Choisissez ce que vous cherchez dans la liste, entrez la base a et l’exposant k, puis appuyez sur « Calculer ». La réponse est donnée de deux façons : à la main avec une valeur approchée donnée (comme log₁₀ 2 ≈ 0,3010), et exactement à partir de la valeur complète.
Dans les modes « nombre de chiffres » et « premier chiffre », a est un nombre entier de 2 à 1 000 000. Dans le mode « rang après la virgule », a est un nombre décimal strictement compris entre 0 et 1 (6 décimales au maximum). L’exposant k est un nombre entier de 1 à 10 000.
Résultat et graphique
Saisissez la base et l’exposant dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et une droite graduée des puissances de 10 s’affichent ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et figures
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Saisissez la base \(a\) et l’exposant \(k\) : vous savez aussitôt combien de chiffres compte une énorme puissance \(a^k\) comme \(2^{100}\)
- Deux réponses : l’une à la main, avec une valeur approchée donnée comme \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\) (la méthode des exercices de Terminale), l’autre exacte, en calculant la valeur complète. Les étapes suivent l’ordre d’une copie rédigée
- Un autre mode trouve le premier chiffre (le chiffre le plus à gauche) grâce à la partie décimale du logarithme décimal
- Pour une puissance d’un nombre décimal inférieur à 1, comme \(0{,}5^{100}\), la calculatrice trouve à quel rang après la virgule apparaît le premier chiffre non nul
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page
Cette page traite les puissances de nombres entiers (nombre de chiffres et premier chiffre) et les puissances de nombres décimaux inférieurs à 1 (rang du premier chiffre non nul après la virgule).
À quoi sert ce calcul ?
Estimer la taille d’une clé de chiffrement en chiffres (informatique et sécurité)
Le chiffrement RSA, qui protège les communications sur Internet, utilise des clés dites « de 2048 bits ». Un nombre de 2048 bits est de l’ordre de \(2^{2048}\), et d’après \(2048 \times \log_{10} 2 \approx 616{,}5\), il s’écrit avec 617 chiffres.
La conversion « nombre de bits × 0,3010 ≈ nombre de chiffres en base 10 » est exactement le calcul de cette page. Cette estimation montre à quel point il est irréaliste de casser une telle clé en essayant toutes les possibilités.
Multiplication des bactéries et prévention des intoxications alimentaires (hygiène)
Dans de bonnes conditions, certaines bactéries se divisent environ toutes les 20 minutes. Si ce rythme durait 24 heures, il y aurait 72 divisions, et 1 bactérie deviendrait \(2^{72}\) bactéries. D’après \(72 \times 0{,}3010 \approx 21{,}7\), c’est un nombre à 22 chiffres (environ \(4{,}7 \times 10^{21}\)).
En réalité, le manque de nourriture et de place arrête la croissance à un moment. Mais une seule multiplication avec le logarithme décimal montre que des bactéries laissées à elles-mêmes se multiplient par de nombreuses puissances de dix. C’est pourquoi il faut mettre les aliments au réfrigérateur rapidement.
Plier une feuille jusqu’à la Lune ? (sentir la croissance exponentielle)
Chaque fois qu’on plie une feuille de papier de 0,1 mm d’épaisseur, son épaisseur double. Si on pouvait la plier 42 fois, elle atteindrait \(0{,}1 \times 2^{42}\) mm \(\approx\) 440 000 km, plus que la distance de la Terre à la Lune (environ 384 000 km).
En réalité, on ne peut plier une feuille que 7 ou 8 fois : c’est une expérience de pensée. Mais la vitesse à laquelle les chiffres s’ajoutent quand on double sans cesse se prévoit exactement avec la formule simple \(k \times \log_{10} 2\), ce qui permet de confronter son intuition aux nombres.
Détecter la fraude dans les données comptables (loi de Benford)
Dans des montants collectés naturellement, le premier chiffre vaut 1 dans environ 30,1 % des cas (exactement \(\log_{10} 2\)), 2 dans environ 17,6 % des cas, etc. Cette répartition déséquilibrée s’appelle la loi de Benford.
Les nombres inventés s’en écartent souvent : les auditeurs et les enquêteurs antifraude s’en servent comme contrôle. L’idée de cette page, « le premier chiffre dépend de la partie décimale du logarithme décimal », est la base de cette loi.
Le langage des puissances de dix en sciences (physique, chimie et astronomie)
Les sciences écrivent les nombres trop grands ou trop petits sous forme de puissances de 10 (notation scientifique), comme la distance au Soleil, environ 1,496×10⁸ km, ou la taille d’un atome d’hydrogène, environ 1×10⁻¹⁰ m.
L’exposant de 10 est exactement la partie entière du logarithme décimal : c’est le sens même du nombre de chiffres. L’astronomie et la chimie (le nombre d’Avogadro vaut environ 6×10²³) sont idéales pour s’entraîner à penser en ordres de grandeur.
Formules et figures
Logarithme décimal d’une puissance (l’exposant passe devant)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\log_{10} a^{k}\)
\(=\)
\(k\)
\(\times\)
\(\log_{10} a\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(\log_{10}{a^k}\) : logarithme décimal de la puissance
\(=\)
①
\(k\) : exposant
\(\times\)
②
\(\log_{10}{a}\) : logarithme décimal de la base
La formule en mots
①
On multiplie
\(k\) : exposant
②
par le
\(\log_{10}{a}\) : logarithme décimal de la base \(a\)
③
et on obtient le
\(\log_{10}{a^k}\) : logarithme décimal de la puissance \(a^k\)
Exemple simple
Avec \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\), le logarithme décimal de \(2^{100}\) vaut
logarithme décimal de \(2^{100}\)
\(=\)
exposant 100
\(\times\)
logarithme décimal de 2 (environ 0,3010)
\(\log_{10} 2^{100} = 100 \times \log_{10} 2 \approx 100 \times 0{,}3010 = 30{,}10\)
L’idée clé
Calculer \(2^{100}\) en multipliant vraiment demande 99 multiplications. Avec le logarithme décimal (le logarithme de base 10), une seule multiplication, « exposant × \(\log_{10} 2\) », donne l’ordre de grandeur du nombre (10 puissance combien, environ). Le logarithme fait les multiplications répétées à votre place : c’est sa grande force.
\(\log_{10} 2 = 0{,}30102\ldots\) a une infinité de décimales, donc à la main on utilise une valeur approchée à 4 décimales, comme 0,3010. Dans les exercices, elle est en général donnée dans l’énoncé : « on donne \(\log 2 \approx 0{,}3010\) ».
Nombre de chiffres (\(10^{n-1} \leqslant N < 10^n\) ⇔ \(n\) chiffres)
Figure (droite graduée des puissances de 10)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(10^{n-1}\)
\(\leqslant\)
\(N\)
\(<\)
\(10^{n}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(10^{n-1}\) : plus petit nombre à \(n\) chiffres
\(\leqslant\)
①
\(N\) : nombre étudié
\(<\)
③
\(10^{n}\) : plus petit nombre à \(n+1\) chiffres
La formule en mots
①
Quand l’entier
\(N\) : nombre étudié
est supérieur ou égal au
②
\(10^{n-1}\) : plus petit nombre à \(n\) chiffres (un 1 suivi de \(n-1\) zéros)
et strictement inférieur au
③
\(10^{n}\) : plus petit nombre à \(n+1\) chiffres
, \(N\) s’écrit avec exactement \(n\) chiffres
Exemple simple
De \(\log_{10} 2^{100} \approx 30{,}10\), on déduit \(2^{100} \approx 10^{30{,}10}\), donc
plus petit nombre à 31 chiffres \(10^{30}\)
\(\leqslant\)
nombre étudié \(2^{100}\)
\(<\)
plus petit nombre à 32 chiffres \(10^{31}\)
\(30 \leqslant 30{,}10 < 31\)
\(10^{30} \leqslant 2^{100} < 10^{31}\)
L’idée clé
Les nombres à 1 chiffre vont de 1 à 9 (\(10^0 \leqslant N < 10^1\)), les nombres à 2 chiffres de 10 à 99 (\(10^1 \leqslant N < 10^2\)), et ainsi de suite. Chaque chiffre de plus augmente de 1 l’exposant de 10. Donc si \(N\) est compris entre \(10^{n-1}\) et \(10^n\), il a \(n\) chiffres.
Dans le langage des logarithmes décimaux : « le nombre de chiffres \(n\) est la partie entière de \(\log_{10}{N}\) plus 1 ». La partie entière de \(\log_{10} 2^{100} \approx 30{,}10\) vaut 30, donc \(2^{100}\) a 31 chiffres.
Premier chiffre (d’après la partie décimale du logarithme décimal)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\log_{10} d\)
\(\leqslant\)
\(f\)
\(<\)
\(\log_{10} (d+1)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(\log_{10} d\) : logarithme décimal du premier chiffre
\(\leqslant\)
①
\(f\) : partie décimale de \(\log_{10}{a^k}\)
\(<\)
③
\(\log_{10} (d+1)\) : logarithme décimal du chiffre suivant
La formule en mots
①
Quand la
\(f\) : partie décimale du logarithme décimal
est supérieure ou égale au
②
\(\log_{10} d\) : logarithme décimal du premier chiffre \(d\)
et strictement inférieure au
③
\(\log_{10} (d+1)\) : logarithme décimal du chiffre suivant \(d+1\)
, le premier chiffre est \(d\)
Exemple simple
La partie décimale de \(\log_{10} 2^{100} \approx 30{,}10\) vaut \(0{,}10\). Elle est comprise entre \(\log_{10} 1 = 0\) et \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\), donc
logarithme décimal de 1 (0)
\(\leqslant\)
partie décimale 0,10
\(<\)
logarithme décimal de 2 (environ 0,3010)
\(0 \leqslant 0{,}10 < 0{,}3010\)
\(1 \leqslant 10^{0{,}10} < 2\)
L’idée clé
On sépare \(2^{100} \approx 10^{30{,}10} = 10^{30} \times 10^{0{,}10}\). La partie entière, \(10^{30}\), décide seulement du nombre de zéros qui suivent (la position des chiffres) ; elle ne change pas les chiffres eux-mêmes. C’est la partie décimale, \(10^{0{,}10}\), qui décide du premier chiffre.
Comme \(1 \leqslant 10^{0{,}10} < 2\), \(2^{100}\) est de la forme \(1{,}\ldots \times 10^{30}\) : son premier chiffre est 1. Pour le trouver, on compare la partie décimale à « l’échelle des logarithmes décimaux de 1 à 9 » : \(\log_{10} 1 = 0\), \(\log_{10} 2 \approx 0{,}3010\), \(\log_{10} 3 \approx 0{,}4771\), etc.
Nombres inférieurs à 1 (\(10^{-m} \leqslant N < 10^{-m+1}\) ⇔ rang \(m\) après la virgule)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(10^{-m}\)
\(\leqslant\)
\(N\)
\(<\)
\(10^{-m+1}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(10^{-m}\) : premier 1 au rang \(m\) après la virgule
\(\leqslant\)
①
\(N\) : nombre étudié
\(<\)
③
\(10^{-m+1}\) : ce nombre multiplié par 10
La formule en mots
①
Quand un nombre inférieur à 1, le
\(N\) : nombre étudié
, est supérieur ou égal au
②
\(10^{-m}\) : nombre dont le premier 1 est au rang \(m\) après la virgule (de la forme 0,00…01)
et strictement inférieur à
③
\(10^{-m+1}\) : ce nombre multiplié par 10
, le premier chiffre non nul de \(N\) apparaît au rang \(m\) après la virgule
Exemple simple
Comme \(\log_{10} 0{,}5^{100} \approx 100 \times (-0{,}3010) = -30{,}10\),
premier 1 au rang 31 après la virgule \(10^{-31}\)
\(\leqslant\)
nombre étudié \(0{,}5^{100}\)
\(<\)
ce nombre multiplié par 10 \(10^{-30}\)
\(-31 \leqslant -30{,}10 < -30\)
\(10^{-31} \leqslant 0{,}5^{100} < 10^{-30}\)
L’idée clé
Pour les nombres inférieurs à 1, le logarithme décimal est négatif (\(\log_{10} 0{,}1 = -1\), \(\log_{10} 0{,}01 = -2\), etc.). L’idée est la même que pour le nombre de chiffres : on encadre \(N\) par deux puissances de 10.
Attention à « la partie entière d’un nombre négatif ». La partie entière est l’entier le plus proche à gauche sur la droite graduée : celle de \(-30{,}10\) vaut \(-31\), et non \(-30\). Une erreur ici décale la réponse de 1. Dans cet exemple, \(-31 \leqslant -30{,}10 < -30\), donc le premier chiffre non nul de \(0{,}5^{100}\) apparaît au 31e rang après la virgule.
Un entier \(N\) a \(n\) chiffres quand \(10^{n-1} \leqslant N < 10^n\). Le nombre de chiffres de \(a^k\) est donc simplement la partie entière du logarithme décimal \(\log_{10}{a^k} = k \log_{10}{a}\), plus 1. La partie décimale donne le premier chiffre, et pour un nombre inférieur à 1, la même idée indique à quel rang après la virgule apparaît le premier chiffre non nul.
Symboles et termes
Symboles
| \(\log_{10} N\) | logarithme décimal de N (log N) | Le logarithme décimal de \(N\) (le logarithme de base 10). Il indique « 10 puissance combien donne \(N\) ». En France, on l’écrit souvent \(\log N\), sans le 10. log est l’abréviation de logarithme. |
| \(N\) | N | Le nombre étudié, par exemple pour son nombre de chiffres. C’est l’initiale de « nombre ». Sur cette page, c’est la puissance \(a^k\). |
| \(a\) | a | La base (le nombre multiplié). Par convention, on utilise les premières lettres de l’alphabet pour les nombres fixés. |
| \(k\) | k | L’exposant (le nombre de facteurs). Dans \(2^{100}\), c’est 100. |
| \(n\) | n (minuscule) | Le nombre de chiffres. C’est l’initiale de « nombre », souvent utilisée pour compter. |
| \(10^n\) | 10 puissance n | Le produit de \(n\) facteurs égaux à 10 : un 1 suivi de \(n\) zéros (\(10^3 = 1000\)). C’est le plus petit nombre à \(n+1\) chiffres. |
| \(f\) | f | La partie décimale du logarithme décimal (de l’anglais fractional part). Le premier chiffre ne dépend que de ce \(f\). |
| \(d\) | d | Le premier chiffre (le chiffre le plus à gauche), de l’anglais digit (chiffre). |
| \(m\) | m | Le rang après la virgule où apparaît le premier chiffre non nul. Il indique « à quel point » un nombre inférieur à 1 est petit. |
| \(\lfloor x \rfloor\) | partie entière de x (E(x)) | La partie entière de \(x\) : le plus grand entier inférieur ou égal à \(x\). On la note aussi \(E(x)\). Attention aux nombres négatifs : \(\lfloor -30{,}10 \rfloor = -31\). |
Termes
| logarithme décimal | Le logarithme de base 10, \(\log_{10} x\) (noté log x en France). Il indique « 10 puissance combien donne \(x\) » et il est directement lié au nombre de chiffres en écriture décimale. Il est étudié en Terminale. |
| logarithme | Le nombre qui indique à quelle puissance élever la base pour obtenir un nombre donné. C’est exactement l’opération inverse d’une puissance. |
| argument (nombre dans le log) | Le nombre dont on prend le logarithme, le \(N\) de \(\log_{10}{N}\). Seuls les nombres strictement positifs sont acceptés. |
| base | Le nombre \(a\) sur lequel une puissance \(a^k\) ou un logarithme \(\log_{a} x\) est construit. Sur cette page, c’est le champ « Base a ». Le logarithme décimal a pour base 10. |
| nombre de chiffres | Le nombre de chiffres qu’il faut pour écrire un entier. 1024 s’écrit avec 4 chiffres. En termes mathématiques : « un entier supérieur ou égal à \(10^{n-1}\) et strictement inférieur à \(10^n\) a \(n\) chiffres ». |
| premier chiffre (chiffre de tête) | Le chiffre le plus à gauche d’un nombre. Le premier chiffre de 1024 est 1. On peut le trouver grâce à la partie décimale du logarithme décimal. |
| puissance | Le produit d’un même nombre par lui-même plusieurs fois. Comme dans \(2^{3} = 2 \times 2 \times 2\), le petit exposant en haut à droite indique le nombre de facteurs. |
| exposant | Le petit nombre en haut à droite d’une puissance. Dans \(2^{100}\), l’exposant est 100. |
| partie entière (caractéristique) | Le plus grand entier inférieur ou égal au nombre, notée \(E(x)\) ou \(\lfloor x \rfloor\). Pour 30,10, c’est 30. Attention : pour \(-30{,}10\), c’est \(-31\), car la partie décimale est toujours comprise entre 0 (inclus) et 1 (exclu). Pour un logarithme décimal, on l’appelait autrefois la caractéristique. |
| partie décimale (mantisse) | Ce qui reste quand on retire au nombre sa partie entière. Pour 30,10, c’est 0,10. Elle est toujours comprise entre 0 (inclus) et 1 (exclu) : pour \(-30{,}10\), elle vaut donc \(0{,}90\). Pour un logarithme décimal, on l’appelait autrefois la mantisse. |
| valeur approchée | Une valeur arrondie, proche de la vraie valeur et plus facile à manier, comme 0,3010 à la place de \(\log_{10} 2 = 0{,}30102\ldots\). L’arrondi laisse une erreur, et les multiplications l’agrandissent. |
| chiffres significatifs | Les chiffres fiables d’une mesure ou d’une valeur approchée. 0,3010 n’est précis qu’à 4 décimales, donc le détail de ce nombre multiplié par 10 000 n’est pas fiable. C’est ce qui explique l’écart possible entre le calcul à la main et le calcul exact sur cette page. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qui aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir ces notions est le chemin le plus court.
| Puissances et exposants (4e, 13-14 ans) |
|
| Exposants étendus (4e puis lycée, 13-18 ans) |
|
| Définition du logarithme (Terminale, 17-18 ans) |
|
| Propriétés du logarithme (Terminale, 17-18 ans) |
|
| Lire et écrire des inégalités (4e-3e, 13-15 ans) |
|
| Numération décimale (CE2-CM2, 8-11 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver le nombre de chiffres de a^k
| Base a | 2 |
| Exposant k | 100 |
| Logarithme décimal k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Nombre de chiffres (partie entière + 1) | =ENT(B3)+1 |
Tableau pour trouver le premier chiffre
| Base a | 2 |
| Exposant k | 100 |
| Logarithme décimal k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Partie décimale du logarithme décimal | =B3-ENT(B3) |
| Premier chiffre | =ENT(10^B4) |
Tableau pour trouver le rang du premier chiffre non nul de a^k (a < 1)
| Base a (nombre décimal inférieur à 1) | 0,5 |
| Exposant k | 100 |
| Logarithme décimal k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Rang du premier chiffre non nul après la virgule | =-ENT(B3) |
Après le collage, les premières lignes (base et exposant) sont vos données, et les lignes du dessous affichent les résultats calculés automatiquement.
LOG10 donne le logarithme décimal, et ENT le plus grand entier inférieur ou égal au nombre (la partie entière). ENT arrondit vers le bas même pour les nombres négatifs (ENT(-30,1) vaut -31), donc « =-ENT(B3) » dans le troisième tableau donne directement le rang après la virgule.
Avec les nombres de l’exemple, le premier tableau affiche 31 (chiffres), le deuxième 1 (le premier chiffre) et le troisième 31 (31e rang après la virgule).
Excel calcule avec environ 15 chiffres de précision : quand l’exposant est très grand, la réponse peut être décalée de 1 près d’une puissance de 10.
LOG10 donne le logarithme décimal, et ENT le plus grand entier inférieur ou égal au nombre (la partie entière). ENT arrondit vers le bas même pour les nombres négatifs (ENT(-30,1) vaut -31), donc « =-ENT(B3) » dans le troisième tableau donne directement le rang après la virgule.
Avec les nombres de l’exemple, le premier tableau affiche 31 (chiffres), le deuxième 1 (le premier chiffre) et le troisième 31 (31e rang après la virgule).
Excel calcule avec environ 15 chiffres de précision : quand l’exposant est très grand, la réponse peut être décalée de 1 près d’une puissance de 10.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver le nombre de chiffres de a^k
| Base a | 2 |
| Exposant k | 100 |
| Logarithme décimal k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Nombre de chiffres (partie entière + 1) | =ENT(B3)+1 |
Tableau pour trouver le premier chiffre
| Base a | 2 |
| Exposant k | 100 |
| Logarithme décimal k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Partie décimale du logarithme décimal | =B3-ENT(B3) |
| Premier chiffre | =ENT(10^B4) |
Tableau pour trouver le rang du premier chiffre non nul de a^k (a < 1)
| Base a (nombre décimal inférieur à 1) | 0,5 |
| Exposant k | 100 |
| Logarithme décimal k×log10(a) | =B2*LOG10(B1) |
| Rang du premier chiffre non nul après la virgule | =-ENT(B3) |
Google Sheets en français a les mêmes fonctions LOG10 et ENT qu’Excel : exactement les mêmes formules fonctionnent.
Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez la base et l’exposant par vos propres nombres.
Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez la base et l’exposant par vos propres nombres.
Calculer avec Python
import math
a = 2 # base (un entier supérieur ou égal à 2)
k = 100 # exposant (la puissance)
# Avec le logarithme décimal (même idée que la méthode à la main)
log_value = k * math.log10(a)
digit_count = math.floor(log_value) + 1 # partie entière + 1 = nombre de chiffres
fractional = log_value - math.floor(log_value)
leading_digit = math.floor(10 ** fractional) # premier chiffre d’après la partie décimale
print(f"Logarithme décimal : {log_value}")
print(f"Nombre de chiffres : {digit_count}, premier chiffre : {leading_digit}")
# Calcul exact (les entiers Python n’ont pas de limite de chiffres, on peut vérifier avec la valeur complète)
actual = a ** k
print(f"Nombre réel de chiffres : {len(str(actual))}, premier chiffre réel : {str(actual)[0]}")
# Pour un nombre décimal inférieur à 1 (rang après la virgule pour 0,5 puissance 100), le logarithme est négatif
position = -math.floor(100 * math.log10(0.5))
print(f"Le premier chiffre non nul de 0,5 puissance 100 apparaît au rang {position} après la virgule")
Fonctionne avec le seul module math de la bibliothèque standard. Le point clé est d’utiliser math.floor() et non int() pour la partie entière (int() tronque vers 0, donc avec un logarithme négatif la réponse serait décalée de 1). Remplacez a et k en haut par vos propres nombres, puis exécutez.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Logarithme décimal d’une puissance (l’exposant passe devant)
log₁₀(aᵏ) = k log₁₀ a
\log_{10} a^{k} = k \log_{10} a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mi>k</mi>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
log_10 (a^k) = k log_10 a
Log10[a^k] == k*Log10[a]
log10(a^k) = k*log10(a);
log10(a^k) == k*log10(a)
log_10(a^k) = k log_10(a)
Nombre de chiffres (\(10^{n-1} \leqslant N < 10^n\) ⇔ \(n\) chiffres)
10ⁿ⁻¹ ≤ N < 10ⁿ
10^{n-1} \le N < 10^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mn>10</mn><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>≤</mo>
<mi>N</mi>
<mo><</mo>
<msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
</mrow>
</math>
10^(n-1) <= N < 10^n
IntegerLength[a^k]
length(a^k);
floor(log10(a^k)) + 1
10^(n-1) ≤ N < 10^n
Premier chiffre (d’après la partie décimale du logarithme décimal)
log₁₀ d ≤ f < log₁₀(d+1)
\log_{10} d \le f < \log_{10} (d+1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<mi>d</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>f</mi>
<mo><</mo>
<msub><mi>log</mi><mn>10</mn></msub>
<mo>(</mo><mi>d</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
log_10 d <= f < log_10 (d+1)
First[IntegerDigits[a^k]]
trunc(10^frac(k*log10(a)));
floor(10^(mod(k*log10(a), 1)))
log_10(d) ≤ f < log_10(d+1)
Nombres inférieurs à 1 (\(10^{-m} \leqslant N < 10^{-m+1}\) ⇔ rang \(m\) après la virgule)
10⁻ᵐ ≤ N < 10⁻ᵐ⁺¹
10^{-m} \le N < 10^{-m+1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mn>10</mn><mrow><mo>−</mo><mi>m</mi></mrow></msup>
<mo>≤</mo>
<mi>N</mi>
<mo><</mo>
<msup><mn>10</mn><mrow><mo>−</mo><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
</mrow>
</math>
10^(-m) <= N < 10^(-m+1)
-Floor[Log10[a^k]]
-floor(log10(a^k));
-floor(log10(a^k))
10^(-m) ≤ N < 10^(-m+1)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul (logarithme décimal et nombre de chiffres). Fais les calculs suivants en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). 1. Combien de chiffres a 2 puissance 100 ? Trouve-le en ajoutant 1 à la partie entière de k × log10(a), puis en comptant directement avec len(str(2**100)), et vérifie que les deux résultats concordent. 2. Trouve le premier chiffre (le plus à gauche) de 2 puissance 100 à partir de la partie décimale du logarithme décimal, et compare-le à la valeur réelle. 3. À quel rang après la virgule apparaît le premier chiffre non nul de 0,5 puissance 100 ? Trouve-le avec -floor(100 × log10(1/2)). Indique les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
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1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
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2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
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3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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