Théorème de Pythagore (calcul de l’hypoténuse et des côtés d’un triangle rectangle)

Parmi les trois côtés a, b et c d’un triangle rectangle (c est l’hypoténuse), entrez seulement les deux que vous connaissez. Le théorème de Pythagore donne le côté manquant, et les deux angles aigus, l’aire, le périmètre et la hauteur relative à l’hypoténuse s’affichent aussi.

Côté a (côté de l’angle droit)

Côté b (côté de l’angle droit)

Hypoténuse c

Entrez seulement deux côtés (laissez vide le côté manquant). Les longueurs doivent être supérieures à 0 (les décimaux sont acceptés), toutes dans la même unité (par exemple toutes en cm).

Résultat et figure

Saisissez les longueurs des deux côtés connus dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et figures
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Entrez deux des trois côtés d’un triangle rectangle : le théorème de Pythagore \(a^2 + b^2 = c^2\) donne aussitôt le troisième côté
Une question comme « Je connais seulement 3 m dans un sens et 4 m dans l’autre. Quelle est la longueur en diagonale ? » se règle en une étape
En plus du côté manquant, il calcule les deux angles aigus, l’aire, le périmètre et la hauteur relative à l’hypoténuse, avec les étapes
Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page

Cela ne fonctionne que pour les triangles rectangles (un angle d’exactement 90°). L’hypoténuse c est le plus long côté, en face de l’angle droit. On ne peut pas l’utiliser pour un triangle sans angle droit.

À quoi sert ce calcul ?

Estimer la hauteur atteinte par une échelle (bricolage et chantier)

Une échelle de 5 m appuyée contre un mur, pied écarté de 1,5 m, atteint une hauteur de \(\sqrt{5^2 - 1{,}5^2} = \sqrt{22{,}75} \approx 4{,}77\) m (environ 4,8 m).
Pour qu’elle ne bascule pas, on écarte le pied du mur (l’usage est d’environ un quart de la hauteur), donc une échelle n’atteint jamais sa propre longueur. Faire cette estimation avant le travail est un réflexe de base sur les chantiers et en électricité.

Tracer un angle droit avec la règle du 3-4-5 (maçonnerie et charpente)

On mesure 3 m sur un côté et 4 m sur l’autre. Si la distance entre ces deux repères est exactement de 5 m, l’angle est droit (comme \(3^2 + 4^2 = 5^2\), la réciproque du théorème de Pythagore garantit l’angle droit). Pour de plus grandes surfaces, on prend 6-8-10.
Cette « règle du 3-4-5 » sert depuis des millénaires, des arpenteurs de l’Égypte ancienne jusqu’aux fondations et aux terrasses d’aujourd’hui. C’est l’usage le plus concret du théorème de Pythagore.

Distance à vol d’oiseau sur une carte (et en programmation)

Un lieu situé à 300 m à l’est et 400 m au nord de vous est à \(\sqrt{300^2 + 400^2} = 500\) m à vol d’oiseau.
Calculer la distance entre deux points à partir de l’écart est-ouest et de l’écart nord-sud (la formule de la distance), c’est le théorème de Pythagore lui-même. On le trouve dans presque tous les programmes qui manipulent des positions : GPS, applications de cartes, jeux vidéo.

Longueur en pente d’un escalier ou d’une rampe (conception et rénovation)

Un escalier qui avance de 3,6 m à l’horizontale et monte de 2,7 m a une longueur en pente de \(\sqrt{3{,}6^2 + 2{,}7^2} = \sqrt{20{,}25} = 4{,}5\) m.
La longueur de toute pièce en biais, comme une main courante ou une planche de rampe, se déduit des cotes horizontale et verticale du plan avec le théorème de Pythagore. De quoi estimer le matériel avant d’aller au magasin.

Formules et figures

Le théorème de Pythagore (la relation entre les trois côtés)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(a^2\) \(+\) \(b^2\) \(=\) \(c^2\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

① \(a^2\) : carré du côté de l’angle droit \(a\) \(+\) ② \(b^2\) : carré du côté de l’angle droit \(b\) \(=\) ③ \(c^2\) : carré de l’hypoténuse \(c\)

La formule en mots

① On additionne \(a^2\) : carré du côté de l’angle droit \(a\)

② et \(b^2\) : carré du côté de l’angle droit \(b\)

③ et la somme est exactement égale au \(c^2\) : carré de l’hypoténuse \(c\)

Exemple simple

Vérification avec un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5

carré du côté a (3² = 9) \(+\) carré du côté b (4² = 16) \(=\) carré de l’hypoténuse c (5² = 25)

\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)

L’idée clé

L’hypoténuse \(c\) est le côté en face de l’angle droit, le plus long côté du triangle rectangle. Cette relation n’est vraie que pour les triangles rectangles. Elle marche aussi dans l’autre sens : un triangle dont les trois côtés vérifient cette égalité est toujours rectangle (c’est la réciproque du théorème de Pythagore). C’est ce qu’on utilise sur les chantiers pour vérifier qu’un angle est bien droit.

Formule de l’hypoténuse \(c\)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(c\) \(=\) \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

② \(c\) : hypoténuse \(=\) ① racine carrée de la somme des carrés \(a^2 + b^2\)

La formule en mots

① On calcule la racine carrée de la somme des carrés \(a^2 + b^2\) (on élève au carré chaque côté de l’angle droit, on additionne, puis on prend la racine carrée)

② et on obtient l’ \(c\) : hypoténuse

Exemple simple

Quand les deux côtés de l’angle droit mesurent 3 et 4, l’hypoténuse vaut

\(c\) : hypoténuse \(=\) racine carrée de la somme des carrés (3² + 4² = 25)

\(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

L’idée clé

C’est l’égalité \(a^2 + b^2 = c^2\) résolue pour obtenir \(c\). Une erreur fréquente est d’écrire \(\sqrt{a^2} + \sqrt{b^2}\) (ce qui donne simplement \(a + b\)). Il faut d’abord faire toute l’addition sous la racine carrée, puis prendre la racine carrée une seule fois à la fin. La bonne réponse est \(\sqrt{9 + 16} = 5\), et non \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7\).

Formule d’un côté de l’angle droit manquant

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(b\) \(=\) \(\sqrt{c^2 - a^2}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

② \(b\) : côté manquant \(=\) ① racine carrée de la différence des carrés \(c^2 - a^2\)

La formule en mots

① On calcule la racine carrée de la différence des carrés \(c^2 - a^2\) (on retire le carré du côté connu au carré de l’hypoténuse, puis on prend la racine carrée)

② et on obtient le \(b\) : côté manquant

Exemple simple

Quand l’hypoténuse mesure 13 et un côté de l’angle droit 5, l’autre côté vaut

\(b\) : côté manquant \(=\) racine carrée de la différence des carrés (13² − 5² = 144)

\(b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\)

L’idée clé

Attention au sens de la soustraction. On part toujours du carré de l’hypoténuse, le plus long côté, et on lui retire le carré du côté connu. Pour trouver le côté \(a\), c’est la même forme : \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\). Si la soustraction donne 0 ou moins, le côté que vous avez pris pour l’hypoténuse n’est pas l’hypoténuse (elle est toujours plus longue que chacun des deux autres côtés).

Hauteur relative à l’hypoténuse

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(h\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\div\) \(c\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(h\) : hauteur relative à l’hypoténuse \(=\) ① \(a\) : côté de l’angle droit \(\times\) ② \(b\) : côté de l’angle droit \(\div\) ③ \(c\) : hypoténuse

La formule en mots

① On multiplie \(a\) : côté de l’angle droit

② par \(b\) : côté de l’angle droit

③ on divise par \(c\) : hypoténuse

④ et on obtient la \(h\) : hauteur relative à l’hypoténuse

Exemple simple

Dans un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, la hauteur mesurée en prenant l’hypoténuse (le côté de longueur 5) comme base vaut

hauteur \(h\) \(=\) côté a (3) \(\times\) côté b (4) \(\div\) hypoténuse c (5)

\(h = 3 \times 4 \div 5 = 12 \div 5 = 2{,}4\)

L’idée clé

Cette formule vient du fait qu’on peut écrire l’aire de deux façons. Avec les deux côtés de l’angle droit, l’aire du triangle rectangle vaut \(a \times b \div 2\). En prenant l’hypoténuse comme base, elle vaut \(c \times h \div 2\). C’est la même aire, donc \(a \times b = c \times h\). En isolant \(h\), on obtient \(h = a \times b \div c\).

Le théorème de Pythagore dit que la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit est égale au carré de l’hypoténuse, et il n’est vrai que pour les triangles rectangles. Si vous connaissez deux côtés, vous trouvez le troisième en deux étapes : élever au carré puis additionner (pour l’hypoténuse) ou soustraire (pour un autre côté), puis prendre la racine carrée.

Symboles et termes

Symboles

\(a\), \(b\)	a, b	Les longueurs des deux côtés de l’angle droit, les côtés qui forment l’angle droit. Peu importe lequel on appelle a, le résultat est le même.
\(c\)	c	La longueur de l’hypoténuse, le plus long côté du triangle rectangle, en face de l’angle droit.
\(a^2\)	a au carré	Un nombre multiplié par lui-même (\(a^2 = a \times a\)). Le petit 2 en haut à droite est un exposant qui veut dire « deux fois comme facteur ». (Exemple : \(3^2 = 3 \times 3 = 9\))
\(\sqrt{\phantom{x}}\)	racine carrée (radical)	Le symbole de la racine carrée. \(\sqrt{25}\) est le nombre positif dont le carré vaut 25, c’est-à-dire 5. Le résultat peut aussi être un nombre à virgule qui ne s’arrête jamais, comme \(\sqrt{2}\) (environ 1,414).
\(\alpha\), \(\beta\)	alpha, bêta	Des lettres grecques souvent utilisées pour nommer les angles. Sur cette page, \(\alpha\) est l’angle opposé au côté a et \(\beta\) l’angle opposé au côté b, et \(\alpha + \beta = 90°\).
\(\arcsin\)	arc sinus	L’inverse du sinus \(\sin\) (côté opposé ÷ hypoténuse) : à partir du rapport, il redonne l’angle. Ce calculateur trouve les angles avec lui. Sur une calculatrice scientifique, c’est la touche sin⁻¹ (ou Arcsin).
\(h\)	h	La hauteur relative à l’hypoténuse - la distance du sommet de l’angle droit à l’hypoténuse, quand on prend l’hypoténuse comme base. C’est l’initiale de « hauteur ».

Termes

théorème de Pythagore	Le théorème qui dit que les trois côtés d’un triangle rectangle vérifient \(a^2 + b^2 = c^2\) (c est l’hypoténuse). Il porte le nom du mathématicien grec Pythagore (vers le VIe siècle av. J.-C.). On l’étudie en 4e (13-14 ans).
côté de l’angle droit	L’un des deux côtés d’un triangle rectangle qui forment l’angle droit. On les appelle souvent a et b, et ils sont toujours plus courts que l’hypoténuse.
triangle rectangle	Un triangle dont l’un des trois angles mesure exactement 90° (un angle droit). Le théorème de Pythagore ne s’applique qu’à cette forme.
hypoténuse	Le côté d’un triangle rectangle situé en face de l’angle droit. C’est le plus long des trois côtés, et dans le théorème de Pythagore son carré est toujours seul d’un côté de l’égalité.
racine carrée	Le nombre positif dont le carré redonne le nombre de départ. La racine carrée de 25 est 5, celle de 2 est \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). On l’étudie en 4e (13-14 ans).
triplet pythagoricien	Trois nombres entiers qui vérifient le théorème de Pythagore. (3 ; 4 ; 5), (5 ; 12 ; 13) et (8 ; 15 ; 17) sont les plus connus. On les rencontre souvent dans les exercices et sur les chantiers pour tracer des angles droits.
réciproque du théorème de Pythagore	Le théorème qui dit qu’un triangle dont les trois côtés vérifient \(a^2 + b^2 = c^2\) est un triangle rectangle. En mesurant seulement les côtés, on vérifie qu’un angle est droit : c’est pour cela qu’on s’en sert sur les chantiers.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser les calculs de cette page en comprenant ce qu’ils font, et pas seulement en appuyant sur le bouton.

Carrés et puissances (5e-4e, 12-14 ans)	Savoir qu’élever un nombre au carré, c’est le multiplier par lui-même, comme \(3^2 = 3 \times 3 = 9\) Savoir aussi élever un nombre décimal au carré (par exemple \(1{,}5^2 = 2{,}25\))
La racine carrée (4e-3e, 13-15 ans)	Savoir traduire « le nombre positif dont le carré vaut 25 » par \(\sqrt{25} = 5\) Savoir qu’une racine carrée peut être un nombre à virgule qui ne s’arrête jamais, comme \(\sqrt{2}\)
Les bases du triangle (CM1-6e, 9-12 ans)	Savoir repérer l’angle droit (90°) sur une figure Savoir que l’aire d’un triangle vaut « base × hauteur ÷ 2 »
Le théorème de Pythagore (4e, 13-14 ans)	Savoir reconnaître l’hypoténuse d’un triangle rectangle (en face de l’angle droit, le plus long côté) Garder en tête que le \(c\) de \(a^2 + b^2 = c^2\) est toujours l’hypoténuse

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour vérifier si le triangle est rectangle

Côté a (côté de l’angle droit)	3
Côté b (côté de l’angle droit)	4
Hypoténuse c	5
Valeur de a²+b²	=B1^2+B2^2
Valeur de c²	=B3^2

Tableau pour trouver l’hypoténuse c

Côté a (côté de l’angle droit)	3
Côté b (côté de l’angle droit)	4
Hypoténuse c	=RACINE(B1^2+B2^2)

Tableau pour trouver le côté manquant b

Hypoténuse c	13
Côté connu a	5
Côté manquant b	=RACINE(B1^2-B2^2)

Tableau pour trouver la hauteur relative à l’hypoténuse h

Côté a (côté de l’angle droit)	3
Côté b (côté de l’angle droit)	4
Hypoténuse c	5
Hauteur h	=B1*B2/B3

Une fois collé, les lignes du haut sont vos données et la formule de la dernière ligne se calcule automatiquement.
« ^2 » élève au carré, et « RACINE(…) » est la fonction Excel de la racine carrée.
Dans le premier tableau, si la valeur de a²+b² (B4) et celle de c² (B5) sont égales, le triangle est rectangle (avec l’exemple 3, 4, 5, les deux valent 25).
Dans le deuxième tableau, B3 affiche l’hypoténuse, 5. Il suffit de remplacer les nombres par vos propres longueurs.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour vérifier si le triangle est rectangle

Côté a (côté de l’angle droit)	3
Côté b (côté de l’angle droit)	4
Hypoténuse c	5
Valeur de a²+b²	=B1^2+B2^2
Valeur de c²	=B3^2

Tableau pour trouver l’hypoténuse c

Côté a (côté de l’angle droit)	3
Côté b (côté de l’angle droit)	4
Hypoténuse c	=RACINE(B1^2+B2^2)

Tableau pour trouver le côté manquant b

Hypoténuse c	13
Côté connu a	5
Côté manquant b	=RACINE(B1^2-B2^2)

Tableau pour trouver la hauteur relative à l’hypoténuse h

Côté a (côté de l’angle droit)	3
Côté b (côté de l’angle droit)	4
Hypoténuse c	5
Hauteur h	=B1*B2/B3

Les mêmes formules qu’Excel (la fonction RACINE et ^2) fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres par vos propres longueurs.

Calculer avec Python

import math

side_a = 3.0   # côté a (côté de l’angle droit)
side_b = 4.0   # côté b (côté de l’angle droit)

hypotenuse = math.sqrt(side_a ** 2 + side_b ** 2)   # hypoténuse c (math.hypot(side_a, side_b) donne la même chose)
area = side_a * side_b / 2                          # aire
perimeter = side_a + side_b + hypotenuse            # périmètre
height = side_a * side_b / hypotenuse               # hauteur relative à l’hypoténuse
angle_alpha = math.degrees(math.asin(side_a / hypotenuse))   # angle opposé au côté a (en degrés)

print(f"Hypoténuse c : {hypotenuse}")
print(f"Aire : {area}")
print(f"Périmètre : {perimeter}")
print(f"Hauteur relative à l’hypoténuse : {height}")
print(f"Angle alpha : {angle_alpha}")

# Si vous connaissez l’hypoténuse c et le côté a, le côté manquant b s’obtient avec
# side_b = math.sqrt(hypotenuse ** 2 - side_a ** 2)

Fonctionne avec la seule bibliothèque standard math. « ** » élève à une puissance (ici au carré) et « math.sqrt » donne la racine carrée. Modifiez les deux longueurs au début puis exécutez.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Le théorème de Pythagore (la relation entre les trois côtés)

a² + b² = c²

a^2 + b^2 = c^2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

a^2 + b^2 = c^2

a^2 + b^2 == c^2

a^2 + b^2 = c^2;

a^2 + b^2 == c^2

a^2 + b^2 = c^2

Formule de l’hypoténuse \(c\)

c = √(a² + b²)

c = \sqrt{a^2 + b^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>c</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

c = sqrt(a^2 + b^2)

Sqrt[a^2 + b^2]

c := sqrt(a^2 + b^2);

c = sqrt(a^2 + b^2);

c = √(a^2 + b^2)

Formule d’un côté de l’angle droit manquant

b = √(c² − a²)

b = \sqrt{c^2 - a^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

b = sqrt(c^2 - a^2)

Sqrt[c^2 - a^2]

b := sqrt(c^2 - a^2);

b = sqrt(c^2 - a^2);

b = √(c^2 - a^2)

Hauteur relative à l’hypoténuse

h = a × b ÷ c

h = \frac{ab}{c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow>
      <mi>c</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

h = (a b)/c

a*b/c

h := a*b/c;

h = a*b/c;

h = ab/c

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul en géométrie. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation).

Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit mesurent a = 3 et b = 4.
Trouve :
1. La longueur de l’hypoténuse c (théorème de Pythagore c = √(a² + b²))
2. L’angle α (opposé au côté a) et l’angle β (opposé au côté b), en degrés
3. L’aire et le périmètre
4. La hauteur relative à l’hypoténuse h = ab ÷ c

Indique les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule