Choisissez « degrés vers radians » ou « radians vers degrés » et saisissez votre valeur. Le résultat est accompagné du cercle trigonométrique.
Les angles négatifs et les angles de plus de 360° (2π) sont acceptés. Pour les radians, vous pouvez saisir des valeurs avec π comme « π/6 », « 2π/3 » ou « 1,5π » (ou en tapant pi) ainsi que des décimaux comme « 1,5 ».
Résultat et figure
Saisissez un angle en degrés (ou une valeur en radians) dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et le cercle trigonométrique s’affichent ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et figures
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Convertit les degrés en radians. Le résultat s’affiche en valeur exacte avec \(\pi\), comme \(30^\circ \to \dfrac{\pi}{6}\), et en valeur décimale (12 chiffres significatifs)
- Convertit aussi les radians en degrés. Vous pouvez saisir des valeurs avec \(\pi\) comme « π/6 », « 2π/3 » ou « 1,5π » (ou en tapant pi) ainsi que des décimaux comme « 1,5 »
- Les angles négatifs (comme −45°) et les angles de plus de \(360^\circ\) (\(2\pi\)) sont acceptés
- Le résultat est accompagné du cercle trigonométrique : on voit que la longueur de l’arc sur un cercle de rayon \(1\) est la mesure en radians
- Un tableau des angles remarquables (de \(0^\circ\) à \(360^\circ\)), une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
\(\pi\) est le nombre π (\(\approx 3{,}14159\)). Pour les degrés vers les radians, le résultat est \(\dfrac{\text{degrés}}{180}\) mis sous forme de fraction irréductible, multiplié par \(\pi\).
À quoi sert ce calcul ?
Garder simples les dérivées des fonctions trigonométriques (maths et physique)
La belle formule « la dérivée de \(\sin x\) est \(\cos x\) » n’est vraie que si l’angle \(x\) est mesuré en radians. En dérivant avec des degrés, un facteur \(\dfrac{\pi}{180}\) (environ 0,01745) apparaît à chaque fois, et les formules se compliquent de plus en plus.
Au lycée, en physique et dans les études d’ingénieur, tous les angles s’écrivent en radians parce que c’est la mesure qui rend les formules les plus simples. La conversion degrés ⇔ radians est la porte d’entrée de ce monde.
Calculer vite la longueur d’un arc et l’aire d’un secteur (conception et fabrication)
Avec l’angle au centre en radians, la longueur de l’arc vaut simplement rayon × angle (\(\ell = r\theta\)), et l’aire d’un secteur \(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2}r^2\theta\). Par exemple, une courbe de rayon 2 m et d’angle au centre \(\dfrac{\pi}{3}\) (\(60^\circ\)) mesure \(2 \times \dfrac{\pi}{3} \approx 2{,}09\) m.
En degrés, la formule s’allonge, comme \(2\pi r \times \dfrac{a}{360}\). Pour concevoir des virages de route ou des pièces courbes, on passe donc d’abord en radians : c’est la pratique habituelle.
Exprimer la vitesse de rotation des moteurs et des turbines (mécanique et électrotechnique)
En ingénierie, la vitesse d’une machine qui tourne s’exprime par l’angle parcouru chaque seconde, la vitesse angulaire \(\omega\) (en rad/s). Par exemple, un moteur qui tourne à 3 000 tr/min fait \(3000 \times 2\pi \div 60 = 100\pi \approx 314\) rad/s, puisqu’un tour vaut \(2\pi\) radians.
Avec une vitesse angulaire en radians, la vitesse en bout de pièce vaut simplement rayon × vitesse angulaire (\(v = r\omega\)) : tous les calculs de rotation se font par multiplication. Le \(\omega\) des fiches techniques de moteurs et des manuels de physique est dans cette unité.
Bien utiliser les fonctions trigonométriques en programmation (jeux vidéo et images de synthèse)
Dans presque tous les environnements de programmation, dont Python, JavaScript et Excel, sin et cos attendent des radians. Une erreur classique de débutant : écrire sin(30) en pensant obtenir \(\sin 30^\circ = 0{,}5\), et trouver −0,988. Il faut d’abord convertir les degrés en radians : sin(30 × π/180).
Pour déplacer un personnage d’un certain angle dans un jeu, ou pour tracer un graphique, cette conversion « les humains pensent en degrés, les programmes attendent des radians » revient sans cesse.
Estimer une distance à partir de la latitude et de la longitude (cartes et GPS)
Le lien entre un angle au centre de la Terre et l’arc à sa surface, c’est encore longueur de l’arc = rayon × angle en radians. Le rayon de la Terre vaut environ 6 371 km, donc un degré de latitude du nord au sud représente environ \(6371 \times \dfrac{\pi}{180} \approx 111\) km.
Le repère de géographie « un degré de latitude fait environ 111 km » vient directement d’une conversion degrés → radians, et les calculs de distance des GPS et des applications de cartes reposent sur la même idée.
Formules et figures
Définition de la mesure en radians (180° = π radians)
Figure (mesure en radians : sur un cercle de rayon 1, la longueur de l’arc est la mesure de l’angle)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
\(180^\circ\)
\(=\)
\(\pi\)
①
\(180^\circ\) : un demi-tour en degrés
\(=\)
②
\(\pi\) : la même chose en radians (la longueur de l’arc d’un demi-cercle de rayon \(1\))
La formule en mots
①
En mesure en degrés,
\(180^\circ\) (un demi-tour)
②
correspond, en mesure en radians, à
\(\pi\) radians (la longueur de l’arc d’un demi-cercle de rayon \(1\))
Exemple simple
De même, un quart de tour (\(90^\circ\)) est la moitié de l’arc du demi-cercle, donc
\(90^\circ\)
\(=\)
\(\dfrac{\pi}{2}\) radians
\(90^\circ = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}5708\)
L’idée clé
La mesure en radians donne la taille d’un angle par la longueur de l’arc qu’il intercepte sur un cercle de rayon \(1\). Le périmètre d’un cercle de rayon \(1\) vaut \(2\pi \times 1 = 2\pi\) (périmètre = diamètre × π), donc un tour complet de \(360^\circ\) vaut \(2\pi\), et un demi-tour de \(180^\circ\) la moitié, \(\pi\).
« \(1\) radian » est l’angle dont l’arc a exactement la longueur du rayon. En degrés, il vaut environ \(57{,}3^\circ\). Le nombre paraît bizarre, mais mesurer les angles par une longueur rend les formules de l’analyse et de la physique aussi simples que possible. C’est pourquoi les radians prennent le relais à partir de la 1re (16-17 ans).
Des degrés aux radians (on multiplie par π/180)
Tableau des angles remarquables (degrés et radians de 0° à 360°)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\theta\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(\dfrac{\pi}{180}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(\theta\) : angle en radians
\(=\)
①
\(a\) : angle en degrés (le nombre sans °)
\(\times\)
②
\(\dfrac{\pi}{180}\) : valeur de \(1^\circ\) en radians
La formule en mots
①
On prend l’
angle en degrés \(a\) (le nombre sans °)
②
on le multiplie par
\(\dfrac{\pi}{180}\) (la valeur de \(1^\circ\) en radians, qui vient de \(180^\circ = \pi\))
③
et on obtient l’
angle en radians \(\theta\)
Exemple simple
Conversion de \(30^\circ\) en radians :
\(30^\circ\) en radians
\(=\)
\(30\)
\(\times\)
\(\dfrac{\pi}{180}\)
\(30 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{30\pi}{180} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}5236\)
L’idée clé
L’astuce : on laisse \(\pi\) tel quel et on simplifie seulement la fraction \(\dfrac{a}{180}\). Pour \(30^\circ\), \(\dfrac{30}{180} = \dfrac{1}{6}\), donc la réponse est \(\dfrac{\pi}{6}\). Pour \(120^\circ\), \(\dfrac{120}{180} = \dfrac{2}{3}\), donc c’est \(\dfrac{2\pi}{3}\).
Au lycée, on laisse en général le résultat en fonction de \(\pi\) plutôt qu’en décimal (pour continuer à travailler avec la valeur exacte). On ne remplace \(\pi \approx 3{,}14159\) qu’à la fin, quand on a besoin d’une valeur décimale.
Des radians aux degrés (on multiplie par 180/π)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(a\)
\(=\)
\(\theta\)
\(\times\)
\(\dfrac{180}{\pi}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(a\) : angle en degrés
\(=\)
①
\(\theta\) : angle en radians
\(\times\)
②
\(\dfrac{180}{\pi}\) : valeur de \(1\) radian en degrés
La formule en mots
①
On prend l’
angle en radians \(\theta\)
②
on le multiplie par
\(\dfrac{180}{\pi}\) (la valeur de \(1\) radian en degrés, qui vient de \(180^\circ = \pi\))
③
et on obtient l’
angle en degrés \(a\)
Exemple simple
Conversion de \(\dfrac{2\pi}{3}\) en degrés :
\(\dfrac{2\pi}{3}\) en degrés
\(=\)
\(\dfrac{2\pi}{3}\)
\(\times\)
\(\dfrac{180}{\pi}\)
\(\dfrac{2\pi}{3} \times \dfrac{180}{\pi} = \dfrac{2 \times 180}{3} = 120\)
L’idée clé
Pour une valeur qui contient \(\pi\) (comme \(\dfrac{\pi}{6}\) ou \(\dfrac{2\pi}{3}\)), multiplier par \(\dfrac{180}{\pi}\) fait disparaître \(\pi\). En pratique, il suffit donc de remplacer \(\pi\) par \(180^\circ\). Par exemple, \(\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{2 \times 180^\circ}{3} = 120^\circ\).
Une valeur décimale en radians sans \(\pi\) (comme \(1{,}5\)) ne donne presque jamais un nombre exact de degrés. On multiplie par \(\dfrac{180}{\pi} \approx 57{,}2958\) et on donne le résultat en décimal (\(1{,}5\) radian \(\approx 85{,}94^\circ\)).
Degrés et radians sont reliés par \(180^\circ = \pi\) radians. Pour passer des degrés aux radians, on multiplie par \(\dfrac{\pi}{180}\) et on simplifie (\(30^\circ = \dfrac{\pi}{6}\)). Pour passer des radians aux degrés, il suffit de remplacer \(\pi\) par \(180^\circ\) (\(\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{2 \times 180^\circ}{3} = 120^\circ\)).
Symboles et termes
Symboles
| \(^\circ\) (degrés) | degrés | L’unité d’angle de la mesure en degrés. Un tour complet vaut \(360^\circ\). C’est la façon la plus familière d’exprimer un angle, aussi utilisée dans la vie courante. |
| rad (radians) | radians | L’unité d’angle de la mesure en radians. Le mot « radian » vient de « rayon » (radius en latin), et il mesure un angle par la longueur de l’arc sur un cercle de rayon \(1\). En mathématiques, on omet d’habitude l’unité et on n’écrit que le nombre, comme \(\dfrac{\pi}{6}\). |
| \(\pi\) | pi | Le nombre π (\(\approx 3{,}14159\)), la valeur de périmètre ÷ diamètre d’un cercle. La lettre viendrait de l’initiale du mot grec pour « périmètre ». Comme \(180^\circ = \pi\) radians, les fractions de \(\pi\) sont fréquentes dans les mesures en radians. |
| \(\theta\) | thêta | Une lettre grecque souvent utilisée pour les angles. Sur cette page, c’est la mesure d’un angle en radians. |
| \(a\) | a | Sur cette page, l’angle en degrés (le nombre sans °). C’est le \(a\) de \(a^\circ\). |
| \(\approx\) | environ égal à | Le symbole de « environ » (une valeur approchée). Une valeur exacte avec \(\pi\) ne s’arrête jamais en écriture décimale, d’où ce symbole pour les valeurs décimales. |
Termes
| mesure en degrés | Mesurer les angles en fixant un tour complet à 360°. Le nombre 360 a beaucoup de diviseurs (sa moitié, son tiers, son quart… sont entiers), et on l’utilise depuis l’Antiquité. C’est la mesure que l’on apprend en premier, à l’école primaire. |
| mesure en radians | Mesurer un angle par la longueur de l’arc sur un cercle de rayon 1. L’unité est le radian. 180° = π radians, et les angles s’écrivent en fractions de π, comme 60° = π/3. On l’utilise à partir de la 1re (16-17 ans), et c’est l’unité de référence en analyse. |
| arc | Une portion de cercle. La mesure en radians donne la taille d’un angle par la longueur de l’arc qu’il intercepte. |
| angle au centre | L’angle formé par deux rayons au centre d’un cercle. La longueur de l’arc est proportionnelle à l’angle au centre (angle double, arc double). Cette proportionnalité est à la base de la mesure en radians. |
| cercle trigonométrique | Le cercle de rayon 1 centré à l’origine, orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Comme le rayon vaut 1, la longueur de l’arc est exactement l’angle au centre en radians. Il sert aussi à définir le cosinus et le sinus : c’est un outil essentiel du lycée. |
| demi-droite associée à l’angle | La demi-droite issue de l’origine, obtenue en tournant de l’angle \(\theta\) à partir du demi-axe des abscisses positives. Elle montre la taille de l’angle sur la figure. Pour un angle négatif, on tourne dans le sens des aiguilles d’une montre. |
| angle remarquable | Un angle comme 30°, 45°, 60°, 90° ou 120° dont les valeurs trigonométriques s’écrivent exactement. En radians, ce sont π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3…, des fractions de π de dénominateurs 6, 4, 3 et 2. |
| simplifier | Diviser le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre pour la rendre plus simple. Pour passer des degrés aux radians, on simplifie la fraction degrés/180 par le PGCD, puis on ajoute π (30/180 → 1/6 → π/6). |
| fraction irréductible | Une fraction qu’on ne peut plus simplifier. Les résultats de cette page donnent le coefficient de π sous forme de fraction irréductible. |
| nombre π | La valeur de périmètre ÷ diamètre d’un cercle (π ≈ 3,14159). Elle est la même pour tous les cercles. Un cercle de rayon 1 a un périmètre de 2π, car son diamètre vaut 2 et 2 × π = 2π. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser les calculs de cette page en comprenant ce qu’ils font, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
En cas de difficulté, revoir ces notions est le chemin le plus court.
| Les angles (CM1, 9-10 ans) |
|
| Le cercle et le nombre π (6e, 11-12 ans) |
|
| Multiplier et simplifier des fractions (6e-5e, 11-13 ans) |
|
| La proportionnalité (6e-5e, 11-13 ans) |
|
| Le calcul littéral (5e-3e, 12-15 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour convertir des degrés en radians (valeur décimale)
| Angle (degrés) | 30 |
| Radians | =RADIANS(B1) |
Tableau pour convertir des radians en degrés
| Valeur en radians | =PI()/6 |
| Angle (degrés) | =DEGRES(B1) |
Tableau pour écrire des degrés en fraction de π (numérateur et dénominateur simplifiés)
| Angle (degrés entiers) | 30 |
| Numérateur du coefficient de π | =B1/PGCD(B1;180) |
| Dénominateur du coefficient de π | =180/PGCD(B1;180) |
La fonction RADIANS d’Excel convertit des degrés en radians, et DEGRES des radians en degrés. Le premier tableau utilise 30°, et le résultat est 0,523598776 (la valeur décimale de π/6).
Le deuxième tableau met « =PI()/6 » (π ÷ 6) dans la cellule des radians, et le résultat est 30. Pour une valeur décimale en radians comme 1,5, tapez simplement 1,5 en B1 (le résultat est 85,94366927).
Le troisième tableau donne la forme exacte en fraction de π. La fonction PGCD (plus grand commun diviseur) simplifie degrés/180. Le numérateur vaut 1 et le dénominateur 6 : on lit « 30° = π/6 » (ce tableau ne marche qu’avec un nombre entier de degrés).
Le deuxième tableau met « =PI()/6 » (π ÷ 6) dans la cellule des radians, et le résultat est 30. Pour une valeur décimale en radians comme 1,5, tapez simplement 1,5 en B1 (le résultat est 85,94366927).
Le troisième tableau donne la forme exacte en fraction de π. La fonction PGCD (plus grand commun diviseur) simplifie degrés/180. Le numérateur vaut 1 et le dénominateur 6 : on lit « 30° = π/6 » (ce tableau ne marche qu’avec un nombre entier de degrés).
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour convertir des degrés en radians (valeur décimale)
| Angle (degrés) | 30 |
| Radians | =RADIANS(B1) |
Tableau pour convertir des radians en degrés
| Valeur en radians | =PI()/6 |
| Angle (degrés) | =DEGRES(B1) |
Tableau pour écrire des degrés en fraction de π (numérateur et dénominateur simplifiés)
| Angle (degrés entiers) | 30 |
| Numérateur du coefficient de π | =B1/PGCD(B1;180) |
| Dénominateur du coefficient de π | =180/PGCD(B1;180) |
Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez l’angle ou la valeur en radians par vos propres nombres.
Calculer avec Python
import math
from fractions import Fraction
# Degrés vers radians (valeur décimale)
angle_degree = 30
angle_radian = math.radians(angle_degree)
print(f"{angle_degree}° = {angle_radian} radians")
# Degrés vers radians (forme exacte en fraction de π)
pi_coefficient = Fraction(angle_degree, 180) # simplifie degrés/180 automatiquement
print(f"{angle_degree}° = π × {pi_coefficient}")
# Radians vers degrés
radian_value = 1.5
print(f"{radian_value} radians = {math.degrees(radian_value)}°")
Fonctionne avec la seule bibliothèque standard. math.radians() convertit les degrés en radians, et math.degrees() les radians en degrés. La forme exacte en fraction de π vient de Fraction(degrés, 180) du module fractions (qui simplifie automatiquement). L’exemple affiche que 30° vaut environ 0,5236 radian, que 30° = π × 1/6 (c’est-à-dire π/6) et que 1,5 radian vaut environ 85,94° (Python écrit les décimaux avec un point).
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Définition de la mesure en radians (180° = π radians)
180° = π rad
180^\circ = \pi\ \mathrm{rad}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mn>180</mn><mo>°</mo>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi><mspace width="0,2em"/><mi>rad</mi>
</mrow>
</math>
180^@ = pi " rad"
180 Degree == Pi
convert(180*degrees, radians);
deg2rad(180)
180° = π rad
Des degrés aux radians (on multiplie par π/180)
θ = a × π/180
\theta = a \times \dfrac{\pi}{180}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>×</mo>
<mfrac><mi>π</mi><mn>180</mn></mfrac>
</mrow>
</math>
theta = a xx pi/180
N[30 Degree]
convert(30*degrees, radians);
deg2rad(30)
θ = a × π/180
Des radians aux degrés (on multiplie par 180/π)
a = θ × 180/π
a = \theta \times \dfrac{180}{\pi}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>=</mo>
<mi>θ</mi>
<mo>×</mo>
<mfrac><mn>180</mn><mi>π</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
a = theta xx 180/pi
(2 Pi/3)/Degree
convert(2*Pi/3, degrees);
rad2deg(2*pi/3)
a = θ × 180/π
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul mathématique spécialisé dans la mesure des angles en radians. Fais les conversions suivantes en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation). 1. Convertis 45° et 17,5° en radians. Donne chaque résultat en fraction exacte de π (simplifiée avec le module fractions) et en valeur décimale. 2. Convertis 2π/3 radians et 1,5 radian en degrés. En Python, utilise le module math (radians, degrees) et le module fractions. Indique les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Cosinus, sinus et tangente d’un angle (valeurs exactes, angle et cercle trigonométrique)
Calcule sin, cos et tan d’un angle θ en valeur exacte et décimale, et retrouve l’angle à partir d’une valeur. Degrés et radians côte à côte
Aire d’un secteur circulaire (à partir du rayon et de l’angle au centre)
Calcule l’aire et la longueur de l’arc d’un secteur circulaire à partir du rayon et de l’angle au centre, en degrés ou en radians
Calcul du cercle (rayon, diamètre, périmètre et aire du disque)
Entrez le rayon, le diamètre, le périmètre ou l’aire d’un cercle et obtenez tout le reste, avec les étapes
Écrire a sin θ + b cos θ sous la forme R sin(θ + α) (amplitude, maximum et minimum)
Regroupe a sin θ + b cos θ en une seule sinusoïde R sin(θ + α), avec l’amplitude exacte R = √(a² + b²), α en fraction de π, et le maximum et le minimum
Forme trigonométrique et exponentielle d’un nombre complexe (module, argument, étapes et plan complexe)
Écrit a + bi sous la forme r(cos θ + i sin θ), avec le module exact et l’argument en fraction de π. Fait aussi la conversion inverse
