Entrez le rayon de la sphère. Son aire (4 × π × rayon au carré) s’affiche, ainsi que sa conversion en m².
Entrez un nombre supérieur ou égal à 0 pour le rayon, sans l’unité (pour un rayon de 12 cm, entrez « 12 »). Si vous ne connaissez que le diamètre, entrez-le divisé par 2 (c’est le rayon).
Résultat et figure
Saisissez le rayon de la sphère dans le champ à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et figures
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Entrez le rayon de la sphère, et vous obtenez aussitôt son aire (aire = \(4 \times \pi \times\) rayon au carré)
- La sphère calculée s’affiche aussi en 3D (faites-la tourner en la faisant glisser)
- La conversion de l’aire s’affiche en même temps (en m² si vous saisissez des cm)
- Si vous ne connaissez que le diamètre, la page explique simplement quoi faire (rayon = diamètre ÷ 2, \(S = \pi d^2\))
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
Entrez le rayon dans une seule unité (par exemple en cm). L’aire est dans cette unité au carré (cm² pour des cm, m² pour des m). Le volume de la sphère (ce qu’elle contient) a sa propre page, « Volume d’une sphère ».
À quoi sert ce calcul ?
Estimer la surface à peindre d’un réservoir sphérique (industrie)
Les grands réservoirs de gaz sphériques sont repeints entièrement à intervalles réguliers. La quantité de peinture s’estime à partir de la surface à peindre, c’est-à-dire l’aire de la sphère. Pour un réservoir de 20 m de diamètre, \(S = \pi d^2 = \pi \times 20^2 \approx 1\,257\,\mathrm{m^2}\). Avec une peinture qui couvre 10 m² par litre, il en faut environ 126 L : le calcul mène directement au coût du matériau et à la durée du chantier.
Un vrai réservoir a aussi des tuyauteries et des échafaudages : on part de cette valeur et on prévoit une marge pour la commande.
L’aire de la Terre et ses « 70 % d’océans » (géographie et astronomie)
La Terre est presque une sphère (en réalité un ellipsoïde très légèrement aplati) : avec un rayon d’environ 6 371 km, \(4\pi \times 6\,371^2 \approx 5{,}1 \times 10^8\,\mathrm{km^2}\), soit environ 510 millions de km². Le chiffre des manuels de géographie et de sciences, « environ 510 millions de km², dont environ 70 % d’océans », repose sur ce calcul et sur des mesures.
Pour la Lune (rayon d’environ 1 737 km), on trouve environ 38 millions de km², à peine \(\dfrac{1}{13}\) de l’aire de la Terre.
Estimer le revêtement d’un ballon (sport et fabrication)
Un ballon de football (taille 5) mesure environ 22 cm de diamètre, donc son revêtement a une aire de \(\pi \times 22^2 \approx 1\,521\,\mathrm{cm^2}\). Les fabricants découpent cette aire en panneaux (32 pour le ballon classique à pentagones et hexagones) et calculent ainsi la quantité de cuir ou de synthétique.
Avant d’ajouter les marges de couture et les chutes, c’est la formule de l’aire qui donne la valeur théorique de départ.
Comprendre pourquoi les petits corps se refroidissent vite (sciences de la vie)
Si l’on assimile le corps d’un animal à une sphère, diviser le rayon par 2 divise le volume (une idée du poids) par 8, mais l’aire (la peau par où la chaleur s’échappe) seulement par 4. Plus un corps est petit, plus il a de surface par unité de volume, et plus il perd vite sa chaleur.
C’est ce rapport entre aire et volume qui explique que les animaux des pays froids ont tendance à être plus grands (la règle de Bergmann) ou qu’un bébé se refroidit plus vite qu’un adulte (bien sûr, un vrai corps n’est pas une sphère : c’est un modèle pour raisonner).
Savoir pourquoi les gouttes et les bulles de savon sont rondes (nature et chimie)
Parmi toutes les formes qui enferment un même volume, c’est la sphère qui a la plus petite aire : c’est démontré mathématiquement. Les gouttes d’eau et les bulles de savon sont rondes parce que la tension superficielle cherche à rendre leur surface aussi petite que possible.
À l’inverse, le lait en poudre ou le café soluble, qu’on veut dissoudre vite, et la poudre de fer des chaufferettes jetables, qu’on veut faire réagir vite, sont réduits en fines particules pour augmenter la surface par unité de volume. La formule de l’aire permet de vérifier ces phénomènes du quotidien en chiffres.
Formules et figures
Aire d’une sphère (à partir du rayon)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(S\)
\(=\)
\(4\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
⑤
\(S\) : aire de la sphère
\(=\)
④
\(4\) : constante
\(\times\)
③
\(\pi\) : nombre pi
\(\times\)
①
\(r\) : rayon
②
au carré (le nombre multiplié 2 fois)
La formule en mots
①
Élevez le
\(r\) : rayon
②
au carré (le nombre multiplié 2 fois)
③
multipliez par le
\(\pi\) : nombre pi
④
puis par la
\(4\) : constante
⑤
et vous obtenez
\(S\) : aire de la sphère
Exemple simple
L’aire d’une sphère de 3 cm de rayon vaut
\(S\) : aire de la sphère
\(=\)
\(4\) : constante
\(\times\)
\(\pi\) : nombre pi
\(\times\)
rayon (3 cm)
au carré
\(4 \times \pi \times 3^{2} = 4 \times \pi \times 9 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 36 \times 3{,}14 = 113{,}04 \approx 113\,\mathrm{cm^2}\)
L’idée clé
Pourquoi multiplier par \(4\pi\) ? La réponse vient d’une relation découverte par le mathématicien grec Archimède. Coupez la sphère en deux par son centre : la section est un disque (limité par un grand cercle) d’aire \(\pi r^2\), et l’aire de la sphère vaut exactement 4 fois cette aire (\(\pi r^2 \times 4 = 4\pi r^2\)). Imaginez qu’il faut « la peau de 4 disques de coupe » pour envelopper la sphère : c’est facile à retenir.
On confond facilement avec le volume \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\) (au cube). Pour s’en souvenir, pensez aux unités : une aire, c’est longueur × longueur, donc au carré ; un volume, c’est longueur × longueur × longueur, donc au cube.
Aire d’une sphère (à partir du diamètre)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(d\)
\(2\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(S\) : aire de la sphère
\(=\)
①
\(\pi\) : nombre pi
\(\times\)
②
\(d\) : diamètre
③
au carré (le nombre multiplié 2 fois)
La formule en mots
①
Multipliez le
\(\pi\) : nombre pi
②
par le
\(d\) : diamètre
③
élevé
au carré (le nombre multiplié 2 fois)
④
et vous obtenez
\(S\) : aire de la sphère
Exemple simple
L’aire d’une balle de 6 cm de diamètre (3 cm de rayon) vaut
\(S\) : aire de la sphère
\(=\)
\(\pi\) : nombre pi
\(\times\)
diamètre (6 cm)
au carré
\(\pi \times 6^{2} = \pi \times 36 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 113\,\mathrm{cm^2}\)
L’idée clé
Cette formule s’obtient en remplaçant, dans la formule 1, le rayon par la moitié du diamètre (\(r = d \div 2\)) : \(4\pi \times \dfrac{d^2}{4} = \pi d^2\). Elle est pratique pour un ballon, dont on mesure facilement le diamètre mais pas directement le rayon.
On peut aussi la lire ainsi : « l’aire de la sphère vaut π fois (environ 3,14 fois) l’aire du carré de côté le diamètre (\(d^2\)) ». L’exemple avec 6 cm de diamètre donne le même résultat (\(36\pi\)) que celui de la formule 1 avec 3 cm de rayon : les deux formules décrivent bien la même sphère. À l’école, c’est la formule 1 (avec le rayon) qu’on apprend : retenez-la en premier.
L’aire d’une sphère s’obtient en « élevant le rayon au carré, puis en multipliant par π et par 4 » : c’est exactement 4 fois l’aire du disque de coupe (limité par un grand cercle). Si vous ne connaissez que le diamètre, divisez-le par 2 ou utilisez S = πd². Le résultat est dans l’unité saisie au carré (cm² pour des cm), et les cm² divisés par 10 000 donnent des m².
Symboles et termes
Symboles
| \(S\) | S | Une lettre souvent utilisée pour une aire (de « surface »). Sur cette page, c’est l’aire de la sphère. Les manuels français écrivent souvent \(\mathcal{A}\) à la place. |
| \(r\) | r | Le rayon de la sphère, dont c’est l’initiale. C’est la distance du centre à la surface. |
| \(d\) | d | Le diamètre de la sphère, dont c’est l’initiale. C’est la longueur à l’endroit le plus large, le double du rayon (\(d = 2r\)). |
| \(\pi\) | pi | Le nombre pi, la constante qui dit combien de fois le périmètre d’un cercle contient son diamètre. Ses décimales ne s’arrêtent jamais (3,14159…). À l’école, on calcule avec 3,14. |
| \(r^2\) | r au carré | Le nombre \(r\) multiplié par lui-même (\(r \times r\)). Le petit 2 en haut à droite est un exposant qui veut dire « multiplier 2 fois » (par exemple \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)). |
| \(\mathrm{cm^2}\) | centimètre carré | Une unité d’aire. L’aire d’un carré de 1 cm de côté vaut 1 cm². À ne pas confondre avec le cm³ (centimètre cube), qui mesure un volume. |
| \(\mathrm{m^2}\) | mètre carré | Une unité d’aire. L’aire d’un carré de 1 m de côté vaut 1 m², et \(1\,\mathrm{m^2} = 10\,000\,\mathrm{cm^2}\) (le coefficient des longueurs, 100, au carré). |
Termes
| sphère | La forme parfaitement ronde formée de tous les points situés à la même distance d’un centre. Ballon, bille, bulle de savon : vue de n’importe où, elle a l’air d’un disque. En toute rigueur, les manuels français appellent « sphère » cette surface et « boule » le solide plein qu’elle entoure. |
| rayon | La distance du centre d’une sphère (ou d’un cercle) à sa surface. C’est la valeur à saisir dans ce calculateur, la moitié du diamètre. |
| diamètre | La longueur d’un segment qui passe par le centre d’une sphère (ou d’un cercle) et va d’un bord à l’autre. C’est le double du rayon. La taille d’un ballon est souvent donnée par son diamètre. |
| aire | Ici, l’étendue de toute la surface d’un solide. Pour une sphère, c’est l’étendue de sa « peau » si on pouvait l’étaler. C’est une autre grandeur que le volume, qui mesure ce que le solide contient. |
| grand cercle | Le plus grand cercle qu’on obtient en coupant une sphère par un plan qui passe par son centre. Son rayon est celui de la sphère, et le disque qu’il limite a une aire de \(\pi r^2\). L’aire de la sphère vaut exactement 4 fois cette aire. |
| nombre π | Le nombre de fois que le périmètre d’un cercle contient son diamètre (environ 3,14), noté \(\pi\) (pi). On le retrouve non seulement pour le cercle, mais aussi dans les formules de l’aire et du volume de la sphère. |
| puissance | Le calcul qui multiplie un nombre plusieurs fois par lui-même. Dans \(3^2\), le petit nombre en haut à droite (l’exposant) indique combien de fois on multiplie. Le carré apparaît dans les formules d’aire parce qu’une surface s’étend dans 2 directions : longueur et largeur. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de comprendre pour utiliser le calcul de cette page en sachant ce qu’il fait, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
| Le cercle et le nombre π (CM2-6e, 10-12 ans) |
|
| L’aire du disque (6e, 11-12 ans) |
|
| L’aire et ses unités (CM1-6e, 9-12 ans) |
|
| Les puissances (4e, 13-14 ans) |
|
| La sphère et la formule de son aire (3e, 14-15 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour calculer l’aire d’une sphère à partir du rayon
| Rayon de la sphère r (cm) | 5 |
| Aire de la sphère (cm²) | =4*PI()*B1^2 |
Tableau pour calculer l’aire d’une sphère à partir du diamètre
| Diamètre de la sphère d (cm) | 10 |
| Aire de la sphère (cm²) | =PI()*B1^2 |
Tableau pour convertir des cm² en m²
| Aire en cm² | 314,16 |
| Aire en m² | =B1/10000 |
Une fois le tableau collé, la colonne A contient les libellés et la colonne B les nombres. La ligne du haut est votre donnée, et la formule de la dernière ligne se calcule toute seule à partir d’elle.
« PI() » est la fonction d’Excel qui renvoie le nombre π (3,14159…), « * » est la multiplication, « / » la division et « ^ » la puissance (combien de fois on multiplie). « =4*PI()*B1^2 » veut dire « 4 × π × B1 au carré ».
Par exemple, dans le premier tableau, B2 affiche environ 314,16 (en cm² pour un rayon de 5 cm). Le deuxième tableau porte sur la même sphère (10 cm de diamètre) et affiche donc aussi environ 314,16, et le troisième 0,031416 (environ 0,03 m²) en B2. Il suffit de remplacer le nombre saisi par votre propre valeur.
« PI() » est la fonction d’Excel qui renvoie le nombre π (3,14159…), « * » est la multiplication, « / » la division et « ^ » la puissance (combien de fois on multiplie). « =4*PI()*B1^2 » veut dire « 4 × π × B1 au carré ».
Par exemple, dans le premier tableau, B2 affiche environ 314,16 (en cm² pour un rayon de 5 cm). Le deuxième tableau porte sur la même sphère (10 cm de diamètre) et affiche donc aussi environ 314,16, et le troisième 0,031416 (environ 0,03 m²) en B2. Il suffit de remplacer le nombre saisi par votre propre valeur.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour calculer l’aire d’une sphère à partir du rayon
| Rayon de la sphère r (cm) | 5 |
| Aire de la sphère (cm²) | =4*PI()*B1^2 |
Tableau pour calculer l’aire d’une sphère à partir du diamètre
| Diamètre de la sphère d (cm) | 10 |
| Aire de la sphère (cm²) | =PI()*B1^2 |
Tableau pour convertir des cm² en m²
| Aire en cm² | 314,16 |
| Aire en m² | =B1/10000 |
Les mêmes formules qu’Excel (y compris la fonction PI()) fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez le nombre saisi par votre propre valeur.
Calculer avec Python
import math
radius = 5 # rayon de la sphère (en cm dans cet exemple)
surface_area = 4 * math.pi * radius ** 2 # aire de la sphère (unité saisie au carré ; ici en cm2)
surface_area_m2 = surface_area / 10000 # pour des cm saisis, l’aire convertie en m2
print(f"Aire de la sphère : {surface_area} cm2")
print(f"En m2 : {surface_area_m2} m2")
Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. « math.pi » est le nombre π, « ** » la puissance (ici au carré), « * » la multiplication et « / » la division. Modifiez la valeur du rayon au début et lancez le code (l’exemple est en cm).
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Aire d’une sphère (à partir du rayon)
S = 4πr²
S = 4\pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = 4 pi r^2
4*Pi*r^2
S := 4*Pi*r^2;
S = 4*pi*r^2;
S = 4πr^2
Aire d’une sphère (à partir du diamètre)
S = πd²
S = \pi d^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = pi d^2
Pi*d^2
S := Pi*d^2;
S = pi*d^2;
S = πd^2
Faire faire le calcul par ChatGPT
Vous êtes un assistant de calcul en mathématiques. Faites le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuyez votre réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne répondez pas de tête ni au jugé). Une sphère a un rayon de 5 cm. Calculez : 1. L’aire de cette sphère en cm² (S = 4 × π × r²) 2. Cette aire convertie en m² Montrez les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Volume d’une sphère (V = 4/3 × π × rayon³)
Calcule ce que contient la même sphère, son volume. À retenir avec la formule de l’aire
Calcul du cercle (rayon, diamètre, périmètre et aire du disque)
Calcule d’un coup le rayon, le diamètre, le périmètre et l’aire du cercle, la section d’une sphère
