per sapere quando un rettangolo sta dentro un altro, ma provare angolo per angolo con questa formula basta in pratica. Inoltre, se la diagonale della faccia \(\sqrt{p^{2}+q^{2}}\) è maggiore della diagonale della luce utile \(\sqrt{w'^{2}+h'^{2}}\), la faccia non può passare, nemmeno inclinata. È una condizione necessaria: una faccia la cui diagonale ci sta non passa sempre.
Lunghezza massima che gira all’angolo di un corridoio a L
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(L_{\max}\)
\(=\)
\(\bigl(\)
\(a\)
\(\frac{2}{3}\)
\(+\)
\(b\)
\(\frac{2}{3}\)
\(\bigr)^{\frac{3}{2}}\)
\(L(\theta)\)
\(=\)
\(\dfrac{a}{\sin\theta}\)
\(+\)
\(\dfrac{b}{\cos\theta}\)
\(-\)
\(\dfrac{d}{\sin\theta\cos\theta}\)
\(L_{\max}\)
\(=\)
\(\min_{\theta}\)
\(L(\theta)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(L_{\max}\): barra più lunga
\(=\)
\(\bigl(\)
①
\(a\): larghezza del corridoio
potenza \(\dfrac{2}{3}\)
\(+\)
②
\(b\): larghezza del corridoio
potenza \(\dfrac{2}{3}\)
\(\bigr)^{\frac{3}{2}}\)
⑥
\(L(\theta)\): lunghezza che ci sta
\(=\)
④
\(\dfrac{\text{larghezza del corridoio prima dell’angolo } a}{\text{seno dell’angolo } \theta, \ \sin\theta}\)
\(+\)
\(\dfrac{\text{larghezza del corridoio dopo l’angolo } b}{\text{coseno dell’angolo } \theta, \ \cos\theta}\)
\(-\)
⑤
\(\dfrac{\text{larghezza del mobile } d}{\text{seno per coseno, } \sin\theta\cos\theta}\)
⑦
\(L_{\max}\): mobile più lungo
\(=\)
\(\min_{\theta}\)
\(L(\theta)\): lunghezza che ci sta
La formula a parole
①
Si eleva la
\(a\): larghezza del corridoio prima dell’angolo
alla potenza \(\dfrac{2}{3}\),
②
si somma la
\(b\): larghezza del corridoio dopo l’angolo
alla potenza \(\dfrac{2}{3}\), e la somma si eleva alla potenza \(\dfrac{3}{2}\). Si ottiene la
③
\(L_{\max}\): barra più lunga senza larghezza che può girare
④
Quando il mobile ha una larghezza \(d\), immagina il suo bordo interno contro lo spigolo interno e il suo bordo esterno contro le due pareti esterne. Quando il mobile forma un angolo \(\theta\) con il primo corridoio, si sommano
\(\dfrac{\text{larghezza del corridoio prima dell’angolo } a}{\text{seno dell’angolo } \theta, \ \sin\theta}\) e \(\dfrac{\text{larghezza del corridoio dopo l’angolo } b}{\text{coseno dell’angolo } \theta, \ \cos\theta}\)
⑤
e si sottrae
\(\dfrac{\text{larghezza del mobile } d}{\text{seno per coseno, } \sin\theta\cos\theta}\)
per ottenere la
⑥
\(L(\theta)\): lunghezza che ci sta
⑦
Mentre il mobile gira all’angolo, l’angolo passa per tutti i valori da 0° a 90°: il mobile deve starci con ogni angolo. Il valore minimo di \(L(\theta)\) è la
\(L_{\max}\): mobile più lungo di larghezza \(d\) che può girare
Un esempio semplice
In un angolo retto tra due corridoi larghi 90 cm, la lunghezza massima di una scatola larga 50 cm che può girare si calcola così (i due corridoi hanno la stessa larghezza, quindi l’angolo più critico è 45°, e \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071\)):
\(L_{\max}\): barra più lunga
\(=\)
\(\bigl(\)
\(90^{\frac{2}{3}}\)
\(+\)
\(90^{\frac{2}{3}}\)
\(\bigr)^{\frac{3}{2}}\)
scatola più lunga larga 50 cm, \(L(45^\circ)\)
\(=\)
\(\dfrac{90}{\sin 45^\circ}\)
\(+\)
\(\dfrac{90}{\cos 45^\circ}\)
\(-\)
\(\dfrac{50}{\sin 45^\circ \cos 45^\circ}\)
\(L_{\max} = \bigl(2 \times 90^{\frac{2}{3}}\bigr)^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} \times 90 = 180\sqrt{2} \approx 254{,}6\ (\mathrm{cm})\)
\(L(45^\circ) = \dfrac{90}{0{,}7071} + \dfrac{90}{0{,}7071} - \dfrac{50}{0{,}5} \approx 127{,}3 + 127{,}3 - 100 = 154{,}6\ (\mathrm{cm})\)
L’idea chiave
Per una barra senza larghezza (un tubo sottile o un bastone da tenda), la lunghezza massima che può girare in un angolo retto viene dalla lunghezza \(\dfrac{a}{\sin\theta} + \dfrac{b}{\cos\theta}\) di una barra che tocca lo spigolo interno e i cui due estremi toccano le pareti esterne. Si guarda come varia quella lunghezza con l’angolo \(\theta\) e si prende il suo valore minimo. Mentre la barra gira all’angolo, il suo angolo varia in modo continuo da 0° a 90°: si incastra se non ci sta con qualche angolo del percorso. Il valore minimo ha la forma semplice \(\bigl(a^{2/3} + b^{2/3}\bigr)^{3/2}\) (con l’angolo in cui \(\tan\theta = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{1/3}\)). In matematica è il problema classico della «scala nell’angolo di un corridoio».
Un mobile ha una larghezza \(d\): per questo si incastra con una lunghezza molto minore di una barra. L’ultimo termine della formula, \(\dfrac{d}{\sin\theta\cos\theta}\), rappresenta questa perdita. Nei corridoi larghi 90 cm dell’esempio, una barra può girare fino a circa 255 cm, ma una scatola larga 50 cm solo fino a circa 155 cm. Un mobile la cui larghezza supera la metà della larghezza del corridoio tocca facilmente nello stesso tempo l’interno e l’esterno dell’angolo, e resta poca lunghezza. Il controllo ha due parti: la larghezza del mobile \(d\) è al massimo uguale alla larghezza utile dei due corridoi, e la lunghezza \(L\) è al massimo uguale a \(L_{\max}\).
Se la lunghezza del mobile è al massimo uguale alla larghezza del secondo corridoio (\(L \leq b\) e \(d \leq a\), o il contrario), il mobile può cambiare direzione senza girare all’angolo: passa senza confrontarlo con \(L_{\max}\). Quando la lunghezza supera \(L_{\max}\), portare il mobile in piedi spesso funziona (la sua altezza diventa la lunghezza vista dall’alto e la sua profondità la larghezza). Scrivi l’altezza come lunghezza e la profondità come larghezza e ricalcola (il soffitto del corridoio deve allora essere alto almeno quanto la larghezza del mobile). Anche una scala con svolta (a U) si stima con la stessa formula: prendi la larghezza della scala e la profondità del pianerottolo come \(a\) e \(b\), e considera la scala come due angoli retti consecutivi.
Diagonali della cabina di un ascensore (il limite per oggetti lunghi e sottili)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(D_{\text{pavimento}}\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
\(D_{\text{lato}}\)
\(=\)
\(\sqrt{b^{2} + h^{2}}\)
\(D_{\text{spazio}}\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2} + h^{2}}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(D_{\text{pavimento}}\): diagonale del pavimento
\(=\)
①
radice quadrata della larghezza \(a\) della cabina al quadrato più la profondità \(b\) al quadrato
④
\(D_{\text{lato}}\): diagonale mettendolo in piedi in diagonale
\(=\)
②
radice quadrata della profondità \(b\) al quadrato più l’altezza \(h\) al quadrato
⑤
\(D_{\text{spazio}}\): diagonale spaziale
\(=\)
radice quadrata della somma dei quadrati di larghezza \(a\), profondità \(b\) e altezza \(h\)
La formula a parole
①
Si sommano
la larghezza \(a\) della cabina al quadrato e la profondità \(b\) al quadrato
e si prende la radice quadrata (teorema di Pitagora) per ottenere la
③
\(D_{\text{pavimento}}\): diagonale del pavimento
(la lunghezza massima che ci sta sdraiata in diagonale sul pavimento)
②
Si sommano
la profondità \(b\) al quadrato e l’altezza \(h\) al quadrato
e si prende la radice quadrata per ottenere la
④
\(D_{\text{lato}}\): diagonale mettendolo in piedi in diagonale
(lo stesso per la faccia di larghezza \(a\) e altezza \(h\); si usa la più lunga)
⑤
Sommando i quadrati dei tre lati e prendendo la radice quadrata si ottiene la
\(D_{\text{spazio}}\): diagonale spaziale
, la linea retta più lunga dentro la cabina (il limite per una barra sottile)
Un esempio semplice
Per una piccola cabina larga 90 cm, profonda 120 cm e alta 200 cm (margine 0), le tre diagonali valgono
\(D_{\text{pavimento}}\): diagonale del pavimento
\(=\)
\(\sqrt{90^{2} + 120^{2}}\)
\(D_{\text{lato}}\): in piedi in diagonale
\(=\)
\(\sqrt{120^{2} + 200^{2}}\)
\(D_{\text{spazio}}\): diagonale spaziale
\(=\)
\(\sqrt{90^{2} + 120^{2} + 200^{2}}\)
\(D_{\text{pavimento}} = \sqrt{8100 + 14{.}400} = \sqrt{22{.}500} = 150\ (\mathrm{cm})\)
\(D_{\text{lato}} = \sqrt{14{.}400 + 40{.}000} = \sqrt{54{.}400} \approx 233{,}2\ (\mathrm{cm})\)
\(D_{\text{spazio}} = \sqrt{8100 + 14{.}400 + 40{.}000} = \sqrt{62{.}500} = 250\ (\mathrm{cm})\)
L’idea chiave
La cabina di un ascensore è un parallelepipedo larghezza × profondità × altezza. Un mobile entra così com’è se i suoi tre lati, messi in un certo ordine, sono al massimo uguali ai tre lati della cabina (le misure interne utili, con il margine tolto). Gli ordini possibili sono sei. Anche un mobile più alto del soffitto può entrare se si inclina in una faccia della cabina, e allora il limite è la diagonale. La diagonale del pavimento è il limite quando il mobile si sdraia in diagonale sul pavimento. La diagonale della faccia profondità × altezza (o larghezza × altezza) è il limite quando si appoggia in diagonale contro una parete. La diagonale spaziale è il limite quando va da uno spigolo in basso della cabina allo spigolo opposto in alto. Tutte vengono dal teorema di Pitagora (l’ipotenusa di un triangolo rettangolo).
Una diagonale è il limite solo per una barra senza spessore: un mobile spesso può non entrare anche se è molto più corto. Per un mobile spesso inclinato si usa la stessa formula della «Condizione per passare inclinato» qui sopra (il rettangolo circoscritto della faccia girata ci sta nella faccia della cabina?). Per ognuna delle tre facce della cabina, questa calcolatrice mette un lato del mobile perpendicolare a quella faccia e controlla se il rettangolo formato dagli altri due lati può girare fino a starci nella faccia.
La porta di un ascensore di solito è più stretta e più bassa della cabina: alcuni apparecchi entrano nella cabina ma si incastrano nella porta. Se scrivi le misure della porta, per la porta dell’ascensore si fa lo stesso controllo che per una porta (una delle tre facce ci sta nella luce utile?). Le misure interne della cabina e quelle della porta sono sulla scheda tecnica del produttore, o te le può dare l’amministratore di condominio. La copertura dell’illuminazione, il corrimano e lo specchio riducono un po’ la dimensione interna reale.
Il controllo di base consiste nel vedere se una delle tre facce del mobile sta nella misura utile, cioè la luce, il corridoio o la cabina meno il margine \(c\) (\(p \leq w'\) e \(q \leq h'\)). Un oggetto sottile che non passa può passare inclinato se esiste un angolo in cui la larghezza \(p\cos\theta + q\sin\theta\) e l’altezza \(p\sin\theta + q\cos\theta\) del suo rettangolo circoscritto stanno nella luce utile. All’angolo di un corridoio, la lunghezza massima che può girare è il valore minimo di \(L(\theta) = \dfrac{a}{\sin\theta} + \dfrac{b}{\cos\theta} - \dfrac{d}{\sin\theta\cos\theta}\) (per una barra, \((a^{2/3}+b^{2/3})^{3/2}\)). In un ascensore, la diagonale \(\sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}\) è il limite per un oggetto lungo e sottile.
Simboli e termini
Simboli
| \(W,\ D,\ H\) | W, D, H | Le iniziali inglesi di larghezza (width), profondità (depth) e altezza (height) del mobile, nell’ordine «larghezza × profondità × altezza» dei cataloghi. L’unità è il centimetro. |
| \(w,\ h\) | w, h minuscole | La larghezza e l’altezza della luce (porta o finestra), misurate all’interno. Sono minuscole per distinguerle da \(W\) e \(H\) del mobile. Nella formula dell’ascensore, \(h\) è l’altezza della cabina (misura interna utile). |
| \(c\) | c | L’iniziale dell’inglese «clearance», il margine: la lunghezza che si toglie dalla luce, dal corridoio o dalla cabina per l’imballo, le maniglie, le protezioni e così via (in cm). |
| \(w',\ h'\) | w primo, h primo | La larghezza e l’altezza della luce utile: \(w' = w - c\) e \(h' = h - c\). L’apice in alto a destra significa «il valore dopo aver tolto il margine». |
| \(p,\ q\) | p, q | I due lati della faccia presentata alla luce. Nella condizione di passaggio, sono il lato nel senso della larghezza e il lato nel senso dell’altezza. Nella condizione inclinata, \(p\) è il lato lungo e \(q\) il lato corto. Sono due dei lati \(W\), \(D\) e \(H\) del mobile. |
| \(\theta\) | theta | Un angolo. La lettera greca theta si usa spesso per indicare gli angoli. Nella condizione inclinata, è l’angolo tra il lato lungo della faccia e il pavimento. Nell’angolo del corridoio, è l’angolo tra il mobile e il primo corridoio. |
| \(W_{\theta},\ H_{\theta}\) | W pedice theta, H pedice theta | La larghezza e l’altezza necessarie quando la faccia si inclina di un angolo \(\theta\) (la larghezza e l’altezza del rettangolo circoscritto alla faccia inclinata). La piccola \(\theta\) in basso a destra significa «un valore che dipende dall’angolo». |
| \(a,\ b\) | a, b | Nell’angolo del corridoio, \(a\) è la larghezza del corridoio prima dell’angolo e \(b\) quella dopo l’angolo. Per l’ascensore, \(a\) è la larghezza della cabina e \(b\) la sua profondità (entrambe utili, con il margine tolto). |
| \(L,\ d\) | L, d | La lunghezza \(L\) e la larghezza \(d\) del mobile che gira all’angolo: il suo lato lungo e il suo lato corto visti dall’alto. Con \(d = 0\), il mobile è trattato come una barra senza spessore. |
| \(L_{\max}\) | L max | La lunghezza massima che può girare all’angolo. «max» abbrevia massimo. Per una barra vale \(\bigl(a^{2/3}+b^{2/3}\bigr)^{3/2}\); per un mobile di larghezza \(d\), è il valore minimo di \(L(\theta)\). |
| \(\min_{\theta}\) | minimo rispetto a theta | Il valore minimo al variare dell’angolo \(\theta\). «min» abbrevia minimo. Girando all’angolo, il mobile passa per tutti gli angoli: la lunghezza nell’angolo più critico è quindi il limite. |
| \(\sin\theta,\ \cos\theta\) | seno theta, coseno theta | Dei rapporti trigonometrici. In un triangolo rettangolo, \(\sin\theta\) è il cateto opposto diviso per l’ipotenusa e \(\cos\theta\) il cateto adiacente diviso per l’ipotenusa. Quando un lato di lunghezza \(p\) si inclina di un angolo \(\theta\), la sua parte verticale vale \(p\sin\theta\) e la sua parte orizzontale \(p\cos\theta\). |
| \(D_{\text{pavimento}},\ D_{\text{lato}},\ D_{\text{spazio}}\) | D pavimento, D lato, D spazio | La diagonale del pavimento della cabina, la diagonale di una faccia quando il mobile si mette in piedi in diagonale, e la diagonale spaziale. \(D\) è l’iniziale di «diagonale». |
| \(\sqrt{\ }\) | radice quadrata | La radice quadrata: il numero positivo che, elevato al quadrato, dà il numero sotto la radice. Serve a trovare le diagonali con il teorema di Pitagora (per esempio, \(\sqrt{90^{2}+120^{2}} = \sqrt{22{.}500} = 150\)). |
| \(\leq\) | minore o uguale a | Il segno di disuguaglianza «il valore a sinistra è al massimo uguale a quello a destra». \(p \leq w'\) dice che il lato \(p\) del mobile è al massimo uguale alla larghezza della luce utile \(w'\): cioè passa ancora se sono esattamente uguali. |
| \(a^{2/3}\) | a elevato a due terzi | \(a\) alla potenza \(\dfrac{2}{3}\): si eleva \(a\) al quadrato e poi si prende la radice cubica. È lo stesso di \(\sqrt[3]{a^{2}}\). Per esempio, \(8^{2/3} = \sqrt[3]{64} = 4\). Compare nella formula della barra più lunga che può girare all’angolo. |
| \(\approx\) | circa uguale a | Il segno «circa uguale». Si usa quando un valore che non esce esatto, come un rapporto trigonometrico o una radice quadrata, si arrotonda a un numero decimale. |
Termini
| misura interna | La misura di un telaio di porta o di finestra presa da faccia interna a faccia interna (la luce). È minore della misura presa all’esterno del telaio, ed è la dimensione da cui un mobile passa davvero. Se l’anta della porta non si può smontare, la luce si riduce ancora dello spessore dell’anta aperta a 90°; misura in quella posizione. |
| luce utile | La misura interna della luce meno il margine per l’imballo, le maniglie, i pomelli, le protezioni e così via. È la dimensione realmente disponibile per il mobile. Tutti i controlli di questa pagina usano questa misura, che compare anche nel risultato. |
| margine | Il gioco necessario tra il mobile e la luce, per lo spessore dell’imballo, le maniglie e le cerniere che sporgono, le tavole di protezione e le mani di chi lo porta. Di solito si contano da 2 a 5 cm. Il valore giusto dipende dal mobile e dal modo di portarlo, per questo si regola nel campo di input. |
| protezioni | Tavole, teli, coperte o cartoni che si mettono su pavimento, pareti e telaio della porta durante un trasloco per proteggerli dai colpi. Di solito le mettono gli operai della ditta di traslochi; riducono la luce del loro spessore, quindi vanno contate nel margine. |
| faccia frontale | La faccia larghezza × altezza del mobile. Con questa faccia presentata alla luce, il mobile avanza nel senso della sua profondità. In un divano, è la faccia che si vede dal lato della seduta. |
| faccia laterale | La faccia profondità × altezza del mobile. Con questa faccia presentata alla luce, il mobile avanza nel senso della sua larghezza. Un divano o un letto larghi si portano di solito così. |
| faccia superiore | La faccia larghezza × profondità del mobile. Con questa faccia presentata alla luce, il mobile avanza nel senso della sua altezza, con la parte alta davanti. In una libreria alta o in un frigorifero, equivale a portarlo sdraiato. |
| rettangolo circoscritto | Il rettangolo più piccolo, con i lati orizzontali e verticali, che contiene per intero una figura inclinata. Una faccia inclinata del mobile passa dalla luce quando la larghezza e l’altezza di questo rettangolo stanno nella luce utile. |
| diagonale | Il segmento che unisce due vertici opposti di un rettangolo (e la sua lunghezza). In un rettangolo di lati \(x\) e \(y\), vale \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\). Se la diagonale di una faccia del mobile è maggiore di quella della luce, il mobile non passa, nemmeno inclinato. |
| diagonale spaziale | Il segmento che unisce due vertici opposti di un parallelepipedo attraversandone l’interno. Per i lati \(a\), \(b\) e \(h\), vale \(\sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}\): è la linea retta più lunga dentro la cabina. Una barra sottile lunga fino a quel valore ci sta. |
| teorema di Pitagora | Il teorema secondo cui, in un triangolo rettangolo, la somma dei quadrati dei due cateti è uguale al quadrato dell’ipotenusa. Tutte le diagonali di questa pagina si calcolano con questo teorema. |
| rapporto trigonometrico | I rapporti \(\sin\), \(\cos\) e \(\tan\) tra i lati di un triangolo rettangolo. Danno lunghezze a partire da un angolo noto, e qui servono per la larghezza e l’altezza di una faccia inclinata e per la formula dell’angolo del corridoio. |
| minimo | Il valore più piccolo che una funzione assume al variare dell’angolo. All’angolo di un corridoio, il mobile passa per tutti gli angoli mentre gira, quindi la lunghezza che ci sta nell’angolo più critico (il minimo) è la lunghezza massima che può girare. |
| misure interne della cabina | Una misura presa all’interno di una scatola o della cabina di un ascensore. È minore della misura esterna dello spessore delle pareti. Le schede tecniche degli ascensori la indicano come dimensioni della cabina. |
| pianerottolo | La parte piana a metà di una scala. In una scala con svolta (a U), è lì che si fa girare il mobile di 180°. Prendendo la larghezza della scala e la profondità del pianerottolo come larghezze di corridoio \(a\) e \(b\), la formula dell’angolo dà una stima. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare su queste nozioni è la strada più breve.
| Unità di lunghezza e misurazione (classi 2ª–3ª della primaria, 7-9 anni) |
|
| Confrontare quantità e segni di disuguaglianza (dalla classe 3ª della primaria alla 1ª della secondaria di primo grado, 8-12 anni) |
|
| Parallelepipedo e le sue facce (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni) |
|
| Il teorema di Pitagora (classi 2ª–3ª della secondaria di primo grado, 12-14 anni) |
|
| Seno, coseno e tangente (rapporti trigonometrici, classi 3ª–4ª della secondaria di secondo grado, 16-18 anni) |
|
| Potenze con esponente frazionario e minimo di una funzione (classi 4ª–5ª della secondaria di secondo grado, 17-19 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per il passaggio da una porta (faccia che passa)
| Larghezza del mobile W (cm) | 180 |
| Profondità del mobile D (cm) | 90 |
| Altezza del mobile H (cm) | 75 |
| Larghezza della luce w (cm) | 80 |
| Altezza della luce h (cm) | 200 |
| Margine c (cm) | 3 |
| Larghezza della luce utile w' (cm) | =B4-B6 |
| Altezza della luce utile h' (cm) | =B5-B6 |
| Faccia frontale (W×H) presentata alla luce | =SE(O(E(B1<=B7;B3<=B8);E(B3<=B7;B1<=B8));"Passa";"Non passa") |
| Faccia laterale (D×H) presentata alla luce | =SE(O(E(B2<=B7;B3<=B8);E(B3<=B7;B2<=B8));"Passa";"Non passa") |
| Faccia superiore (W×D) presentata alla luce | =SE(O(E(B1<=B7;B2<=B8);E(B2<=B7;B1<=B8));"Passa";"Non passa") |
Tabella per il passaggio inclinato (larghezza e altezza della faccia inclinata)
| Lato lungo della faccia p (cm) | 202 |
| Lato corto della faccia q (cm) | 10 |
| Angolo del lato lungo con il pavimento θ (gradi) | 70 |
| Larghezza necessaria Wθ (cm) | =B1*COS(RADIANTI(B3))+B2*SEN(RADIANTI(B3)) |
| Altezza necessaria Hθ (cm) | =B1*SEN(RADIANTI(B3))+B2*COS(RADIANTI(B3)) |
Tabella per la lunghezza massima che gira all’angolo di un corridoio
| Larghezza del corridoio prima dell’angolo a (cm) | 90 |
| Larghezza del corridoio dopo l’angolo b (cm) | 90 |
| Larghezza del mobile d (cm) | 50 |
| Angolo θ (gradi) | 45 |
| Barra più lunga che gira (cm) | =(B1^(2/3)+B2^(2/3))^(3/2) |
| Lunghezza che ci sta con l’angolo θ, L(θ) (cm) | =B1/SEN(RADIANTI(B4))+B2/COS(RADIANTI(B4))-B3/(SEN(RADIANTI(B4))*COS(RADIANTI(B4))) |
Tabella per le diagonali della cabina di un ascensore
| Larghezza della cabina a (cm) | 90 |
| Profondità della cabina b (cm) | 120 |
| Altezza della cabina h (cm) | 200 |
| Diagonale del pavimento (cm) | =RADQ(B1^2+B2^2) |
| Diagonale in piedi in diagonale (cm) | =RADQ(B2^2+B3^2) |
| Diagonale spaziale (cm) | =RADQ(B1^2+B2^2+B3^2) |
Dopo averla incollata, le righe in alto della colonna B sono i dati e quelle in basso si calcolano automaticamente.
La prima tabella riporta il divano da 180 × 90 × 75 cm e la porta da 80 × 200 cm (margine di 3 cm). B7 vale 77 e B8 vale 197. B10 (faccia laterale) mostra «Passa», mentre B9 (faccia frontale) e B11 (faccia superiore) mostrano «Non passa». «SE» cambia il risultato secondo una condizione, «E» significa «sono vere entrambe» e «O» «almeno una è vera». O riunisce i due casi: la faccia così com’è e la faccia girata di 90°.
La seconda tabella inclina la faccia da 202 × 10 a 70°: B4 vale circa 78,5 e B5 circa 193,2. «RADIANTI» converte i gradi in radianti, l’unità di angolo che usano COS e SEN. La terza tabella è l’angolo tra due corridoi larghi 90 cm: B5 (barra) vale circa 254,6 e B6 (larghezza 50 a 45°) circa 154,6. Per trovare la lunghezza massima di un mobile largo, cambia l’angolo di B4 grado per grado e cerca il B6 più piccolo (con due corridoi della stessa larghezza, è a 45°). La quarta tabella è una cabina da 90 × 120 × 200 cm: B4 vale 150, B5 circa 233,2 e B6 250.
La prima tabella riporta il divano da 180 × 90 × 75 cm e la porta da 80 × 200 cm (margine di 3 cm). B7 vale 77 e B8 vale 197. B10 (faccia laterale) mostra «Passa», mentre B9 (faccia frontale) e B11 (faccia superiore) mostrano «Non passa». «SE» cambia il risultato secondo una condizione, «E» significa «sono vere entrambe» e «O» «almeno una è vera». O riunisce i due casi: la faccia così com’è e la faccia girata di 90°.
La seconda tabella inclina la faccia da 202 × 10 a 70°: B4 vale circa 78,5 e B5 circa 193,2. «RADIANTI» converte i gradi in radianti, l’unità di angolo che usano COS e SEN. La terza tabella è l’angolo tra due corridoi larghi 90 cm: B5 (barra) vale circa 254,6 e B6 (larghezza 50 a 45°) circa 154,6. Per trovare la lunghezza massima di un mobile largo, cambia l’angolo di B4 grado per grado e cerca il B6 più piccolo (con due corridoi della stessa larghezza, è a 45°). La quarta tabella è una cabina da 90 × 120 × 200 cm: B4 vale 150, B5 circa 233,2 e B6 250.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per il passaggio da una porta (faccia che passa)
| Larghezza del mobile W (cm) | 180 |
| Profondità del mobile D (cm) | 90 |
| Altezza del mobile H (cm) | 75 |
| Larghezza della luce w (cm) | 80 |
| Altezza della luce h (cm) | 200 |
| Margine c (cm) | 3 |
| Larghezza della luce utile w' (cm) | =B4-B6 |
| Altezza della luce utile h' (cm) | =B5-B6 |
| Faccia frontale (W×H) presentata alla luce | =SE(O(E(B1<=B7;B3<=B8);E(B3<=B7;B1<=B8));"Passa";"Non passa") |
| Faccia laterale (D×H) presentata alla luce | =SE(O(E(B2<=B7;B3<=B8);E(B3<=B7;B2<=B8));"Passa";"Non passa") |
| Faccia superiore (W×D) presentata alla luce | =SE(O(E(B1<=B7;B2<=B8);E(B2<=B7;B1<=B8));"Passa";"Non passa") |
Tabella per il passaggio inclinato (larghezza e altezza della faccia inclinata)
| Lato lungo della faccia p (cm) | 202 |
| Lato corto della faccia q (cm) | 10 |
| Angolo del lato lungo con il pavimento θ (gradi) | 70 |
| Larghezza necessaria Wθ (cm) | =B1*COS(RADIANTI(B3))+B2*SEN(RADIANTI(B3)) |
| Altezza necessaria Hθ (cm) | =B1*SEN(RADIANTI(B3))+B2*COS(RADIANTI(B3)) |
Tabella per la lunghezza massima che gira all’angolo di un corridoio
| Larghezza del corridoio prima dell’angolo a (cm) | 90 |
| Larghezza del corridoio dopo l’angolo b (cm) | 90 |
| Larghezza del mobile d (cm) | 50 |
| Angolo θ (gradi) | 45 |
| Barra più lunga che gira (cm) | =(B1^(2/3)+B2^(2/3))^(3/2) |
| Lunghezza che ci sta con l’angolo θ, L(θ) (cm) | =B1/SEN(RADIANTI(B4))+B2/COS(RADIANTI(B4))-B3/(SEN(RADIANTI(B4))*COS(RADIANTI(B4))) |
Tabella per le diagonali della cabina di un ascensore
| Larghezza della cabina a (cm) | 90 |
| Profondità della cabina b (cm) | 120 |
| Altezza della cabina h (cm) | 200 |
| Diagonale del pavimento (cm) | =RADQ(B1^2+B2^2) |
| Diagonale in piedi in diagonale (cm) | =RADQ(B2^2+B3^2) |
| Diagonale spaziale (cm) | =RADQ(B1^2+B2^2+B3^2) |
Le stesse formule di Excel (SE, O, E, SEN, COS, RADIANTI e RADQ) funzionano tali e quali in Fogli Google impostato in italiano. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri della colonna B con i tuoi.
Come calcolarlo con Python
import math
# ---- Porta o luce: un mobile W x D x H passa da una luce w x h (margine c)? ----
W, D, H = 180, 90, 75 # larghezza, profondità e altezza del mobile (cm)
w, h, c = 80, 200, 3 # larghezza e altezza della luce (misura interna) e margine (cm)
w_eff, h_eff = w - c, h - c
faces = {"faccia frontale (W x H)": (W, H), "faccia laterale (D x H)": (D, H), "faccia superiore (W x D)": (W, D)}
def fits_upright(p, q, width, height):
"""La faccia p x q passa così com'è (si può girare di 90 gradi)?"""
return (p <= width and q <= height) or (q <= width and p <= height)
def fits_tilted(p, q, width, height):
"""Esiste un angolo da 0 a 90 gradi in cui il rettangolo che circoscrive la faccia inclinata p x q ci sta? (passi di 0,01 gradi)"""
p, q = max(p, q), min(p, q)
for i in range(9001):
t = math.radians(i / 100)
need_w = p * math.cos(t) + q * math.sin(t)
need_h = p * math.sin(t) + q * math.cos(t)
if need_w <= width and need_h <= height:
return i / 100
return None
print(f"Luce utile: {w_eff} x {h_eff} cm")
for name, (p, q) in faces.items():
if fits_upright(p, q, w_eff, h_eff):
print(f"{name}: dovrebbe passare con quella faccia presentata alla luce")
else:
angle = fits_tilted(p, q, w_eff, h_eff)
print(f"{name}: " + (f"dovrebbe passare inclinando il lato lungo di {angle} gradi rispetto al pavimento" if angle is not None else "non dovrebbe passare"))
# ---- Angolo di un corridoio: un mobile di lunghezza L e larghezza d gira in un angolo retto tra corridoi larghi a e b? ----
a, b, L, d = 90, 90, 150, 50
rod_max = (a ** (2 / 3) + b ** (2 / 3)) ** 1.5
lengths = []
for i in range(1, 9000):
t = math.radians(i / 100)
lengths.append((a * math.cos(t) + b * math.sin(t) - d) / (math.sin(t) * math.cos(t)))
L_max = min(lengths)
print(f"Barra più lunga che gira: {rod_max:.1f} cm, mobile largo {d} cm: {L_max:.1f} cm -> "
+ ("dovrebbe girare" if L <= L_max else "non dovrebbe girare"))
# ---- Ascensore: diagonali di una cabina a x b x h ----
ea, eb, eh = 90, 120, 200
print(f"Diagonale del pavimento {math.hypot(ea, eb):.1f} cm, in piedi in diagonale {math.hypot(eb, eh):.1f} cm, "
f"diagonale spaziale {math.sqrt(ea**2 + eb**2 + eh**2):.1f} cm")
Il codice usa solo la libreria standard. fits_upright() controlla se una faccia passa così com’è, e fits_tilted() cerca un angolo con cui passa inclinata, a passi di 0,01°. La parte dell’«angolo del corridoio» fa variare l’angolo di 0,01° in 0,01° e prende la lunghezza minima che ci sta; math.hypot() restituisce l’ipotenusa (la diagonale) a partire da due lati. Sostituisci le misure qui sopra con le tue ed esegui il codice.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Condizione per passare da una porta (luce utile e faccia che passa)
w' = w − c, h' = h − c, p ≤ w' e q ≤ h'
w' = w - c,\quad h' = h - c,\quad p \leq w' \ \text{e}\ q \leq h'
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>w</mi><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><mi>w</mi><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>,</mo>
<msup><mi>h</mi><mo>′</mo></msup><mo>=</mo><mi>h</mi><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>,</mo>
<mi>p</mi><mo>≤</mo><msup><mi>w</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>∧</mo>
<mi>q</mi><mo>≤</mo><msup><mi>h</mi><mo>′</mo></msup>
</mrow>
</math>
w' = w - c, h' = h - c, p <= w' e q <= h'
weff = w - c; heff = h - c; fits = (p <= weff && q <= heff) || (q <= weff && p <= heff)
weff := w - c; heff := h - c; fits := (p <= weff and q <= heff) or (q <= weff and p <= heff);
weff = w - c; heff = h - c; fits = (p <= weff && q <= heff) || (q <= weff && p <= heff); % p, q: i due lati della faccia presentata alla luce
w' = w − c, h' = h − c, p ≤ w' ∧ q ≤ h'
Condizione per passare inclinato (larghezza e altezza del rettangolo che circoscrive la faccia inclinata)
W_θ = p cos θ + q sen θ, H_θ = p sen θ + q cos θ, W_θ ≤ w' e H_θ ≤ h'
W_{\theta} = p\cos\theta + q\sin\theta,\quad H_{\theta} = p\sin\theta + q\cos\theta,\quad W_{\theta} \leq w' \ \text{e}\ H_{\theta} \leq h'
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>W</mi><mi>θ</mi></msub><mo>=</mo>
<mi>p</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>,</mo>
<msub><mi>H</mi><mi>θ</mi></msub><mo>=</mo>
<mi>p</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
</mrow>
</math>
W_theta = p cos theta + q sin theta, H_theta = p sin theta + q cos theta
{p*Cos[theta] + q*Sin[theta], p*Sin[theta] + q*Cos[theta]} (* theta in radianti; in gradi: theta Degree *)
Wt := p*cos(theta) + q*sin(theta); Ht := p*sin(theta) + q*cos(theta);
Wt = p*cosd(theta) + q*sind(theta); Ht = p*sind(theta) + q*cosd(theta); % theta in gradi
W_θ = p cos θ + q sen θ, H_θ = p sen θ + q cos θ
Lunghezza massima che gira all’angolo di un corridoio a L
L_max = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2) (barra), L(θ) = a/sen θ + b/cos θ − d/(sen θ cos θ), L_max = min L(θ)
L_{\max} = \left(a^{2/3} + b^{2/3}\right)^{3/2},\quad L(\theta) = \frac{a}{\sin\theta} + \frac{b}{\cos\theta} - \frac{d}{\sin\theta\cos\theta},\quad L_{\max} = \min_{0 < \theta < 90^\circ} L(\theta)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>L</mi><mi>max</mi></msub><mo>=</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msup><mi>a</mi><mrow><mn>2</mn><mo>/</mo><mn>3</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mo>/</mo><mn>3</mn></mrow></msup><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow>
</msup>
<mo>,</mo>
<mi>L</mi><mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo><mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></mfrac>
<mo>+</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mrow><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></mfrac>
<mo>−</mo>
<mfrac><mi>d</mi><mrow><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi></mrow></mfrac>
</mrow>
</math>
L_max = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2), L(theta) = a/sin theta + b/cos theta - d/(sin theta cos theta)
lrod = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2); NMinimize[{a/Sin[t] + b/Cos[t] - d/(Sin[t]*Cos[t]), 0.01 < t < Pi/2 - 0.01}, t]
lrod := (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2); L := theta -> a/sin(theta) + b/cos(theta) - d/(sin(theta)*cos(theta)); Lmax := minimize(L(theta), theta = 0.01 .. Pi/2 - 0.01);
lrod = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2); L = @(t) a./sin(t) + b./cos(t) - d./(sin(t).*cos(t)); [t0, Lmax] = fminbnd(L, 0.01, pi/2 - 0.01); % t in radianti
L_max = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2), L(θ) = a/sen θ + b/cos θ − d/(sen θ cos θ)
Diagonali della cabina di un ascensore (il limite per oggetti lunghi e sottili)
D_pavimento = √(a² + b²), D_lato = √(b² + h²), D_spazio = √(a² + b² + h²)
D_{\text{pavimento}} = \sqrt{a^{2}+b^{2}},\quad D_{\text{lato}} = \sqrt{b^{2}+h^{2}},\quad D_{\text{spazio}} = \sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}
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<msub><mi>D</mi><mtext>pavimento</mtext></msub><mo>=</mo>
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<mo>,</mo>
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<mo>,</mo>
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<msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></msqrt>
</mrow>
</math>
D_pavimento = sqrt(a^2 + b^2), D_lato = sqrt(b^2 + h^2), D_spazio = sqrt(a^2 + b^2 + h^2)
{Sqrt[a^2 + b^2], Sqrt[b^2 + h^2], Sqrt[a^2 + b^2 + h^2]}
Dpavimento := sqrt(a^2 + b^2); Dlato := sqrt(b^2 + h^2); Dspazio := sqrt(a^2 + b^2 + h^2);
Dpavimento = sqrt(a^2 + b^2); Dlato = sqrt(b^2 + h^2); Dspazio = sqrt(a^2 + b^2 + h^2); % a, b, h: misure interne utili della cabina
D_pavimento = √(a^2 + b^2), D_lato = √(b^2 + h^2), D_spazio = √(a^2 + b^2 + h^2)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di calcolo che controlla se un mobile passa da una porta. Fai il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri ottenuti eseguendolo (non rispondere a memoria né a occhio). Un divano largo 180 cm, profondo 90 cm e alto 75 cm deve passare da una porta larga 80 cm e alta 200 cm (misura interna). Conta un margine di 3 cm per l’imballo e le protezioni. Calcola ciascuno dei punti seguenti: 1. La larghezza e l’altezza della luce utile (togli il margine di 3 cm dalla larghezza e dall’altezza della luce) 2. Per ciascuna delle tre facce del divano (larghezza × altezza, profondità × altezza, larghezza × profondità), se passa così com’è dalla luce utile (i due lati p, q della faccia soddisfano p ≤ larghezza utile e q ≤ altezza utile; si possono scambiare p e q) 3. Se nessuna faccia passa, se esiste un angolo da 0° a 90° in cui, con il lato lungo della faccia inclinato di θ gradi rispetto al pavimento, la larghezza necessaria p cosθ + q senθ e l’altezza necessaria p senθ + q cosθ stanno insieme 4. La lunghezza massima di una scatola larga 50 cm che può girare in un angolo retto tra due corridoi larghi 90 cm (il valore minimo di L(θ) = a/senθ + b/cosθ − d/(senθ cosθ) per θ da 0° a 90°) Indica le formule usate e i numeri ottenuti eseguendo il codice.
Come si usa
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1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
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2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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