Entrez les deux valeurs que vous connaissez parmi le rayon de base r (le rayon du disque de coupe), le rayon de la sphère R et la hauteur h. La troisième valeur et le volume sont calculés.
Entrez des longueurs supérieures ou égales à 0, toutes dans la même unité (le nombre seul, sans l’unité). Laissez le dernier champ vide. À partir du rayon de base et du rayon de la sphère, deux réponses peuvent s’afficher.
Résultat et figure
Saisissez deux des trois valeurs dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
-
Formules et figures
-
Formule du volume de la calotte sphérique (à partir du rayon de la sphère et de la hauteur)
-
Formule du rayon de la sphère \(R\) (à partir du rayon de base et de la hauteur)
-
Formule de la hauteur \(h\) (à partir du rayon de base et du rayon de la sphère, deux réponses)
-
Formule du rayon de base \(r\) (à partir du rayon de la sphère et de la hauteur)
-
-
Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
-
Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Obtenez aussitôt le volume d’une calotte sphérique, le morceau qu’on obtient en coupant une sphère d’un seul coup de plan. Elle a la forme d’un dôme ou d’un bol retourné
- Parmi le rayon de base \(r\) (le rayon du disque de coupe), le rayon de la sphère \(R\) et la hauteur \(h\), entrez les deux que vous connaissez : le troisième est calculé automatiquement
- À partir du rayon de base et du rayon de la sphère, il peut y avoir deux réponses, selon que la coupe passe au-dessus ou au-dessous du centre de la sphère. Les deux s’affichent
- La calotte obtenue est aussi dessinée en 3D (faites-la tourner en la faisant glisser). La sphère entière avant la coupe apparaît en traits fins
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python se trouvent aussi sur cette page
Entrez les trois valeurs dans la même unité (toutes en cm, par exemple). Le volume est dans cette unité au cube (cm³ pour des cm, m³ pour des m).
À quoi sert ce calcul ?
Calculer le liquide restant dans une cuve sphérique d’après sa hauteur (industrie et infrastructures)
Dans une cuve sphérique de pétrole ou de gaz liquéfié, le liquide stocké a exactement la forme d’une calotte sphérique : en mesurant la hauteur de liquide \(h\), cette formule donne la quantité restante. Par exemple, dans une cuve sphérique de 2 m de rayon remplie sur 0,5 m de hauteur, il reste \(\pi \times 0{,}5^2 \times (3 \times 2 - 0{,}5) \div 3 \approx 1{,}44\,\mathrm{m^3}\) (environ 1 440 L).
Convertir en volume une hauteur mesurée par un capteur : c’est l’usage professionnel le plus typique de cette formule.
Estimer ce que contient un bol rond (cuisine)
Versez de la soupe sur 3 cm de hauteur dans un bol presque hémisphérique de 6 cm de rayon. La soupe a la forme d’une calotte sphérique : la quantité vaut \(\pi \times 3^2 \times (3 \times 6 - 3) \div 3 = 45\pi \approx 141\,\mathrm{cm^3}\) (environ 141 mL).
Un bol plein (une demi-boule) contient environ 452 mL : le calcul montre qu’« à mi-hauteur, il y a bien moins de la moitié » (moins d’un tiers). C’est l’exemple le plus familier, utile pour les portions et les quantités d’une recette.
Estimer l’espace intérieur d’un dôme ou d’un planétarium (architecture)
Un toit ou un plafond en dôme peut être assimilé à une calotte sphérique. Pour un dôme de 120 m de diamètre (disque de coupe de 60 m de rayon) et de 40 m de haut, la sphère d’origine a un rayon \(R = (40^2 + 60^2) \div (2 \times 40) = 65\,\mathrm{m}\), et l’espace intérieur vaut environ 260 000 m³.
Ce volume est le point de départ pour concevoir le chauffage, la climatisation, la ventilation et l’acoustique (un vrai dôme n’est pas toujours une calotte exacte : ce n’est qu’une estimation).
Mesurer le volume d’une goutte posée sur une surface (impression, peinture et semi-conducteurs)
Les petites gouttes posées sur une surface, comme une goutte d’eau sur une feuille ou une goutte d’encre d’imprimante à jet d’encre, ont presque la forme d’une calotte sphérique à cause de la tension superficielle. En recherche et en production, on photographie la goutte de profil, on mesure le rayon de sa base et sa hauteur, puis on calcule son volume avec cette formule.
Elle sert aussi à évaluer la mouillabilité d’un matériau (l’angle de contact) : une formule utile jusqu’à l’échelle microscopique.
Travailler la partie bombée d’une lentille (optique)
La face bombée d’un verre de lunettes ou d’une lentille d’appareil photo est une partie de sphère, et la partie bombée elle-même est une calotte sphérique. Cette formule sert depuis longtemps à estimer la matière à enlever au polissage et le volume de matière nécessaire.
Pour les formes en dôme minces comme les lentilles de contact, la relation entre le rayon de base, le rayon de la sphère et la hauteur (les formules 2 à 4 de cette page) est à la base de la conception.
Formules et figures
Formule du volume de la calotte sphérique (à partir du rayon de la sphère et de la hauteur)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(V\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(h\)
\(2\)
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
\(R\)
\(-\)
\(h\)
\()\)
\(\div 3\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
⑥
\(V\) : volume de la calotte
\(=\)
③
\(\pi\) : le nombre pi
\(\times\)
①
\(h\) : hauteur
②
au carré (le nombre multiplié par lui-même)
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
④
\(R\) : rayon de la sphère
\(-\)
\(h\) : hauteur
\()\)
⑤
\(\div 3\)
La formule en mots
①
Élevez la
\(h\) : hauteur
②
au carré (le nombre multiplié par lui-même)
,
③
multipliez par
\(\pi\) : le nombre pi (environ 3,14)
,
④
puis par « \(3R - h\) », c’est-à-dire 3 fois le
\(R\) : rayon de la sphère
moins la hauteur \(h\),
⑤
et divisez enfin par 3 pour obtenir le
⑥
\(V\) : volume de la calotte
Exemple simple
Coupez une sphère de 2 cm de rayon de façon que la calotte mesure 1 cm de haut (comme un bol retourné). Le volume de cette calotte vaut
\(V\) : volume de la calotte
\(=\)
\(\pi\) : pi
\(\times\)
hauteur (1 cm)
au carré
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
rayon de la sphère (2 cm)
\(-\)
hauteur (1 cm)
\()\)
\(\div 3\)
\(\pi \times 1^{2} \times (3 \times 2 - 1) \div 3 = \pi \times 5 \div 3 = \dfrac{5}{3}\pi\)
\(\dfrac{5}{3}\pi \approx \dfrac{5}{3} \times 3{,}14 \approx 5{,}2\,\mathrm{cm^3}\)
L’idée clé
L’erreur la plus fréquente est de multiplier la hauteur \(h\) par 2 au lieu de l’élever au carré.
Cette formule n’utilise que la hauteur \(h\) et le rayon de la sphère \(R\). Le rayon de base \(r\) n’y apparaît pas, car une fois \(h\) et \(R\) fixés, \(r\) l’est aussi. Pour une demi-boule (\(h = R\)), on obtient \(V = \dfrac{2}{3}\pi R^3\), exactement la moitié du volume de la boule. Avec \(h = 2R\) (tout le diamètre), on obtient \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\), le volume de la boule entière.
Pour calculer directement à partir du rayon de base \(r\) et de la hauteur \(h\), la même formule peut s’écrire \(V = \pi h (3r^2 + h^2) \div 6\).
Formule du rayon de la sphère \(R\) (à partir du rayon de base et de la hauteur)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(R\)
\(=\)
\((\)
\(h\)
\(2\)
\(+\)
\(r\)
\(2\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
\(h\)
\()\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
⑤
\(R\) : rayon de la sphère
\(=\)
\((\)
①
\(h\) : hauteur
②
au carré (le nombre multiplié par lui-même)
\(+\)
③
\(r\) : rayon de base
au carré
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
④
\(h\) : hauteur
\()\)
La formule en mots
①
Élevez la
\(h\) : hauteur
②
au carré (le nombre multiplié par lui-même)
,
③
élevez aussi au carré le
\(r\) : rayon de base
et additionnez les deux,
④
puis divisez la somme par « \(2h\) », c’est-à-dire 2 fois la
\(h\) : hauteur
, et vous obtenez le
⑤
\(R\) : rayon de la sphère
Exemple simple
Pour un objet en forme de dôme dont le disque de coupe a un rayon de 1 m et dont la hauteur est de 0,5 m, le rayon de la sphère d’origine vaut
\(R\) : rayon de la sphère
\(=\)
\((\)
hauteur (0,5 m)
au carré
\(+\)
rayon de base (1 m)
au carré
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
hauteur (0,5 m)
\()\)
\(R = (0{,}5^{2} + 1^{2}) \div (2 \times 0{,}5) = 1{,}25 \div 1\)
\(1{,}25 \div 1 = 1{,}25\,\mathrm{m}\)
L’idée clé
Cette formule, c’est en fait le théorème de Pythagore (vu en 4e). Reliez trois points : le centre de la sphère, le centre du disque de coupe et un point du bord de la coupe. Ils forment un triangle rectangle, donc \(r^2 + (R - h)^2 = R^2\). En résolvant cette égalité en \(R\), on obtient la formule.
Ce qui la rend intéressante, c’est qu’elle donne la taille de la sphère entière à partir d’un seul morceau. C’est la même idée que retrouver la taille d’un bol cassé à partir d’un de ses éclats.
Formule de la hauteur \(h\) (à partir du rayon de base et du rayon de la sphère, deux réponses)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(h\)
\(=\)
\(R\)
\(\pm\)
\(\sqrt{R^{2} - r^{2}}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
④
\(h\) : hauteur de la calotte
\(=\)
①
\(R\) : rayon de la sphère
③
\(\pm\)
②
racine carrée de la différence des carrés \(R^2 - r^2\)
La formule en mots
①
Partez du
\(R\) : rayon de la sphère
,
②
calculez la
racine carrée de la différence des carrés \(R^2 - r^2\)
(le carré du rayon de la sphère \(R\) moins le carré du rayon de base \(r\), puis la racine carrée),
③
puis retranchez-la ou ajoutez-la (le signe ± veut dire « − et + sont tous deux possibles »). Vous obtenez la
④
\(h\) : hauteur de la calotte
(en général deux réponses)
Exemple simple
Quand le disque de coupe a un rayon de 1 m et la sphère d’origine un rayon de 2 m, la hauteur de la calotte vaut
\(h\) : hauteur de la calotte
\(=\)
rayon de la sphère (2 m)
\(\pm\)
racine carrée de « 2² − 1² »
\(\sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \approx 1{,}732\)
\(h = 2 - 1{,}732 = 0{,}268\,\mathrm{m}\)
\(h = 2 + 1{,}732 = 3{,}732\,\mathrm{m}\)
L’idée clé
Il y a deux réponses parce qu’un même disque de coupe peut donner deux calottes différentes : l’une coupée au-dessus du centre de la sphère (un bol peu profond), l’autre au-dessous (un pot profond).
C’est seulement quand \(r = R\) (la coupe passe par le centre de la sphère) que \(\sqrt{R^2 - r^2} = 0\) : il n’y a alors qu’une réponse, une demi-boule avec \(h = R\). Et \(r > R\) est impossible, car un disque de coupe ne peut pas être plus grand que la sphère.
Formule du rayon de base \(r\) (à partir du rayon de la sphère et de la hauteur)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{2Rh - h^{2}}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(r\) : rayon de base
\(=\)
①
racine carrée de \(2Rh - h^2\)
La formule en mots
①
Multipliez 2 fois le rayon de la sphère \(R\) par la hauteur \(h\), retranchez le carré de la hauteur \(h\), et prenez la
racine carrée de \(2Rh - h^2\)
pour obtenir le
②
\(r\) : rayon de base
Exemple simple
Pour une calotte coupée dans une sphère de 2 cm de rayon, avec une hauteur de 1 cm, le rayon du disque de coupe vaut
\(r\) : rayon de base
\(=\)
racine carrée de « 2 × 2 × 1 − 1² »
\(r = \sqrt{2 \times 2 \times 1 - 1^{2}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\,\mathrm{cm}\)
L’idée clé
Celle-ci vient aussi du théorème de Pythagore : c’est \(r^2 = R^2 - (R - h)^2\) avec le membre de droite développé et réduit. On peut aussi factoriser et écrire \(r = \sqrt{h(2R - h)}\).
Quand la hauteur vaut tout le diamètre (\(h = 2R\)), on obtient \(r = 0\) : il n’y a plus de coupe, on retrouve la sphère entière. Dans l’exemple de la formule 1 (rayon 2 cm, hauteur 1 cm), \(r = \sqrt{3} \approx 1{,}73\,\mathrm{cm}\). En mettant ce \(r = \sqrt{3}\) et \(R = 2\) dans la formule 3, on obtient \(h = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 1\) ou \(3\) : l’une des deux réponses est bien la hauteur de départ, 1 cm.
Le volume d’une calotte sphérique vaut « V = π × hauteur au carré × (3 × rayon de la sphère − hauteur) ÷ 3 » : il ne dépend que de la hauteur et du rayon de la sphère. Le rayon de base, le rayon de la sphère et la hauteur sont reliés par le théorème de Pythagore : si vous en connaissez deux, vous pouvez calculer le troisième.
Symboles et termes
Symboles
| \(V\) | V | Une lettre souvent utilisée pour le volume, dont c’est l’initiale. Sur cette page, c’est le volume de la calotte sphérique. |
| \(r\) | r minuscule | Le rayon de base, c’est-à-dire le rayon du disque obtenu en coupant la sphère par un plan (r comme « rayon »). |
| \(R\) | R majuscule | Le rayon de la sphère d’origine, la boule entière avant la coupe. On l’écrit en majuscule pour le distinguer du rayon du disque de coupe, \(r\) minuscule. |
| \(h\) | h | La hauteur de la calotte, la distance entre le plan de coupe et le point le plus haut de la calotte (h comme « hauteur »). |
| \(\pi\) | pi | Le nombre pi, qui indique combien de fois le périmètre d’un cercle contient son diamètre. Il vaut environ 3,14159… et ses décimales ne s’arrêtent jamais. À l’école primaire, on calcule avec 3,14. |
| \(\pm\) | plus ou moins | Un symbole qui résume « il y a deux cas, l’un avec +, l’autre avec − ». Sur cette page, il indique que la hauteur peut avoir deux réponses. |
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | racine carrée (radical) | Le symbole de la racine carrée (le nombre qui, élevé au carré, redonne le nombre de départ). Exemple : \(\sqrt{9} = 3\), car \(3^2 = 9\). |
| \(\mathrm{cm^3}\) | centimètre cube | Une unité de volume. Le volume d’un cube de 1 cm de côté vaut 1 cm³. À ne pas confondre avec le cm² (centimètre carré), qui mesure une aire. |
| \(\mathrm{L}\) | litre | Une unité souvent utilisée pour les quantités de liquide comme l’eau. \(1\,\mathrm{L} = 1\,000\,\mathrm{cm^3}\) (une brique de lait contient exactement 1 L). |
Termes
| calotte sphérique | Le morceau qu’on obtient en coupant une sphère d’un seul coup de plan ; il a la forme d’un bol retourné. C’est le solide dont ce calculateur donne le volume. Au sens strict, « calotte » désigne la surface courbe et le solide s’appelle un segment sphérique, mais on dit couramment « volume d’une calotte ». |
| segment sphérique | Le nom savant du solide limité par la calotte et par le disque de coupe (on précise « segment sphérique à une base »). Dans les manuels, la calotte est la partie courbe de sa surface ; dans la vie courante, on appelle aussi « calotte » le solide lui-même. |
| demi-boule | Le solide obtenu en coupant une boule par un plan qui passe par son centre (on dit aussi hémisphère). C’est une calotte particulière de hauteur égale au rayon de la sphère (\(h = R\)), et son volume vaut exactement la moitié de celui de la boule entière. |
| base | La face plane de la calotte, c’est-à-dire le disque de coupe. Le rayon de ce disque est \(r\). |
| théorème de Pythagore | Le théorème selon lequel, dans un triangle rectangle, « le carré de l’hypoténuse = la somme des carrés des deux autres côtés ». Pour une calotte sphérique, \(r^2 + (R - h)^2 = R^2\), et toutes les formules qui donnent l’une des longueurs \(r\), \(R\) et \(h\) à partir des deux autres en découlent. |
| racine carrée | Un nombre qui, élevé au carré, redonne le nombre de départ. 9 a deux racines carrées, 3 et −3, mais pour des longueurs on ne prend que la positive (\(\sqrt{9} = 3\)). |
| volume | La place qu’occupe un solide, donnée par un nombre. On la mesure en comptant combien de cubes de 1 cm de côté (1 cm³) tiennent dedans. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de comprendre pour utiliser le calcul de cette page en sachant ce qu’il fait, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
| Le cercle et le nombre pi (6e, 11-12 ans) |
|
| Le volume et ses unités (CM2-6e, 10-12 ans) |
|
| Les puissances (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| Le volume de la boule (3e, 14-15 ans) |
|
| La racine carrée (4e, 13-14 ans) |
|
| Le théorème de Pythagore (4e, 13-14 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour calculer le volume à partir du rayon de la sphère et de la hauteur
| Rayon de la sphère R | 2 |
| Hauteur h | 1 |
| Volume de la calotte | =PI()*B2^2*(3*B1-B2)/3 |
Tableau pour calculer le rayon de la sphère à partir du rayon de base et de la hauteur
| Rayon de base r | 1 |
| Hauteur h | 0,5 |
| Rayon de la sphère R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Tableau pour calculer la hauteur (deux réponses) à partir du rayon de base et du rayon de la sphère
| Rayon de base r | 1 |
| Rayon de la sphère R | 2 |
| Hauteur (solution 1) | =B2-RACINE(B2^2-B1^2) |
| Hauteur (solution 2) | =B2+RACINE(B2^2-B1^2) |
Tableau pour calculer le rayon de base à partir du rayon de la sphère et de la hauteur
| Rayon de la sphère R | 2 |
| Hauteur h | 1 |
| Rayon de base r | =RACINE(2*B1*B2-B2^2) |
Une fois le tableau collé, la colonne A contient les libellés et la colonne B les nombres. Les premières lignes sont vos données, et la formule de la dernière ligne se calcule toute seule à partir d’elles.
« PI() » est la fonction du nombre pi (π) et « RACINE() » celle de la racine carrée. « ^ » est la puissance (ici au carré), « * » la multiplication et « / » la division.
Par exemple, dans le premier tableau, B3 affiche environ 5,24 (en cm³ pour un rayon de 2 cm et une hauteur de 1 cm). Le troisième tableau est le cas à deux réponses : B3 affiche environ 0,268 et B4 environ 3,732. Il suffit de remplacer les nombres saisis par les vôtres.
« PI() » est la fonction du nombre pi (π) et « RACINE() » celle de la racine carrée. « ^ » est la puissance (ici au carré), « * » la multiplication et « / » la division.
Par exemple, dans le premier tableau, B3 affiche environ 5,24 (en cm³ pour un rayon de 2 cm et une hauteur de 1 cm). Le troisième tableau est le cas à deux réponses : B3 affiche environ 0,268 et B4 environ 3,732. Il suffit de remplacer les nombres saisis par les vôtres.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour calculer le volume à partir du rayon de la sphère et de la hauteur
| Rayon de la sphère R | 2 |
| Hauteur h | 1 |
| Volume de la calotte | =PI()*B2^2*(3*B1-B2)/3 |
Tableau pour calculer le rayon de la sphère à partir du rayon de base et de la hauteur
| Rayon de base r | 1 |
| Hauteur h | 0,5 |
| Rayon de la sphère R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Tableau pour calculer la hauteur (deux réponses) à partir du rayon de base et du rayon de la sphère
| Rayon de base r | 1 |
| Rayon de la sphère R | 2 |
| Hauteur (solution 1) | =B2-RACINE(B2^2-B1^2) |
| Hauteur (solution 2) | =B2+RACINE(B2^2-B1^2) |
Tableau pour calculer le rayon de base à partir du rayon de la sphère et de la hauteur
| Rayon de la sphère R | 2 |
| Hauteur h | 1 |
| Rayon de base r | =RACINE(2*B1*B2-B2^2) |
Les mêmes formules qu’Excel (y compris les fonctions PI() et RACINE()) fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres saisis par les vôtres.
Calculer avec Python
import math
ball_radius = 2 # rayon de la sphère R (en cm dans cet exemple)
height = 1 # hauteur de la calotte h
volume = math.pi * height ** 2 * (3 * ball_radius - height) / 3 # volume de la calotte (unité saisie au cube)
base_radius = math.sqrt(2 * ball_radius * height - height ** 2) # rayon de base r (rayon du disque de coupe)
print(f"Volume de la calotte : {volume} cm3")
print(f"Rayon de base : {base_radius} cm")
Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. « math.pi » est le nombre pi (π), « math.sqrt » la racine carrée, « ** » la puissance (ici au carré), « * » la multiplication et « / » la division. Modifiez le rayon de la sphère et la hauteur au début et lancez le code (l’exemple est en cm).
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Formule du volume de la calotte sphérique (à partir du rayon de la sphère et de la hauteur)
V = πh²(3R − h)/3
V = \dfrac{1}{3}\pi h^{2}(3R - h)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn><mi>R</mi>
<mo>−</mo>
<mi>h</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
V = (1/3) pi h^2 (3R - h)
Pi*h^2*(3*R - h)/3
V := Pi*h^2*(3*R - h)/3;
V = pi*h^2*(3*R - h)/3;
V = (1/3)πh^2(3R - h)
Formule du rayon de la sphère \(R\) (à partir du rayon de base et de la hauteur)
R = (h² + r²)/(2h)
R = \dfrac{h^{2} + r^{2}}{2h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
<mrow><mn>2</mn><mi>h</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
R = (h^2 + r^2)/(2h)
(h^2 + r^2)/(2*h)
R := (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2h)
Formule de la hauteur \(h\) (à partir du rayon de base et du rayon de la sphère, deux réponses)
h = R ± √(R² − r²)
h = R \pm \sqrt{R^{2} - r^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
h = R +- sqrt(R^2 - r^2)
Solve[r^2 + (R - h)^2 == R^2, h]
solve(r^2 + (R - h)^2 = R^2, h);
h = [R - sqrt(R^2 - r^2), R + sqrt(R^2 - r^2)];
h = R ± √(R^2 - r^2)
Formule du rayon de base \(r\) (à partir du rayon de la sphère et de la hauteur)
r = √(2Rh − h²)
r = \sqrt{2Rh - h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>−</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = sqrt(2Rh - h^2)
Sqrt[2*R*h - h^2]
r := sqrt(2*R*h - h^2);
r = sqrt(2*R*h - h^2);
r = √(2Rh - h^2)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Vous êtes un assistant de calcul en mathématiques. Faites le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuyez votre réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne répondez pas de tête ni au jugé). Une sphère de 2 cm de rayon est coupée par un plan de façon que le morceau obtenu (une calotte sphérique) mesure 1 cm de haut depuis le sommet. Calculez : 1. Le volume de cette calotte sphérique en cm³ (V = π × h² × (3R − h) ÷ 3) 2. Le rayon du disque de coupe (la base) en cm (r = √(2Rh − h²)) Montrez les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
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1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
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2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
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3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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Fonctions connexes
Volume d’une sphère (V = 4/3 × π × rayon³)
Calcule le volume de la boule entière, avant la découpe
Théorème de Pythagore (calcul de l’hypoténuse et des côtés d’un triangle rectangle)
Calcule avec le théorème du triangle rectangle qui relie r, R et h dans une calotte sphérique
