Forme trigonométrique et exponentielle d’un nombre complexe (module, argument, étapes et plan complexe)

Choisissez le sens de la conversion et entrez les nombres. Pour passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique, entrez la partie réelle a et la partie imaginaire b. Pour le sens inverse, entrez le module r et l’argument θ (et choisissez son unité).

Conversion

Partie réelle a

Partie imaginaire b

Module r

Argument θ

Unité de l’argument

Les nombres décimaux (2,5), négatifs et les fractions comme 3/4 sont acceptés. Une partie réelle ou imaginaire vide compte pour 0.

Résultat et figure

Saisissez les nombres dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et la figure dans le plan complexe s’affichent ici.

Table des matières

[ Fermer X ]

Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et figures
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Passez sur-le-champ d’un nombre complexe \(z = a + bi\) (forme algébrique) à sa forme trigonométrique \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\), avec le module \(r\) et un argument \(\theta\). Le module est donné en valeur exacte avec un radical simplifié, comme \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), et pour les angles remarquables l’argument est une fraction exacte de π
L’argument \(\theta\) est donné surtout dans \([0\,;\,2\pi[\), avec aussi sa mesure principale dans \(]-\pi\,;\,\pi]\), pour vérifier votre réponse quelle que soit la convention de votre cours
La conversion inverse (forme trigonométrique vers forme algébrique) est aussi possible. Entrez le module \(r\) et l’argument \(\theta\) (en degrés, en fraction de π ou en radians décimaux), et \(a + bi\) s’affiche en valeur exacte, comme \(1 + \sqrt{3}i\)
Les étapes montrent une par une comment l’argument se déduit de \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) et du quadrant où se trouve le point (la correction selon le quadrant)
Le résultat est aussi représenté dans le plan complexe : on voit d’un coup d’œil à quoi correspondent le module \(r\) (la distance à l’origine) et l’argument \(\theta\) (l’angle de rotation depuis l’axe des réels)

Cette page traite la forme trigonométrique des nombres complexes vue en terminale (option maths expertes). Les parties réelle et imaginaire peuvent être des fractions ou des décimaux (des rationnels) ; on ne peut pas entrer directement un irrationnel comme √3. L’argument n’est donc donné en fraction exacte de π que si le point est sur un axe ou si l’angle est un multiple de 45° (pour les angles liés à 30° et 60°, tan θ est un irrationnel comme 1/√3, impossible à obtenir avec des parties réelle et imaginaire rationnelles). Dans l’autre sens, de la forme trigonométrique vers la forme algébrique, tous les angles remarquables multiples de 30° ou de 45° sont calculés exactement.

À quoi sert ce calcul ?

Les calculs de circuits en courant alternatif (électrotechnique et électronique)

Dans le courant alternatif d’une prise, la tension et l’intensité oscillent comme des ondes, avec deux informations : l’amplitude de l’onde et son décalage dans le temps (la phase). En électricité, on les réunit dans un seul nombre complexe (module = amplitude, argument = phase), et la méthode classique consiste à multiplier et diviser sous forme trigonométrique pour résoudre le circuit. C’est la notation complexe, prolongement de la représentation de Fresnel vue en physique.
La conception du réseau électrique, de la centrale jusqu’à votre logement, comme celle du circuit d’un chargeur de téléphone, repose sur ces calculs de « module et argument ». C’est l’usage le plus courant des nombres complexes dans les métiers de l’électricité, enseigné du BTS aux écoles d’ingénieurs.

Analyser le son et les ondes radio (transformée de Fourier et traitement du signal)

Quand un ordinateur traite du son ou des ondes radio, il les décompose par un calcul appelé transformée de Fourier pour savoir « combien de chaque fréquence elles contiennent ». Le résultat est une liste de nombres complexes : le module de chacun est l’intensité de cette onde (l’amplitude), et l’argument son décalage (la phase).
Beaucoup de technologies du son et des ondes, comme l’égaliseur d’une application de musique, la réduction de bruit des écouteurs ou la reconnaissance vocale, reposent sur cette lecture d’un nombre complexe par son module et son argument.

Faire tourner des figures (jeux vidéo et image de synthèse)

La règle de la forme trigonométrique, « on multiplie les modules, on additionne les arguments », correspond géométriquement à « agrandir et tourner ». Par exemple, multiplier par \(i\) (module 1, argument 90°) fait tourner un point d’exactement un quart de tour autour de l’origine. Dans un jeu en 2D, faire pivoter un personnage ou un projectile peut s’écrire comme une multiplication de complexes.
Les quaternions, utilisés en image de synthèse 3D et en robotique, étendent à trois dimensions cette idée de « rotation par les nombres complexes ».

La « distance et la direction » des radars et sonars (aviation et marine)

Un radar d’aéroport ou le sonar d’un navire repère une cible par un couple : « à quelle distance » et « dans quelle direction ». C’est la même idée que la forme trigonométrique (les coordonnées polaires), qui décrit un point par \(r\) et \(\theta\). Pour afficher la position à l’écran (abscisse et ordonnée), on fait la même conversion que sur cette page.
Chaque fois que « distance et direction » est la façon naturelle de décrire une position, cette conversion vers les coordonnées cartésiennes, et inversement, intervient.

Formules et figures

Forme trigonométrique (une autre écriture d’un nombre complexe)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(z\) \(=\) \(r\) \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ nombre complexe \(z\) \(=\) ① module \(r\) (distance à l’origine) ② direction donnée par l’argument \(\theta\)

La formule en mots

① On prend le module \(r\) (la distance entre l’origine et le point),

② on le multiplie par la partie « direction » \(\cos\theta + i\sin\theta\) donnée par l’argument \(\theta\)

③ et on obtient le nombre complexe \(z\)

Exemple simple

Écrivons \(z = 1 + \sqrt{3}i\) sous forme trigonométrique (le module vaut \(r = 2\) et un argument est \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\), soit 60°) :

nombre complexe \(1 + \sqrt{3}i\) \(=\) module \(2\) \(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\)

\(r = \sqrt{1^{2} + \left(\sqrt{3}\right)^{2}} = \sqrt{4} = 2\)

\(1 + \sqrt{3}i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right) = 2e^{i\pi/3}\)

L’idée clé

Il y a deux façons d’écrire le même nombre complexe. Le lire comme « le point à \(a\) en abscisse et \(b\) en ordonnée » donne la forme algébrique \(a + bi\). Le lire comme « le point à la distance \(r\) de l’origine, dans la direction de l’angle \(\theta\) depuis l’axe des réels » donne la forme trigonométrique. C’est comme indiquer un chemin : la forme algébrique dit « avance de 1 vers l’est et de √3 vers le nord », la forme trigonométrique « tourne de 60° de l’est vers le nord et avance de 2 ». En terminale, on écrit aussi \(\cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta}\) : la forme exponentielle \(z = re^{i\theta}\) est une écriture plus courte de la même chose. Les sommes et les différences sont plus faciles sous forme algébrique, les produits, les quotients et les puissances sous forme trigonométrique ou exponentielle (la formule du produit plus bas montre pourquoi).

Module \(r\) (distance à l’origine)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

\(r\) \(=\) \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

② module \(r\) \(=\) ① racine carrée de la somme des carrés de la partie réelle \(a\) et de la partie imaginaire \(b\)

La formule en mots

① La racine carrée de la partie réelle \(a\) au carré plus la partie imaginaire \(b\) au carré, \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

② est le module \(r\)

Exemple simple

Le module de \(z = 3 + 4i\) est

module \(r\) \(=\) \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)

\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)

L’idée clé

C’est tout simplement le théorème de Pythagore, vu en 4e. Dans le plan complexe, le point \(z = a + bi\) est à \(a\) en abscisse et \(b\) en ordonnée. L’origine, le point \((a\,;\,0)\) et \(z\) forment un triangle rectangle, et la distance de l’origine à \(z\) (l’hypoténuse) vaut \(\sqrt{a^2 + b^2}\). Par convention, on écrit une racine carrée sous forme simplifiée, en sortant les facteurs carrés, comme \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) (ce calculateur l’affiche aussi sous cette forme).

Argument \(\theta\) (avec tan θ et le quadrant)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

\(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{b}{a}\)

② tangente de l’argument \(\theta\) \(=\) ① partie imaginaire \(b\) divisée par la partie réelle \(a\)

La formule en mots

① La partie imaginaire \(b\) divisée par la partie réelle \(a\)

② donne la tangente de l’argument, \(\tan\theta\) (cette formule seule ne suffit pas à fixer \(\theta\) : on utilise le quadrant du point \(z\) pour choisir)

Exemple simple

Un argument de \(z = -1 + i\) (la partie réelle est négative et la partie imaginaire positive : le point est dans le deuxième quadrant) :

tangente \(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(a < 0,\ b > 0\right)\)

L’idée clé

Dans \([0\,;\,2\pi[\), deux angles ont pour tangente \(-1\) : \(\dfrac{3}{4}\pi\) (135°) et \(\dfrac{7}{4}\pi\) (315°). Le bon dépend du quadrant du point \(z\). Pour \(z = -1 + i\), la partie réelle est négative et la partie imaginaire positive : c’est le deuxième quadrant (en haut à gauche), donc \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\). C’est la correction selon le quadrant. En pratique, on peut aussi utiliser \(\cos\theta = \dfrac{a}{r}\) et \(\sin\theta = \dfrac{b}{r}\), dont les signes désignent directement le bon angle : c’est la méthode habituelle des manuels français. La touche \(\arctan\) (arc tangente) d’une calculatrice ou d’un tableur ne renvoie que des angles entre \(-\dfrac{\pi}{2}\) et \(\dfrac{\pi}{2}\) : pour les points des deuxième et troisième quadrants, son résultat n’est pas directement un argument. Il faut corriger l’angle aigu obtenu, par exemple en ajoutant \(\pi\), selon le quadrant (ce calculateur affiche cette correction dans les étapes).

Produit sous forme trigonométrique (on multiplie les modules, on additionne les arguments)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(z_{1} z_{2}\) \(=\) \(r_{1} r_{2}\) \(\left\{\cos\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right) + i\sin\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right)\right\}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ produit des deux nombres complexes \(=\) ① produit des modules ② direction donnée par la somme des arguments

La formule en mots

① On prend le produit des modules, \(r_1 r_2\)

② on le multiplie par la partie « direction » donnée par la somme des arguments, \(\theta_1 + \theta_2\)

③ et on obtient le produit des deux nombres complexes, \(z_1 z_2\) (multiplier par \(z_2\) multiplie la longueur par \(r_2\) et fait tourner la direction de \(\theta_2\))

Exemple simple

Le produit de \(z_1 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\) et \(z_2 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\) est

produit \(z_1 z_2\) \(=\) produit des modules, \(2 \times 3\) \(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)

\(z_1 z_2 = 2 \times 3\left\{\cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right)\right\}\)

\(z_1 z_2 = 6\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 6i\)

L’idée clé

C’est le grand intérêt de la forme trigonométrique. Sous forme algébrique, un produit demande de développer quatre termes, alors qu’ici il suffit de « multiplier les modules et d’additionner les arguments ». Sous forme exponentielle, c’est encore plus visible : \(r_1e^{i\theta_1} \times r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}\). Géométriquement, multiplier par \(z_2\), c’est « tourner de \(\theta_2\) autour de l’origine et agrandir d’un facteur \(r_2\) ». Par exemple, multiplier par \(i\) (module 1, argument 90°) fait tourner un point d’exactement un quart de tour autour de l’origine. En répétant cette règle \(n\) fois avec le même nombre, on obtient la formule de Moivre, \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), qui mène aux puissances et aux racines \(n\)-ièmes des nombres complexes.

Un nombre complexe \(z = a + bi\) s’écrit aussi sous forme trigonométrique \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\), ou sous forme exponentielle \(z = re^{i\theta}\), avec le module \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) (la distance à l’origine) et un argument \(\theta\) (l’angle mesuré dans le sens direct depuis le demi-axe des réels positifs). On trouve l’argument grâce à \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) (ou à \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\)) et au quadrant du point. Sous cette forme, le produit de nombres complexes suit une règle simple : on multiplie les modules et on additionne les arguments.

Symboles et termes

Symboles

\(i\)	i	Le nombre dont le carré vaut \(-1\) (\(i^2 = -1\)). La lettre vient de « imaginaire ».
\(z\)	z	La lettre habituelle pour un nombre complexe. Par convention, on utilise \(z\) et \(w\) pour les complexes, pour les distinguer des variables réelles \(x\) et \(y\).
\(a,\ b\)	a, b	La partie réelle (\(a\)) et la partie imaginaire (\(b\)) de \(z = a + bi\), deux réels. Dans le plan complexe, \(a\) est l’abscisse (sur l’axe des réels) et \(b\) l’ordonnée (sur l’axe des imaginaires purs).
\(r\)	r	La lettre du module (la distance de l’origine au point \(z\)), initiale de « rayon » en latin comme en anglais (radius). Dans la forme trigonométrique, c’est un réel positif ou nul.
\(\|z\|\)	module de z	Le symbole du module de \(z\). On l’écrit avec deux barres verticales, comme la valeur absolue d’un réel, et \(\|a + bi\| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
\(\theta\)	thêta	La lettre grecque utilisée pour l’argument. En mathématiques, c’est la lettre habituelle pour un angle.
\(\arg z\)	argument de z	La notation d’un argument de \(z\), défini à \(2\pi\) près. On écrit par exemple \(\arg z = \theta \ [2\pi]\) (« modulo \(2\pi\) »).
\(\cos\theta,\ \sin\theta\)	cosinus thêta, sinus thêta	Les fonctions trigonométriques. Sur le cercle trigonométrique (de rayon 1), le point associé à l’angle \(\theta\) a pour abscisse \(\cos\theta\) et pour ordonnée \(\sin\theta\). Dans la forme trigonométrique, elles donnent la direction.
\(\tan\theta\)	tangente thêta	La fonction définie par \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). Dans le plan complexe, \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) (la pente), ce qui aide à trouver l’argument.
\(\arctan\)	arc tangente	La réciproque de la tangente (touche \(\tan^{-1}\) des calculatrices). Elle renvoie « l’angle \(\theta\) tel que \(\tan\theta = x\) », toujours entre \(-\dfrac{\pi}{2}\) et \(\dfrac{\pi}{2}\) : il faut donc une correction selon le quadrant pour les arguments des deuxième et troisième quadrants.
\(\pi\)	pi	Le nombre pi (environ 3,14159), rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre. En radians, un demi-tour, \(180^{\circ}\), vaut exactement \(\pi\).
\(e^{i\theta}\)	exponentielle de i thêta	La notation de terminale pour \(\cos\theta + i\sin\theta\). Elle transforme la règle du produit en règle sur les exposants : \(e^{i\theta_1} \times e^{i\theta_2} = e^{i(\theta_1+\theta_2)}\).

Termes

nombre complexe	Un nombre de la forme \(a + bi\), où \(a\) et \(b\) sont réels. L’ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes contient les réels. On l’étudie en terminale (option maths expertes).
partie réelle	Le \(a\) du nombre complexe \(z = a + bi\), noté \(\mathrm{Re}(z)\). Dans le plan complexe, c’est l’abscisse.
partie imaginaire	Le \(b\) du nombre complexe \(z = a + bi\), noté \(\mathrm{Im}(z)\) : le réel devant \(i\), sans le \(i\) (la partie imaginaire de \(1 + 2i\) est \(2\), pas \(2i\)).
plan complexe	Le plan où \(a + bi\) est représenté par le point de coordonnées \((a\,;\,b)\) (on dit que \(z\) est l’affixe du point). L’axe horizontal est l’axe des réels et l’axe vertical l’axe des imaginaires purs.
axe des réels	L’axe horizontal du plan complexe, où se trouvent les nombres réels (partie imaginaire nulle).
axe des imaginaires purs	L’axe vertical du plan complexe, où se trouvent les imaginaires purs (partie réelle nulle), comme \(2i\).
forme algébrique	L’écriture d’un nombre complexe sous la forme \(a + bi\) (l’abscisse \(a\) et l’ordonnée \(b\)). Les sommes et les différences se calculent le plus facilement sous cette forme.
forme trigonométrique	L’écriture \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\) d’un nombre complexe, avec sa distance \(r\) à l’origine et son angle \(\theta\) depuis l’axe des réels. Les produits, les quotients et les puissances se calculent le plus facilement sous cette forme.
forme exponentielle	L’écriture \(z = re^{i\theta}\), où \(e^{i\theta}\) désigne \(\cos\theta + i\sin\theta\). C’est la même information que la forme trigonométrique, écrite plus court.
module	La distance de l’origine au point d’affixe \(z\), calculée par \(\|z\| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Elle prolonge au plan la valeur absolue d’un réel (sa distance à 0 sur la droite graduée).
argument	L’angle de la direction de l’origine vers le point \(z\), mesuré dans le sens direct depuis le demi-axe des réels positifs, noté \(\arg z\). Ajouter un tour complet (\(2\pi\)) donne la même direction : un argument est défini à \(2\pi\) près. La mesure principale est celle qui appartient à \(]-\pi\,;\,\pi]\).
quadrant	L’une des quatre régions délimitées par les deux axes du repère. En haut à droite, c’est le premier quadrant (numéro 1, parfois noté I), puis, dans le sens direct, les deuxième, troisième et quatrième. Le quadrant du point permet de fixer son argument.
radian	L’unité qui mesure un angle par la longueur de l’arc qu’il intercepte sur un cercle de rayon 1. \(180^{\circ} = \pi\) radians. À partir de la première, c’est l’unité habituelle en trigonométrie, plutôt que le degré.
angle remarquable	\(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) et les angles associés (ceux-ci plus des multiples de \(90^{\circ}\)). Leurs valeurs trigonométriques s’écrivent exactement, comme \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), et la plupart des exercices les utilisent.
correction selon le quadrant	Sur un tour, deux angles vérifient \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) : on choisit celui qui correspond au quadrant du point (par exemple en ajoutant \(\pi\) à l’angle aigu donné par \(\arctan\)).
formule de Moivre	La formule \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), soit \((e^{i\theta})^n = e^{in\theta}\). C’est la règle « le produit additionne les arguments » répétée \(n\) fois ; elle sert à calculer les puissances et les racines \(n\)-ièmes des nombres complexes.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revenir sur ces notions est le plus court chemin.

La racine carrée (4e-seconde, 13-16 ans)	Savoir que \(\sqrt{2}\) est « le nombre positif dont le carré vaut 2 » Savoir simplifier un radical en sortant les facteurs carrés, comme \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
Le théorème de Pythagore (4e, 13-14 ans)	Savoir que l’hypoténuse d’un triangle rectangle mesure \(\sqrt{a^2 + b^2}\) quand les deux autres côtés mesurent \(a\) et \(b\) Savoir calculer la distance entre deux points d’un repère avec le théorème de Pythagore
Les nombres complexes sous forme algébrique (terminale, option maths expertes, 17-18 ans)	Savoir que \(i\) est le nombre tel que \(i^2 = -1\) Savoir lire la partie réelle \(a\) et la partie imaginaire \(b\) de \(a + bi\)
La trigonométrie et le cercle trigonométrique (seconde-première, 15-17 ans)	Savoir que \(\cos\), \(\sin\) et \(\tan\) correspondent à l’abscisse, à l’ordonnée et à la pente d’un point du cercle trigonométrique Connaître les valeurs trigonométriques de \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\) et \(60^{\circ}\) (\(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)) Savoir trouver avec le cercle trigonométrique les valeurs pour des angles de plus de \(90^{\circ}\) (exemple : \(\cos 135^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\))
Le radian (première, 16-17 ans)	Savoir passer des degrés aux radians et inversement avec \(180^{\circ} = \pi\) radians (exemple : \(60^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}\))
Le plan complexe (terminale, option maths expertes, 17-18 ans)	Savoir représenter un nombre complexe \(a + bi\) par le point \((a\,;\,b)\) du plan Savoir que l’axe horizontal s’appelle l’axe des réels et l’axe vertical l’axe des imaginaires purs

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Partie réelle a	3
Partie imaginaire b	4
Module r	=RACINE(B1^2+B2^2)
Argument θ (radians, 0 ⩽ θ < 2π)	=MOD(ATAN2(B1;B2);2*PI())
Argument θ (degrés)	=DEGRES(MOD(ATAN2(B1;B2);2*PI()))

Tableau pour passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Module r	2
Argument θ (degrés)	60
Partie réelle a = r cos θ	=B1*COS(RADIANS(B2))
Partie imaginaire b = r sin θ	=B1*SIN(RADIANS(B2))

Une fois le tableau collé, les lignes du haut sont vos données et les lignes du bas se calculent automatiquement.
Dans le premier tableau, ATAN2(abscisse ; ordonnée) renvoie un argument déjà corrigé selon le quadrant (dans \(]-\pi\,;\,\pi]\)). Avec MOD(… ; 2π), on le ramène dans \([0\,;\,2\pi[\). Pour l’exemple z = 3 + 4i, r = 5 et θ ≈ 0,9273 (environ 53,13 degrés).
Dans le deuxième tableau, RADIANS convertit les degrés en radians. Pour l’exemple r = 2 et θ = 60 degrés, a = 1 et b ≈ 1,7320508 (= √3). Excel donne des valeurs décimales : pour des valeurs exactes comme √2 ou des fractions de π, utilisez le calculateur de cette page.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique

Partie réelle a	3
Partie imaginaire b	4
Module r	=RACINE(B1^2+B2^2)
Argument θ (radians, 0 ⩽ θ < 2π)	=MOD(ATAN2(B1;B2);2*PI())
Argument θ (degrés)	=DEGRES(MOD(ATAN2(B1;B2);2*PI()))

Tableau pour passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique

Module r	2
Argument θ (degrés)	60
Partie réelle a = r cos θ	=B1*COS(RADIANS(B2))
Partie imaginaire b = r sin θ	=B1*SIN(RADIANS(B2))

Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles dans Google Sheets réglé en français (ATAN2 prend aussi ses valeurs dans l’ordre « abscisse ; ordonnée »). Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres par les vôtres.

Calculer avec Python

import math

# Forme algébrique -> forme trigonométrique
real_part = 3        # partie réelle a
imaginary_part = 4   # partie imaginaire b
absolute_value = math.sqrt(real_part ** 2 + imaginary_part ** 2)
argument = math.atan2(imaginary_part, real_part)   # déjà corrigé selon le quadrant (-π < θ ≤ π)
if argument < 0:
    argument += 2 * math.pi                        # ramené dans l’intervalle 0 ≤ θ < 2π
print(f"Module r = {absolute_value}")
print(f"Argument θ = {argument} rad ({math.degrees(argument)} degrés)")

# Forme trigonométrique -> forme algébrique
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"Partie réelle a = {r * math.cos(theta)}")
print(f"Partie imaginaire b = {r * math.sin(theta)}")

math.atan2(y, x) renvoie un angle déjà corrigé selon le quadrant : contrairement à arctan, il donne la bonne direction même pour les points des deuxième et troisième quadrants. La première partie de l’exemple convertit z = 3 + 4i ; à l’exécution, elle affiche le module r = 5 et θ ≈ 0,9273 rad (environ 53,13 degrés) ; Python écrit les décimaux avec un point. La seconde partie revient en arrière à partir de r = 2 et θ = 60°, et donne a ≈ 1 et b ≈ 1,7320508 (= √3). La valeur de a n’est pas exactement 1 à cause des erreurs d’arrondi des nombres à virgule flottante ; pour des valeurs exactes, il faut un calcul symbolique, comme celui du calculateur de cette page. Le module standard cmath donne aussi le module et l’angle (−π < θ ⩽ π) d’un coup avec cmath.polar(complex(3, 4)).

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Forme trigonométrique (une autre écriture d’un nombre complexe)

z = r(cosθ + i sinθ) = re^(iθ)

z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>z</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>r</mi>
    <mo>(</mo>
    <mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

z = r(cos theta + i sin theta)

z == r (Cos[theta] + I Sin[theta])

z := r*(cos(theta) + I*sin(theta));

z = r*(cos(theta) + 1i*sin(theta));

z = r(cos θ + i sin θ)

Module \(r\) (distance à l’origine)

r = |z| = √(a² + b²)

r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo><mi>z</mi><mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

r = |z| = sqrt(a^2 + b^2)

Abs[a + b I]

r := abs(a + b*I);

r = abs(a + b*1i);

r = √(a^2 + b^2)

Argument \(\theta\) (avec tan θ et le quadrant)

tanθ = b/a

\tan\theta = \dfrac{b}{a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>tan</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>a</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

tan theta = b/a

theta = Arg[a + b I]

theta := argument(a + b*I);

theta = angle(a + b*1i);

tan θ = b/a

Produit sous forme trigonométrique (on multiplie les modules, on additionne les arguments)

z₁z₂ = r₁r₂{cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)}

z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2}\{\cos(\theta_{1}+\theta_{2}) + i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub>
    <msub><mi>z</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>r</mi><mn>1</mn></msub>
    <msub><mi>r</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>{</mo>
    <mi>cos</mi>
    <mo>(</mo>
    <msub><mi>&#x3B8;</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>&#x3B8;</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mi>i</mi>
    <mi>sin</mi>
    <mo>(</mo>
    <msub><mi>&#x3B8;</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>&#x3B8;</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>)</mo>
    <mo>}</mo>
  </mrow>
</math>

z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(theta_1 + theta_2) + i sin(theta_1 + theta_2))

r1 r2 (Cos[theta1 + theta2] + I Sin[theta1 + theta2])

z1z2 := r1*r2*(cos(theta1 + theta2) + I*sin(theta1 + theta2));

z12 = r1*r2*(cos(t1 + t2) + 1i*sin(t1 + t2));

z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(θ_1+θ_2) + i sin(θ_1+θ_2))

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul en mathématiques (nombres complexes et plan complexe). Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

1. Écris le nombre complexe z = 3 + 4i sous forme trigonométrique r(cos θ + i sin θ) et sous forme exponentielle re^(iθ). Donne le module r et un argument θ (dans l’intervalle 0 ⩽ θ < 2π, en radians et en degrés).
2. Écris sous forme algébrique a + bi le nombre complexe de module r = 2 et d’argument θ = 60°. Donne a et b en valeurs décimales, et en valeurs exactes avec des racines carrées si possible.

En Python, utilise math.atan2 et math.sqrt, et montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule