Optimisation de découpe de panneaux (plan de découpe et nombre de panneaux)

Saisissez les dimensions du panneau, le trait de scie, le sens du fil et la largeur, la hauteur et la quantité des pièces à découper (jusqu’à 8 sortes de pièces ; les lignes sans largeur ni hauteur sont ignorées). L’épaisseur et le prix d’un panneau peuvent rester vides.

Unités

Dimensions du panneau (largeur × hauteur, mm)

× mm

Trait de scie (épaisseur de lame, mm)

Épaisseur (mm, facultatif)

Sens du fil (rotation des pièces) Pièces à découper (largeur, hauteur, quantité)

Ligne Nom (facultatif) Largeur (mm) Hauteur (mm) Qté

Prix d’un panneau (€, facultatif)

Saisissez toutes les longueurs en millimètres (mm). Un trait de scie vide vaut 3 mm et une quantité vide vaut 1. Les pièces sans nom s’appellent « Pièce A » à « Pièce H ».

Résultat et figure

Saisissez à gauche les dimensions du panneau, puis la largeur, la hauteur et la quantité des pièces à découper, et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et une figure du plan de découpe s’affichent ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et figures
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Saisissez les dimensions du panneau (contreplaqué ou MDF de 2 500 × 1 220 mm, 2 440 × 1 220 mm, 2 800 × 2 070 mm… dans la liste, ou à la main) et la largeur, la hauteur et la quantité des pièces à découper (jusqu’à 8 sortes) : vous voyez aussitôt combien de panneaux acheter
Le calcul tient compte du trait de scie (l’épaisseur de la lame, 3 mm par défaut) et du sens du fil (les pièces peuvent-elles être tournées de 90° ?). Pour une seule sorte de pièce, il compte une grille « en largeur × en hauteur » (en comparant aussi le sens tourné et les pièces tournées dans la bande qui reste) ; pour plusieurs sortes, il les regroupe avec la méthode par bandes, en remplissant des bandes de la pièce la plus haute à la plus basse
Vous obtenez un plan de découpe en couleurs pour chaque panneau, qui montre où va chaque pièce, et un tableau comme « Panneau 1 : Dessus×2+Côté×2, chute 0,62 m² ». Il indique aussi combien de panneaux on économise en regroupant les pièces plutôt qu’en découpant chaque sorte dans ses propres panneaux
Il affiche la surface des chutes, le rendement (surface totale des pièces ÷ surface totale des panneaux) et le nombre minimal théorique de panneaux d’après la surface (la borne inférieure), et dit si le plan l’atteint. Indiquez le prix d’un panneau (facultatif) pour obtenir le coût estimé
Vous trouverez aussi une explication simple des formules et des formules à copier pour Excel, Google Sheets et Python

Le plan vient d’heuristiques à étapes fixes (« aligner une seule sorte de pièce en largeur et en hauteur » et « trier les pièces par hauteur et les ranger en bandes », la méthode par bandes) : il ne donne pas toujours le moins de panneaux possible (la meilleure réponse n’est pas garantie). Chaque coupe est supposée aller d’un bord du panneau à l’autre (une coupe guillotine), ce qui correspond au service de découpe des magasins de bricolage (coupes droites seulement ; certains magasins limitent le nombre de coupes par panneau). Les logiciels professionnels d’optimisation cherchent des combinaisons plus complexes, mais ce calcul suffit pour acheter et découper en bricolage. Pour une découpe en longueur seulement, comme des tasseaux, des planches ou des tubes, utilisez le « Calcul de débit de bois ».

À quoi sert ce calcul ?

Acheter le contreplaqué pour une bibliothèque, un caisson ou un bureau fait maison

Par exemple, pour une bibliothèque avec 2 dessus de 1 200 × 600 mm, 4 côtés de 900 × 550 mm et 3 rayons de 800 × 450 mm dans du contreplaqué de 2 500 × 1 220 mm, acheter des panneaux pour chaque sorte de pièce demande 3 panneaux, mais les regrouper en bandes par hauteur n’en demande que 2 (panneau 1 : dessus×2 + côtés×2 ; panneau 2 : côtés×2 + rayons×3).
Les panneaux sont encombrants et difficiles à charger en voiture, et les restes prennent de la place : fixer le nombre de panneaux et le plan avant d’aller au magasin évite le gaspillage. Calculez avec « Aligner » un contreplaqué décoratif dont le fil doit être aligné, et avec « Peu importe » un contreplaqué de construction ou un panneau à peindre pour économiser des panneaux.

Donner les consignes au service de découpe du magasin de bricolage

Le service de découpe des magasins de bricolage (scie à panneaux) ne coupe que « d’un bord à l’autre, en ligne droite » ; la découpe est souvent facturée à la coupe, et certains magasins limitent le nombre de coupes par panneau. Le plan de cette page respecte cette façon de couper (coupe guillotine) : en suivant la figure, « coupez d’abord droit sur toute la longueur à 600 mm du haut, puis recoupez le morceau du haut à 1 200 mm de la gauche… », vous ne serez pas perdu au comptoir (le trait de scie est la part enlevée par la lame : les cotes de coupe sont les dimensions des pièces).
Compter les coupes permet d’estimer le prix de la découpe et de vérifier qu’on reste dans la limite du magasin. Ajustez le trait de scie à l’épaisseur de la lame de la scie à panneaux du magasin (souvent autour de 3 mm, demandez sur place). Certains magasins refusent les bandes très étroites (quelques centimètres) ou les coupes en biais ou arrêtées : renseignez-vous d’abord si vous avez beaucoup de pièces fines.

Ajuster les dimensions dès la conception pour tirer plus de pièces

Des pièces de 625 × 610 mm (un quart de panneau de 2 500 × 1 220 mm) semblent donner 8 pièces sans trait de scie, mais avec 3 mm on n’en tire que \(\lfloor 2\,503 \div 628 \rfloor = 3\) en largeur et \(\lfloor 1\,223 \div 613 \rfloor = 1\) en hauteur, soit 3 pièces (4 en les tournant). En passant à 622 × 608 mm, on en tire 4 en largeur × 2 en hauteur = 8.
Modifier un peu les dimensions dès la conception peut ainsi changer beaucoup le nombre de panneaux. Essayez sur ce calculateur, avant d’acheter, des ajustements comme réduire la profondeur d’une tablette de quelques millimètres ou couper un dessus en deux : vous économiserez sur le matériau.

Préparer les approvisionnements d’un atelier de menuiserie, d’agencement ou d’enseignes (optimisation de découpe)

Dans les ateliers de menuiserie et d’agencement, les fabricants d’enseignes (panneaux composites aluminium, plexiglas) ou la tôlerie, le matériau pèse lourd dans le prix de revient : on y suit au quotidien le plan de découpe (l’optimisation ou « nesting ») et le rendement. Le rendement de cette page, surface totale des pièces divisée par surface totale des panneaux, suit la même définition qu’en entreprise.
En atelier, on place des centaines de pièces différentes avec des logiciels spécialisés d’optimisation de découpe. La méthode par bandes est une heuristique de manuel pour ranger des rectangles, et l’une des bases de ces logiciels.

Plexiglas, verre, plaques de plâtre, panneaux décoratifs et autres matériaux en plaques

Tout ce qui revient à « découper des rectangles dans une plaque de format standard » se calcule avec les mêmes formules que le contreplaqué : plaques de plexiglas ou de PVC, plaques de plâtre (souvent 2 500 × 1 200 mm), panneaux décoratifs, OSB (2 500 × 1 250 mm), etc. Pour un matériau que l’on raye puis que l’on casse, comme le verre, mettez le trait de scie à 0 (de même pour le carrelage coupé au coupe-carreau manuel ; avec une scie à eau, comptez l’épaisseur du disque), et choisissez « Peu importe » pour un matériau sans fil afin d’économiser des plaques.
Le verre et le plexiglas mince cassent facilement, et les panneaux à motif imposent un sens : réglez le trait de scie et la rotation selon le matériau.

Formules et figures

Pièces par panneau pour une seule sorte de pièce

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(c\) \(=\) \(\lfloor\) \((\) \(W\) \(+\) \(k\) \()\) \(\div\) \((\) \(w\) \(+\) \(k\) \()\) \(\rfloor\)

\(r\) \(=\) \(\lfloor\) \((\) \(H\) \(+\) \(k\) \()\) \(\div\) \((\) \(h\) \(+\) \(k\) \()\) \(\rfloor\)

\(m\) \(=\) \(c\) \(\times\) \(r\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(c\) : nombre en largeur \(=\) \(\lfloor\) \((\) ① \(W\) : largeur du panneau \(+\) ② \(k\) : trait de scie \()\) \(\div\) \((\) ③ \(w\) : largeur de la pièce \(+\) \(k\) : trait de scie \()\) \(\rfloor\)

⑦ \(r\) : nombre en hauteur \(=\) \(\lfloor\) \((\) ⑤ \(H\) : hauteur du panneau \(+\) \(k\) : trait de scie \()\) \(\div\) \((\) ⑥ \(h\) : hauteur de la pièce \(+\) \(k\) : trait de scie \()\) \(\rfloor\)

⑧ \(m\) : pièces par panneau \(=\) \(c\) : nombre en largeur \(\times\) \(r\) : nombre en hauteur

La formule en mots

① On ajoute à la \(W\) : largeur du panneau un

② \(k\) : trait de scie , puis on divise par la

③ \(w\) : largeur de la pièce plus le trait de scie \(k\), et on arrondit à l’entier inférieur (le signe \(\lfloor\ \rfloor\) veut dire « partie entière ») pour obtenir le

④ \(c\) : nombre en largeur . De la même façon, on divise la

⑤ \(H\) : hauteur du panneau plus le trait de scie par la

⑥ \(h\) : hauteur de la pièce plus le trait de scie, et on arrondit à l’entier inférieur pour obtenir le

⑦ \(r\) : nombre en hauteur . En multipliant les deux, on obtient les

⑧ \(m\) : pièces par panneau

Exemple simple

Pour découper des rayons de 800 × 500 mm dans un panneau de contreplaqué de 2 500 × 1 220 mm avec un trait de scie de 3 mm, le nombre de pièces par panneau vaut

\(c\) : nombre en largeur \(=\) \(\lfloor\) \((\) largeur du panneau (2 500 mm) \(+\) trait de scie (3 mm) \()\) \(\div\) \((\) largeur de la pièce (800 mm) \(+\) trait de scie (3 mm) \()\) \(\rfloor\)

\(r\) : nombre en hauteur \(=\) \(\lfloor\) \((\) hauteur du panneau (1 220 mm) \(+\) trait de scie (3 mm) \()\) \(\div\) \((\) hauteur de la pièce (500 mm) \(+\) trait de scie (3 mm) \()\) \(\rfloor\)

\(m\) : pièces par panneau \(=\) \(c\) : nombre en largeur \(\times\) \(r\) : nombre en hauteur

\(c = \lfloor 2\,503 \div 803 \rfloor = \lfloor 3{,}11 \cdots \rfloor = 3\)

\(r = \lfloor 1\,223 \div 503 \rfloor = \lfloor 2{,}43 \cdots \rfloor = 2\)

\(m = 3 \times 2 = 6\)

L’idée clé

Pour aligner \(n\) pièces en largeur, les largeurs des \(n\) pièces plus les \(n - 1\) traits de scie entre elles doivent tenir dans la largeur du panneau (la dernière pièce peut aller jusqu’au bord, il n’y a pas de coupe à cet endroit). C’est \(n \times w + (n - 1) \times k \leqslant W\), et en ajoutant \(k\) des deux côtés on obtient \(n \times (w + k) \leqslant W + k\). Donc « largeur du panneau + trait de scie » divisée par « largeur de la pièce + trait de scie », arrondie à l’entier inférieur, donne le nombre en largeur. La hauteur se traite de la même façon : la découpe à deux dimensions est une multiplication « nombre en largeur × nombre en hauteur ». Cette formule utilise le bord d’usine du panneau comme bord des pièces ; si les bords sont abîmés ou pas d’équerre et que vous les délignez, entrez les dimensions du panneau moins la bande retirée. Oublier le trait de scie peut fausser le nombre. Par exemple, des pièces de 625 × 610 mm (un quart de panneau de 2 500 × 1 220 mm) semblent donner 4 en largeur × 2 en hauteur = 8 sans trait de scie, mais avec 3 mm on n’en obtient que \(\lfloor 2\,503 \div 628 \rfloor = 3\) en largeur et \(\lfloor 1\,223 \div 613 \rfloor = 1\) en hauteur, soit 3 pièces (4 en les tournant de 90°). Avec des pièces de 622 × 608 mm, on retrouve 4 × 2 = 8. Si le sens du fil importe peu, ce calculateur refait le même calcul avec la pièce tournée de 90° (largeur et hauteur échangées) et garde le plus grand nombre. Il essaie aussi de placer des pièces tournées dans la bande qui reste à droite ou en bas de la grille (par exemple 3 en largeur × 3 en hauteur = 9, plus 1 pièce tournée dans la largeur restante à droite, soit 10). Ce calcul simple vaut pour une seule sorte de pièce ; plusieurs sortes de pièces se regroupent avec la méthode par bandes ci-dessous.

Panneaux si chaque pièce est achetée séparément

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(B_i\) \(=\) \(\lceil\) \(q_i\) \(\div\) \(m_i\) \(\rceil\)

\(B_{\text{sép}}\) \(=\) \(B_1 + B_2 + \cdots\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(B_i\) : panneaux nécessaires pour la pièce \(i\) seule \(=\) \(\lceil\) ① \(q_i\) : quantité de la pièce \(i\) \(\div\) ② \(m_i\) : pièces par panneau \(\rceil\)

⑤ \(B_{\text{sép}}\) : total des panneaux en achat séparé \(=\) ④ somme des panneaux de chaque pièce \(B_1,\ B_2,\ \ldots\)

La formule en mots

① On divise la \(q_i\) : quantité de la pièce \(i\) par les

② \(m_i\) : pièces par panneau et on arrondit à l’entier supérieur (le signe \(\lceil\ \rceil\) veut dire « arrondi à l’entier supérieur ») pour obtenir les

③ \(B_i\) : panneaux nécessaires pour la pièce \(i\) seule . La

④ somme des panneaux de chaque pièce \(B_1,\ B_2,\ \ldots\) donne le

⑤ \(B_{\text{sép}}\) : total des panneaux en achat séparé

Exemple simple

Dans des panneaux de 2 500 × 1 220 mm (trait de scie 3 mm, rotation possible), découper 2 dessus de 1 200 × 600 mm, 4 côtés de 900 × 550 mm et 3 rayons de 800 × 450 mm, chaque sorte dans ses propres panneaux, demande

\(\text{Dessus} : \lceil 2 \div 4 \rceil = 1,\quad \text{Côté} : \lceil 4 \div 5 \rceil = 1,\quad \text{Rayon} : \lceil 3 \div 6 \rceil = 1\)

\(B_{\text{sép}} = 1 + 1 + 1 = 3\)

L’idée clé

Ce calcul simple achète des panneaux à part pour chaque sorte de pièce : « des panneaux pour les dessus », « des panneaux pour les côtés », etc. Un panneau donne 4 dessus (2 en largeur × 2 en hauteur), donc 2 dessus demandent 1 panneau (il en resterait pour 2). Un panneau donne 5 côtés (2 en largeur × 2 en hauteur, plus 1 tourné dans la bande de 694 mm qui reste à droite), donc 4 côtés demandent 1 panneau. Un panneau donne 6 rayons (3 en largeur × 2 en hauteur), donc 3 rayons demandent 1 panneau (il en resterait pour 3). Soit 3 panneaux en tout. Cette façon de faire est simple à penser et à découper, mais les panneaux des dessus et des rayons gardent de grandes chutes. La méthode par bandes ci-dessous remplit ces restes avec d’autres pièces pour utiliser moins de panneaux.

Plan par la méthode par bandes (condition pour tenir dans une bande et pour empiler les bandes)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(w_1 + w_2 + \cdots + w_n\) \(+\) \((n - 1)\) \(\times\) \(k\) \(\leqslant\) \(W\)

\(h_1 + h_2 + \cdots + h_s\) \(+\) \((s - 1)\) \(\times\) \(k\) \(\leqslant\) \(H\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

① somme des largeurs \(w_1,\ w_2,\ \ldots,\ w_n\) des pièces d’une bande \(+\) ② nombre de pièces de la bande \(n\) moins 1 \(\times\) ③ trait de scie \(k\) \(\leqslant\) ④ largeur du panneau \(W\)

⑤ somme des hauteurs des bandes (hauteur de la pièce la plus haute de chaque bande) \(h_1,\ h_2,\ \ldots,\ h_s\) \(+\) ⑥ nombre de bandes \(s\) moins 1 \(\times\) trait de scie \(k\) \(\leqslant\) ⑦ hauteur du panneau \(H\)

La formule en mots

① Si la somme des largeurs \(w_1,\ w_2,\ \ldots,\ w_n\) des pièces d’une bande plus le produit du

② nombre de pièces de la bande \(n\) moins 1 par le

③ trait de scie \(k\) (le total des traits de scie entre les pièces) est au plus égale à la

④ largeur du panneau \(W\) , les pièces tiennent dans la bande. De même, si la

⑤ somme des hauteurs des bandes (hauteur de la pièce la plus haute de chaque bande) \(h_1,\ h_2,\ \ldots,\ h_s\) plus le produit du

⑥ nombre de bandes \(s\) moins 1 par le trait de scie \(k\) est au plus égale à la

⑦ hauteur du panneau \(H\) , les bandes s’empilent dans ce panneau

Exemple simple

Avec l’exemple ci-dessus (2 dessus de 1 200 × 600 mm, 4 côtés de 900 × 550 mm et 3 rayons de 800 × 450 mm, trait de scie 3 mm) placés par la méthode par bandes dans des panneaux de 2 500 × 1 220 mm, le premier panneau reçoit deux bandes, « 2 dessus » et « 2 côtés »

\(\text{1re bande (hauteur 600)} : 1\,200 + 1\,200 + 1 \times 3 = 2\,403 \leqslant 2\,500\)

\(\text{2e bande (hauteur 550)} : 900 + 900 + 1 \times 3 = 1\,803 \leqslant 2\,500\)

\(\text{Hauteur totale des bandes} : 600 + 550 + 1 \times 3 = 1\,153 \leqslant 1\,220\)

L’idée clé

La méthode par bandes (FFDH, First Fit Decreasing Height) décide du plan en suivant ces étapes. 1) Trier toutes les pièces de la plus haute à la plus basse (à hauteur égale, de la plus large à la plus étroite, puis dans l’ordre des lignes saisies). 2) Prendre les pièces dans l’ordre et placer chacune dans la première bande existante « où la largeur restante suffit et dont la hauteur n’est pas inférieure à celle de la pièce ». Si le sens du fil importe peu, une bande où la pièce tient une fois tournée convient aussi. 3) S’il n’y a pas de bande possible, ouvrir une nouvelle bande dans le premier panneau existant « dont la hauteur restante suffit pour la pièce ». S’il n’y en a pas non plus, ajouter un nouveau panneau. La hauteur d’une bande est celle de la première pièce posée (la plus haute de la bande). Dans une bande, on avance vers la droite de « largeur + trait de scie », et les bandes descendent de « hauteur + trait de scie » : d’où les deux inégalités ci-dessus. On découpe en bandes pour que chaque coupe aille tout droit d’un bord du panneau à l’autre (coupe guillotine), comme le fait le service de découpe d’un magasin de bricolage (scie à panneaux). Ce calculateur essaie toutes les combinaisons du sens des pièces (si le fil importe peu : « grand côté en largeur », « grand côté en hauteur », « comme saisi ») et du sens des bandes (bandes horizontales ou verticales) et garde celle qui demande le moins de panneaux ; il la compare aussi aux méthodes « remplir d’abord des panneaux avec une seule sorte de pièce, puis ranger le reste en bandes » et « découper chaque pièce séparément », et affiche la meilleure. Même ainsi, la découpe à deux dimensions offre un nombre énorme de combinaisons, et rien ne garantit que ce soit le minimum. Les logiciels professionnels d’optimisation de découpe cherchent des combinaisons plus complexes, et des coupes qui ne traversent pas tout le panneau ; en bricolage, il est plus pratique de prendre ce résultat comme repère et de réutiliser les chutes pour de petits objets.

Surface des chutes et rendement

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(A_{\text{ch}}\) \(=\) \(B\) \(\times\) \(W\) \(\times\) \(H\) \(-\) \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\)

\(Y\) \(=\) \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\) \(\div\) \((\) \(B\) \(\times\) \(W\) \(\times\) \(H\) \()\) \(\times\) \(100\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

⑤ surface des chutes \(A_{\text{ch}}\) \(=\) ① nombre de panneaux \(B\) \(\times\) ② largeur du panneau \(W\) \(\times\) ③ hauteur du panneau \(H\) \(-\) ④ somme des surfaces de toutes les pièces \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\)

⑥ rendement \(Y\) (%) \(=\) somme des surfaces de toutes les pièces \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\) \(\div\) \((\) nombre de panneaux \(B\) \(\times\) largeur du panneau \(W\) \(\times\) hauteur du panneau \(H\) \()\) \(\times\) \(100\)

La formule en mots

① On multiplie le nombre de panneaux \(B\) par la

② largeur du panneau \(W\) et la

③ hauteur du panneau \(H\) (surface totale des panneaux achetés), et on en retire la

④ somme des surfaces de toutes les pièces \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\) pour obtenir la

⑤ surface des chutes \(A_{\text{ch}}\) . En divisant la surface des pièces par la surface totale des panneaux et en multipliant par 100, on obtient le

⑥ rendement \(Y\) (%)

Exemple simple

Pour l’exemple ci-dessus (2 dessus, 4 côtés et 3 rayons placés dans 2 panneaux de 2 500 × 1 220 mm), la surface des chutes et le rendement valent

\(\sum q\,w\,h = 2 \times 1\,200 \times 600 + 4 \times 900 \times 550 + 3 \times 800 \times 450\)

\(= 1\,440\,000 + 1\,980\,000 + 1\,080\,000 = 4\,500\,000\ \text{mm}^2\)

\(A_{\text{ch}} = 2 \times 2\,500 \times 1\,220 - 4\,500\,000 = 1\,600\,000\ \text{mm}^2 = 1{,}6\ \text{m}^2\)

\(Y = 4\,500\,000 \div 6\,100\,000 \times 100 \approx 73{,}8\ \%\)

L’idée clé

La surface des chutes est la différence entre « la surface des panneaux achetés » et « la surface utilisée par les pièces » : elle comprend donc aussi ce qui part en sciure avec le trait de scie (avec un trait de 3 mm, couper 1 m de long fait perdre 3 000 mm², soit 0,003 m², et cela compte d’autant plus qu’il y a de pièces). Comme 1 m² = 1 000 000 mm², on divise par 1 000 000 une valeur en mm² pour l’avoir en m². Le rendement est la part du matériau réellement utilisée pour les pièces : plus il est proche de 100 %, moins il y a de perte. Il dépend beaucoup de l’accord entre les dimensions des pièces et celles du panneau (élevé si les pièces divisent le panneau en parts égales, bas si les dimensions sont bâtardes ou les sortes nombreuses) ; en bricolage, il est normal d’avoir un peu de chutes. Les chutes servent souvent pour de petites tablettes ou des renforts : le rendement seul ne dit pas tout.

Nombre minimal théorique d’après la surface (borne inférieure)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(B_{\min}\) \(=\) \(\lceil\) \(\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)\) \(\div\) \((W + k)(H + k)\) \(\rceil\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ nombre minimal théorique \(B_{\min}\) \(=\) \(\lceil\) ① somme pour toutes les pièces de (largeur + trait de scie) × (hauteur + trait de scie) \(\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)\) \(\div\) ② (largeur du panneau + trait de scie) × (hauteur du panneau + trait de scie) \((W + k)(H + k)\) \(\rceil\)

La formule en mots

① On divise la somme pour toutes les pièces de (largeur + trait de scie) × (hauteur + trait de scie) \(\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)\) par

② (largeur du panneau + trait de scie) × (hauteur du panneau + trait de scie) \((W + k)(H + k)\) et on arrondit à l’entier supérieur pour obtenir le

③ nombre minimal théorique \(B_{\min}\)

Exemple simple

Pour l’exemple ci-dessus (2 dessus de 1 200 × 600 mm, 4 côtés de 900 × 550 mm et 3 rayons de 800 × 450 mm, panneaux de 2 500 × 1 220 mm, trait de scie 3 mm), le nombre minimal théorique vaut

\(2 \times 1\,203 \times 603 + 4 \times 903 \times 553 + 3 \times 803 \times 453\)

\(= 1\,450\,818 + 1\,997\,436 + 1\,091\,277 = 4\,539\,531\)

\((2\,500 + 3) \times (1\,220 + 3) = 2\,503 \times 1\,223 = 3\,061\,169\)

\(4\,539\,531 \div 3\,061\,169 \approx 1{,}48,\quad \lceil 1{,}48 \rceil = 2\)

L’idée clé

Aussi bien placées soient-elles, les pièces ne tiennent pas dans des panneaux de surface totale inférieure à la leur. En comptant le trait de scie, on considère qu’« une pièce occupe \((w + k) \times (h + k)\) et un panneau offre \((W + k) \times (H + k)\) » : le quotient arrondi à l’entier supérieur est la borne inférieure fixée par la seule surface (on ne peut pas faire moins). Dans l’exemple, les 2 panneaux de la méthode par bandes égalent la borne inférieure de 2 : c’est donc un nombre optimal, impossible à réduire. Mais en découpe à deux dimensions, il arrive souvent que la surface suffise et que la forme ne s’y prête pas. Par exemple, avec un dessus de 2 400 × 600 mm et 2 côtés de caisson de 650 × 650 mm dans des panneaux de 2 500 × 1 220 mm, la borne inférieure est de 1 panneau, mais la hauteur qui reste sous le dessus vaut \(1\,220 - 600 - 3 = 617\) mm et les côtés de 650 mm n’y entrent pas : il faut 2 panneaux. L’écart entre la borne et le nombre réel est plus fréquent qu’en débit de bois à une dimension : quand le résultat est « Approché », changer la combinaison ne permet pas forcément de gagner un panneau.

Panneaux économisés et coût estimé

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\Delta\) \(=\) \(B_{\text{sép}}\) \(-\) \(B\)

\(T\) \(=\) \(u\) \(\times\) \(B\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ panneaux économisés \(\Delta\) \(=\) ① panneaux en achat séparé \(B_{\text{sép}}\) \(-\) ② panneaux en regroupant \(B\)

⑤ coût estimé \(T\) \(=\) ④ prix d’un panneau \(u\) \(\times\) panneaux en regroupant \(B\)

La formule en mots

① Des panneaux en achat séparé \(B_{\text{sép}}\) on retire les

② panneaux en regroupant \(B\) pour obtenir les

③ panneaux économisés \(\Delta\) . Le

④ prix d’un panneau \(u\) multiplié par le nombre de panneaux en regroupant \(B\) donne le

⑤ coût estimé \(T\)

Exemple simple

Dans l’exemple ci-dessus, avec un panneau de contreplaqué de 18 mm à 115 € (prix indicatif en France), les panneaux économisés et le coût valent

\(\Delta = 3 - 2 = 1\)

\(T = 115 \times 2 = 230\)

\(115 \times 3 - 230 = 115\)

L’idée clé

Le coût en achat séparé vaut \(u \times B_{\text{sép}}\), le coût en regroupant \(u \times B\) : la différence vaut \(u \times \Delta\). Entrez comme prix unitaire le prix d’un panneau. Le coût ne couvre que les panneaux eux-mêmes, pas la découpe en magasin (souvent facturée à la coupe), la livraison ni la finition. Pour estimer le prix de la découpe, comptez le nombre de traits de coupe sur le plan.

Pour une seule sorte de pièce, « (largeur du panneau + trait de scie) ÷ (largeur de la pièce + trait de scie), arrondi à l’entier inférieur » × « le même calcul en hauteur » donne le nombre de pièces par panneau. Plusieurs sortes de pièces se regroupent avec la méthode par bandes, qui remplit des bandes de la pièce la plus haute à la plus basse (chaque coupe traverse le panneau de bord à bord : coupe guillotine) ; si le résultat égale la borne inférieure tirée de la surface, on ne peut pas faire mieux. Sinon, en découpe à deux dimensions, la forme des pièces empêche souvent d’atteindre la borne : le plan de ce calculateur est un repère qui ne garantit pas la solution optimale.

Symboles et termes

Symboles

\(W\)	W	La largeur du panneau (mm), c’est-à-dire la longueur horizontale d’un panneau acheté. De l’anglais « width » (largeur), en majuscule pour la distinguer de la largeur \(w\) des pièces.
\(H\)	H	La hauteur du panneau (mm), sa longueur verticale. De l’anglais « height » (hauteur), en majuscule pour la distinguer de la hauteur \(h\) des pièces. Si le sens du fil importe peu, échanger largeur et hauteur ne change pas le nombre (avec « Aligner », il faut les accorder au sens des pièces).
\(w\), \(w_i\)	w, w indice i	La largeur d’une pièce (la planche à découper, en mm). Le \(i\) de \(w_i\) est un numéro : « la \(i\)-ième sorte de pièce » (il y a plusieurs sortes, comme les dessus, les côtés et les tablettes).
\(h\), \(h_i\)	h, h indice i	La hauteur d’une pièce (mm). Dans la formule de la méthode par bandes, \(h_1,\ h_2,\ \ldots\) désignent aussi la hauteur de chaque bande (hauteur de bande = hauteur de la pièce la plus haute de la bande).
\(k\)	k	Le trait de scie (épaisseur de la lame, en mm). Chaque coupe fait perdre cette largeur de bois. De l’anglais « kerf » (trait de scie).
\(c\)	c	Le nombre de pièces alignées en largeur quand on ne découpe qu’une sorte de pièce. Il vaut \(\lfloor (W + k) \div (w + k) \rfloor\). De l’anglais « column » (colonne).
\(r\)	r	Le nombre de pièces alignées en hauteur quand on ne découpe qu’une sorte de pièce. Il vaut \(\lfloor (H + k) \div (h + k) \rfloor\). De l’anglais « row » (rangée).
\(m\), \(m_i\)	m, m indice i	Le nombre de pièces que l’on tire d’un panneau quand on ne découpe qu’une sorte de pièce : \(m = c \times r\).
\(q_i\)	q indice i	La quantité nécessaire de la pièce \(i\). De l’anglais « quantity » (quantité).
\(B_i\)	B indice i	Le nombre de panneaux nécessaires pour la seule pièce \(i\). Il vaut \(\lceil q_i \div m_i \rceil\).
\(B_{\text{sép}}\)	B séparé	Le nombre total de panneaux quand chaque sorte de pièce est découpée dans ses propres panneaux (achat séparé) : la somme des \(B_i\).
\(B\)	B	Le nombre de panneaux nécessaires en regroupant les pièces (plan par la méthode par bandes, etc.). C’est la valeur principale de cette page.
\(n\)	n	Le nombre de pièces alignées dans une bande. Il y a \(n - 1\) traits de scie entre elles, d’où son rôle dans la condition pour tenir dans une bande. De « nombre ».
\(s\)	s	Le nombre de bandes empilées dans un panneau. Il y a \(s - 1\) traits de scie entre elles, d’où son rôle dans la condition d’empilement. De l’anglais « shelf » (le nom anglais des bandes).
\(A_{\text{ch}}\)	A chute	La surface des chutes (mm², m²) : la surface totale des panneaux achetés moins celle des pièces, sciure du trait de scie comprise. \(A\) vient de l’anglais « area » (aire).
\(Y\)	Y	Le rendement (%) : la surface totale des pièces divisée par celle des panneaux, multipliée par 100. De l’anglais « yield » (rendement).
\(B_{\min}\)	B min	Le nombre minimal théorique d’après la surface (la borne inférieure). Il vaut \(\lceil \sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k) \div ((W + k)(H + k)) \rceil\) ; si le nombre \(B\) en regroupant lui est égal, le plan est optimal. « min » abrège minimum.
\(\Delta\)	delta	Le nombre de panneaux économisés : \(B_{\text{sép}} - B\). La lettre grecque delta sert souvent à noter une différence.
\(u\)	u	Le prix d’un panneau (€). De l’anglais « unit price » (prix unitaire).
\(T\)	T	Le coût estimé (€), de l’anglais « total ». Il ne couvre que les panneaux, pas la découpe ni la livraison.
\(\lfloor x \rfloor\)	partie entière	Le signe qui arrondit un nombre à l’entier inférieur (par exemple \(\lfloor 3{,}11 \rfloor = 3\), \(\lfloor 2 \rfloor = 2\)). Le nombre de pièces que l’on tire « laisse de côté ce qui ne tient pas », d’où ce signe.
\(\lceil x \rceil\)	partie entière supérieure	Le signe qui arrondit un nombre à l’entier supérieur (par exemple \(\lceil 1{,}48 \rceil = 2\), \(\lceil 2 \rceil = 2\)). Le nombre de panneaux à acheter « ajoute un panneau pour ce qui manque », d’où ce signe.
\(\sum\)	sigma (somme)	Le signe « additionner tout ». \(\sum_i q_i w_i h_i\) veut dire : calculer \(q_i w_i h_i\) (quantité × largeur × hauteur) pour chaque sorte de pièce \(i\) et tout additionner. C’est la lettre grecque sigma, qui correspond au S de « somme ».

Termes

panneau	La grande plaque dans laquelle on découpe les pièces. Contreplaqué, MDF, aggloméré, mélaminé, plexiglas, tôle… tout matériau vendu en plaques de formats standard. Cette page le traite comme un rectangle de largeur \(W\) × hauteur \(H\).
plan de découpe	La façon de répartir les pièces dans les panneaux avant de les découper (on parle aussi de calepinage ou de débit). Cette page traite la découpe à deux dimensions (largeur et hauteur) ; la découpe à une dimension, en longueur seulement, comme des tasseaux ou des tubes, se fait avec le « Calcul de débit de bois ».
trait de scie	La largeur de bois perdue à chaque coupe, égale à l’épaisseur de la lame. Les lames de scie circulaire ou de scie à panneaux font souvent 1,5 à 3 mm ; on compte en général environ 3 mm pour les éclats et le trait de crayon. Si vous connaissez l’épaisseur de votre lame (souvent gravée dessus), entrez-la. Le trait de scie s’additionne à chaque coupe : il compte d’autant plus que les pièces sont petites et nombreuses.
sens du fil	Le dessin de la surface du bois, qui suit le sens des fibres. Sur un contreplaqué décoratif ou du bois massif, des pièces au fil désordonné font un rendu peu naturel : on ne peut alors pas tourner les pièces de 90° dans le plan de découpe. Cette page propose de choisir le « Sens du fil ». Pour un contreplaqué de construction ou un panneau peint, « Peu importe » convient.
coupe guillotine	Une coupe droite qui traverse le panneau d’un bord à l’autre ; on recoupe ensuite les morceaux de la même façon. Les scies à panneaux des services de découpe en magasin ne font que ce type de coupe, et ce calculateur se limite donc aux plans découpables ainsi (méthode par bandes). Autoriser des coupes arrêtées en cours de route (entailles en L) permettrait parfois de serrer davantage, mais elles sont difficiles même à la scie circulaire.
méthode par bandes	Une méthode de placement qui trie les pièces de la plus haute à la plus basse et remplit le panneau de haut en bas avec des « bandes » qui le traversent. En anglais FFDH (First Fit Decreasing Height, « dans la première bande qui convient, par hauteur décroissante ») ; c’est une heuristique classique de rangement de rectangles. Les coupes traversent le panneau de bord à bord : on peut confier le plan tel quel à un service de découpe. Simple et efficace, elle ne donne pas toujours le moins de panneaux possible.
chute	Le matériau qui reste une fois les pièces découpées, comme la bande étroite au bord du panneau ou le morceau resté à droite d’une bande. Moins il y a de chutes, moins on gaspille, et plus le rendement est élevé. Les grandes chutes servent pour de petites tablettes ou des renforts.
rendement	La part du matériau réellement utilisée pour les pièces. Sur cette page, c’est « surface totale des pièces ÷ surface totale des panneaux achetés » ; il se rapproche de 100 % quand les chutes et le trait de scie diminuent. On parle aussi de taux d’utilisation.
borne inférieure	Une valeur en dessous de laquelle on ne peut pas descendre, aussi ingénieux soit-on. Le nombre minimal théorique de cette page est une borne inférieure tirée de la surface ; si le nombre de panneaux du plan lui est égal, on sait que le plan est optimal. Sinon, en découpe à deux dimensions, la forme des pièces empêche souvent de l’atteindre.
solution optimale	La meilleure réponse parmi toutes les façons possibles ; ici, le plan qui utilise le moins de panneaux. Si le nombre en regroupant égale la borne inférieure, c’est une solution optimale ; sinon, ce calculateur n’explore pas toutes les combinaisons et ne peut pas le confirmer.
heuristique	Une méthode qui donne vite une bonne réponse par des étapes fixes, sans garantie d’atteindre la solution optimale. Pour les problèmes de combinaison comme la découpe de panneaux, le nombre de placements possibles explose avec le nombre de pièces et on ne peut pas tout essayer : on utilise donc des heuristiques, même en milieu professionnel. La méthode par bandes et le calcul en grille de cette page en sont.
contreplaqué	Un panneau fait de fines feuilles de bois (placages) collées fil croisé. Il se déforme peu et existe en grands formats, d’où son usage courant en bricolage pour les étagères, caissons et supports. On trouve du contreplaqué peuplier, okoumé, bouleau, de construction (CTBX), etc. ; les épaisseurs courantes sont 5, 10, 15, 18 et 22 mm, et le format le plus courant en France est 2 500 × 1 220 mm.
MDF	Le panneau de fibres à densité moyenne (Medium Density Fiberboard), appelé aussi médium : des fibres de bois collées sous presse. Sa surface est lisse et régulière, idéale pour la peinture. Les formats courants sont 2 440 × 1 220 mm et 2 800 × 2 070 mm.
OSB	Le panneau de grandes lamelles de bois orientées et collées (Oriented Strand Board). Économique et solide, il sert surtout en construction (murs, planchers, toitures) et se vend souvent en 2 500 × 1 250 mm ou en dalles rainurées-bouvetées.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.

Division euclidienne (CM1-CM2, 9-11 ans)	Comprendre que dans « 2 500 divisé par 800 donne 3, reste 100 », le quotient dit « combien de pièces tiennent » et le reste « ce qui reste »
Valeurs approchées et arrondis (CM1-CM2, 9-11 ans)	Connaître la différence entre arrondir à l’entier inférieur, à l’entier supérieur et à l’entier le plus proche Savoir expliquer avec ses mots « pourquoi le nombre de pièces s’arrondit vers le bas et le nombre de panneaux à acheter vers le haut »
Aire du rectangle (CM1, 9-10 ans)	Savoir que l’aire d’un rectangle vaut largeur × hauteur, et convertir entre mm² et m² (\(1\,\text{m}^2 = 1\,000\,000\,\text{mm}^2\))
Proportions et pourcentages (CM2 et 6e, 10-12 ans)	Savoir exprimer une proportion en pourcentage (%), comme le rendement « surface totale des pièces ÷ surface totale des panneaux × 100 »
Calcul littéral et inéquations (5e à 3e, 12-15 ans)	Savoir écrire une condition avec des lettres, comme « \(n\) pièces tiennent si \(n \times w + (n-1) \times k \leqslant W\) » Savoir qu’ajouter le même nombre des deux côtés d’une inégalité ne change pas son sens (passage à \(n(w + k) \leqslant W + k\))

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour les pièces par panneau (une seule sorte de pièce)

Largeur du panneau (mm)	2500
Hauteur du panneau (mm)	1220
Largeur de la pièce (mm)	800
Hauteur de la pièce (mm)	500
Trait de scie (mm)	3
Nombre en largeur	=ENT((B1+B5)/(B3+B5))
Nombre en hauteur	=ENT((B2+B5)/(B4+B5))
Pièces par panneau	=B6*B7

Tableau pour les panneaux en achat séparé

Quantité de pièces	8
Pièces par panneau	6
Panneaux nécessaires	=ARRONDI.SUP(B1/B2;0)

Tableau pour la surface des chutes et le rendement

Nombre de panneaux	2
Largeur du panneau (mm)	2500
Hauteur du panneau (mm)	1220
Surface totale des pièces (mm²)	3200000
Surface des chutes (mm²)	=B1B2B3-B4
Surface des chutes (m²)	=B5/1000000
Rendement (%)	=B4/(B1B2B3)*100

Tableau pour le nombre minimal théorique d’après la surface

Somme pour toutes les pièces de (largeur + trait de scie) × (hauteur + trait de scie) (mm²)	4539531
(largeur du panneau + trait de scie) × (hauteur du panneau + trait de scie) (mm²)	3061169
Nombre minimal théorique	=ARRONDI.SUP(B1/B2;0)

Tableau pour les panneaux économisés et le coût estimé

Panneaux en achat séparé	3
Panneaux en regroupant	2
Prix d’un panneau (€)	115
Panneaux économisés	=B1-B2
Coût estimé (€)	=B3*B2

Une fois collé, les lignes du haut de la colonne B sont vos données et les lignes du bas se calculent automatiquement.
« ENT(valeur) » arrondit à l’entier inférieur (le ⌊ ⌋ des formules), et « ARRONDI.SUP(valeur;0) » arrondit à l’entier supérieur (le ⌈ ⌉ des formules).
B8 du premier tableau vaut 6 (3 en largeur × 2 en hauteur), B3 du deuxième tableau 2 panneaux, B6 du troisième tableau 2,9 m² et B7 environ 52,5 % (8 pièces de 800 × 500 mm dans 2 panneaux), B3 du quatrième tableau 2 panneaux, et le cinquième tableau donne 1 panneau économisé pour un coût de 230 €.
Le plan par la méthode par bandes lui-même demande de trier les pièces par hauteur et de les placer à la main de bande en bande : dans un tableur, servez-vous plutôt des tableaux pour vérifier le nombre de pièces, les chutes et la borne inférieure, et faites le plan sur cette page ou avec le code Python ci-dessous.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour les pièces par panneau (une seule sorte de pièce)

Largeur du panneau (mm)	2500
Hauteur du panneau (mm)	1220
Largeur de la pièce (mm)	800
Hauteur de la pièce (mm)	500
Trait de scie (mm)	3
Nombre en largeur	=ENT((B1+B5)/(B3+B5))
Nombre en hauteur	=ENT((B2+B5)/(B4+B5))
Pièces par panneau	=B6*B7

Tableau pour les panneaux en achat séparé

Quantité de pièces	8
Pièces par panneau	6
Panneaux nécessaires	=ARRONDI.SUP(B1/B2;0)

Tableau pour la surface des chutes et le rendement

Nombre de panneaux	2
Largeur du panneau (mm)	2500
Hauteur du panneau (mm)	1220
Surface totale des pièces (mm²)	3200000
Surface des chutes (mm²)	=B1B2B3-B4
Surface des chutes (m²)	=B5/1000000
Rendement (%)	=B4/(B1B2B3)*100

Tableau pour le nombre minimal théorique d’après la surface

Somme pour toutes les pièces de (largeur + trait de scie) × (hauteur + trait de scie) (mm²)	4539531
(largeur du panneau + trait de scie) × (hauteur du panneau + trait de scie) (mm²)	3061169
Nombre minimal théorique	=ARRONDI.SUP(B1/B2;0)

Tableau pour les panneaux économisés et le coût estimé

Panneaux en achat séparé	3
Panneaux en regroupant	2
Prix d’un panneau (€)	115
Panneaux économisés	=B1-B2
Coût estimé (€)	=B3*B2

Les mêmes formules qu’Excel (ENT et ARRONDI.SUP ont le même nom) fonctionnent telles quelles dans Google Sheets en français. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres de la colonne B par les vôtres.

Calculer avec Python

import math

sheet_w, sheet_h = 2500, 1220  # largeur et hauteur du panneau (mm)
kerf = 3                       # trait de scie (épaisseur de la lame, mm)
rotate = True                  # True si le sens du fil importe peu (les pièces peuvent tourner de 90°)
unit_price = 115               # prix d'un panneau (€)
# pièces à découper : (nom, largeur mm, hauteur mm, quantité)
parts = [("Dessus", 1200, 600, 2), ("Côté", 900, 550, 4), ("Rayon", 800, 450, 3)]

# panneaux si chaque pièce est achetée séparément (grille en largeur × en hauteur ; si la rotation est permise, on essaie aussi l'autre sens)
def per_sheet(w, h):
    return ((sheet_w + kerf) // (w + kerf)) * ((sheet_h + kerf) // (h + kerf))   # arrondi à l'entier inférieur (le ⌊ ⌋ des formules)
sheets_separate = 0
for name, w, h, qty in parts:
    m = max(per_sheet(w, h), per_sheet(h, w) if rotate else 0)
    sheets_separate += math.ceil(qty / m)   # arrondi à l'entier supérieur (le ⌈ ⌉ des formules)

# pièces regroupées : méthode par bandes (par hauteur décroissante, dans la première bande qui convient ; si la rotation est permise, grand côté en largeur)
pieces = []
for name, w, h, qty in parts:
    pw, ph = (max(w, h), min(w, h)) if rotate else (w, h)
    pieces += [(name, pw, ph)] * qty
pieces.sort(key=lambda p: (-p[2], -p[1]))
sheets = []   # pour chaque panneau {"y": position de la bande suivante, "shelves": [{"y", "h", "x", "parts"}]}
for name, pw, ph in pieces:
    for sheet in sheets:
        shelf = next((s for s in sheet["shelves"] if ph <= s["h"] and pw <= sheet_w - s["x"]), None)
        if shelf is None and ph <= sheet_h - sheet["y"]:
            shelf = {"y": sheet["y"], "h": ph, "x": 0, "parts": []}
            sheet["shelves"].append(shelf)
            sheet["y"] += ph + kerf
        if shelf is not None:
            shelf["parts"].append((name, shelf["x"], shelf["y"], pw, ph))
            shelf["x"] += pw + kerf
            break
    else:
        sheets.append({"y": ph + kerf, "shelves": [{"y": 0, "h": ph, "x": pw + kerf, "parts": [(name, 0, 0, pw, ph)]}]})

# chutes, rendement et borne inférieure d'après la surface
parts_area = sum(qty * w * h for name, w, h, qty in parts)
total_area = len(sheets) * sheet_w * sheet_h
lower_bound = math.ceil(sum(qty * (w + kerf) * (h + kerf) for name, w, h, qty in parts) / ((sheet_w + kerf) * (sheet_h + kerf)))

print(f"Achat séparé de chaque pièce : {sheets_separate} panneaux")
print(f"Pièces regroupées (méthode par bandes) : {len(sheets)} panneaux (borne inférieure d'après la surface : {lower_bound})")
for i, sheet in enumerate(sheets, 1):
    for shelf in sheet["shelves"]:
        print(f"  Panneau {i} bande (y={shelf['y']}) : " + ", ".join(f"{n}@x={x} {pw}x{ph}" for n, x, y, pw, ph in shelf["parts"]))
print(f"Surface des chutes : {(total_area - parts_area) / 1e6:.3f} m²  Rendement : {parts_area / total_area * 100:.1f} %")
print(f"Coût estimé : {unit_price * len(sheets)} €")

Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. « // » est la division arrondie à l’entier inférieur (le ⌊ ⌋ des formules) et math.ceil() l’arrondi à l’entier supérieur (le ⌈ ⌉). Ce code est la forme de base de la méthode par bandes (grand côté en largeur, bandes horizontales seulement) ; si le calculateur de cette page trouve moins de panneaux avec d’autres combinaisons de sens des pièces et des bandes, ou en plaçant des pièces tournées dans les bandes restantes, les nombres peuvent différer (ils sont identiques s’ils égalent la borne inférieure). Le else de la boucle for s’exécute quand la boucle se termine sans break (la pièce n’a trouvé place dans aucun panneau) et ajoute un nouveau panneau. Remplacez les dimensions du panneau, le trait de scie et la liste des pièces en haut par vos valeurs, puis lancez le code.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Pièces par panneau pour une seule sorte de pièce

c = ⌊(W + k) ÷ (w + k)⌋,  r = ⌊(H + k) ÷ (h + k)⌋,  m = c × r

c = \left\lfloor \frac{W + k}{w + k} \right\rfloor,\quad r = \left\lfloor \frac{H + k}{h + k} \right\rfloor,\quad m = c \times r

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>c</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x230A;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>W</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mrow><mi>w</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x230B;</mo>
    <mo>,</mo>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x230A;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>H</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mrow><mi>h</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x230B;</mo>
    <mo>,</mo>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>c</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>r</mi>
  </mrow>
</math>

c = |__ (W + k) / (w + k) __|,  r = |__ (H + k) / (h + k) __|,  m = c * r

c = Floor[(W + k)/(w + k)]; r = Floor[(H + k)/(h + k)]; m = c*r

c := floor((W + k)/(w + k));  r := floor((H + k)/(h + k));  m := c*r;

c = floor((W + k)/(w + k)); r = floor((H + k)/(h + k)); m = c*r;

c = ⌊(W + k)/(w + k)⌋, r = ⌊(H + k)/(h + k)⌋, m = c × r

Panneaux si chaque pièce est achetée séparément

Bᵢ = ⌈qᵢ ÷ mᵢ⌉,  Bsép = B₁ + B₂ + …

B_i = \left\lceil \frac{q_i}{m_i} \right\rceil,\quad B_{\text{sép}} = \sum_i B_i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2308;</mo>
    <mfrac><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>m</mi><mi>i</mi></msub></mfrac>
    <mo>&#x2309;</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>B</mi><mtext>sép</mtext></msub>
    <mo>=</mo>
    <munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
  </mrow>
</math>

B_i = |~ q_i / m_i ~|,  B_"sep" = sum_i B_i

Total[Ceiling[q/m]]

B := add(ceil(q[i]/m[i]), i = 1 .. n);

B = sum(ceil(q ./ m));

B_i = ⌈q_i/m_i⌉, B_sép = ∑_i B_i

Plan par la méthode par bandes (condition pour tenir dans une bande et pour empiler les bandes)

w₁ + w₂ + … + wₙ + (n − 1)k ⩽ W,  h₁ + h₂ + … + hₛ + (s − 1)k ⩽ H

\sum_{j=1}^{n} w_j + (n - 1)k \leqslant W,\quad \sum_{t=1}^{s} h_t + (s - 1)k \leqslant H

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  <mrow>
    <munderover><mo>&#x2211;</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></munderover>
    <msub><mi>w</mi><mi>j</mi></msub>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>k</mi>
    <mo>&#x2264;</mo>
    <mi>W</mi>
    <mo>,</mo>
    <munderover><mo>&#x2211;</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>s</mi></munderover>
    <msub><mi>h</mi><mi>t</mi></msub>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>k</mi>
    <mo>&#x2264;</mo>
    <mi>H</mi>
  </mrow>
</math>

sum_(j=1)^n w_j + (n - 1) k <= W,  sum_(t=1)^s h_t + (s - 1) k <= H

Total[w] + (Length[w] - 1)*k <= W && Total[h] + (Length[h] - 1)*k <= H

add(w[j], j = 1 .. n) + (n - 1)*k <= W;  add(h[t], t = 1 .. s) + (s - 1)*k <= H;

sum(w) + (numel(w) - 1)*k <= W && sum(h) + (numel(h) - 1)*k <= H

∑_(j=1)^n w_j + (n − 1)k ≤ W, ∑_(t=1)^s h_t + (s − 1)k ≤ H

Surface des chutes et rendement

Ach = B × W × H − Σ qᵢ wᵢ hᵢ,  Y = Σ qᵢ wᵢ hᵢ ÷ (B × W × H) × 100

A_{\text{ch}} = B\,W\,H - \sum_i q_i w_i h_i,\quad Y = \frac{\sum_i q_i w_i h_i}{B\,W\,H} \times 100

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>A</mi><mtext>ch</mtext></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>B</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>W</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>H</mi>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder>
    <msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>,</mo>
    <mi>Y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub></mrow>
      <mrow><mi>B</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>W</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>H</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mn>100</mn>
  </mrow>
</math>

A_"ch" = B W H - sum_i q_i w_i h_i,  Y = (sum_i q_i w_i h_i) / (B W H) * 100

{B*W*H - Total[q*w*h], Total[q*w*h]/(B*W*H)*100}

Awaste := B*W*H - add(q[i]*w[i]*h[i], i = 1 .. n);  Y := add(q[i]*w[i]*h[i], i = 1 .. n)/(B*W*H)*100;

Awaste = B*W*H - sum(q .* w .* h); Y = sum(q .* w .* h)/(B*W*H)*100;

A_ch = BWH − ∑_i q_i w_i h_i, Y = (∑_i q_i w_i h_i)/(BWH) × 100

Nombre minimal théorique d’après la surface (borne inférieure)

Bmin = ⌈Σ qᵢ (wᵢ + k)(hᵢ + k) ÷ ((W + k)(H + k))⌉

B_{\min} = \left\lceil \frac{\sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k)}{(W + k)(H + k)} \right\rceil

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>min</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2308;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><mo>(</mo><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mo>(</mo><mi>W</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>H</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x2309;</mo>
  </mrow>
</math>

B_min = |~ (sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k)) / ((W + k)(H + k)) ~|

Ceiling[Total[q*(w + k)*(h + k)]/((W + k)*(H + k))]

Bmin := ceil(add(q[i]*(w[i] + k)*(h[i] + k), i = 1 .. n)/((W + k)*(H + k)));

Bmin = ceil(sum(q .* (w + k) .* (h + k))/((W + k)*(H + k)));

B_min = ⌈(∑_i q_i (w_i + k)(h_i + k))/((W + k)(H + k))⌉

Panneaux économisés et coût estimé

Δ = Bsép − B,  T = u × B

\Delta = B_{\text{sép}} - B,\quad T = u \times B

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x394;</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>B</mi><mtext>sép</mtext></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>B</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>T</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>u</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>B</mi>
  </mrow>
</math>

Delta = B_"sep" - B,  T = u * B

{bSep - b, u*b}

Delta := Bsep - B;  T := u*B;

Delta = Bsep - B; T = u*B;

Δ = B_sép − B, T = u × B

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul pour la découpe de panneaux (plan de découpe). Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et fonde ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

Dans des panneaux de contreplaqué de 2 500 × 1 220 mm, avec un trait de scie de 3 mm et des pièces qui peuvent tourner de 90°, on découpe 2 dessus de 1 200 × 600 mm, 4 côtés de 900 × 550 mm et 3 rayons de 800 × 450 mm.
Calcule chacune des valeurs suivantes :
1. Pour chaque pièce, le nombre de pièces par panneau si l’on ne découpe que cette pièce (⌊(2500+3)÷(largeur+3)⌋ × ⌊(1220+3)÷(hauteur+3)⌋ ; calcule aussi le sens avec largeur et hauteur échangées et garde le plus grand)
2. Le nombre total de panneaux si chaque sorte de pièce est découpée dans ses propres panneaux (somme des quantités ÷ pièces par panneau, arrondies à l’entier supérieur)
3. Le nombre de panneaux et la position des pièces dans chaque panneau avec la méthode par bandes (First Fit Decreasing Height : pièces triées par hauteur décroissante, bandes qui traversent le panneau remplies de haut en bas ; dans une bande on avance de largeur + trait de scie, et les bandes descendent de hauteur + trait de scie)
4. La surface des chutes (surface totale des panneaux − surface totale des pièces) et le rendement (%)
5. Le nombre minimal théorique d’après la surface (somme pour toutes les pièces de (largeur+3) × (hauteur+3), divisée par (2500+3) × (1220+3), arrondie à l’entier supérieur)

Indique le code utilisé et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule