Calcul de la taille d’échantillon (sondage et marge d’erreur)

Deux façons d’utiliser ce calculateur. ① Entrez le niveau de confiance, la proportion et la marge d’erreur pour trouver la taille d’échantillon nécessaire. ② Entrez le niveau de confiance, la proportion et la taille d’échantillon pour trouver la marge d’erreur. N’entrez la taille de la population que si vous la connaissez.

Niveau de confiance (%)

Proportion attendue (%)

Taille de la population N (vide si inconnue ou très grande)

① Marge d’erreur ±ε (%)

② Taille d’échantillon n

Toutes les valeurs s’entrent en pourcentage (par exemple « 95 » pour un niveau de confiance de 95 % et « 5 » pour une marge d’erreur de ± 5 %). Remplissez un seul des deux champs « marge d’erreur » et « taille d’échantillon », selon ce que vous cherchez.

Résultat

Saisissez le niveau de confiance et les autres valeurs dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formule
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

« Combien de personnes interroger pour un niveau de confiance de 95 % et une marge d’erreur de ± 5 % ? » Obtenez tout de suite la taille d’échantillon nécessaire à votre enquête
Et dans l’autre sens, « quelle est la précision, en plus ou en moins, d’un sondage auprès de 1 000 personnes ? » : la marge d’erreur se calcule sur la même page
Si vous connaissez la taille de la population (500 salariés, 1 000 adhérents…), la correction pour population finie ramène le résultat au nombre vraiment nécessaire
Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page

Ce calcul suppose que les répondants sont tirés au hasard dans la population, et que l’enquête mesure une proportion (%), comme des réponses « oui » ou « non ». Pour une enquête qui estime une moyenne (un revenu moyen, par exemple), il faut une autre formule, qui utilise l’écart-type.

À quoi sert ce calcul ?

Comprendre les « ± 3 points » des sondages et des soirées électorales

Les sondages publiés dans les médias interrogent en général 1 000 à 2 000 personnes parmi près de 49 millions d’électeurs inscrits en France. Avec un niveau de confiance de 95 %, une marge d’erreur de ± 3 % et une proportion de 50 %, la taille d’échantillon nécessaire est \(1{,}96^2 \times 0{,}25 \div 0{,}03^2 \approx 1067{,}1\) (environ 1 068 personnes). Cette formule répond à la question : « 1 000 personnes suffisent-elles vraiment à connaître l’avis de dizaines de millions ? » (en France, les instituts utilisent aussi souvent la méthode des quotas, mais l’ordre de grandeur de l’erreur reste le même).
Dans l’autre sens, vous verrez que si « 45 % contre 47 % d’opinions favorables » reste dans une marge d’erreur de ± 3 points, on ne peut pas affirmer qu’il y a une différence statistique.

Préparer une enquête de satisfaction clients ou salariés (entreprise)

« Combien de nos 1 000 adhérents faut-il interroger ? » : c’est un cas typique pour la correction pour population finie. Avec un niveau de confiance de 95 %, une marge d’erreur de ± 5 % et une proportion de 50 %, la valeur avant correction, 384,16, descend à \(384{,}16 \div (1 + 383{,}16 \div 1000) \approx 277{,}7\) (278 personnes après arrondi).
En fixant à l’avance combien de réponses suffisent pour la précision voulue, avant d’enchaîner les relances auprès de tout le monde, vous arbitrez en chiffres entre le coût et la précision de l’enquête.

Contrôle par prélèvement dans l’industrie (qualité)

Cette formule sert aussi à estimer le taux de défauts de pièces produites en grande série sans toutes les contrôler. Si l’historique indique un taux de défauts d’environ 10 %, un niveau de confiance de 90 % et une marge d’erreur de ± 4 % donnent \(1{,}65^2 \times 0{,}1 \times 0{,}9 \div 0{,}04^2 \approx 153{,}1\) : un échantillon d’environ 154 pièces suffit.
L’exemple montre aussi que plus la proportion s’éloigne de 50 %, plus la dispersion \(\hat{p}(1-\hat{p})\) est petite, et moins il faut de pièces.

Prévoir le nombre de participants d’une étude médicale ou épidémiologique

Dans une étude épidémiologique sur « la part des habitants d’une région qui présentent ce symptôme », le protocole doit indiquer le nombre de participants nécessaire. Si des études antérieures suggèrent une prévalence d’environ 20 %, un niveau de confiance de 95 % et une marge d’erreur de ± 3 % donnent \(1{,}96^2 \times 0{,}2 \times 0{,}8 \div 0{,}03^2 \approx 683{,}0\), soit environ 683 personnes.
La recherche clinique utilise aussi des méthodes plus précises adaptées au type d’étude (calcul de puissance, par exemple). Cette formule est la forme de base dont elles partent.

L’audience télé vient d’un panel de foyers, quelle est l’erreur ?

L’audience de la télévision est estimée à partir d’un panel de foyers, pas de tous les foyers. Exemple simplifié (les vraies méthodes de mesure sont plus complexes) : un panel de 2 700 foyers et une émission regardée par 10 % d’entre eux. Au niveau de confiance de 95 %, la marge d’erreur vaut \(1{,}96 \times \sqrt{0{,}1 \times 0{,}9 \div 2700} \approx 0{,}0113\) (environ ± 1,1 %).
Vous verrez alors que « l’écart entre 9,5 % et 10,5 % d’audience est peut-être dans la marge d’erreur », et vous lirez les chiffres de l’actualité avec un peu plus de recul.

Formule

Taille d’échantillon nécessaire (quand la population est très grande)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(n_0\) \(=\) \(z^2\) \(\times\) \(\hat{p}\) \(\times\) \((1-\hat{p})\) \(\div\) \(\varepsilon^2\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

⑤ \(n_0\) : valeur calculée \(=\) ① carré du score z \(z\) \(\times\) ② \(\hat{p}\) : proportion attendue \(\times\) ③ le reste, \((1-\hat{p})\) \(\div\) ④ carré de la marge d’erreur \(\varepsilon\)

La formule en mots

① On prend le carré du score z \(z\) fixé par le niveau de confiance

② on le multiplie par la \(\hat{p}\) : proportion attendue

③ et par le reste de la proportion, \((1-\hat{p})\)

④ on divise par le carré de la marge d’erreur \(\varepsilon\)

⑤ et on obtient la taille d’échantillon nécessaire calculée \(n_0\)

Exemple simple

Avec un niveau de confiance de 95 % (z = 1,96), une proportion de 50 % (0,5) et une marge d’erreur de ± 5 % (0,05), la taille d’échantillon nécessaire est

\(n_0\) : valeur calculée \(=\) 1,96 au carré (3,8416) \(\times\) proportion (0,5) \(\times\) reste (1 − 0,5 = 0,5) \(\div\) 0,05 au carré (0,0025)

\(3{,}8416 \times 0{,}5 \times 0{,}5 \div 0{,}0025 = 3{,}8416 \times 0{,}25 \div 0{,}0025 = 384{,}16\)

L’idée clé

On arrondit le résultat à l’entier supérieur pour obtenir un nombre de personnes (384,16 → 385 personnes). En arrondissant vers le bas, la marge d’erreur dépasserait un peu l’objectif. Si vous n’avez aucune idée de la proportion à l’avance, entrez 50 %. La dispersion \(\hat{p}(1-\hat{p})\) est la plus grande quand \(\hat{p}\) vaut 50 % : c’est l’estimation la plus grande (la plus prudente) du nombre de personnes. Les scores z habituels pour chaque niveau de confiance sont : 80 % → 1,28 ; 85 % → 1,44 ; 90 % → 1,65 ; 95 % → 1,96 ; 98 % → 2,33 ; 99 % → 2,58 (le calculateur de cette page utilise aussi ces valeurs arrondies usuelles ; les manuels de statistique donnent parfois 90 % → 1,645 et 99 % → 2,576).

Correction pour population finie de la taille d’échantillon (quand on connaît la taille \(N\) de la population)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(n\) \(=\) \(n_0\) \(\div\) \((\) \(1\) \(+\) \((n_0 - 1)\) \(\div\) \(N\) \()\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

⑤ \(n\) : valeur corrigée \(=\) ④ \(n_0\) : valeur avant correction \(\div\) \((\) ③ \(1\) \(+\) ① valeur avant correction moins 1, \((n_0 - 1)\) \(\div\) ② \(N\) : taille de la population \()\)

La formule en mots

① On prend la valeur avant correction moins 1, \((n_0-1)\)

② on la divise par la \(N\) : taille de la population

③ et on ajoute \(1\) .

④ On divise la \(n_0\) : valeur avant correction par ce nombre

⑤ et on obtient la taille d’échantillon nécessaire corrigée \(n\)

Exemple simple

Si la valeur avant correction est 384,16 (niveau de confiance de 95 %, proportion de 50 %, marge d’erreur de ± 5 %) et que la population compte 500 personnes, alors

valeur corrigée \(=\) valeur avant correction (384,16) \(\div\) \((\) 1 \(+\) 384,16 − 1 = 383,16 \(\div\) population (500 personnes) \()\)

\(384{,}16 \div \left( 1 + \dfrac{383{,}16}{500} \right) = 384{,}16 \div 1{,}76632 \approx 217{,}49\)

L’idée clé

Quand la population est petite, cette correction réduit fortement le nombre de personnes nécessaire (dans cet exemple, 385 personnes → 218 après arrondi). Si l’on peut étudier directement une grande part de la population, le résultat est d’autant plus sûr. Le diviseur « \(1 + (n_0 - 1) \div N\) » montre la force de la correction. Si la population \(N\) est bien plus grande que la valeur calculée \(n_0\), \((n_0 - 1) \div N\) est presque nul : le diviseur vaut presque 1 (diviser ne change rien, comme sans correction). Plus la population est petite, plus le diviseur dépasse 1, et moins il faut de personnes. Le « 1 » est la base « on divise par 1 (on ne change rien) quand il n’y a pas de correction ». À l’inverse, si la population est bien plus grande que la valeur calculée, la correction ne change presque rien : vous pouvez laisser vide le champ « taille de la population » (pas de correction). Comme pour la première formule, on arrondit à l’entier supérieur (217,49 → 218 personnes).

Marge d’erreur (quand la population est très grande)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\varepsilon\) \(=\) \(z\) \(\times\) \(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(\varepsilon\) : marge d’erreur \(=\) ① \(z\) : score z \(\times\) ② racine carrée de \(\dfrac{\text{dispersion de la proportion }\hat{p}(1-\hat{p})}{\text{taille d’échantillon }n}\)

La formule en mots

① On prend le score z \(z\) fixé par le niveau de confiance

② on le multiplie par la racine carrée de \(\dfrac{\text{dispersion de la proportion }\hat{p}(1-\hat{p})}{\text{taille d’échantillon }n}\)

③ et on obtient la \(\varepsilon\) : marge d’erreur

Exemple simple

Au niveau de confiance de 95 % (z = 1,96), pour une enquête où 60 % de 100 personnes ont répondu « oui », la marge d’erreur est

\(\varepsilon\) : marge d’erreur \(=\) score z (1,96) \(\times\) racine carrée de « 0,6 × 0,4 ÷ 100 »

\(1{,}96 \times \sqrt{0{,}6 \times 0{,}4 \div 100} = 1{,}96 \times \sqrt{0{,}0024} \approx 1{,}96 \times 0{,}0490 \approx 0{,}0960\ \ (9{,}60\,\%)\)

L’idée clé

Pour le \(\hat{p}\) de la dispersion \(\hat{p}(1-\hat{p})\), on prend la proportion réellement obtenue dans l’enquête (la proportion de l’échantillon, ou fréquence observée). La taille d’échantillon \(n\) est au dénominateur sous la racine carrée : pour diviser l’erreur par 2, il faut un échantillon 4 fois plus grand, et pour la diviser par 3, 9 fois plus grand. « Agrandir l’échantillon n’aide que lentement » : c’est une propriété importante de cette formule. Au lycée, on retient souvent une version simplifiée : avec 95 %, \(\hat{p} = 0{,}5\) et \(1{,}96 \approx 2\), on obtient \(2\sqrt{0{,}25 \div n} = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\). Pour 1 000 personnes, cela donne environ ± 3,2 %.

Correction pour population finie de la marge d’erreur (quand on connaît la taille \(N\) de la population)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\varepsilon\) \(=\) \(\varepsilon_0\) \(\times\) \(\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(\varepsilon\) : marge d’erreur corrigée \(=\) ① \(\varepsilon_0\) : marge d’erreur avant correction \(\times\) ② racine carrée du facteur de correction \(\dfrac{\text{reste de la population }(N-n)}{\text{taille de la population moins 1 }(N-1)}\)

La formule en mots

① On prend la marge d’erreur avant correction, \(\varepsilon_0\) (obtenue avec la troisième formule)

② on la multiplie par la racine carrée du facteur de correction \(\dfrac{\text{reste de la population }(N-n)}{\text{taille de la population moins 1 }(N-1)}\)

③ et on obtient la \(\varepsilon\) : marge d’erreur corrigée

Exemple simple

Si vous interrogez 200 personnes d’une population de 1 000 et que la marge d’erreur avant correction est de 6,35 %, la marge d’erreur corrigée est

\(\varepsilon\) : marge d’erreur corrigée \(=\) marge d’erreur avant correction (6,35 %) \(\times\) racine carrée de « 800 ÷ 999 »

\(6{,}35 \times \sqrt{\dfrac{1000 - 200}{1000 - 1}} = 6{,}35 \times \sqrt{0{,}8008} \approx 6{,}35 \times 0{,}8949 \approx 5{,}68\,(\%)\)

L’idée clé

Si l’on étudie une grande partie de la population, le résultat est d’autant plus sûr. Le facteur de correction le montre : quand la taille d’échantillon \(n\) se rapproche de la taille de la population \(N\), il se rapproche de 0 (un recensement de tout le monde n’a aucune erreur), et quand \(N\) est très grand, il vaut presque 1 (comme sans correction). On peut multiplier la marge d’erreur exprimée en pourcentage (le facteur de correction est un nombre sans unité, inférieur ou égal à 1).

La taille d’échantillon nécessaire, c’est « carré du score z × dispersion de la proportion ÷ carré de la marge d’erreur », arrondi à l’entier supérieur. La marge d’erreur, c’est « score z × √(dispersion ÷ taille d’échantillon) ». Quand on connaît la taille de la population, la correction pour population finie réduit le nombre de personnes nécessaire (et l’erreur).

Symboles et termes

Symboles

\(n\)	n	La taille d’échantillon. Pour une enquête, c’est le nombre de personnes dont on recueille les réponses ; pour un contrôle, le nombre de pièces vérifiées.
\(n_0\)	n indice zéro	La taille d’échantillon nécessaire calculée en considérant la population comme très grande. C’est la valeur avant la correction pour population finie.
\(z\)	z	Le score z (une valeur de la loi normale centrée réduite) associé au niveau de confiance. Les valeurs usuelles sont 1,96 pour 95 % et 2,58 pour 99 %.
\(\hat{p}\)	p chapeau	La proportion (la part de « oui » que l’on cherche, par exemple). Pour trouver la taille d’échantillon, on met la valeur attendue ; pour trouver la marge d’erreur, la proportion réellement obtenue dans l’enquête (la fréquence observée dans l’échantillon). Elle s’écrit en décimal entre 0 et 1 (0,5 pour 50 %).
\(\varepsilon\)	epsilon	La marge d’erreur : l’écart qu’on accepte entre le résultat de l’enquête et la vraie valeur. On l’écrit avec ±, comme « ± 5 % ».
\(N\)	N majuscule	La taille de la population : le nombre de personnes ou d’objets de tout le groupe étudié (exemple : les 500 salariés d’une entreprise).

Termes

population	Tout l’ensemble sur lequel on veut vraiment savoir quelque chose, comme « tous les électeurs du pays » ou « les 500 salariés de l’entreprise ».
échantillon	La partie de la population qu’on choisit pour l’étudier réellement. Le nombre de personnes ou d’objets de l’échantillon s’appelle la taille d’échantillon.
échantillonnage aléatoire	Choisir l’échantillon de façon que chaque membre de la population ait la même chance d’être tiré, comme par tirage au sort. Les formules de cette page supposent un échantillonnage aléatoire : elles ne valent pas pour une enquête où seuls répondent ceux qui le veulent.
proportion	La part que l’on veut vraiment connaître, comme la part de « oui » dans toute la population. La part obtenue sur un échantillon s’appelle la fréquence observée, pour bien les distinguer.
niveau de confiance	Le degré de certitude : si l’on répétait la même enquête de nombreuses fois, le pourcentage de fois où le résultat resterait dans la marge d’erreur. 95 % est le plus utilisé.
intervalle de confiance	L’intervalle obtenu quand on donne un résultat d’enquête avec une certaine largeur, comme « 52 % ± 3 % (de 49 % à 55 %) ». La marge d’erreur ±ε de cette page correspond à cette largeur.
marge d’erreur	L’écart qu’on accepte entre le résultat de l’enquête et la vraie valeur. C’est ce que les sondages dans les médias appellent « une marge d’erreur de ± 3 points ».
correction pour population finie	Une correction qui réduit la taille d’échantillon nécessaire ou la marge d’erreur quand on sait que la population a une taille limitée. Elle traduit le fait que plus on étudie une grande part de la population, plus le résultat est sûr.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.

Pourcentages et proportions (CM2-6e, 10-12 ans)	Savoir passer des pourcentages aux nombres décimaux, comme 50 % = 0,5 et 5 % = 0,05 Savoir que « total × pourcentage = partie »
Racines carrées (4e-3e, 13-15 ans)	Comprendre la racine carrée comme « le nombre positif dont le carré donne ce nombre », comme \(\sqrt{0{,}0025} = 0{,}05\) Avoir le réflexe que si le nombre sous la racine est divisé par 4, la racine est divisée par 2
Échantillonnage (2de, 15-16 ans)	Connaître la différence entre un recensement et une enquête par échantillon, et le sens des mots « population » et « échantillon » Savoir que si l’échantillon n’est pas choisi au hasard, on ne peut pas estimer correctement la population
La loi normale et l’estimation (lycée ou études supérieures, 17 ans et plus)	Savoir que la proportion observée sur un échantillon varie selon une forme proche d’une loi normale (l’idée du théorème central limite) Connaître l’idée de l’intervalle de confiance : un niveau de confiance de 95 % correspond à un score z de 1,96

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver la taille d’échantillon nécessaire (population très grande)

Score z (1,96 pour 95 %)	1,96
Proportion attendue (%)	50
Marge d’erreur (%)	5
Valeur calculée n0	=B1^2(B2/100)(1-B2/100)/(B3/100)^2
Taille d’échantillon nécessaire (arrondie au-dessus)	=ARRONDI.SUP(B4;0)

Tableau pour la correction pour population finie de la taille d’échantillon

Score z (1,96 pour 95 %)	1,96
Proportion attendue (%)	50
Marge d’erreur (%)	5
Taille de la population N	500
Valeur avant correction n0	=B1^2(B2/100)(1-B2/100)/(B3/100)^2
Taille d’échantillon nécessaire (corrigée, arrondie au-dessus)	=ARRONDI.SUP(B5/(1+(B5-1)/B4);0)

Tableau pour trouver la marge d’erreur (population très grande)

Score z (1,96 pour 95 %)	1,96
Proportion obtenue dans l’enquête (%)	60
Taille d’échantillon n	100
Marge d’erreur (%)	=B1RACINE(B2/100(1-B2/100)/B3)*100

Tableau pour la correction pour population finie de la marge d’erreur

Score z (1,96 pour 95 %)	1,96
Proportion obtenue dans l’enquête (%)	30
Taille d’échantillon n	200
Taille de la population N	1000
Marge d’erreur avant correction (%)	=B1RACINE(B2/100(1-B2/100)/B3)*100
Marge d’erreur corrigée (%)	=B5*RACINE((B4-B3)/(B4-1))

Après le collage, les cellules du haut (à partir de B1) reçoivent vos valeurs et la dernière ligne affiche le résultat calculé.
Dans le premier tableau, B4 affiche 384,16 et B5 affiche 385. Le résultat du deuxième tableau est 218, celui du troisième environ 9,60 (%) et celui du quatrième environ 5,68 (%).
« ^ » est une puissance (au carré), « RACINE » la racine carrée et « ARRONDI.SUP » la fonction qui arrondit vers le haut.
Attention : le calculateur de cette page ajoute 1 par prudence même quand la valeur calculée tombe juste sur un entier ; pour ces valeurs rondes, il peut donc y avoir 1 d’écart avec ARRONDI.SUP d’Excel.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver la taille d’échantillon nécessaire (population très grande)

Score z (1,96 pour 95 %)	1,96
Proportion attendue (%)	50
Marge d’erreur (%)	5
Valeur calculée n0	=B1^2(B2/100)(1-B2/100)/(B3/100)^2
Taille d’échantillon nécessaire (arrondie au-dessus)	=ARRONDI.SUP(B4;0)

Tableau pour la correction pour population finie de la taille d’échantillon

Score z (1,96 pour 95 %)	1,96
Proportion attendue (%)	50
Marge d’erreur (%)	5
Taille de la population N	500
Valeur avant correction n0	=B1^2(B2/100)(1-B2/100)/(B3/100)^2
Taille d’échantillon nécessaire (corrigée, arrondie au-dessus)	=ARRONDI.SUP(B5/(1+(B5-1)/B4);0)

Tableau pour trouver la marge d’erreur (population très grande)

Score z (1,96 pour 95 %)	1,96
Proportion obtenue dans l’enquête (%)	60
Taille d’échantillon n	100
Marge d’erreur (%)	=B1RACINE(B2/100(1-B2/100)/B3)*100

Tableau pour la correction pour population finie de la marge d’erreur

Score z (1,96 pour 95 %)	1,96
Proportion obtenue dans l’enquête (%)	30
Taille d’échantillon n	200
Taille de la population N	1000
Marge d’erreur avant correction (%)	=B1RACINE(B2/100(1-B2/100)/B3)*100
Marge d’erreur corrigée (%)	=B5*RACINE((B4-B3)/(B4-1))

Les mêmes formules que dans Excel fonctionnent telles quelles dans Google Sheets en français. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres de la colonne B par les valeurs de votre enquête.

Calculer avec Python

import math

# Table rapide niveau de confiance (%) → score z (valeurs arrondies usuelles)
z_table = {80: 1.28, 85: 1.44, 90: 1.65, 95: 1.96, 98: 2.33, 99: 2.58}

# ---- Façon 1 : trouver la taille d’échantillon nécessaire ----
confidence_level = 95    # niveau de confiance (%)
population_ratio = 50    # proportion attendue (%)
margin_of_error = 5      # marge d’erreur (%)
population_size = None   # taille de la population (None si inconnue ou très grande)

z = z_table[confidence_level]
p = population_ratio / 100
e = margin_of_error / 100

raw_size = z ** 2 * p * (1 - p) / e ** 2   # valeur avant correction
if population_size is not None:
    raw_size = raw_size / (1 + (raw_size - 1) / population_size)   # correction pour population finie
required_size = math.floor(raw_size) + 1   # plus petit entier au-dessus de la valeur calculée (arrondi vers le haut par prudence)
print(f"Taille d’échantillon nécessaire : {required_size}")

# ---- Façon 2 : trouver la marge d’erreur ----
sample_size = 1000       # taille de l’échantillon réellement interrogé
sample_ratio = 50 / 100  # proportion obtenue dans l’enquête (0.5 pour 50 %)

error_ratio = z * math.sqrt(sample_ratio * (1 - sample_ratio) / sample_size)
print(f"Marge d’erreur : ±{error_ratio * 100:.2f} %")

Fonctionne avec la seule bibliothèque standard. La façon 1 calcule la taille d’échantillon nécessaire (385 avec les valeurs de l’exemple) et la façon 2 la marge d’erreur (± 3,10 % avec les valeurs de l’exemple). Remplacez les nombres du début par les conditions de votre enquête, puis exécutez.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Taille d’échantillon nécessaire (quand la population est très grande)

n₀ = z² × p̂(1 − p̂) ÷ ε²

n_0 = \dfrac{z^2 \, \hat{p}(1-\hat{p})}{\varepsilon^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>n</mi><mn>0</mn></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msup><mi>z</mi><mn>2</mn></msup>
        <mover accent="true"><mi>p</mi><mo>^</mo></mover>
        <mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>^</mo></mover><mo>)</mo>
      </mrow>
      <msup><mi>&#x3B5;</mi><mn>2</mn></msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

n_0 = (z^2 hat(p)(1 - hat(p)))/(epsilon^2)

z^2*p*(1 - p)/err^2

n0 := z^2*p*(1 - p)/err^2;

n0 = z^2*p*(1 - p)/err^2;

n_0 = (z^2 p̂(1 − p̂))/ε^2

Correction pour population finie de la taille d’échantillon (quand on connaît la taille \(N\) de la population)

n = n₀ ÷ (1 + (n₀ − 1) ÷ N)

n = \dfrac{n_0}{1 + \dfrac{n_0 - 1}{N}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>n</mi><mn>0</mn></msub>
      <mrow>
        <mn>1</mn><mo>+</mo>
        <mfrac>
          <mrow><msub><mi>n</mi><mn>0</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow>
          <mi>N</mi>
        </mfrac>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

n = n_0/(1 + (n_0 - 1)/N)

n0/(1 + (n0 - 1)/nPop)

n := n0/(1 + (n0 - 1)/N);

n = n0/(1 + (n0 - 1)/N);

n = n_0/(1 + (n_0 − 1)/N)

Marge d’erreur (quand la population est très grande)

ε = z × √(p̂(1 − p̂) ÷ n)

\varepsilon = z \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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    <mi>&#x3B5;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>z</mi>
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          <mover accent="true"><mi>p</mi><mo>^</mo></mover>
          <mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mover accent="true"><mi>p</mi><mo>^</mo></mover><mo>)</mo>
        </mrow>
        <mi>n</mi>
      </mfrac>
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  </mrow>
</math>

epsilon = z sqrt((hat(p)(1 - hat(p)))/n)

z*Sqrt[p*(1 - p)/n]

err := z*sqrt(p*(1 - p)/n);

err = z*sqrt(p*(1 - p)/n);

ε = z√((p̂(1 − p̂))/n)

Correction pour population finie de la marge d’erreur (quand on connaît la taille \(N\) de la population)

ε = ε₀ × √((N − n) ÷ (N − 1))

\varepsilon = \varepsilon_0 \sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3B5;</mi>
    <mo>=</mo>
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        <mrow><mi>N</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>n</mi></mrow>
        <mrow><mi>N</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow>
      </mfrac>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

epsilon = epsilon_0 sqrt((N - n)/(N - 1))

err0*Sqrt[(nPop - n)/(nPop - 1)]

err := err0*sqrt((N - n)/(N - 1));

err = err0*sqrt((N - n)/(N - 1));

ε = ε_0 √((N − n)/(N − 1))

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul pour les enquêtes statistiques. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation).

Un service qui compte 1 000 adhérents mène une enquête de satisfaction. On prend un niveau de confiance de 95 % (score z 1,96), une proportion attendue de 50 % et une marge d’erreur de ± 5 %.
Calcule chacun des éléments suivants :
1. La taille d’échantillon nécessaire en considérant la population comme très grande (valeur calculée et nombre de personnes après arrondi vers le haut)
2. La taille d’échantillon nécessaire avec la correction pour population finie, pour une population de 1 000
3. La marge d’erreur (avec la correction pour population finie, en %) si seulement 200 personnes répondent

Montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution. Réponds en français, avec la virgule comme séparateur décimal.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule