Convertitore da gradi a radianti e da radianti a gradi (valori esatti in π e circonferenza goniometrica)
Scegli «da gradi a radianti» oppure «da radianti a gradi» e scrivi il valore. Insieme al risultato compare anche la circonferenza goniometrica.
Vanno bene gli angoli negativi e quelli maggiori di 360° (2π). Per i radianti puoi scrivere valori con π come «π/6», «2π/3» o «1,5π» (va bene anche scrivere pi) e valori decimali come «1,5».
Risultato e figura
Scrivi un angolo in gradi (o un valore in radianti) nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compariranno il risultato e la circonferenza goniometrica.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
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Come calcolarlo con Python
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La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
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Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
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I punti di forza di DataChef
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Funzioni correlate
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Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Converte i gradi in radianti. Il risultato è mostrato sia come valore esatto in funzione di \(\pi\), come in \(30^\circ \to \dfrac{\pi}{6}\), sia come numero decimale (12 cifre significative)
- Converte anche i radianti in gradi. Puoi scrivere valori con \(\pi\) come «π/6», «2π/3» o «1,5π» (va bene anche scrivere pi) e valori decimali come «1,5»
- Funziona anche con gli angoli negativi (per esempio −45°) e con quelli maggiori di \(360^\circ\) (\(2\pi\))
- Insieme al risultato compare la circonferenza goniometrica, così vedi che la lunghezza dell’arco su una circonferenza di raggio \(1\) è proprio il valore in radianti
- In questa pagina trovi anche la tabella degli angoli notevoli (da \(0^\circ\) a \(360^\circ\)), una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare per Excel, Fogli Google e Python
\(\pi\) è il pi greco (\(\approx 3{,}14159\)). Nel passaggio da gradi a radianti, il risultato è la frazione ridotta ai minimi termini \(\dfrac{\text{gradi}}{180}\), moltiplicata per \(\pi\).
A cosa serve questo calcolo?
Semplificare l’analisi con le funzioni goniometriche (matematica e fisica)
La regola semplice «la derivata di \(\sin x\) è \(\cos x\)» vale solo quando l’angolo \(x\) è misurato in radianti. Se derivi in gradi, a ogni derivata compare un fattore in più \(\dfrac{\pi}{180}\) (circa 0,01745) e le formule diventano sempre più complicate.
L’analisi, la fisica e l’ingegneria scrivono ogni angolo in radianti perché è la misura che rende le formule più semplici. Passare dai gradi ai radianti è la porta d’ingresso a quel mondo.
Calcolare subito lunghezze d’arco e aree di settori circolari (progettazione e produzione)
Con l’angolo al centro in radianti, la lunghezza dell’arco è semplicemente raggio × angolo (\(s = r\theta\)) e l’area di un settore circolare è \(A = \dfrac{1}{2}r^2\theta\). Per esempio, un tratto di curva di raggio 2 m e angolo al centro \(\dfrac{\pi}{3}\) (\(60^\circ\)) è lungo \(2 \times \dfrac{\pi}{3} \approx 2{,}09\) m.
In gradi la formula si allunga, per esempio \(2\pi r \times \dfrac{a}{360}\). Per questo, quando si progettano le curve stradali o i pezzi curvi, di solito si converte prima in radianti.
Descrivere la velocità di rotazione di motori e turbine (ingegneria meccanica ed elettrica)
In ingegneria la velocità di una macchina rotante si esprime come l’angolo percorso in un secondo, la velocità angolare \(\omega\) (in rad/s). Per esempio, un motore a 3000 giri/min (giri al minuto) percorre \(3000 \times 2\pi \div 60 = 100\pi \approx 314\) rad/s, perché un giro vale \(2\pi\) radianti.
Con la velocità angolare in radianti, la velocità all’estremità è semplicemente raggio × velocità angolare (\(v = r\omega\)), quindi ogni calcolo sulla rotazione si riduce a una moltiplicazione. L’\(\omega\) delle schede tecniche dei motori e dei libri di fisica è in questa unità.
Usare correttamente le funzioni goniometriche nel codice (giochi e computer grafica)
In quasi tutti gli ambienti di programmazione, tra cui Python, JavaScript ed Excel (dove la funzione si chiama SEN), seno e coseno accettano radianti. Un classico errore da principianti è scrivere sin(30) aspettandosi \(\sin 30^\circ = 0{,}5\) e ottenere invece −0,988. Il modo giusto è convertire prima i gradi in radianti: sin(30 × π/180).
Quando un gioco sposta un personaggio di un certo angolo, o quando disegni un grafico, questa conversione («noi pensiamo in gradi, i programmi vogliono i radianti») capita di continuo.
Farsi un’idea delle distanze da latitudine e longitudine (mappe e GPS)
Anche il legame tra un angolo al centro della Terra e l’arco sulla sua superficie è lunghezza dell’arco = raggio × angolo in radianti. Il raggio della Terra è circa 6371 km, quindi un grado di latitudine, da nord a sud, corrisponde a circa \(6371 \times \dfrac{\pi}{180} \approx 111\) km.
Il dato di geografia «un grado di latitudine è circa 111 km» deriva direttamente dalla conversione da gradi a radianti, e il calcolo delle distanze con il GPS e le app di mappe usa la stessa idea.
Formule e figure
Definizione di misura in radianti (180° = π radianti)
Figura (misura in radianti: su una circonferenza di raggio 1, la lunghezza dell’arco è l’ampiezza dell’angolo)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
\(180^\circ\)
\(=\)
\(\pi\)
①
\(180^\circ\): mezzo giro in gradi
\(=\)
②
\(\pi\): lo stesso angolo in radianti (la lunghezza dell’arco di una semicirconferenza di raggio \(1\))
La formula a parole
①
Nella misura in gradi,
\(180^\circ\) (mezzo giro)
②
equivale, nella misura in radianti, a
\(\pi\) radianti (la lunghezza dell’arco di una semicirconferenza di raggio \(1\))
Un esempio semplice
Allo stesso modo, un quarto di giro (\(90^\circ\)) è metà dell’arco di una semicirconferenza, quindi
\(90^\circ\)
\(=\)
\(\dfrac{\pi}{2}\) radianti
\(90^\circ = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}5708\)
L’idea chiave
La misura in radianti esprime l’ampiezza di un angolo come lunghezza dell’arco che esso intercetta su una circonferenza di raggio \(1\). La circonferenza di raggio \(1\) è lunga \(2\pi \times 1 = 2\pi\) (circonferenza = diametro × pi greco), quindi un giro intero di \(360^\circ\) vale \(2\pi\) e un mezzo giro di \(180^\circ\) ne è la metà, cioè \(\pi\).
«\(1\) radiante» è l’angolo il cui arco è lungo esattamente quanto il raggio. In gradi vale circa \(57{,}3^\circ\). Può sembrare un numero strano, ma misurare gli angoli con una lunghezza rende le formule dell’analisi e della fisica il più semplici possibile. Per questo, alle superiori, i radianti diventano la misura di riferimento con la goniometria e l’analisi.
Da gradi a radianti (si moltiplica per π/180)
Tabella degli angoli notevoli (gradi e radianti da 0° a 360°)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\theta\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(\dfrac{\pi}{180}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(\theta\): angolo in radianti
\(=\)
①
\(a\): angolo in gradi (il numero senza °)
\(\times\)
②
\(\dfrac{\pi}{180}\): radianti di \(1^\circ\)
La formula a parole
①
Prendi
\(a\): angolo in gradi (il numero senza °)
②
moltiplicalo per
\(\dfrac{\pi}{180}\) (i radianti di \(1^\circ\), che derivano da \(180^\circ = \pi\))
③
e ottieni
\(\theta\): angolo in radianti
Un esempio semplice
Conversione di \(30^\circ\) in radianti:
\(30^\circ\) in radianti
\(=\)
\(30\)
\(\times\)
\(\dfrac{\pi}{180}\)
\(30 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{30\pi}{180} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}5236\)
L’idea chiave
Il trucco è lasciare \(\pi\) così com’è e semplificare solo la frazione \(\dfrac{a}{180}\). Per \(30^\circ\), \(\dfrac{30}{180} = \dfrac{1}{6}\), quindi la risposta è \(\dfrac{\pi}{6}\). Per \(120^\circ\), \(\dfrac{120}{180} = \dfrac{2}{3}\), quindi è \(\dfrac{2\pi}{3}\).
Alle superiori la risposta di solito si lascia in funzione di \(\pi\) e non come decimale (così puoi continuare a lavorare con il valore esatto). Sostituisci \(\pi \approx 3{,}14159\) solo alla fine, quando ti serve un decimale.
Da radianti a gradi (si moltiplica per 180/π)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(a\)
\(=\)
\(\theta\)
\(\times\)
\(\dfrac{180}{\pi}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(a\): angolo in gradi
\(=\)
①
\(\theta\): angolo in radianti
\(\times\)
②
\(\dfrac{180}{\pi}\): gradi di \(1\) radiante
La formula a parole
①
Prendi
\(\theta\): angolo in radianti
②
moltiplicalo per
\(\dfrac{180}{\pi}\) (i gradi di \(1\) radiante, che derivano da \(180^\circ = \pi\))
③
e ottieni
\(a\): angolo in gradi
Un esempio semplice
Conversione di \(\dfrac{2\pi}{3}\) in gradi:
\(\dfrac{2\pi}{3}\) in degrees
\(=\)
\(\dfrac{2\pi}{3}\)
\(\times\)
\(\dfrac{180}{\pi}\)
\(\dfrac{2\pi}{3} \times \dfrac{180}{\pi} = \dfrac{2 \times 180}{3} = 120\)
L’idea chiave
Per un valore con \(\pi\) (come \(\dfrac{\pi}{6}\) o \(\dfrac{2\pi}{3}\)), moltiplicare per \(\dfrac{180}{\pi}\) elimina il \(\pi\). Quindi, in pratica, basta sostituire \(\pi\) con \(180^\circ\). Per esempio \(\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{2 \times 180^\circ}{3} = 120^\circ\).
Un valore decimale in radianti senza \(\pi\) (come \(1{,}5\)) quasi mai dà un numero esatto di gradi. Moltiplica per \(\dfrac{180}{\pi} \approx 57{,}2958\) e dai la risposta come decimale (\(1{,}5\) radianti \(\approx 85{,}94^\circ\)).
I gradi e i radianti sono legati da \(180^\circ = \pi\) radianti. Per passare da gradi a radianti si moltiplica per \(\dfrac{\pi}{180}\) e si semplifica (\(30^\circ = \dfrac{\pi}{6}\)). Per passare da radianti a gradi basta sostituire \(\pi\) con \(180^\circ\) (\(\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{2 \times 180^\circ}{3} = 120^\circ\)).
Simboli e termini
Simboli
| \(^\circ\) (gradi) | gradi | L’unità di misura degli angoli nella misura in gradi. Un giro intero vale \(360^\circ\). È il modo più familiare di esprimere gli angoli, usato anche nella vita di tutti i giorni. |
| rad (radianti) | radianti | L’unità di misura degli angoli nella misura in radianti. La parola «radiante» viene da «raggio» e misura un angolo con la lunghezza dell’arco su una circonferenza di raggio \(1\). In matematica l’unità di solito si omette e si scrive solo il numero, come in \(\dfrac{\pi}{6}\). |
| \(\pi\) | pi greco | Il pi greco (\(\approx 3{,}14159\)), il valore del rapporto tra circonferenza e diametro. Si dice che la lettera derivi dall’iniziale della parola greca per «perimetro». Poiché \(180^\circ = \pi\) radianti, nei valori in radianti compaiono spesso frazioni di \(\pi\). |
| \(\theta\) | teta | Una lettera greca usata spesso per gli angoli. In questa pagina è l’ampiezza di un angolo misurata in radianti. |
| \(a\) | a | In questa pagina, l’angolo in gradi (il numero senza °). È la \(a\) di \(a^\circ\). |
| \(\approx\) | circa uguale a | Il simbolo di «circa» (un’approssimazione). Un valore esatto con \(\pi\) scritto come decimale non finisce mai, quindi per i decimali si usa questo simbolo. |
Termini
| misura in gradi | Misurare gli angoli ponendo un giro intero uguale a 360°. Il numero 360 ha molti divisori (la metà, un terzo, un quarto … sono tutti numeri interi) ed è usato fin dall’antichità. È la misura che si impara per prima, alla scuola primaria. |
| misura in radianti | Misurare un angolo con la lunghezza dell’arco su una circonferenza di raggio 1. L’unità è il radiante. 180° = π radianti, e gli angoli si scrivono come frazioni di π, per esempio 60° = π/3. I radianti si usano dalla goniometria in poi e sono l’unità principale dell’analisi. |
| arco | Una parte della circonferenza. La misura in radianti esprime l’ampiezza di un angolo con la lunghezza dell’arco che esso intercetta. |
| angolo al centro | L’angolo formato da due raggi nel centro di una circonferenza. La lunghezza dell’arco è proporzionale all’angolo al centro (se l’angolo raddoppia, raddoppia anche l’arco). Questa proporzionalità è la base della misura in radianti. |
| circonferenza goniometrica | La circonferenza di raggio 1 con il centro nell’origine. Poiché il raggio è 1, la lunghezza dell’arco è esattamente l’angolo al centro in radianti. Serve anche a definire le funzioni goniometriche ed è uno strumento importante della matematica delle superiori. |
| lato termine | La semiretta uscente dall’origine, ottenuta ruotando di un angolo \(\theta\) il semiasse positivo delle \(x\) (che è il lato origine dell’angolo). Mostra nel disegno l’ampiezza dell’angolo. Per un angolo negativo la rotazione è in senso orario. |
| angolo notevole | Un angolo come 30°, 45°, 60°, 90° o 120° di cui si possono scrivere i valori delle funzioni goniometriche come valori esatti. In radianti sono π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3 …, cioè frazioni di π con denominatore 6, 4, 3 o 2. |
| semplificare | Dividere numeratore e denominatore di una frazione per lo stesso numero per renderla più semplice (si dice anche ridurre ai minimi termini). Nel passaggio da gradi a radianti, si semplifica la frazione gradi/180 con il massimo comun divisore e poi si aggiunge π (30/180 → 1/6 → π/6). |
| frazione ridotta ai minimi termini | Una frazione che non si può semplificare ulteriormente (si dice anche irriducibile). I risultati di questa pagina mostrano il coefficiente di π ridotto ai minimi termini. |
| pi greco | Il valore del rapporto tra circonferenza e diametro (π ≈ 3,14159). È lo stesso per una circonferenza di qualsiasi dimensione. Una circonferenza di raggio 1 è lunga 2π perché il suo diametro è 2 e 2 × π = 2π. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendone il senso, non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a questi argomenti è la via più rapida per andare avanti.
| Angoli (classi 3ª–5ª della primaria, 8-11 anni) |
|
| Circonferenza e pi greco (classe 5ª della primaria e 1ª della secondaria di primo grado, 10-12 anni) |
|
| Moltiplicazione e semplificazione di frazioni (classe 5ª della primaria e 1ª della secondaria di primo grado, 10-12 anni) |
|
| Proporzionalità (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni) |
|
| Espressioni con le lettere (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per convertire i gradi in radianti (decimale)
| Angolo (gradi) | 30 |
| Radianti | =RADIANTI(B1) |
Tabella per convertire i radianti in gradi
| Radianti | =PI.GRECO()/6 |
| Angolo (gradi) | =GRADI(B1) |
Tabella per convertire i gradi in una frazione di π (numeratore e denominatore semplificati)
| Angolo (gradi interi) | 30 |
| Numeratore del coefficiente di π | =B1/MCD(B1;180) |
| Denominatore del coefficiente di π | =180/MCD(B1;180) |
La funzione RADIANTI di Excel converte i gradi in radianti e la funzione GRADI converte i radianti in gradi. La prima tabella usa 30° e il risultato è 0,523598776 (il valore decimale di π/6).
La seconda tabella mette «=PI.GRECO()/6» (π ÷ 6) nella cella dei radianti e il risultato è 30. Per un valore decimale in radianti come 1,5, scrivi semplicemente 1,5 in B1 (il risultato è 85,94366927).
La terza tabella trova la forma esatta come frazione di π. La funzione MCD (massimo comun divisore) semplifica gradi/180. Il numeratore è 1 e il denominatore è 6, quindi puoi leggere «30° = π/6» (questa tabella funziona solo con gradi interi).
La seconda tabella mette «=PI.GRECO()/6» (π ÷ 6) nella cella dei radianti e il risultato è 30. Per un valore decimale in radianti come 1,5, scrivi semplicemente 1,5 in B1 (il risultato è 85,94366927).
La terza tabella trova la forma esatta come frazione di π. La funzione MCD (massimo comun divisore) semplifica gradi/180. Il numeratore è 1 e il denominatore è 6, quindi puoi leggere «30° = π/6» (questa tabella funziona solo con gradi interi).
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per convertire i gradi in radianti (decimale)
| Angolo (gradi) | 30 |
| Radianti | =RADIANTI(B1) |
Tabella per convertire i radianti in gradi
| Radianti | =PI.GRECO()/6 |
| Angolo (gradi) | =GRADI(B1) |
Tabella per convertire i gradi in una frazione di π (numeratore e denominatore semplificati)
| Angolo (gradi interi) | 30 |
| Numeratore del coefficiente di π | =B1/MCD(B1;180) |
| Denominatore del coefficiente di π | =180/MCD(B1;180) |
Valgono le stesse formule di Excel. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci l’angolo o il valore in radianti con i tuoi numeri.
Come calcolarlo con Python
import math
from fractions import Fraction
# Da gradi a radianti (decimale)
angle_degree = 30
angle_radian = math.radians(angle_degree)
print(f"{angle_degree}° = {angle_radian} radianti")
# Da gradi a radianti (forma esatta come frazione di π)
pi_coefficient = Fraction(angle_degree, 180) # semplifica da solo gradi/180
print(f"{angle_degree}° = π × {pi_coefficient}")
# Da radianti a gradi
radian_value = 1.5
print(f"{radian_value} radianti = {math.degrees(radian_value)}°")
Funziona con la sola libreria standard. math.radians() converte i gradi in radianti e math.degrees() converte i radianti in gradi. La forma esatta come frazione di π si ottiene con Fraction(gradi, 180) del modulo fractions (semplifica da sola). Eseguendo questo esempio si stampano 30° in radianti (circa 0,5236), 30° = π × 1/6 (cioè π/6) e 1,5 radianti in gradi (circa 85,94°).
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Definizione di misura in radianti (180° = π radianti)
180° = π rad
180^\circ = \pi\ \mathrm{rad}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mn>180</mn><mo>°</mo>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi><mspace width="0.2em"/><mi>rad</mi>
</mrow>
</math>
180^@ = pi " rad"
180 Degree == Pi
convert(180*degrees, radians);
deg2rad(180)
180° = π rad
Da gradi a radianti (si moltiplica per π/180)
θ = a × π/180
\theta = a \times \dfrac{\pi}{180}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>×</mo>
<mfrac><mi>π</mi><mn>180</mn></mfrac>
</mrow>
</math>
theta = a xx pi/180
N[30 Degree]
convert(30*degrees, radians);
deg2rad(30)
θ = a × π/180
Da radianti a gradi (si moltiplica per 180/π)
a = θ × 180/π
a = \theta \times \dfrac{180}{\pi}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>=</mo>
<mi>θ</mi>
<mo>×</mo>
<mfrac><mn>180</mn><mi>π</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
a = theta xx 180/pi
(2 Pi/3)/Degree
convert(2*Pi/3, degrees);
rad2deg(2*pi/3)
a = θ × 180/π
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di calcolo per la misura in radianti. Fai le conversioni seguenti eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito). 1. Converti 45° e 17,5° in radianti. Dai ciascun risultato sia come frazione esatta di π (semplificata con il modulo fractions) sia come decimale. 2. Converti 2π/3 radianti e 1,5 radianti in gradi. In Python usa il modulo math (radians, degrees) e il modulo fractions. Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
I punti di forza di DataChef
Semplice e gratuito
Conversioni gratuite e illimitate
Nessuna competenza richiesta, semplice e intuitivo
Nessuna competenza richiesta, semplice e intuitivo
Senza registrazione
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Nessun dato personale richiesto
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Sicuro e affidabile
Connessione fortemente crittografata (SSL)
Il file viene eliminato automaticamente dopo il download
Il file viene eliminato automaticamente dopo il download
Veloce
Visualizzazione e conversione rapide, senza attese
Senza filigrana
Nessuna filigrana
Nessun obbligo di attribuzione
Nessun obbligo di attribuzione
Uso commerciale consentito
Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
Calcolatrice di seno, coseno e tangente (rapporti trigonometrici e angoli con la circonferenza goniometrica)
Calcola seno, coseno e tangente di un angolo θ come valori esatti e decimali, e ricava l’angolo da un valore. Mostra gradi e radianti affiancati
Calcolatrice dell’area del settore circolare (dal raggio e dall’angolo al centro)
Calcola l’area e la lunghezza dell’arco di un settore circolare da raggio e angolo al centro. L’angolo può essere in gradi o in radianti
Calcolatrice del cerchio (raggio, diametro, circonferenza e area)
Scrivi uno solo tra raggio, diametro, circonferenza e area di un cerchio e ottieni tutti gli altri, con i passaggi
Calcolatrice del metodo dell’angolo aggiunto (a sen θ + b cos θ come R sen(θ + α), con massimo e minimo)
Trasforma a sen θ + b cos θ in una sola sinusoide R sen(θ + α), con l’ampiezza esatta R = √(a² + b²), α come frazione di π e il massimo e il minimo
Calcolatrice della forma trigonometrica di un numero complesso (modulo, argomento e correzione del quadrante con piano complesso)
Trasforma a + bi in forma trigonometrica r(cos θ + i sen θ), con il modulo esatto e l’argomento come frazione di π. Fa anche il passaggio inverso, dalla forma trigonometrica alla forma algebrica
