Calcul du TRI (taux de rendement interne à partir des flux de trésorerie)

Saisissez l’investissement initial et le flux de trésorerie de chaque année à partir de l’année 1 (l’argent reçu cette année-là). Le calculateur trouve le taux d’actualisation qui annule exactement la VAN (valeur actuelle nette) : c’est le TRI (taux de rendement interne).

Investissement initial (€)

Saisissez les sommes en euros, en chiffres uniquement. Saisissez l’investissement initial en positif (il est traité comme une sortie négative). Si vous avez investi à nouveau une année suivante, saisissez une somme négative pour cette année (par exemple -50000) ; laissez vides ou à 0 les années sans mouvement. « Ajouter une ligne » permet d’aller jusqu’à 20 ans (20 ans suffisent pour la plupart des décisions d’investissement).

Résultat et graphique

Saisissez l’investissement initial et le flux de trésorerie de chaque année à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et un graphique s’affichent ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et graphiques
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Saisissez l’investissement initial et le flux de trésorerie de chaque année (l’argent reçu cette année-là) : vous obtenez le TRI (taux de rendement interne, par an)
La durée de l’investissement, le rendement total (gain ou perte sur toute la période) et le rendement brut s’affichent en même temps
Les montants peuvent être différents chaque année, et les investissements supplémentaires en cours de route (flux négatifs) sont pris en charge
Un graphique de la VAN (valeur actuelle nette) montre d’un coup d’œil où la VAN s’annule, c’est-à-dire le TRI
Vous trouverez aussi une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python

Cette page suppose un flux de trésorerie par an. Pour le taux d’un placement à versements égaux à chaque période, la « Calculatrice financière » des pages liées (en cherchant I/Y) est pratique. Le TRI calculé ici est un calcul mathématique, sans frais ni impôts ; cette page ne recommande aucun investissement et ne constitue pas un conseil en investissement.

À quoi sert ce calcul ?

Décider d’un investissement en équipement (choix d’investissement et taux minimum exigé)

« Si nous installons une machine à 4 000 000 €, nous prévoyons 1 000 000 €, 2 000 000 € et 3 000 000 € d’économies sur 3 ans. » Avec cette estimation, le TRI est d’environ 19,4 % par an. Dans les décisions d’investissement des entreprises, l’usage classique est de comparer ce TRI au rendement minimum exigé (le taux de rentabilité minimum exigé, comme le taux d’emprunt ou le coût du capital) et de retenir le projet s’il est supérieur. Tous les manuels de finance d’entreprise en parlent.
Les flux futurs ne sont toutefois que des estimations : il est prudent de refaire le calcul avec une hypothèse pessimiste.

Évaluer un investissement locatif (loyers annuels et revente finale)

Dans un investissement immobilier, l’argent circule ainsi : on achète d’abord le bien, les loyers arrivent chaque année, et le prix de revente arrive à la fin ; les montants varient d’une année à l’autre. La force du TRI est de ramener ces flux irréguliers à un seul taux annuel, et les investisseurs immobiliers l’utilisent beaucoup pour comparer des biens.
Contrairement au rendement locatif brut (loyers ÷ prix), il tient aussi compte de la plus-value ou moins-value à la revente et des années où la vacance réduit les loyers.

Vérifier si des panneaux solaires ou un équipement économe sont rentables

Les panneaux solaires d’une maison ont des flux faits pour le TRI : on paie l’installation au départ, puis chaque année on économise sur la facture grâce à l’autoconsommation et l’on peut vendre le surplus d’électricité (en France, dans le cadre de l’obligation d’achat, avec EDF OA). Par exemple, si l’installation coûte 9 000 €, listez les gains annuels et calculez le TRI : vous comparez l’équipement à un livret ou à un placement sur la même échelle, « cet équipement équivaut à un placement à X % par an ».
Le résultat change avec les hypothèses (prix de l’électricité, tarif de rachat, durée de vie de l’installation) : calculez plutôt plusieurs scénarios.

Mesurer la performance des fonds et des fusions-acquisitions (métiers de la finance)

Pour les fonds d’investissement comme le capital-risque et le capital-investissement (private equity), le TRI est l’indicateur de référence de la performance. Le moment où l’argent est appelé auprès des investisseurs et celui où il leur est rendu varient d’un fonds à l’autre : seul le TRI, qui tient compte du temps, permet une comparaison équitable.
Les banques d’affaires et les entreprises qui étudient une fusion-acquisition calculent aussi le TRI à partir du prix d’achat et du plan de résultats futurs pour décider de se lancer. C’est l’un des premiers calculs qu’on apprend quand on vise un métier de la finance.

Voir en chiffres que l’argent qui revient tôt vaut plus

Supposons deux investissements A et B qui coûtent chacun 100 000 € et rapportent chacun 150 000 € au total sur 5 ans (rendement total de 50 000 €, rendement brut de 50 %). A rapporte davantage au début (5 000 €, 20 000 €, 25 000 €, 40 000 €, 60 000 €), B surtout à la fin (0 €, 10 000 €, 30 000 €, 30 000 €, 80 000 €).
Les totaux sont les mêmes, mais le TRI de A est de 11,290 % par an et celui de B de 10,259 % : A, qui rend l’argent plus tôt, l’emporte. L’argent qui revient peut être réinvesti. Le TRI montre en chiffres cette valeur temps de l’argent.

Formules et graphiques

Ramener une somme reçue dans \(t\) ans à sa valeur d’aujourd’hui (valeur actuelle)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(PV\) \(=\) \(CF_t\) \(\div\) \((1+r)\) \(t\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(PV\) : valeur actuelle \(=\) ① \(CF_t\) : flux de trésorerie de l’année \(t\) \(\div\) ② coefficient d’actualisation d’une année \((1+r)\) ③ \(t\) : années

La formule en mots

① On prend le \(CF_t\) : flux de trésorerie de l’année \(t\)

② et on le divise par le coefficient d’actualisation d’une année \((1+r)\) (\(r\) est le taux d’actualisation)

③ multiplié par lui-même autant de fois qu’il y a d’ \(t\) : années

④ et on obtient la \(PV\) : valeur actuelle

Exemple simple

À un taux d’actualisation de 10 %, la valeur actuelle de 1 210 000 € reçus dans 2 ans est (en unités de 10 000 €)

\(PV\) : valeur actuelle \(=\) somme dans 2 ans (1 210 000 €) \(\div\) coefficient d’actualisation (1,1) années (2)

\(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\)

\(121 \div 1{,}21 = 100\)

L’idée clé

Si l’argent peut rapporter 10 % par an, « 1 000 000 € aujourd’hui » et « 1 210 000 € dans 2 ans » ont la même valeur. Ramener une somme future à sa valeur d’aujourd’hui s’appelle l’actualisation, et le taux annuel \(r\) utilisé s’appelle le taux d’actualisation. L’argent a une valeur dans le temps : c’est l’idée sur laquelle repose le TRI.

Formule de la VAN (valeur actuelle nette)

Figure

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\mathrm{NPV}\) \(=\) \(CF_0\) \(+\) \(\displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ NPV : VAN, valeur actuelle nette \(=\) ① \(CF_0\) : investissement initial (valeur négative) \(+\) ② somme des valeurs actuelles des flux de l’année 1 à l’année \(n\)

La formule en mots

① À l’ \(CF_0\) : investissement initial (de l’argent payé, donc négatif)

② on ajoute la somme des valeurs actuelles des flux de chaque année (l’argent de chaque année ramené à aujourd’hui avec la formule 1, puis tout additionné)

③ et on obtient la VAN : valeur actuelle nette

Exemple simple

À un taux d’actualisation de 10 %, la VAN d’un investissement de 1 000 000 € qui rapporte 550 000 € l’année 1 et 605 000 € l’année 2 est (en unités de 10 000 €)

VAN : valeur actuelle nette \(=\) investissement initial (−1 000 000 €) \(+\) somme des valeurs actuelles de 550 000 € et 605 000 €

\(55 \div 1{,}1 = 50\)

\(60{,}5 \div 1{,}21 = 50\)

\(-100 + 50 + 50 = 0\)

L’idée clé

La VAN, c’est ce que l’on obtient en ramenant à aujourd’hui toutes les entrées et sorties d’argent d’un investissement, puis en les additionnant. Positive, l’investissement fait mieux que le taux d’actualisation \(r\) ; négative, moins bien ; nulle, exactement autant que \(r\). Dans l’exemple, la VAN est exactement nulle car cet investissement rapporte exactement 10 % par an.

Définition du TRI (taux de rendement interne)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(\mathrm{NPV}(\mathrm{IRR})\) \(=\) \(0\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

① VAN calculée avec le TRI (\(\mathrm{IRR}\)) comme taux d’actualisation \(=\) ② exactement \(0\)

La formule en mots

① La VAN calculée avec le TRI (\(\mathrm{IRR}\)) comme taux d’actualisation

② vaut exactement \(0\) . Le taux d’actualisation qui vérifie cette égalité est le taux de rendement interne, le TRI : il indique le rendement par an de l’investissement

Exemple simple

Pour l’investissement de 1 000 000 € qui rapporte 550 000 € l’année 1 et 605 000 € l’année 2, la VAN est exactement nulle à un taux d’actualisation de 10 %, comme dans l’exemple de la formule 2, donc

VAN (à un taux d’actualisation de 10 %) \(=\) exactement 0

\(\mathrm{IRR} = 0{,}10\ \ (10\,\%)\)

L’idée clé

Cette équation ne peut pas être transformée pour isoler le TRI (\(\mathrm{IRR}=\cdots\)) : elle devient une équation de degré \(n\). À la place, un ordinateur fait varier petit à petit le taux d’actualisation \(r\), calcule la VAN et cherche où elle s’annule (une méthode numérique). Le calculateur de cette page procède de la même façon. Une précaution : quand les signes (plus et moins) des flux changent deux fois ou plus, par exemple « investir → recevoir → réinvestir beaucoup », plusieurs taux d’actualisation peuvent annuler la VAN (le problème des TRI multiples). Le calculateur affiche alors un avertissement. Pour ces investissements, la pratique habituelle est de décider avec la VAN et non avec le TRI.

Rendement total et rendement brut

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(TR\) \(=\) \(S\) \(-\) \(C_0\)

\(G\) \(=\) \(TR\) \(\div\) \(C_0\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(TR\) : rendement total \(=\) ① \(S\) : total reçu \(-\) ② \(C_0\) : investissement initial

⑤ \(G\) : rendement brut \(=\) \(TR\) : rendement total \(\div\) ④ \(C_0\) : investissement initial

La formule en mots

① Du \(S\) : total reçu

② on retire l’ \(C_0\) : investissement initial

③ pour obtenir le \(TR\) : rendement total (le gain ou la perte sur toute la période). On le divise à nouveau par l’

④ \(C_0\) : investissement initial

⑤ et on obtient le \(G\) : rendement brut (multipliez par 100 pour l’écrire en %)

Exemple simple

Si vous investissez 4 000 000 € et recevez 1 000 000 € l’année 1, 2 000 000 € l’année 2 et 3 000 000 € l’année 3 (en unités de 10 000 €)

\(TR\) : rendement total \(=\) total reçu (6 000 000 €) \(-\) investissement initial (4 000 000 €)

\(100 + 200 + 300 = 600\)

\(600 - 400 = 200\)

\(200 \div 400 = 0{,}5\ \ (50\,\%)\)

L’idée clé

Le rendement brut est le % gagné par rapport à l’investissement sur toute la période, sans tenir compte du temps. Gagner 50 % en 3 ans ou en 10 ans, ce n’est pas du tout pareil. Le TRI tient compte de la valeur temps de l’argent et ramène le résultat à un rendement par an : c’est la valeur principale de cette page. D’ailleurs, dans cet exemple, le rendement brut est de 50 % mais le TRI est de 19,438 % par an.

Le TRI (taux de rendement interne) est le taux d’actualisation qui annule exactement la VAN (valeur actuelle nette) : c’est le rendement par an de l’investissement. Il ne s’isole pas par transformation de la formule, on le trouve donc numériquement en faisant varier petit à petit le taux. À rendement total égal, plus l’argent revient tôt, plus le TRI est élevé.

Symboles et termes

Symboles

IRR	I R R (TRI)	Le taux de rendement interne (TRI ; en anglais « internal rate of return »). Le taux d’actualisation qui annule exactement la VAN ; il indique le rendement par an de l’investissement. (Exemple : investir 4 000 000 € et recevoir 1 000 000 €, 2 000 000 € et 3 000 000 € sur 3 ans donne un TRI de 19,438 % par an.)
NPV	N P V (VAN)	La valeur actuelle nette (VAN ; en anglais « net present value »). Toutes les entrées et sorties d’argent d’un investissement, ramenées à aujourd’hui et additionnées. Si elle est positive, l’investissement fait mieux que le taux d’actualisation.
\(CF_t\)	C F indice t	Le flux de trésorerie de l’année \(t\). L’argent reçu cette année-là (négatif s’il s’agit d’argent payé).
\(CF_0\)	C F indice zéro	Le flux de trésorerie de l’année 0 (maintenant). L’investissement initial est de l’argent payé, donc négatif. Dans ce calculateur, vous le saisissez en positif et il est traité comme négatif.
\(r\)	r	Le taux d’actualisation. Le taux annuel utilisé pour ramener une somme future à aujourd’hui. Le TRI est le \(r\) particulier qui annule la VAN.
\(t\)	t	Le numéro de l’année. Il indique l’année de chaque somme, l’investissement étant l’année 0.
\(n\)	n	La durée de l’investissement en années. L’année du dernier flux de trésorerie.
\(PV\)	P V	La valeur actuelle (en anglais « present value »). Une somme future ramenée à sa valeur d’aujourd’hui.
\(S\)	S	Le total reçu. Tous les flux de l’année 1 à l’année \(n\) additionnés (les investissements supplémentaires sont ajoutés en négatif).
\(TR\)	T R	Le rendement total (en anglais « total return »). Le total reçu moins l’investissement initial, soit le gain ou la perte sur toute la période.
\(G\)	G	Le rendement brut (en anglais « gross return ») : le rendement total en % de l’investissement initial, sur toute la période et sans tenir compte du temps. Attention : pour les fonds, « rendement brut » désigne souvent autre chose, le rendement avant frais.

Termes

flux de trésorerie	L’argent qui entre ou qui sort. L’argent reçu est un nombre positif, l’argent payé un nombre négatif. Pour le TRI, le moment et le montant comptent tous les deux.
taux d’actualisation	Le taux annuel utilisé pour ramener une somme future à sa valeur d’aujourd’hui (l’actualiser). Par exemple : 110 000 € dans un an, actualisés à 10 % par an, valent 100 000 € aujourd’hui.
valeur actuelle	Ce que vaut aujourd’hui une somme future. Comme l’argent a une valeur dans le temps, plus on reçoit tard le même 1 000 000 €, plus sa valeur actuelle est faible.
VAN (valeur actuelle nette)	La somme des valeurs actuelles de tous les flux d’un investissement (en anglais NPV). Une VAN positive signifie que l’investissement rapporte plus que le taux d’actualisation. C’est l’outil de base des décisions d’investissement.
TRI (taux de rendement interne)	Le taux d’actualisation qui annule exactement la VAN (en anglais IRR). Il résume en un seul nombre le rendement annuel équivalent de l’investissement ; on l’utilise beaucoup pour évaluer des projets d’entreprise et des biens immobiliers.
taux de rentabilité minimum exigé	Le rendement minimum qu’on exige d’un investissement (par exemple le coût du capital). En pratique, un projet est retenu si son TRI dépasse ce taux.
TRI multiples	Une propriété mathématique : quand les signes des flux changent deux fois ou plus, deux taux d’actualisation ou plus peuvent annuler la VAN. Le TRI seul ne permet alors pas de décider : on décide avec la VAN.
méthode numérique	Une façon de résoudre une équation qu’on ne peut pas résoudre en la transformant : un ordinateur essaie des valeurs petit à petit et se rapproche de la réponse. Le TRI se calcule ainsi (dichotomie, méthode de Newton, etc.).

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.

Pourcentages (CM2-6e, 10-12 ans)	Savoir qu’une proportion se calcule par « partie ÷ total » Savoir passer d’un décimal à un pourcentage, comme 0,5 et 50 %
Nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans)	Écrire un paiement (de l’argent qui sort) avec un nombre négatif Savoir additionner des nombres positifs et négatifs
Puissances (4e, 13-14 ans)	Savoir qu’une puissance est une multiplication répétée du même nombre, comme \(1{,}1^2 = 1{,}1 \times 1{,}1\) Sentir que multiplier encore et encore par un nombre plus grand que 1 fait grandir le résultat
La notion d’équation (4e-3e, 13-15 ans)	Comprendre qu’une équation, c’est chercher la valeur d’une lettre qui rend l’égalité vraie Savoir que certaines équations ne se résolvent pas en les transformant, et qu’on peut alors s’approcher de la réponse en essayant des valeurs (une méthode numérique)
Intérêts composés et valeur temps de l’argent (lycée, 15-18 ans)	Savoir qu’un argent placé au taux annuel \(r\) est multiplié par \((1+r)\) chaque année Savoir qu’à l’inverse, diviser une somme future par \((1+r)\) la ramène à sa valeur d’aujourd’hui (l’actualisation et la valeur actuelle)

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour la valeur actuelle d’une somme reçue dans t ans

Somme reçue dans t ans (€)	110000
Taux d’actualisation (%)	10
Années t	1
Valeur actuelle (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tableau pour la VAN (valeur actuelle nette)

Investissement initial (en négatif)	-1000000
Flux de trésorerie de l’année 1	550000
Flux de trésorerie de l’année 2	605000
Taux d’actualisation (%)	10
VAN (€)	=VAN(B4/100;B2:B3)+B1

Tableau pour le TRI (taux de rendement interne)

Investissement initial (en négatif)	-4000000
Flux de trésorerie de l’année 1	1000000
Flux de trésorerie de l’année 2	2000000
Flux de trésorerie de l’année 3	3000000
TRI (%)	=TRI(B1:B4)*100

Tableau pour le rendement total et le rendement brut

Investissement initial	4000000
Total reçu	6000000
Rendement total (€)	=B2-B1
Rendement brut (%)	=(B2-B1)/B1*100

Excel dispose d’une fonction dédiée au TRI. Comme dans le troisième tableau, donnez la liste des flux, investissement initial en négatif, à « =TRI(B1:B4) » : vous obtenez environ 19,438 (%) dans l’exemple.
La fonction VAN du deuxième tableau cache un piège bien connu : la plage de la fonction VAN d’Excel ne doit contenir que l’argent à partir de l’année 1 ; l’investissement initial (année 0) s’ajoute en dehors de la fonction (l’exemple donne exactement 0).
Le premier tableau donne exactement 100 000, et le quatrième un rendement total de 2 000 000 et un rendement brut de 50 %. Il suffit de remplacer la colonne B par vos propres valeurs.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour la valeur actuelle d’une somme reçue dans t ans

Somme reçue dans t ans (€)	110000
Taux d’actualisation (%)	10
Années t	1
Valeur actuelle (€)	=B1/(1+B2/100)^B3

Tableau pour la VAN (valeur actuelle nette)

Investissement initial (en négatif)	-1000000
Flux de trésorerie de l’année 1	550000
Flux de trésorerie de l’année 2	605000
Taux d’actualisation (%)	10
VAN (€)	=VAN(B4/100;B2:B3)+B1

Tableau pour le TRI (taux de rendement interne)

Investissement initial (en négatif)	-4000000
Flux de trésorerie de l’année 1	1000000
Flux de trésorerie de l’année 2	2000000
Flux de trésorerie de l’année 3	3000000
TRI (%)	=TRI(B1:B4)*100

Tableau pour le rendement total et le rendement brut

Investissement initial	4000000
Total reçu	6000000
Rendement total (€)	=B2-B1
Rendement brut (%)	=(B2-B1)/B1*100

Google Sheets en français propose les mêmes formules et les mêmes fonctions TRI et VAN qu’Excel. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1, puis remplacez la colonne B par vos propres valeurs.

Calculer avec Python

initial_investment = 4000000                     # investissement initial (€)
cash_flows = [1000000, 2000000, 3000000]         # flux de trésorerie de chaque année à partir de l'année 1 (€)

# VAN (valeur actuelle nette) : ramener chaque flux à aujourd'hui et tout additionner
def npv(rate, cfs):
    return sum(cf / (1 + rate) ** t for t, cf in enumerate(cfs))

cfs = [-initial_investment] + cash_flows

# Chercher par dichotomie le taux d'actualisation qui annule la VAN (le TRI)
# (version simple pour les investissements ordinaires dont les signes ne changent qu'une fois)
low, high = -0.9999, 10.0
for _ in range(200):
    mid = (low + high) / 2
    if npv(low, cfs) * npv(mid, cfs) <= 0:
        high = mid
    else:
        low = mid
irr = (low + high) / 2

total_return = sum(cash_flows) - initial_investment
gross_return = total_return / initial_investment * 100

print(f"TRI : {irr * 100:.3f} %")
print(f"Rendement total : {total_return} €")
print(f"Rendement brut : {gross_return:.3f} %")

Fonctionne avec la seule bibliothèque standard. Le TRI ne s’isole pas par transformation de la formule, il est donc cherché par dichotomie (une méthode numérique qui coupe l’intervalle en deux, encore et encore, pour se rapprocher de la réponse). Modifiez l’investissement initial et la liste des flux en haut, puis lancez le code (l’exemple donne 19,438 % ; Python affiche les décimales avec un point).

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Ramener une somme reçue dans \(t\) ans à sa valeur d’aujourd’hui (valeur actuelle)

PV = CFₜ ÷ (1 + r)ᵗ

PV = \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>PV</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

PV = (CF_t) / ((1 + r)^t)

cf/(1 + r)^t

PV := cf/(1 + r)^t;

PV = cf/(1 + r)^t;

PV = CF_t/(1 + r)^t

Formule de la VAN (valeur actuelle nette)

NPV = CF₀ + CF₁/(1 + r)¹ + … + CFₙ/(1 + r)ⁿ

\mathrm{NPV} = \sum_{t=0}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+r)^{t}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>NPV</mi>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

NPV = sum_(t=0)^n (CF_t) / ((1 + r)^t)

Sum[cf[t]/(1 + r)^t, {t, 0, n}]

NPV := sum(cf(t)/(1 + r)^t, t = 0 .. n);

NPV = sum(cf ./ (1 + r).^(0:n));

NPV = ∑_(t=0)^n CF_t/(1 + r)^t

Définition du TRI (taux de rendement interne)

CF₀ + CF₁/(1 + IRR)¹ + … + CFₙ/(1 + IRR)ⁿ = 0

\sum_{t=0}^{n} \dfrac{CF_t}{(1+\mathrm{IRR})^{t}} = 0

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <mfrac>
      <msub><mi>CF</mi><mi>t</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>IRR</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>t</mi>
      </msup>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

sum_(t=0)^n (CF_t) / ((1 + IRR)^t) = 0

Solve[Sum[cf[t]/(1 + x)^t, {t, 0, n}] == 0, x]

solve(sum(cf(t)/(1 + x)^t, t = 0 .. n) = 0, x);

solve(sum(cf ./ (1 + x).^(0:n)) == 0, x)

∑_(t=0)^n CF_t/(1 + IRR)^t = 0

Rendement total et rendement brut

G = (S − C₀) ÷ C₀

G = \dfrac{S - C_0}{C_0}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>G</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>S</mi><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>C</mi><mn>0</mn></msub></mrow>
      <msub><mi>C</mi><mn>0</mn></msub>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

G = (S - C_0) / C_0

(s - c0)/c0

G := (s - c0)/c0;

G = (s - c0)/c0;

G = (S − C_0)/C_0

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul d’investissement. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

J’ai investi 4 000 000 € et reçu 1 000 000 € l’année 1, 2 000 000 € l’année 2 et 3 000 000 € l’année 3.
Trouve :
1. Le TRI (taux de rendement interne, en %, avec 3 décimales) = le r qui annule VAN(r) = -4000000 + 1000000/(1+r) + 2000000/(1+r)^2 + 3000000/(1+r)^3
2. Le rendement total (en euros)
3. Le rendement brut (en %, avec 3 décimales)

Montre les formules utilisées et les nombres issus de l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule