Saisissez les nombres dont vous voulez mesurer la dispersion, séparés par des points-virgules (;). L’écart-type de la population σ et celui de l’échantillon s sont calculés en même temps que la moyenne, les variances et la somme des carrés des écarts.
Entrez au moins 2 nombres séparés par des points-virgules (;), par exemple 10 ; 12 ; 23 ; 23 ; 16. Les nombres décimaux (3,5) et négatifs sont acceptés.
Résultat et graphique
Saisissez vos nombres séparés par des points-virgules dans le champ à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
-
Mode d'emploi
-
Formules et figures
-
Symboles et termes
-
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
-
Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Saisissez vos nombres séparés par des points-virgules (;) et obtenez tout de suite l’écart-type
- L’écart-type de la population \(\sigma\) (on divise par \(N\)) et celui de l’échantillon \(s\) (on divise par \(N-1\)) s’affichent ensemble
- La moyenne \(\mu\), la somme des carrés des écarts \(\sum (x_i-\mu)^2\) et les variances \(\sigma^2\) et \(s^2\) sont aussi calculées : vous suivez chaque étape d’un coup d’œil
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page
Si vos données forment tout le groupe que vous voulez étudier, prenez l’écart-type de la population \(\sigma\). Si ce n’est qu’une partie (un échantillon) tirée d’un groupe plus grand et que vous voulez estimer la dispersion de ce groupe entier, prenez l’écart-type de l’échantillon \(s\). En cas de doute, comparez les deux. Il faut au moins 2 nombres.
À quoi sert ce calcul ?
La base du score z et des notes centrées réduites (école et examens)
Le score z (ou note centrée réduite) indique à combien d’écarts-types une note se trouve de la moyenne : \(z = \dfrac{x - \text{moyenne}}{\text{écart-type}}\). L’écart-type est directement au dénominateur.
Si la moyenne de la classe est 12/20 et l’écart-type 2,5, une note de 16/20 donne \(z = (16 - 12) \div 2{,}5 = 1{,}6\) : elle est 1,6 écart-type au-dessus de la moyenne. C’est le principe de l’harmonisation des notes entre correcteurs et des classements de certains concours. Cela explique aussi pourquoi une même note ressort davantage dans un contrôle où les notes sont très resserrées (faible dispersion).
Réduire la variabilité en production et en contrôle qualité (industrie)
Même fabriquées avec une grande précision, la longueur des vis ou la masse des pièces varient toujours un peu. Les usines mesurent cette variabilité avec l’écart-type et pilotent la production pour que « la moyenne ± 3 écarts-types » reste dans les tolérances du client.
Plus l’écart-type est petit, plus les produits sont réguliers et de bonne qualité. C’est un indicateur si fondamental qu’on peut presque dire qu’améliorer la qualité, c’est réduire l’écart-type.
Mesurer le risque d’un placement (argent et finance)
Deux placements peuvent rapporter tous les deux 5 % par an en moyenne. Celui dont les rendements ont le plus grand écart-type connaît des années de forte hausse et des années de forte baisse : on le juge plus risqué.
En finance, l’écart-type des rendements s’appelle la volatilité, et c’est la mesure du risque la plus courante. Pour les décisions importantes sur votre argent, regardez la dispersion (l’écart-type) autant que la moyenne.
Comparer la régularité des climats (météo et lecture des données)
Deux villes peuvent avoir la même température moyenne annuelle. Si l’écart-type de leurs températures mensuelles est petit, la ville a un climat doux toute l’année ; s’il est grand, l’été et l’hiver sont très différents (climat océanique contre climat continental, par exemple).
L’écart-type traduit en un nombre le caractère « stable ou changeant », que la moyenne seule ne montre pas. On s’en sert pour comparer des climats et pour planifier les cultures ou le tourisme.
Fixer les valeurs de référence des analyses médicales (bilan de santé)
Les valeurs de référence indiquées sur une prise de sang sont parfois fixées en recueillant les données de nombreuses personnes en bonne santé et en prenant environ « la moyenne ± 2 écarts-types » (en pratique, chaque analyse utilise une méthode adaptée à la forme de sa distribution).
Connaître l’écart-type aide à garder son calme : sortir un peu des valeurs de référence ne veut pas forcément dire être malade, car une partie des personnes en bonne santé se trouve aussi en dehors.
Formules et figures
Moyenne
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\mu\)
\(=\)
\((x_1 + x_2 + \cdots + x_N)\)
\(\div\)
\(N\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(\mu\) : moyenne
\(=\)
①
somme des données
\(\div\)
②
\(N\) : nombre de valeurs
La formule en mots
①
On prend la
somme des données
②
on la divise par le
\(N\) : nombre de valeurs
③
et on obtient la
\(\mu\) : moyenne
Exemple simple
Pour les données 10 ; 12 ; 23 ; 23 ; 16 ; 23 ; 21 ; 16 (8 valeurs), la moyenne est la somme 144 divisée par 8 :
\(\mu\) : moyenne
\(=\)
somme (144)
\(\div\)
effectif (8 valeurs)
\(144 \div 8 = 18\)
L’idée clé
L’écart-type mesure à quelle distance chaque valeur se trouve de la moyenne : la première étape est donc de calculer la moyenne.
Quand on étudie la dispersion d’un échantillon, on parle de moyenne de l’échantillon et on la note souvent \(\bar{x}\) (« x barre »), mais elle se calcule exactement de la même façon.
Somme des carrés des écarts
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(S\)
\(=\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\)
\((x_i - \mu)\)
\(2\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(S\) : somme des carrés des écarts
\(=\)
③
\(\displaystyle\sum\) : on additionne tout
①
différence entre chaque valeur \(x_i\) et la moyenne \(\mu\) (l’écart)
②
au carré
La formule en mots
①
On prend la
différence entre chaque valeur et la moyenne (l’écart)
②
on l’élève
au carré
(pour que toutes les valeurs deviennent positives),
③
puis
on additionne tout \(\displaystyle\sum\)
④
et on obtient la
\(S\) : somme des carrés des écarts
Exemple simple
Pour les données 1 et 5 (moyenne 3), les écarts sont \(1-3=-2\) et \(5-3=2\). On élève chacun au carré et on additionne :
\(S\) : somme des carrés des écarts
\(=\)
écart (−2)
au carré
\(+\)
écart (2)
au carré
\((-2)^2 + (2)^2 = 4 + 4 = 8\)
L’idée clé
Si l’on additionne simplement les écarts (les différences entre chaque valeur et la moyenne), on obtient toujours 0, car les écarts positifs et négatifs se compensent. On les élève donc d’abord au carré pour qu’ils soient tous positifs, puis on les additionne. C’est la somme des carrés des écarts, la base qui permet de traduire la dispersion en un nombre.
La variance et l’écart-type, pour une population comme pour un échantillon, sont tous construits à partir de ce \(S\). La seule différence entre population et échantillon : on divise par \(N\) ou par \(N-1\).
Variance (population et échantillon)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\sigma^2\)
\(=\)
\(S\)
\(\div\)
\(N\)
\(s^2\)
\(=\)
\(S\)
\(\div\)
\((N-1)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(\sigma^2\) : variance de la population
\(=\)
①
\(S\) : somme des carrés des écarts
\(\div\)
②
\(N\) : effectif
⑥
\(s^2\) : variance de l’échantillon
\(=\)
④
\(S\) : somme des carrés des écarts
\(\div\)
⑤
\((N-1)\) : l’effectif moins 1
La formule en mots
①
On divise la
\(S\) : somme des carrés des écarts
②
par l’
\(N\) : effectif
③
et on obtient la
\(\sigma^2\) : variance de la population
.
④
On divise la
même somme des carrés des écarts \(S\)
⑤
par
\((N-1)\) : l’effectif moins 1
⑥
et on obtient la
\(s^2\) : variance de l’échantillon
Exemple simple
Pour les données 2 et 8 (moyenne 5, somme des carrés des écarts 18), la variance de la population est 18 divisé par l’effectif 2, et la variance de l’échantillon est 18 divisé par (2 − 1) :
\(\sigma^2\) : variance de la population
\(=\)
18
\(\div\)
2
\(\sigma^2 = 18 \div 2 = 9\)
\(s^2 = 18 \div (2 - 1) = 18 \div 1 = 18\)
L’idée clé
La variance indique l’ampleur de la dispersion, mais comme les données sont élevées au carré, son unité l’est aussi (pour des notes en points, des « points² »), ce qui la rend difficile à se représenter. En prenant la racine carrée à l’étape suivante, on retrouve l’unité de départ : c’est l’écart-type.
La variance de l’échantillon divise par \(N-1\) au lieu de \(N\) car, quand on estime la dispersion d’une population à partir d’un échantillon, diviser par \(N\) donne une dispersion un peu trop petite. Diviser par un de moins corrige ce défaut (c’est la correction de Bessel, et \(N-1\) s’appelle le nombre de degrés de liberté).
Certains manuels de statistique appellent « variance de l’échantillon » la version divisée par \(N\), et « variance corrigée » (ou estimation sans biais) la version divisée par \(N-1\). Sur cette page, comme dans les fonctions d’Excel et de Python, c’est la version divisée par \(N-1\) que l’on appelle variance de l’échantillon \(s^2\).
Écart-type (population et échantillon)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\sigma\)
\(=\)
\(\sqrt{\sigma^2}\)
\(s\)
\(=\)
\(\sqrt{s^2}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(\sigma\) : écart-type de la population
\(=\)
①
racine carrée de la variance de la population \(\sigma^2\)
④
\(s\) : écart-type de l’échantillon
\(=\)
③
racine carrée de la variance de l’échantillon \(s^2\)
La formule en mots
①
On prend la
racine carrée de la variance de la population \(\sigma^2\) (le nombre qui, élevé au carré, redonne la variance)
②
et on obtient l’
\(\sigma\) : écart-type de la population
.
③
On prend la
racine carrée de la variance de l’échantillon \(s^2\)
④
et on obtient l’
\(s\) : écart-type de l’échantillon
Exemple simple
Avec les mêmes données 2 et 8, on prend la racine carrée de la variance de la population (9) et de celle de l’échantillon (18) :
\(\sigma\) : écart-type de la population
\(=\)
\(\sqrt{9}\)
\(\sigma = \sqrt{9} = 3\)
\(s = \sqrt{18} \approx 4{,}243\)
L’idée clé
L’écart-type est la racine carrée de la variance : son unité est donc la même que celle des données (pour des notes en points, l’écart-type est aussi en points). On se représente ainsi facilement « à quelle distance de la moyenne se trouvent les valeurs en général ».
Plus l’écart-type est grand, plus les données sont dispersées ; plus il est petit, plus elles sont regroupées autour de la moyenne. Si toutes les valeurs sont identiques, il n’y a aucune dispersion et l’écart-type vaut 0.
Pour trouver l’écart-type : 1) calculez la moyenne ; 2) élevez au carré chaque différence avec la moyenne (chaque écart) et additionnez tout (la somme des carrés des écarts) ; 3) divisez par l’effectif N (population) ou par N − 1 (échantillon) pour obtenir la variance ; 4) prenez la racine carrée. La seule différence entre population et échantillon : on divise par N ou par N − 1.
Symboles et termes
Symboles
| \(x_1, x_2, \ldots, x_N\) | x indice 1, x indice 2, …, x indice N | Les valeurs dont vous voulez mesurer la dispersion. (Exemple : les notes de 8 élèves à un contrôle) |
| \(N\) | N | Le nombre de valeurs (l’effectif total). (Exemple : pour 8 élèves, \(N = 8\)) |
| \(\mu\) | mu | La moyenne. Cette lettre grecque désigne la moyenne d’une population. La moyenne d’un échantillon se note \(\bar{x}\) (« x barre »), mais elle se calcule de la même façon. |
| \(x_i - \mu\) | x indice i moins mu | L’écart à la moyenne. Il indique à quelle distance chaque valeur se trouve de la moyenne. |
| \(S\) | S | La somme des carrés des écarts, \(\sum (x_i-\mu)^2\), obtenue en élevant chaque écart au carré et en additionnant le tout. La variance et l’écart-type sont construits à partir d’elle. |
| \(\sigma^2\) | sigma au carré | La variance de la population : la somme des carrés des écarts divisée par l’effectif \(N\). |
| \(\sigma\) | sigma | L’écart-type de la population, racine carrée de la variance de la population. C’est le symbole le plus connu de la dispersion. |
| \(s^2\) | s au carré | La variance de l’échantillon (variance corrigée) : la somme des carrés des écarts divisée par \(N-1\). |
| \(s\) | s | L’écart-type de l’échantillon, racine carrée de la variance de l’échantillon. |
| \(\sum\) | sigma (symbole de somme) | Un symbole qui veut dire « on additionne tout ». \(\sum_{i=1}^{N} x_i\) est la somme de \(x_1\) à \(x_N\). |
Termes
| écart-type | Un nombre qui indique à quel point les données sont dispersées autour de la moyenne. C’est la racine carrée de la variance ; comme il a la même unité que les données, il donne une bonne idée de « l’écart habituel à la moyenne ». C’est la mesure de dispersion la plus courante. |
| variance | La moyenne des carrés des écarts (les différences entre chaque valeur et la moyenne). Elle mesure l’ampleur de la dispersion, mais son unité est au carré : on la transforme donc en général en écart-type en prenant la racine carrée. |
| écart | La différence entre une valeur et la moyenne (\(x_i - \mu\)), aussi appelée écart à la moyenne. Positif, la valeur est au-dessus de la moyenne ; négatif, elle est en dessous. Additionnés tels quels, les écarts donnent toujours 0 : on les élève donc au carré avant de s’en servir. |
| somme des carrés des écarts | Les écarts élevés au carré puis tous additionnés. La variance et l’écart-type sont tous construits à partir de cette valeur. |
| population | Le groupe entier que l’on veut étudier. Si vos données forment ce groupe entier, prenez l’écart-type de la population \(\sigma\). |
| échantillon | Une partie des données tirée d’une population (le groupe entier). Pour estimer la dispersion du groupe entier à partir d’un échantillon, prenez l’écart-type de l’échantillon \(s\). |
| variance corrigée | La variance qui sert à estimer la variance d’une population à partir d’un échantillon (estimateur sans biais). On divise la somme des carrés des écarts par \(N-1\) : diviser par \(N\) donnerait une dispersion de la population trop petite, et diviser par un de moins corrige ce défaut. |
| correction de Bessel | Le fait de diviser par \(N-1\) au lieu de \(N\) dans la variance de l’échantillon. \(N-1\) s’appelle aussi le nombre de degrés de liberté. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
| La moyenne (5e, 12-13 ans) |
|
| Nombres relatifs et parenthèses (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| Puissances (4e, 13-14 ans) |
|
| Racine carrée (4e-3e, 13-15 ans) |
|
| Répartition et dispersion des données (du collège à la seconde, 12-16 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la moyenne
| Valeur 1 | 10 |
| Valeur 2 | 12 |
| Valeur 3 | 23 |
| Valeur 4 | 23 |
| Valeur 5 | 16 |
| Valeur 6 | 23 |
| Valeur 7 | 21 |
| Valeur 8 | 16 |
| Effectif N | =NB(B1:B8) |
| Somme Σx | =SOMME(B1:B8) |
| Moyenne μ | =MOYENNE(B1:B8) |
Tableau pour trouver la somme des carrés des écarts S
| Valeur 1 | 10 |
| Valeur 2 | 12 |
| Valeur 3 | 23 |
| Valeur 4 | 23 |
| Valeur 5 | 16 |
| Valeur 6 | 23 |
| Valeur 7 | 21 |
| Valeur 8 | 16 |
| Somme des carrés des écarts S | =SOMME.CARRES.ECARTS(B1:B8) |
Tableau pour trouver l’écart-type σ et la variance σ² de la population
| Valeur 1 | 10 |
| Valeur 2 | 12 |
| Valeur 3 | 23 |
| Valeur 4 | 23 |
| Valeur 5 | 16 |
| Valeur 6 | 23 |
| Valeur 7 | 21 |
| Valeur 8 | 16 |
| Variance de la population σ² | =VAR.P(B1:B8) |
| Écart-type de la population σ | =ECARTYPEP(B1:B8) |
Tableau pour trouver l’écart-type s et la variance s² de l’échantillon
| Valeur 1 | 10 |
| Valeur 2 | 12 |
| Valeur 3 | 23 |
| Valeur 4 | 23 |
| Valeur 5 | 16 |
| Valeur 6 | 23 |
| Valeur 7 | 21 |
| Valeur 8 | 16 |
| Variance de l’échantillon s² | =VAR(B1:B8) |
| Écart-type de l’échantillon s | =ECARTYPE(B1:B8) |
Après le collage, les cellules B1 à B8 reçoivent vos nombres et les cellules en vert et en gras se calculent automatiquement.
Le premier tableau affiche 18 pour la moyenne μ. L’écart-type de la population σ du troisième tableau vaut environ 4,899, et l’écart-type de l’échantillon s du quatrième environ 5,237.
Pour changer le nombre de valeurs, ajoutez (ou supprimez) des lignes de nombres, puis remplacez « B1:B8 » dans les formules par votre vraie plage de données (pour 10 valeurs, B1:B10).
ECARTYPEP et VAR.P, avec un « P », sont pour une population (on divise par N). ECARTYPE et VAR, sans « P », sont pour un échantillon (on divise par N − 1). SOMME.CARRES.ECARTS donne directement la somme des carrés des écarts.
Le premier tableau affiche 18 pour la moyenne μ. L’écart-type de la population σ du troisième tableau vaut environ 4,899, et l’écart-type de l’échantillon s du quatrième environ 5,237.
Pour changer le nombre de valeurs, ajoutez (ou supprimez) des lignes de nombres, puis remplacez « B1:B8 » dans les formules par votre vraie plage de données (pour 10 valeurs, B1:B10).
ECARTYPEP et VAR.P, avec un « P », sont pour une population (on divise par N). ECARTYPE et VAR, sans « P », sont pour un échantillon (on divise par N − 1). SOMME.CARRES.ECARTS donne directement la somme des carrés des écarts.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la moyenne
| Valeur 1 | 10 |
| Valeur 2 | 12 |
| Valeur 3 | 23 |
| Valeur 4 | 23 |
| Valeur 5 | 16 |
| Valeur 6 | 23 |
| Valeur 7 | 21 |
| Valeur 8 | 16 |
| Effectif N | =NB(B1:B8) |
| Somme Σx | =SOMME(B1:B8) |
| Moyenne μ | =MOYENNE(B1:B8) |
Tableau pour trouver la somme des carrés des écarts S
| Valeur 1 | 10 |
| Valeur 2 | 12 |
| Valeur 3 | 23 |
| Valeur 4 | 23 |
| Valeur 5 | 16 |
| Valeur 6 | 23 |
| Valeur 7 | 21 |
| Valeur 8 | 16 |
| Somme des carrés des écarts S | =SOMME.CARRES.ECARTS(B1:B8) |
Tableau pour trouver l’écart-type σ et la variance σ² de la population
| Valeur 1 | 10 |
| Valeur 2 | 12 |
| Valeur 3 | 23 |
| Valeur 4 | 23 |
| Valeur 5 | 16 |
| Valeur 6 | 23 |
| Valeur 7 | 21 |
| Valeur 8 | 16 |
| Variance de la population σ² | =VAR.P(B1:B8) |
| Écart-type de la population σ | =ECARTYPEP(B1:B8) |
Tableau pour trouver l’écart-type s et la variance s² de l’échantillon
| Valeur 1 | 10 |
| Valeur 2 | 12 |
| Valeur 3 | 23 |
| Valeur 4 | 23 |
| Valeur 5 | 16 |
| Valeur 6 | 23 |
| Valeur 7 | 21 |
| Valeur 8 | 16 |
| Variance de l’échantillon s² | =VAR(B1:B8) |
| Écart-type de l’échantillon s | =ECARTYPE(B1:B8) |
Les mêmes formules que dans Excel fonctionnent telles quelles dans Google Sheets en français. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez B1 à B8 par vos propres nombres.
Dans Google Sheets aussi, ECARTYPEP et VAR.P servent pour une population, ECARTYPE et VAR pour un échantillon.
Dans Google Sheets aussi, ECARTYPEP et VAR.P servent pour une population, ECARTYPE et VAR pour un échantillon.
Calculer avec Python
import statistics
numbers = [10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16] # les nombres dont on veut mesurer la dispersion
mean = statistics.mean(numbers) # moyenne μ
pstdev = statistics.pstdev(numbers) # écart-type de la population σ (on divise par N)
pvariance = statistics.pvariance(numbers) # variance de la population σ²
sstdev = statistics.stdev(numbers) # écart-type de l’échantillon s (on divise par N-1)
svariance = statistics.variance(numbers) # variance de l’échantillon s²
print(f"Effectif : {len(numbers)} / Somme : {sum(numbers)} / Moyenne : {mean}")
print(f"Variance de la population σ² : {pvariance} / Écart-type de la population σ : {pstdev}")
print(f"Variance de l’échantillon s² : {svariance} / Écart-type de l’échantillon s : {sstdev}")
Fonctionne avec la seule bibliothèque standard (le module statistics). Remplacez la liste numbers en haut par vos propres nombres, puis exécutez. pstdev et pvariance, qui commencent par « p », sont pour une population (on divise par N) ; stdev et variance, sans « p », sont pour un échantillon (on divise par N − 1).
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Moyenne
μ = Σxᵢ ÷ N
\mu = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>μ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>+</mo>
<msub><mi>x</mi><mi>N</mi></msub>
</mrow>
<mi>N</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
mu = (x_1 + x_2 + cdots + x_N) / N
Mean[data]
mu := add(x[i], i = 1 .. N)/N;
mu = mean(x);
μ = (x_1 + x_2 + ⋯ + x_N)/N
Somme des carrés des écarts
S = Σ(xᵢ − μ)²
S = \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>N</mi>
</munderover>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mi>i</mi></msub><mo>−</mo><mi>μ</mi><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</math>
S = sum_(i=1)^N (x_i - mu)^2
Total[(data - Mean[data])^2]
S := add((x[i] - mu)^2, i = 1 .. N);
S = sum((x - mean(x)).^2);
S = ∑_(i=1)^N (x_i − μ)^2
Variance (population et échantillon)
σ² = S ÷ N ; s² = S ÷ (N − 1)
\sigma^2 = \frac{S}{N}, \qquad s^2 = \frac{S}{N-1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>σ</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>S</mi><mi>N</mi></mfrac>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<msup><mi>s</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>S</mi><mrow><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac>
</mrow>
</math>
sigma^2 = S/N, s^2 = S/(N-1)
popVar = S/n; sampleVar = Variance[data] (* N est une fonction prédéfinie de Mathematica, l’effectif est donc noté n *)
sigma2 := S/N; s2 := S/(N - 1);
popVar = S/N; sampleVar = var(x);
σ^2 = S/N, s^2 = S/(N−1)
Écart-type (population et échantillon)
σ = √(σ²) ; s = √(s²)
\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\dfrac{S}{N}}, \qquad s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\dfrac{S}{N-1}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>σ</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt><mfrac><mi>S</mi><mi>N</mi></mfrac></msqrt>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>s</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt><mfrac><mi>S</mi><mrow><mi>N</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></msqrt>
</mrow>
</math>
sigma = sqrt(S/N), s = sqrt(S/(N-1))
popSD = Sqrt[S/n]; sampleSD = StandardDeviation[data] (* N est une fonction prédéfinie de Mathematica, l’effectif est donc noté n *)
sigma := sqrt(S/N); s := sqrt(S/(N - 1));
popSD = sqrt(S/numel(x)); sampleSD = std(x);
σ = √(S/N), s = √(S/(N−1))
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul statistique. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Pour les données suivantes, calcule chacune des valeurs ci-dessous. Données : 10 ; 12 ; 23 ; 23 ; 16 ; 23 ; 21 ; 16 1. L’effectif, la somme et la moyenne 2. La somme des carrés des écarts (l’écart de chaque valeur à la moyenne, élevé au carré, puis tout additionné) 3. La variance de la population σ² (on divise par N) et l’écart-type de la population σ 4. La variance de l’échantillon s² (on divise par N − 1) et l’écart-type de l’échantillon s Indique les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Calcul de la moyenne
Calcule la moyenne, la médiane, la moyenne géométrique et plus encore à partir d’une liste de nombres
Calcul de probabilité avec la loi normale
Calcule la probabilité de tomber dans un intervalle donné à partir de la moyenne et de l’écart-type
Calcul de la différence en pourcentage entre deux valeurs
Exprime l’écart entre deux valeurs en pourcentage de leur moyenne
