Choisissez ce que vous cherchez, puis entrez la partie réelle a et la partie imaginaire b de z = a + bi, et l’entier n. L’expression ci-dessous est liée aux champs de saisie : vous pouvez aussi modifier les nombres directement dedans.
Les parties réelle et imaginaire peuvent être décimales (2,5), négatives ou des fractions comme 3/4 (un champ vide compte pour 0). n est un entier de 1 à 20 pour les puissances et de 2 à 12 pour les racines.
Résultat et figure
Saisissez les nombres dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et la figure dans le plan complexe s’affichent ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et figures
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Calculez sur-le-champ la puissance \(n\)-ième \(z^n\) d’un nombre complexe \(z = a + bi\) pour un entier \(n\) de 1 à 20. Grâce à la formule de Moivre \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), les étapes montrent une par une le module élevé à la puissance, \(r^n\), et l’argument multiplié par \(n\), \(n\theta\)
- Le résultat \(z^n\) est toujours donné en valeur exacte, avec des entiers et des fractions. Quand l’argument est un angle remarquable (sur un axe ou multiple de 45°), les étapes utilisent aussi les valeurs trigonométriques exactes
- En mode racines n-ièmes, le calculateur donne les \(n\) nombres complexes \(w\) tels que \(w^n = z\), de \(k = 0\) à \(n-1\) (\(n\) de 2 à 12). Les racines qui s’écrivent exactement sont données en valeur exacte, comme \(-1 + \sqrt{3}i\)
- Le résultat est aussi représenté dans le plan complexe. Les racines \(n\)-ièmes forment un polygone régulier à \(n\) côtés, régulièrement espacé sur un cercle de rayon \(\sqrt[n]{r}\), et une puissance apparaît avec les points \(z\) et \(z^n\) et les arcs de leurs arguments
- L’expression au-dessus des champs (MathLive) leur est liée : vous pouvez aussi modifier directement les nombres de \(\left(1 + i\right)^{4}\)
Cette page traite la formule de Moivre vue en terminale (option maths expertes). Les parties réelle et imaginaire peuvent être des fractions ou des décimaux (des rationnels) ; on ne peut pas entrer directement un irrationnel comme √3. L’argument n’est donc une fraction exacte de π que si le point est sur un axe ou si l’angle est un multiple de 45° (pour les angles liés à 30° et 60°, le rapport des parties réelle et imaginaire est un irrationnel comme √3, impossible avec des données rationnelles). Les autres arguments sont donnés en valeur approchée, mais le résultat de la puissance est la valeur exacte obtenue par multiplications successives.
À quoi sert ce calcul ?
Retrouver les formules de duplication et de triplication (lycée)
En prenant \(n = 2\) ou \(3\) dans la formule de Moivre, en développant le membre de gauche et en identifiant parties réelles et imaginaires, on obtient d’un coup les formules comme \(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta\) et \(\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta\).
L’intérêt : au lieu de les apprendre par cœur, on peut les reconstruire soi-même à partir de cette formule, et « retrouver \(\cos 3\theta\) avec la formule de Moivre » est un exercice classique de l’option maths expertes. C’est une formule qui relie deux chapitres étudiés séparément, la trigonométrie et les nombres complexes.
Le traitement numérique de la musique et des images (transformée de Fourier discrète)
Quand on écoute de la musique ou qu’on enregistre une photo sur son téléphone, un calcul appelé transformée de Fourier discrète décompose le signal pour savoir « combien de chaque fréquence il contient ». Le cœur de ce calcul, ce sont les racines \(n\)-ièmes de l’unité : chaque donnée du signal est multipliée par une puissance d’une racine \(n\)-ième de l’unité, puis on additionne.
Compression audio, compression d’images (les transformations utilisées par le JPEG), suppression du bruit, reconnaissance vocale : toutes ces technologies du son et de l’image numériques reposent sur les « nombres complexes qui partagent un cercle en parts égales » de cette page.
Le courant triphasé (production, transport et moteurs)
Le courant triphasé acheminé des centrales vers les usines et les grands bâtiments est formé de trois ondes décalées de 120° les unes par rapport aux autres. Écrits avec les nombres complexes, ces « décalages de 120° » sont exactement les racines cubiques de l’unité \(1,\ j,\ j^2\). La somme des trois ondes est nulle (\(1 + j + j^2 = 0\)), et c’est justement cette compensation qui permet au triphasé d’économiser des câbles.
La conception du réseau électrique et la commande des moteurs industriels reposent sur cette propriété des racines cubiques de l’unité.
Placer les sommets d’un polygone régulier (jeux vidéo, image de synthèse et design)
Dans les jeux et le graphisme, « placer des ennemis régulièrement autour d’un cercle », « placer les sommets d’un graphique en radar » ou « dessiner les graduations d’un cadran d’horloge » revient simplement à trouver les coordonnées \(\left(\cos\dfrac{2k\pi}{n}\,;\,\sin\dfrac{2k\pi}{n}\right)\) des points qui partagent un cercle en \(n\) parts égales. C’est exactement la disposition des racines \(n\)-ièmes de l’unité.
En programmation, multiplier un nombre complexe par une racine \(n\)-ième de l’unité suffit pour « faire tourner un point jusqu’au sommet suivant » : c’est un outil simple pour faire tourner des objets et les espacer régulièrement.
Formules et figures
La formule de Moivre
Figure (sur le cercle trigonométrique, chaque produit ajoute θ à l’argument)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)
\(n\)
\(=\)
\(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
direction donnée par l’argument \(\theta\)
②
entier \(n\)
\(=\)
③
direction donnée par l’argument multiplié par \(n\)
La formule en mots
①
On élève la
partie « direction » de l’argument \(\theta\), \(\cos\theta + i\sin\theta\)
②
à la puissance de l’
entier \(n\)
③
et on obtient la
partie « direction » de l’argument multiplié par \(n\), \(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
Exemple simple
En élevant au cube la direction de \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) (30°), l’argument est triplé et devient \(\dfrac{\pi}{2}\) (90°) :
\(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\)
3
\(=\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{3} = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2} = 0 + 1 \times i = i\)
L’idée clé
Cette formule repose sur la règle du produit sous forme trigonométrique : « on multiplie les modules, on additionne les arguments ». En multipliant \(n\) fois par lui-même le nombre complexe \(\cos\theta + i\sin\theta\), de module 1, on ajoute \(n\) fois \(\theta\) et on obtient l’argument \(n\theta\). C’est tout ce que dit la formule. Sous forme exponentielle, elle s’écrit simplement \(\left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}\).
Petite vérification : en élevant au carré \(i = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\) (la direction 90°), l’argument double et devient \(\pi\) (180°), ce qui donne \(\cos\pi + i\sin\pi = -1\) : c’est exactement \(i^2 = -1\). L’idée « multiplier par \(i\), c’est tourner de 90° » dans le plan complexe s’étend à n’importe quel angle grâce à cette formule.
La formule reste vraie quand \(n\) est un entier négatif (\(n = -1\) correspond à une rotation dans l’autre sens). Le calculateur de cette page travaille avec des entiers positifs.
Puissance \(n\)-ième d’un nombre complexe
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(z^{n}\)
\(=\)
\(r^{n}\)
\(\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(z\) à la puissance \(n\)
\(=\)
①
module \(r\) à la puissance \(n\)
②
direction donnée par l’argument multiplié par \(n\)
La formule en mots
①
On prend le
module \(r\) à la puissance \(n\)
(la distance à l’origine),
②
on le multiplie par la
partie « direction » de l’argument multiplié par \(n\), \(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
③
et on obtient la
puissance \(n\)-ième de \(z\), \(z^n\)
Exemple simple
La puissance 4 de \(z = 1 + i\) (module \(r = \sqrt{2}\), argument \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\), soit 45°) est
\(\left(1 + i\right)^{4}\)
\(=\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{4}\)
\(\cos\pi + i\sin\pi\)
\(r^{4} = \left(\sqrt{2}\right)^{4} = 4\)
\(4\theta = 4 \times \dfrac{\pi}{4} = \pi\)
\(z^{4} = 4\left(\cos\pi + i\sin\pi\right) = 4 \times \left(-1\right) = -4\)
L’idée clé
« Le module est élevé à la puissance \(n\), l’argument est multiplié par \(n\). » En calculant ces deux choses séparément, on obtient la puissance \(n\)-ième d’un seul coup.
Si l’on calcule le même \(\left(1 + i\right)^4\) sous forme algébrique, il faut développer plusieurs fois : d’abord \(\left(1 + i\right)^2 = 2i\), puis élever au carré. Une puissance 4 se fait encore à la main, mais une puissance 10 ou 20 devient presque impossible à développer. Sous forme trigonométrique, on calcule seulement \(\left(\sqrt{2}\right)^{10}\) et \(10 \times 45^{\circ}\), et le travail ne change presque pas avec l’exposant : c’est le grand avantage de cette formule.
Racines \(n\)-ièmes d’un nombre complexe
Figure (racines cubiques de 8 : un triangle équilatéral régulièrement espacé sur un cercle de rayon 2)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(w_{k}\)
\(=\)
\(\sqrt[n]{r}\)
\(\left(\cos\dfrac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
racine \(n\)-ième de \(z\) numéro \(k\)
\(=\)
①
racine \(n\)-ième du module \(r\) (rayon du cercle)
②
direction : argument plus \(k\) tours complets, divisé par \(n\)
La formule en mots
①
On prend la
racine \(n\)-ième du module, \(\sqrt[n]{r}\)
(le rayon du cercle sur lequel sont toutes les racines),
②
on la multiplie par la
partie « direction » de l’argument \(\theta\) augmenté de \(k\) tours complets (\(2\pi\) chacun), divisé par \(n\)
③
et on obtient la
racine \(n\)-ième de \(z\) numéro \(k\), \(w_k\)
(en faisant varier \(k\) de \(0\) à \(n-1\), on obtient les \(n\) racines)
Exemple simple
Les racines cubiques de \(z = 8\) (module \(r = 8\), argument \(\theta = 0\)), sur le cercle de rayon \(\sqrt[3]{8} = 2\), sont
racine cubique \(w_k\)
\(=\)
rayon \(2\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{2k\pi}{3}\)
\(w_{0} = 2\left(\cos 0 + i\sin 0\right) = 2\)
\(w_{1} = 2\left(\cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi\right) = -1 + \sqrt{3}i\)
\(w_{2} = 2\left(\cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi\right) = -1 - \sqrt{3}i\)
L’idée clé
Pourquoi y a-t-il \(n\) racines ? La clé : ajouter un tour complet (\(2\pi\)) à un argument donne la même direction. L’argument de \(z\) peut s’écrire \(\theta\), \(\theta + 2\pi\) ou \(\theta + 4\pi\). Pour les racines \(n\)-ièmes, on divise l’argument par \(n\), et ces écritures différentes donnent des directions différentes : \(\dfrac{\theta}{n},\ \dfrac{\theta + 2\pi}{n},\ \dfrac{\theta + 4\pi}{n},\ \ldots\). Quand \(k\) atteint \(n\), on a fait exactement un tour et on retombe sur le point de \(k = 0\) : il y a donc exactement \(n\) points différents.
Deux racines voisines ont toujours des arguments qui diffèrent de \(\dfrac{2\pi}{n}\) (un tour partagé en \(n\) parts égales) : les \(n\) racines sont régulièrement espacées sur le même cercle. Autrement dit, les racines \(n\)-ièmes sont les sommets d’un polygone régulier à \(n\) côtés. C’est pourquoi un polygone régulier apparaît toujours sur le graphique de ce calculateur.
Racines \(n\)-ièmes de l’unité
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(z_{k}\)
\(=\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
racine \(n\)-ième de 1 numéro \(k\)
\(=\)
①
direction numéro \(k\) quand on partage un tour en \(n\) parts égales
La formule en mots
①
On partage un tour du cercle de rayon 1 en \(n\) parts égales. La
direction numéro \(k\), \(\cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\)
②
est la
racine \(n\)-ième de 1 numéro \(k\), \(z_k\)
(il y en a \(n\), pour \(k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n-1\))
Exemple simple
Les racines cubiques de 1 (les nombres complexes tels que \(z^3 = 1\)) partagent le cercle trigonométrique en 3 parts égales :
racine cubique \(z_k\)
\(=\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{2k\pi}{3}\)
\(z_{0} = \cos 0 + i\sin 0 = 1\)
\(z_{1} = \cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
\(z_{2} = \cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
L’idée clé
\(z = 1\) a pour module \(1\) et pour argument \(0\) : c’est le cas particulier \(r = 1,\ \theta = 0\) de la formule des racines \(n\)-ièmes ci-dessus. Toutes les racines sont sur le cercle trigonométrique (de rayon 1) et forment un polygone régulier à \(n\) côtés dont \(z_0 = 1\) est un sommet. Sous forme exponentielle, \(z_k = e^{2ik\pi/n}\).
La racine cubique de 1 non réelle \(z_1\) est notée \(j\) en France (\(\omega\) dans beaucoup d’autres pays) : \(j = e^{2i\pi/3}\). C’est un grand classique de l’option maths expertes. Elle vérifie \(j^3 = 1\) et \(1 + j + j^2 = 0\), et \(z_2 = j^2 = \overline{j}\).
Par ailleurs, la somme des \(n\) racines \(n\)-ièmes de 1 vaut \(0\) (pour \(n \geqslant 2\)). Géométriquement, c’est logique : les sommets du polygone régulier sont répartis régulièrement autour de l’origine, donc leur centre de gravité est exactement l’origine.
La formule de Moivre, \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), s’obtient en répétant \(n\) fois la règle « le produit de nombres complexes additionne leurs arguments ». Grâce à elle, la puissance \(n\)-ième d’un nombre complexe s’obtient d’un coup : on élève le module à la puissance \(n\) et on multiplie l’argument par \(n\). Utilisée dans l’autre sens, elle donne les \(n\) racines \(n\)-ièmes : on prend la racine \(n\)-ième du module et on divise par \(n\) l’argument (augmenté de \(k\) tours complets). Le plus beau, c’est la figure : les racines \(n\)-ièmes forment un polygone régulier sur un cercle.
Symboles et termes
Symboles
| \(i\) | i | Le nombre dont le carré vaut \(-1\) (\(i^2 = -1\)). La lettre vient de « imaginaire ». |
| \(z\) | z | La lettre habituelle pour un nombre complexe. Par convention, on utilise \(z\) et \(w\) pour les complexes, pour les distinguer des variables réelles \(x\) et \(y\). |
| \(w\) | w | Sur cette page, la lettre d’une racine \(n\)-ième de \(z\) (un nombre complexe tel que \(w^n = z\)). On suit l’habitude d’utiliser \(w\), la lettre juste avant \(z\), pour un second nombre complexe. |
| \(a,\ b\) | a, b | La partie réelle (\(a\)) et la partie imaginaire (\(b\)) de \(z = a + bi\), deux réels. Dans le plan complexe, \(a\) est l’abscisse et \(b\) l’ordonnée. |
| \(r\) | r | La lettre du module (la distance de l’origine au point \(z\)), comme « rayon » (radius en latin). Dans la forme trigonométrique, c’est un réel positif ou nul. |
| \(\theta\) | thêta | La lettre grecque utilisée pour l’argument. En mathématiques, c’est la lettre habituelle pour un angle. |
| \(n\) | n | Sur cette page, l’entier qui est l’exposant d’une puissance ou l’ordre d’une racine. |
| \(k\) | k | La lettre qui numérote les racines \(n\)-ièmes (de \(0\) à \(n-1\)). On compte souvent avec \(i,\ j,\ k\), mais avec les complexes \(i\) se confond avec le nombre imaginaire (et \(j\) désigne une racine cubique de 1) : on prend donc \(k\). |
| \(\sqrt[n]{\ }\) | racine n-ième | Le symbole de la racine \(n\)-ième. \(\sqrt[3]{8} = 2\) signifie « le nombre positif dont le cube vaut 8 est 2 ». Le petit nombre en haut à gauche est l’ordre de la racine ; sans nombre, c’est une racine carrée. |
| \(\cos\theta,\ \sin\theta\) | cosinus thêta, sinus thêta | Les fonctions trigonométriques. Sur le cercle trigonométrique, le point associé à l’angle \(\theta\) a pour abscisse \(\cos\theta\) et pour ordonnée \(\sin\theta\). Dans la forme trigonométrique, elles donnent la direction. |
| \(\pi\) | pi | Le nombre pi (environ 3,14159). En radians, un demi-tour, \(180^{\circ}\), vaut exactement \(\pi\), et un tour complet \(2\pi\). |
| \(j\ (\omega)\) | j (oméga) | La racine cubique de 1 non réelle, \(j = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i = e^{2i\pi/3}\). En France, on la note \(j\) ; dans beaucoup d’autres pays, \(\omega\) (oméga). Elle vérifie \(j^3 = 1\) et \(1 + j + j^2 = 0\). |
Termes
| nombre complexe | Un nombre de la forme \(a + bi\), où \(a\) et \(b\) sont réels. L’ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes contient les réels. On l’étudie en terminale (option maths expertes). |
| plan complexe | Le plan où \(a + bi\) est représenté par le point de coordonnées \((a\,;\,b)\). L’axe horizontal est l’axe des réels et l’axe vertical l’axe des imaginaires purs. |
| forme trigonométrique | L’écriture \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\) d’un nombre complexe, avec sa distance \(r\) à l’origine et son angle \(\theta\) depuis l’axe des réels (forme exponentielle : \(re^{i\theta}\)). La formule de Moivre porte sur les nombres écrits sous cette forme. |
| module | La distance de l’origine au point \(z\), calculée par \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Quand on élève \(z\) à la puissance \(n\), le module est élevé à la puissance \(n\) (\(r^n\)). |
| argument | L’angle de la direction de l’origine vers le point \(z\), mesuré dans le sens direct depuis le demi-axe des réels positifs. Ajouter un tour complet (\(2\pi\)) donne la même direction : l’argument est défini à \(2\pi\) près, et ce calculateur le donne dans \([0\,;\,2\pi[\). Quand on élève \(z\) à la puissance \(n\), l’argument est multiplié par \(n\) (\(n\theta\)). |
| puissance | Le produit d’un nombre par lui-même plusieurs fois. \(z^4\) est le produit de 4 facteurs égaux à \(z\). Le petit nombre en haut est l’exposant. |
| racine n-ième | Un nombre dont la puissance \(n\)-ième est le nombre donné. Dans \(\mathbb{C}\), tout nombre complexe non nul a exactement \(n\) racines \(n\)-ièmes (dans les réels, 8 n’a qu’une racine cubique, 2, mais dans les complexes il en a trois). |
| racines n-ièmes de l’unité | Les nombres complexes tels que \(z^n = 1\). Ce sont les \(n\) points qui partagent le cercle trigonométrique en \(n\) parts égales ; ils forment un polygone régulier à \(n\) côtés dont \(1\) est un sommet. (L’« unité », c’est le nombre 1.) |
| formule de Moivre | La formule \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), du nom du mathématicien Abraham de Moivre, né en Champagne en 1667 et exilé à Londres. C’est la règle « le produit additionne les arguments » répétée \(n\) fois. |
| cercle trigonométrique | Le cercle de rayon 1 centré à l’origine (appelé aussi cercle unité). Tous les nombres complexes de module 1 (de la forme \(\cos\theta + i\sin\theta\)) sont sur ce cercle. |
| polygone régulier | Un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles la même mesure (triangle équilatéral, carré, pentagone régulier, etc.). Les \(n\) racines \(n\)-ièmes sont régulièrement espacées sur un cercle : ce sont les sommets d’un polygone régulier à \(n\) côtés. |
| angle remarquable | \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) et les angles associés (ceux-ci plus des multiples de \(90^{\circ}\)). Leurs valeurs trigonométriques s’écrivent exactement, comme \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), et la plupart des exercices les utilisent. |
| radian | L’unité qui mesure un angle par la longueur de l’arc qu’il intercepte sur un cercle de rayon 1. \(180^{\circ} = \pi\) radians, et un tour complet vaut \(2\pi\) radians. À partir de la première, c’est l’unité habituelle en trigonométrie. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revenir sur ces notions est le plus court chemin.
| La racine carrée (4e-seconde, 13-16 ans) |
|
| Les règles de calcul sur les puissances (4e-seconde, 13-16 ans) |
|
| Les nombres complexes sous forme algébrique (terminale, option maths expertes, 17-18 ans) |
|
| La trigonométrie et le cercle trigonométrique (seconde-première, 15-17 ans) |
|
| Le radian (première, 16-17 ans) |
|
| Le plan complexe et la forme trigonométrique (terminale, option maths expertes, 17-18 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour la puissance n-ième d’un nombre complexe
| Partie réelle a | 1 |
| Partie imaginaire b | 1 |
| Exposant n | 4 |
| z à la puissance n | =COMPLEXE.PUISSANCE(COMPLEXE(B1;B2);B3) |
| Module à la puissance n, r^n | =COMPLEXE.MODULE(COMPLEXE(B1;B2))^B3 |
| Argument multiplié par n, nθ (radians) | =B3*COMPLEXE.ARGUMENT(COMPLEXE(B1;B2)) |
Tableau pour la racine n-ième numéro k d’un nombre complexe
| Partie réelle a | 8 |
| Partie imaginaire b | 0 |
| Ordre de la racine n | 3 |
| Numéro de la racine k (de 0 à n − 1) | 1 |
| Rayon du cercle des racines | =COMPLEXE.MODULE(COMPLEXE(B1;B2))^(1/B3) |
| Argument de la racine numéro k (radians) | =(MOD(COMPLEXE.ARGUMENT(COMPLEXE(B1;B2));2*PI())+2*PI()*B4)/B3 |
| Partie réelle de la racine numéro k | =B5*COS(B6) |
| Partie imaginaire de la racine numéro k | =B5*SIN(B6) |
Une fois le tableau collé, les lignes du haut sont vos données et les lignes du bas se calculent automatiquement.
Dans le premier tableau, COMPLEXE(partie réelle ; partie imaginaire) fabrique un nombre complexe, et COMPLEXE.PUISSANCE renvoie sa puissance sous forme de texte, comme « -4 ». Pour l’exemple z = 1 + i et n = 4, z à la puissance n vaut presque exactement -4 (une toute petite partie imaginaire peut apparaître à cause des erreurs d’arrondi), r^n = 4 et nθ = π ≈ 3,14159.
Le deuxième tableau calcule une seule racine, celle de numéro k. COMPLEXE.ARGUMENT renvoie l’argument dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) : MOD le ramène d’abord dans \([0\,;\,2\pi[\), puis on ajoute k tours complets et on divise par n. Pour l’exemple z = 8, n = 3 et k = 1, le rayon vaut 2 et l’argument 2π/3 ≈ 2,0944 : la partie réelle vaut −1 et la partie imaginaire ≈ 1,7320508 (= √3). Remplacez k par 0, 1 et 2 pour obtenir les trois racines.
Excel donne des valeurs décimales : pour des valeurs exactes avec des racines carrées ou des fractions, utilisez le calculateur de cette page.
Dans le premier tableau, COMPLEXE(partie réelle ; partie imaginaire) fabrique un nombre complexe, et COMPLEXE.PUISSANCE renvoie sa puissance sous forme de texte, comme « -4 ». Pour l’exemple z = 1 + i et n = 4, z à la puissance n vaut presque exactement -4 (une toute petite partie imaginaire peut apparaître à cause des erreurs d’arrondi), r^n = 4 et nθ = π ≈ 3,14159.
Le deuxième tableau calcule une seule racine, celle de numéro k. COMPLEXE.ARGUMENT renvoie l’argument dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) : MOD le ramène d’abord dans \([0\,;\,2\pi[\), puis on ajoute k tours complets et on divise par n. Pour l’exemple z = 8, n = 3 et k = 1, le rayon vaut 2 et l’argument 2π/3 ≈ 2,0944 : la partie réelle vaut −1 et la partie imaginaire ≈ 1,7320508 (= √3). Remplacez k par 0, 1 et 2 pour obtenir les trois racines.
Excel donne des valeurs décimales : pour des valeurs exactes avec des racines carrées ou des fractions, utilisez le calculateur de cette page.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour la puissance n-ième d’un nombre complexe
| Partie réelle a | 1 |
| Partie imaginaire b | 1 |
| Exposant n | 4 |
| z à la puissance n | =COMPLEXE.PUISSANCE(COMPLEXE(B1;B2);B3) |
| Module à la puissance n, r^n | =COMPLEXE.MODULE(COMPLEXE(B1;B2))^B3 |
| Argument multiplié par n, nθ (radians) | =B3*COMPLEXE.ARGUMENT(COMPLEXE(B1;B2)) |
Tableau pour la racine n-ième numéro k d’un nombre complexe
| Partie réelle a | 8 |
| Partie imaginaire b | 0 |
| Ordre de la racine n | 3 |
| Numéro de la racine k (de 0 à n − 1) | 1 |
| Rayon du cercle des racines | =COMPLEXE.MODULE(COMPLEXE(B1;B2))^(1/B3) |
| Argument de la racine numéro k (radians) | =(MOD(COMPLEXE.ARGUMENT(COMPLEXE(B1;B2));2*PI())+2*PI()*B4)/B3 |
| Partie réelle de la racine numéro k | =B5*COS(B6) |
| Partie imaginaire de la racine numéro k | =B5*SIN(B6) |
Google Sheets réglé en français propose les mêmes fonctions complexes qu’Excel (COMPLEXE, COMPLEXE.PUISSANCE, COMPLEXE.MODULE et COMPLEXE.ARGUMENT) : les mêmes formules fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres par les vôtres.
Calculer avec Python
import cmath
import math
# Puissance n-ième d’un nombre complexe (même résultat que la formule de Moivre)
z = complex(1, 1) # z = 1 + i
n = 4
z_power = z ** n
print(f"z à la puissance {n} = {z_power}")
# Éléments de la forme trigonométrique (module et argument)
absolute_value, argument = cmath.polar(z) # r et θ (−π < θ ≤ π)
if argument < 0:
argument += 2 * math.pi # ramené dans l’intervalle 0 ≤ θ < 2π
print(f"Module r = {absolute_value}")
print(f"Argument θ = {argument} rad")
# Racines n-ièmes d’un nombre complexe (les n racines, k = 0 à n−1)
z = complex(8, 0) # z = 8
n = 3
radius = abs(z) ** (1 / n)
theta = cmath.phase(z) % (2 * math.pi)
for k in range(n):
angle = (theta + 2 * math.pi * k) / n
w = cmath.rect(radius, angle)
print(f"w_{k} = {w}")
On fabrique un nombre complexe avec complex(partie réelle, partie imaginaire) et on l’élève directement à une puissance avec **. La première partie calcule la puissance 4 de z = 1 + i et affiche (-4+0j) (Python note \(i\) avec j), le module r ≈ 1,4142 (une valeur approchée de √2) et l’argument θ ≈ 0,7854 rad (une valeur approchée de π/4). La seconde partie cherche les racines cubiques de z = 8 et affiche trois racines : w_0 = (2+0j), w_1 ≈ −1 + 1,7320508 j et w_2 ≈ −1 − 1,7320508 j (1,7320508… est une valeur approchée de √3). cmath.polar renvoie le module et l’angle dans \(]-\pi\,;\,\pi]\) : on ajoute \(2\pi\) à un angle négatif pour le ramener dans \([0\,;\,2\pi[\). cmath.rect(rayon, angle) fabrique un nombre complexe à partir de sa forme trigonométrique. Certaines valeurs sont très légèrement fausses, par exemple une valeur à peine différente de −1 au lieu de −1, ou un tout petit nombre (de l’ordre de \(10^{-16}\)) au lieu de 0 : ce sont des erreurs d’arrondi des nombres à virgule flottante. Pour des valeurs exactes avec des racines carrées ou des fractions, utilisez le calculateur de cette page.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
La formule de Moivre
(cosθ + i sinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos n\theta + i\sin n\theta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>cos</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
</mrow>
</math>
(cos theta + i sin theta)^n = cos(n theta) + i sin(n theta)
(Cos[theta] + I Sin[theta])^n == Cos[n theta] + I Sin[n theta]
(cos(theta) + I*sin(theta))^n = cos(n*theta) + I*sin(n*theta);
zn = (cos(t) + 1i*sin(t))^n;
(cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ
Puissance \(n\)-ième d’un nombre complexe
zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
z^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>z</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>r</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
z^n = r^n (cos(n theta) + i sin(n theta))
r^n (Cos[n theta] + I Sin[n theta])
zn := r^n*(cos(n*theta) + I*sin(n*theta));
zn = r^n*(cos(n*t) + 1i*sin(n*t));
z^n = r^n (cos nθ + i sin nθ)
Racines \(n\)-ièmes d’un nombre complexe
w_k = ⁿ√r (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)) (k = 0, 1, …, n−1)
w_{k} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\dfrac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>w</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mroot><mi>r</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi>
<mfrac>
<mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi>
<mfrac>
<mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
w_k = root(n)(r) (cos((theta + 2k pi)/n) + i sin((theta + 2k pi)/n))
Table[r^(1/n) (Cos[(theta + 2 k Pi)/n] + I Sin[(theta + 2 k Pi)/n]), {k, 0, n - 1}]
wk := r^(1/n)*(cos((theta + 2*k*Pi)/n) + I*sin((theta + 2*k*Pi)/n));
wk = r^(1/n)*(cos((t + 2*k*pi)/n) + 1i*sin((t + 2*k*pi)/n));
w_k = r^(1/n) (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n))
Racines \(n\)-ièmes de l’unité
z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n) (k = 0, 1, …, n−1)
z_{k} = \cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n} \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>z</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mi>cos</mi>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
z_k = cos((2k pi)/n) + i sin((2k pi)/n)
Table[Cos[2 k Pi/n] + I Sin[2 k Pi/n], {k, 0, n - 1}]
zk := cos(2*k*Pi/n) + I*sin(2*k*Pi/n);
zk = cos(2*k*pi/n) + 1i*sin(2*k*pi/n);
z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul en mathématiques (plan complexe et formule de Moivre). Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). 1. Calcule la puissance 4 du nombre complexe z = 1 + i. Donne aussi le module r et un argument θ, le module à la puissance 4, r^4, et l’argument multiplié par 4, 4θ. 2. Trouve les trois racines cubiques du nombre complexe z = 8 (les nombres complexes dont le cube vaut 8), pour k = 0, 1, 2. Si possible, donne-les aussi en valeurs exactes avec des racines carrées. En Python, utilise le type complex, cmath.polar et cmath.rect, et montre les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
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1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
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2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
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3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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Fonctions connexes
Forme trigonométrique et exponentielle d’un nombre complexe (module, argument, étapes et plan complexe)
Écrit z = a + ib sous la forme r(cos θ + i sin θ), avec le module en valeur exacte et les étapes du calcul de l’argument
Calcul avec les nombres complexes (quatre opérations, conjugué, module et plan complexe)
Somme, différence, produit et quotient de deux nombres complexes z₁ et z₂, avec la multiplication par le conjugué, le module et le plan complexe
