Questa calcolatrice si usa in tre modi. 1) Trovare il punteggio z da un valore, dalla media e dalla deviazione standard. 2) Convertire tra un punteggio z e una probabilità (compila un solo campo). 3) Trovare la probabilità tra due punteggi z. Compila solo i campi del gruppo che vuoi usare.
Compila solo i campi di un modo di usarla e lascia vuoti gli altri. Scrivi le probabilità come numeri da 0 a 1 (per esempio 0,975 per il 97,5%).
Risultato e grafico
Scrivi dei numeri nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Il risultato e un grafico compaiono qui.
Indice
-
Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e grafico
-
Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
-
Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi un valore \(x\), la media \(\mu\) e la deviazione standard \(\sigma\) e ottieni in una volta il punteggio z (punteggio standardizzato) e la probabilità di un valore più piccolo
- Invece di cercare in una tabella della distribuzione normale standard (tabella z), converti i punteggi z in probabilità e le probabilità in punteggi z, in entrambe le direzioni
- Trovi subito anche la probabilità tra due punteggi z (per esempio tra −1,96 e 1,96)
- In questa stessa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule pronte da copiare per Excel, Fogli Google e Python
Questa calcolatrice presuppone che i dati seguano una distribuzione normale (una forma a campana simmetrica intorno alla media). Non va bene per dati con una distribuzione molto asimmetrica.
A cosa serve questo calcolo?
Sapere dove ci si trova, tra punteggi dei test e percentili (scuola e prove)
In un test con media 65 e deviazione standard 5, un punteggio di 75 corrisponde a \(z = 2\). Se i punteggi seguono una distribuzione normale, questo ti mette più o meno nel 2,3% più alto (\(1 - \Phi(2) \approx 0{,}0228\)), cioè circa il 97,7º percentile. I punteggi del QI sono costruiti direttamente dai punteggi z (QI \(= 100 + 15 \times z\)), quindi un QI di 130 è la stessa posizione; lo stesso vale per un punteggio INVALSI di 280 (\(200 + 40 \times z\)).
È l’uso più familiare dei punteggi z: trasformare un punteggio grezzo in un percentile e capire quanto è grande davvero uno scarto di qualche punto, anche tra test con punteggi massimi e medie diversi.
Confrontare con lo stesso metro punteggi di materie o prove diverse
«80 in Italiano (media 70, deviazione standard 10)» e «65 in Matematica (media 50, deviazione standard 15)» sembrano mostrare un punteggio più alto per Italiano, ma come punteggi z sono entrambi \(z = 1\), la stessa posizione.
Anche quando le unità di misura, i punteggi massimi o la severità della correzione sono diversi, i punteggi z permettono di confrontare in modo equo in base a «quanto sopra il gruppo» si trova un punteggio. La stessa idea si usa per riportare sulla stessa scala i punteggi di prove diverse e per normalizzare le valutazioni del personale.
Leggere le curve di crescita di un bambino (famiglia e salute)
Le curve di crescita pediatriche, come quelle dell’OMS usate per i più piccoli (in Italia fino ai 2 anni; dai 2 ai 20 anni si usano le curve italiane della SIEDP), valutano altezza e peso con i punteggi z (detti anche punteggi DS), che dicono a quante deviazioni standard (DS) dalla media si trova un bambino.
Circa il 2,3% dei bambini sta fuori da ciascuna delle linee a ±2 DS (\(z = \pm 2\)). Queste linee, che corrispondono al 2,3º e al 97,7º percentile, sono uno dei criteri con cui il pediatra decide se tenere d’occhio la crescita (i bambini crescono con ritmi diversi, e il medico decide dopo aver seguito l’andamento). Sapere che cosa rappresenta la linea «−2 DS» rende più facile capire le spiegazioni durante le visite di controllo.
Controllo qualità in fabbrica, quanti prodotti restano fuori specifica (industria)
Le dimensioni e i pesi dei prodotti variano spesso in modo vicino a una distribuzione normale, quindi trasformando i limiti superiore e inferiore di specifica in punteggi z puoi stimare la percentuale di difetti. Se i limiti stanno alla media \(\pm 3\sigma\), circa lo 0,3% resta fuori (\(2 \times (1 - \Phi(3)) \approx 0{,}0027\)).
Anche il nome del metodo di miglioramento della qualità «Six Sigma» viene da questa idea di punteggio z (a quanti σ di distanza).
Gestione del rischio in finanza, «con una probabilità del 99% la perdita resta entro questo limite» (banche e investimenti)
Le banche e le società di gestione misurano il rischio di perdite sulle attività che detengono con un indicatore chiamato value at risk (VaR). Se si assume che i rendimenti seguano una distribuzione normale, il limite per cui «la perdita resta entro questo intervallo con probabilità del 99%» è il punteggio z \(\Phi^{-1}(0{,}99) \approx 2{,}33\), cioè 2,33 deviazioni standard dalla media.
Questa conversione «da probabilità a punteggio z» sta alla base dei calcoli del rischio negli istituti finanziari di tutto il mondo.
Formule e grafico
Definizione del punteggio z (a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(z\)
\(=\)
\((\)
\(x\)
\(-\)
\(\mu\)
\()\)
\(\div\)
\(\sigma\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
\(z\): punteggio z
\(=\)
\((\)
①
\(x\): valore
\(-\)
②
\(\mu\): media
\()\)
\(\div\)
③
\(\sigma\): deviazione standard
La formula a parole
①
Prendi il
\(x\): valore
②
sottrai la
\(\mu\): media
③
dividi per la
\(\sigma\): deviazione standard
④
e ottieni il
\(z\): punteggio z
Un esempio semplice
Per chi ha preso 75 in un test con media di 65 e deviazione standard di 5, il punteggio z è
\(z\): punteggio z
\(=\)
\((\)
punteggio (75)
\(-\)
media (65)
\()\)
\(\div\)
deviazione standard (5)
\((75 - 65) \div 5 = 10 \div 5 = 2\)
L’idea chiave
Il punteggio z (punteggio standardizzato) dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore. Un punteggio z positivo sta sopra la media, uno negativo sta sotto e 0 è esattamente la media.
Anche dati con unità di misura diverse o con punteggi massimi diversi si possono confrontare con lo stesso metro una volta trasformati in punteggi z (è la standardizzazione). I punteggi del QI usano questa idea: QI \(= 100 + 15 \times z\), come i punteggi T di alcuni test psicologici (\(50 + 10 \times z\)), e i punteggi INVALSI \(= 200 + 40 \times z\) (lo \(z = 2\) dell’esempio corrisponde a un QI di 130 e a un punteggio INVALSI di 280).
Dal punteggio z alla «probabilità di un valore minore di \(Z\)»
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(P(x<Z)\)
\(=\)
\(\Phi(Z)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
probabilità minore di \(Z\)
\(=\)
①
area a sinistra, \(\Phi(Z)\)
La formula a parole
①
Inserisci il punteggio z \(Z\) nella funzione di ripartizione \(\Phi\) (fi) per ottenere il
valore \(\Phi(Z)\)
(\(\Phi(Z)\) è l’area sotto la curva normale standard a sinistra di \(Z\))
②
e questa è la
probabilità di un valore minore di \(Z\), \(P(x<Z)\)
Un esempio semplice
Quando il punteggio z è 2, la probabilità di un valore minore di 2 è
probabilità di un valore minore di 2
\(=\)
valore della funzione di ripartizione, \(\Phi(2)\)
\(\Phi(2) \approx 0{,}97725\ \ (97{,}7\%)\)
L’idea chiave
I valori di \(\Phi\) una volta si cercavano nella «tabella della distribuzione normale standard (tabella z)» in fondo a un libro di testo. Questa calcolatrice funziona come sostituto di quella tabella.
Il lato opposto, «la probabilità di un valore maggiore di \(Z\)», è la probabilità totale 1 meno quella: \(1 - \Phi(Z)\). Per tornare da una probabilità a un punteggio z si usa la funzione inversa \(\Phi^{-1}\) (esempio: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)). Questa calcolatrice converte in entrambe le direzioni.
Probabilità tra \(-Z\) e \(Z\) (i due lati insieme)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(P(-Z<x<Z)\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(\Phi(Z)\)
\(-\)
\(1\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
probabilità tra \(-Z\) e \(Z\)
\(=\)
②
per 2 (i due lati)
\(\times\)
①
area a sinistra, \(\Phi(Z)\)
\(-\)
③
probabilità totale \(1\)
La formula a parole
①
Prendi il
valore \(\Phi(Z)\) (l’area a sinistra di \(Z\))
②
moltiplicalo
per 2 (la curva è simmetrica, quindi due volte)
③
sottrai la
probabilità totale \(1\)
④
e ottieni la
probabilità tra \(-Z\) e \(Z\)
Un esempio semplice
Quando il punteggio z è 1,96 (\(\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975\)), la probabilità tra −1,96 e 1,96 è
probabilità tra −1,96 e 1,96
\(=\)
per 2
\(\times\)
valore della funzione di ripartizione (0,975)
\(-\)
probabilità totale (1)
\(2 \times 0{,}975 - 1 = 1{,}95 - 1 = 0{,}95\ \ (95\%)\)
L’idea chiave
Questa formula vale quando \(Z\) è 0 o più. La distribuzione normale standard è simmetrica intorno a 0, quindi l’area «da \(-Z\) a \(Z\)» è l’area a sinistra di \(Z\), \(\Phi(Z)\), raddoppiata, meno l’intero (1) che è stato contato due volte.
La probabilità di finire fuori (nelle due code) è il complementare, \(1 - (2\Phi(Z) - 1)\). Con \(Z = 1{,}96\), come nell’esempio, il 95% sta dentro e il 5% fuori. Questo punteggio z è il limite del «livello di significatività del 5%» che compare così spesso nei test statistici.
Probabilità tra due punteggi z \(Z_1\) e \(Z_2\)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(P(Z_1<x<Z_2)\)
\(=\)
\(\Phi(Z_2)\)
\(-\)
\(\Phi(Z_1)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
probabilità tra \(Z_1\) e \(Z_2\)
\(=\)
①
area a sinistra, \(\Phi(Z_2)\)
\(-\)
②
area a sinistra, \(\Phi(Z_1)\)
La formula a parole
①
Prendi l’
area a sinistra del limite superiore \(Z_2\), \(\Phi(Z_2)\)
②
sottrai l’
area a sinistra del limite inferiore \(Z_1\), \(\Phi(Z_1)\)
③
e ottieni la
probabilità tra \(Z_1\) e \(Z_2\)
Un esempio semplice
Quando \(Z_1 = -1\) e \(Z_2 = 0\) (\(\Phi(0) = 0{,}5\), \(\Phi(-1) \approx 0{,}15866\)), la probabilità tra −1 e 0 è
probabilità tra −1 e 0
\(=\)
area a sinistra del limite superiore, \(\Phi(0)\)
\(-\)
area a sinistra del limite inferiore, \(\Phi(-1)\)
\(0{,}5 - 0{,}15866 = 0{,}34134\ \ (34{,}1\%)\)
L’idea chiave
Si tratta solo di «l’area fino al valore più grande meno l’area fino al più piccolo», quindi vale per qualsiasi \(Z_1\) e \(Z_2\) (anche quando sono entrambi negativi).
Scrivi \(Z_1 = -1\) e \(Z_2 = 1\) e ottieni circa 0,683 (68,3%). Così puoi verificare il noto criterio della distribuzione normale, «circa il 68% cade entro una deviazione standard dalla media» (la regola 68–95–99,7).
Il punteggio z è un metro comune per la posizione di un valore nei dati: a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una volta trasformati i valori in punteggi z, puoi confrontare dati con unità di misura diverse, e la funzione di ripartizione \(\Phi\) trasforma un punteggio z in «la probabilità (area) fino a quel valore».
Simboli e termini
Simboli
| \(z\) | zeta (punteggio z) | Un numero che dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore, e si trova con \(z = (x - \mu) \div \sigma\). Un valore positivo sta sopra la media, uno negativo sta sotto. In questa pagina un punteggio z che specifichi tu, come nei modi 2) e 3), si scrive con una \(Z\) maiuscola. |
| \(x\) | ics | Il valore che hai misurato, come il punteggio di un test o un’altezza. È il valore di partenza che vuoi trasformare in un punteggio z. |
| \(\mu\) | mi | La media. È la posizione del centro del picco della distribuzione. È una lettera greca che corrisponde alla m. |
| \(\sigma\) | sigma | La deviazione standard, la grandezza della dispersione dei dati. Più è grande, più il picco è basso e largo. È una lettera greca che corrisponde alla s. |
| \(\Phi(Z)\) | fi di zeta | La funzione di ripartizione della distribuzione normale standard (media 0, deviazione standard 1). Restituisce la probabilità di un valore minore di \(Z\), cioè l’area sotto la curva a sinistra di \(Z\). |
| \(\Phi^{-1}\) | fi alla meno uno (inversa di Φ) | La funzione che lavora al contrario rispetto a \(\Phi\). Prende una probabilità (un’area) e restituisce il punteggio z che la dà. (Esempio: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)) |
| \(Z_1,\ Z_2\) | zeta con 1, zeta con 2 | I due punteggi z che scrivi nel modo 3). \(Z_1\) è il limite di sinistra (il più piccolo) e \(Z_2\) è quello di destra (il più grande). |
Termini
| punteggio z (punteggio standardizzato) | Un numero senza unità di misura che dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore. Si chiama anche punteggio standardizzato, valore standardizzato o z-score. Il suo punto di forza più grande è che mette sullo stesso metro dati con unità di misura o punteggi massimi diversi. |
| standardizzazione | Trasformare un valore di partenza in un punteggio z. Una volta standardizzati, i dati di qualunque distribuzione normale si possono trattare con l’unica distribuzione normale standard con media 0 e deviazione standard 1. |
| distribuzione normale standard | La distribuzione normale con media 0 e deviazione standard 1. È la distribuzione dei punteggi z e serve da «metro comune» per i calcoli di probabilità con qualunque distribuzione normale. Si chiama anche distribuzione normale standardizzata. |
| distribuzione normale | Una distribuzione che si sparge in modo simmetrico intorno alla media con una forma a campana. Molti dati reali, come i punteggi di un test, le altezze e i pesi dei prodotti, si avvicinano a questa forma. |
| funzione di ripartizione | Una funzione che restituisce la probabilità di ottenere quel valore o meno. Per la distribuzione normale standard si scrive \(\Phi\) (fi). Ha questo nome perché somma (accumula) l’area a sinistra della curva. |
| tabella z (tabella della distribuzione normale standard) | Una tabella che elenca i punteggi z e i valori corrispondenti (le aree) di \(\Phi\). Si trova in fondo ai libri di statistica. Il modo 2) di questa pagina si può usare al posto di una tabella z. |
| punteggio T | Un punteggio z riscalato in modo che la media sia 50 e una deviazione standard valga 10 (punteggio T \(= 50 + 10 \times z\)). Si usa in alcuni test psicologici ed educativi. I punteggi del QI funzionano allo stesso modo, con media 100 e 15 per ogni deviazione standard. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendone il significato, e non solo premendo il pulsante.
| La media (classe 5ª della primaria, 10-11 anni) |
|
| Operazioni con i numeri relativi (classe 1ª della secondaria di primo grado, 11-12 anni) |
|
| Analisi dei dati e deviazione standard (scuola secondaria di secondo grado, 14-19 anni) |
|
| La distribuzione normale e la lettura delle aree (scuola secondaria di secondo grado, 14-19 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per calcolare il punteggio z
| Valore x | 75 |
| Media μ | 65 |
| Dev. standard σ | 5 |
| Punteggio z | =(B1-B2)/B3 |
Tabella per calcolare la probabilità di un valore minore del punteggio z, P(x<Z)
| Punteggio z Z | 2 |
| P(x<Z) | =DISTRIB.NORM.ST.N(B1;VERO) |
Tabella per calcolare la probabilità tra −Z e Z
| Punteggio z Z | 1,96 |
| Φ(Z) | =DISTRIB.NORM.ST.N(B1;VERO) |
| Probabilità tra −Z e Z | =2*B2-1 |
Tabella per calcolare la probabilità tra due punteggi z Z1 e Z2
| Sinistra Z1 | -1 |
| Destra Z2 | 0 |
| Φ(Z1) | =DISTRIB.NORM.ST.N(B1;VERO) |
| Φ(Z2) | =DISTRIB.NORM.ST.N(B2;VERO) |
| Probabilità tra Z1 e Z2 | =B4-B3 |
Dopo aver incollato la tabella, i numeri della colonna B funzionano come campi di inserimento. «DISTRIB.NORM.ST.N(valore; VERO)» è la funzione che corrisponde alla funzione di ripartizione \(\Phi\), e VERO le dice di «restituire il valore cumulato (l’area a sinistra)».
Nella prima tabella, cambia il valore, la media e la deviazione standard (da B1 a B3) e B4 mostra il punteggio z (con i valori dell’esempio, B4 è 2). La seconda tabella trova la probabilità (B2) dal punteggio z (B1); con il valore dell’esempio, B2 è circa 0,97725 (97,7%).
Nella terza tabella, scrivi il punteggio z 1,96 e ottieni la probabilità tra −1,96 e 1,96 (B3), circa 0,95 (95%). La quarta tabella è la probabilità tra due punteggi z; con i valori dell’esempio (−1 e 0), B5 è circa 0,34134 (34,1%).
Per andare nell’altra direzione, «da una probabilità a un punteggio z», usa «=INV.NORM.S(probabilità)» (esempio: `=INV.NORM.S(0,975)` dà circa 1,95996).
Nella prima tabella, cambia il valore, la media e la deviazione standard (da B1 a B3) e B4 mostra il punteggio z (con i valori dell’esempio, B4 è 2). La seconda tabella trova la probabilità (B2) dal punteggio z (B1); con il valore dell’esempio, B2 è circa 0,97725 (97,7%).
Nella terza tabella, scrivi il punteggio z 1,96 e ottieni la probabilità tra −1,96 e 1,96 (B3), circa 0,95 (95%). La quarta tabella è la probabilità tra due punteggi z; con i valori dell’esempio (−1 e 0), B5 è circa 0,34134 (34,1%).
Per andare nell’altra direzione, «da una probabilità a un punteggio z», usa «=INV.NORM.S(probabilità)» (esempio: `=INV.NORM.S(0,975)` dà circa 1,95996).
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per calcolare il punteggio z
| Valore x | 75 |
| Media μ | 65 |
| Dev. standard σ | 5 |
| Punteggio z | =(B1-B2)/B3 |
Tabella per calcolare la probabilità di un valore minore del punteggio z, P(x<Z)
| Punteggio z Z | 2 |
| P(x<Z) | =DISTRIB.NORM.ST(B1) |
Tabella per calcolare la probabilità tra −Z e Z
| Punteggio z Z | 1,96 |
| Φ(Z) | =DISTRIB.NORM.ST(B1) |
| Probabilità tra −Z e Z | =2*B2-1 |
Tabella per calcolare la probabilità tra due punteggi z Z1 e Z2
| Sinistra Z1 | -1 |
| Destra Z2 | 0 |
| Φ(Z1) | =DISTRIB.NORM.ST(B1) |
| Φ(Z2) | =DISTRIB.NORM.ST(B2) |
| Probabilità tra Z1 e Z2 | =B4-B3 |
In Fogli Google la funzione di ripartizione \(\Phi\) si calcola con «DISTRIB.NORM.ST(valore)» (funziona come «DISTRIB.NORM.ST.N(valore; VERO)» di Excel, ma VERO non serve). Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e cambia i numeri della colonna B.
I risultati sono gli stessi della versione per Excel: la prima tabella dà un punteggio z di 2 da 75, 65 e 5, e la seconda dà una probabilità di circa 0,97725 da un punteggio z di 2.
Per trovare un punteggio z da una probabilità, usa «=INV.NORM.ST(probabilità)» (esempio: `=INV.NORM.ST(0,975)` dà circa 1,95996).
I risultati sono gli stessi della versione per Excel: la prima tabella dà un punteggio z di 2 da 75, 65 e 5, e la seconda dà una probabilità di circa 0,97725 da un punteggio z di 2.
Per trovare un punteggio z da una probabilità, usa «=INV.NORM.ST(probabilità)» (esempio: `=INV.NORM.ST(0,975)` dà circa 1,95996).
Come calcolarlo con Python
import math
def phi(z):
# Funzione di ripartizione della distribuzione normale standard, Φ(z) (calcolata con la funzione errore erf)
return 0.5 * (1 + math.erf(z / math.sqrt(2)))
x = 75 # valore
mean = 65 # media
sd = 5 # deviazione standard
z_score = (x - mean) / sd # punteggio z
p_less_than_z = phi(z_score) # probabilità di un valore minore del punteggio z, P(x<Z)
z = 1.96
p_between_minus_z_and_z = 2 * phi(z) - 1 # probabilità tra -z e z
z1, z2 = -1, 0
p_between_z1_z2 = phi(z2) - phi(z1) # probabilità tra z1 e z2
print(f"Punteggio z: {z_score}")
print(f"P(x<Z): {p_less_than_z}")
print(f"Probabilità tra -z e z: {p_between_minus_z_and_z}")
print(f"Probabilità tra z1 e z2: {p_between_z1_z2}")
Basta math.erf (la funzione errore) della libreria standard per calcolare la funzione di ripartizione \(\Phi\). Se ti serve l’altra direzione (da probabilità a punteggio z), usa NormalDist().inv_cdf() del modulo statistics della libreria standard (esempio: `statistics.NormalDist().inv_cdf(0.975)` dà circa 1,95996).
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Definizione del punteggio z (a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore)
z = (x − μ) ÷ σ
z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>z</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi></mrow>
<mi>σ</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
z = (x - mu)/sigma
(x - mu)/sigma
z := (x - mu)/sigma;
z = (x - mu)/sigma;
z = (x-μ)/σ
Dal punteggio z alla «probabilità di un valore minore di \(Z\)»
P(x<Z) = Φ(Z)
P(x<Z) = \Phi(Z)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(x<Z) = Phi(Z)
CDF[NormalDistribution[0, 1], Z]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z);
p = normcdf(Z);
P(x<Z) = Φ(Z)
Probabilità tra \(-Z\) e \(Z\) (i due lati insieme)
P(−Z<x<Z) = 2Φ(Z) − 1
P(-Z<x<Z) = 2\Phi(Z) - 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>Z</mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn>
</mrow>
</math>
P(-Z<x<Z) = 2 Phi(Z) - 1
2 CDF[NormalDistribution[0, 1], Z] - 1
with(Statistics): 2*CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z) - 1;
p = 2*normcdf(Z) - 1;
P(-Z<x<Z) = 2Φ(Z) - 1
Probabilità tra due punteggi z \(Z_1\) e \(Z_2\)
P(Z₁<x<Z₂) = Φ(Z₂) − Φ(Z₁)
P(Z_1<x<Z_2) = \Phi(Z_2) - \Phi(Z_1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(Z_1<x<Z_2) = Phi(Z_2) - Phi(Z_1)
CDF[NormalDistribution[0, 1], Z2] - CDF[NormalDistribution[0, 1], Z1]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z2) - CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z1);
p = normcdf(Z2) - normcdf(Z1);
P(Z1<x<Z2) = Φ(Z2) - Φ(Z1)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per il calcolo statistico. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o ipotesi). Una persona ha preso 75 punti in un test con media 65 punti e deviazione standard 5 punti. 1. Trova il punteggio z di questa persona. 2. Trova la probabilità di ottenere meno di quel valore, P(x<Z) (usa la funzione di ripartizione Φ della distribuzione normale standard; puoi usare la libreria standard di Python, come math.erf o statistics.NormalDist). 3. Trova anche la probabilità che un punteggio z cada tra −1,96 e 1,96. Mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
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Funzioni correlate
Calcolatrice di probabilità della distribuzione normale
Dalla media e dalla deviazione standard calcola la probabilità di cadere in un intervallo o quanto si sta in alto
Calcolatrice della deviazione standard di popolazione e campione
Da un elenco di numeri calcola la deviazione standard della popolazione e campionaria, la varianza e la media
