Parmi les 8 champs ci-dessous, remplissez seulement les deux que vous connaissez. En considérant les deux événements comme indépendants, toutes les autres probabilités sont retrouvées.
Remplissez seulement deux champs et laissez les autres vides. Entrez chaque probabilité sous la forme d’un nombre entre 0 et 1 (par exemple, 30 % s’écrit 0,3).
Résultat et figure
Remplissez seulement les deux champs que vous connaissez et appuyez sur « Calculer ». Les autres probabilités s’affichent ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et figures
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Deux événements vont avec 8 probabilités : que chacun se produise ou non, que les deux se produisent, \(P(A \cap B)\), qu’au moins l’un se produise, \(P(A \cup B)\), etc. Saisissez les deux que vous connaissez, et toutes les autres sont retrouvées
- Il est fait pour les questions « à l’envers » qu’une calculatrice ordinaire résout mal, comme « Au moins l’un se produit dans 58 % des cas et les deux dans 12 % des cas. Quelle est la probabilité de chacun ? »
- Il affiche non seulement les réponses mais aussi toutes les étapes du calcul : pratique pour vérifier un devoir ou ses propres calculs
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page
Ce calcul ne vaut que si les deux événements ne s’influencent pas (ils sont indépendants). Un dé et une pièce, dont les résultats n’ont rien à voir l’un avec l’autre, conviennent. Il ne convient pas quand un résultat change la probabilité de l’autre, comme « tirer deux billets sans remettre le premier ».
À quoi sert ce calcul ?
Retrouver les taux individuels à partir d’un sondage (marketing)
À partir d’un résultat de sondage comme « 58 % des gens connaissent au moins l’un des produits A et B, et 12 % connaissent les deux », vous pouvez retrouver la notoriété de chaque produit (30 % et 40 %). (C’est un calcul modèle qui considère la notoriété des deux produits comme indépendante.)
En marketing, on ne dispose souvent que de chiffres combinés et résumés. Ce calcul inverse aide à en extraire les chiffres individuels.
Estimer les probabilités d’origine à partir des résultats enregistrés
« Sur l’année, au moins l’une des deux machines est tombée en panne 14,5 % des jours, et les deux en même temps 0,5 % des jours. » À partir de ces relevés, vous pouvez retrouver le taux de panne de chaque machine (5 % et 10 %).
Les données réelles n’enregistrent souvent que des résultats combinés. En estimer les probabilités individuelles est une idée courante en maintenance et en amélioration des procédés.
Mesurer l’efficacité d’une double vérification (contrôle qualité, relecture)
Deux personnes relisent des documents. L’historique montre qu’« au moins l’une des deux trouve une erreur dans 90 % des cas, et les deux la trouvent dans 40 % des cas ». Vous pouvez en déduire le taux de détection de chacune (80 % et 50 %). (C’est un calcul modèle qui considère leurs relectures comme indépendantes.)
Vous estimez ainsi le niveau de chaque relecteur à partir des résultats passés, sans les tester un par un, et vous pouvez repenser l’organisation (qui travaille avec qui, une seule personne suffit-elle ?) chiffres à l’appui.
Lire les taux d’équipement individuels dans une enquête
À partir d’un résultat d’enquête comme « 85 % des gens possèdent au moins un smartphone ou une tablette, et 35 % possèdent les deux », vous pouvez retrouver le taux d’équipement de chacun (70 % et 50 %). (C’est une estimation grossière qui considère la possession des deux appareils comme indépendante.)
Les statistiques publiées ne donnent parfois que des chiffres du type « au moins l’un » et « les deux ». Ce calcul permet d’en extraire les taux individuels.
Formules et figures
Les relations toujours vraies pour deux événements indépendants
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\times\)
\(P(B)\)
\(P(A \cup B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(+\)
\(P(B)\)
\(-\)
\(P(A)\,P(B)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(P(A \cap B)\) : probabilité que les deux se produisent
\(=\)
①
\(P(A)\) : probabilité que A se produise
\(\times\)
②
\(P(B)\) : probabilité que B se produise
④
\(P(A \cup B)\) : probabilité qu’au moins l’un se produise
\(=\)
\(P(A)\) : probabilité que A se produise
\(+\)
\(P(B)\) : probabilité que B se produise
\(-\)
probabilité que les deux se produisent (le produit)
La formule en mots
①
On prend la
②
on la multiplie par la
③
et on obtient la
(première formule)
④
On additionne les deux probabilités, on retire le produit (la probabilité que les deux se produisent), et on obtient la
(deuxième formule)
Ces deux relations sont toujours vraies pour deux événements indépendants. Si vous connaissez deux des 8 probabilités, vous pouvez donc remonter ces relations et retrouver toutes les autres.
Exemple simple
Si vous savez que les deux se produisent avec une probabilité de 0,12 et qu’au moins l’un se produit avec une probabilité de 0,58, cherchez « deux nombres dont la somme vaut 0,7 et le produit 0,12 ». Ces nombres sont P(A) et P(B)
les deux (0,12)
\(=\)
\(P(A)\) : A se produit (?)
\(\times\)
\(P(B)\) : B se produit (?)
\(P(A) + P(B) = 0{,}58 + 0{,}12 = 0{,}7\)
\(P(A) \times P(B) = 0{,}12\)
\(\Rightarrow\ P(A) = 0{,}3\ \text{ et }\ P(B) = 0{,}4\)
L’idée clé
Pourquoi deux valeurs suffisent-elles à retrouver toutes les autres ? Chacune des 8 probabilités s’écrit avec \(P(A)\) et \(P(B)\) : il n’y a en réalité que deux inconnues. Avec deux inconnues, deux indices (deux équations) suffisent. C’est la même idée qu’un système d’équations : « deux équations en \(x\) et \(y\) se résolvent ».
Attention : « les deux se produisent » et « au moins l’un se produit » ne changent pas si l’on échange A et B. En partant de ces deux valeurs, on ne peut donc pas savoir lequel est A, et on peut obtenir deux solutions où A et B sont échangés. De plus, avec des valeurs contradictoires, par exemple « les deux » plus grand que « au moins l’un », aucun jeu de probabilités ne convient et le résultat est « pas de solution ».
Le carré à droite de la figure ci-dessus représente l’ensemble des cas par un carré d’aire 1, de largeur \(P(A)\) et de hauteur \(P(B)\). L’aire du rectangle en bas à gauche, \(P(A) \times P(B)\), est la probabilité que les deux se produisent : c’est pourquoi la première formule est une multiplication. Le diagramme de Venn à gauche montre seulement quelle partie correspond à quoi : tout l’intérieur des deux cercles est la probabilité qu’au moins l’un se produise. (L’aire des cercles ne correspond pas à la valeur des probabilités.)
Les 8 probabilités sont toutes déterminées par deux valeurs seulement, \(P(A)\) et \(P(B)\). À l’inverse, si vous en connaissez deux, vous pouvez retrouver toutes les autres.
Symboles et termes
Symboles
| \(P(A)\) | P de A | La probabilité que l’événement A se produise. P est l’initiale de « probabilité ». |
| \(\overline{A}\) | A barre (événement contraire) | Une barre au-dessus de A désigne l’événement « A ne se produit pas », l’événement contraire de A. On le calcule avec \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\). Les étapes du calcul de ce calculateur l’écrivent aussi \(A'\). |
| \(\cap\) | inter (intersection) | Le symbole de « et ». \(A \cap B\) est l’événement « A et B se produisent tous les deux ». Dans un diagramme de Venn, c’est la partie où les deux cercles se chevauchent. |
| \(\cup\) | union (réunion) | Le symbole de « ou ». \(A \cup B\) est l’événement « au moins l’un de A et B se produit ». Dans un diagramme de Venn, c’est tout l’intérieur des deux cercles. |
| \(\Delta\) | delta (différence symétrique) | Le symbole de « un seul des deux ». \(A \Delta B\) est l’événement « un seul de A et B se produit (pas les deux) ». À ne pas confondre avec le \(\Delta\) du discriminant. |
Termes
| événement | Quelque chose qui se produit ou non, comme « obtenir un 6 au dé » ou « il pleut demain ». En probabilités, on donne aux événements des noms comme A et B. |
| indépendant | Se dit de deux événements quand le résultat de l’un ne change pas la probabilité de l’autre. Tirer un deuxième billet sans remettre le premier n’est pas indépendant, car le premier résultat change la probabilité du second. Le calcul inverse de cette page est réservé aux événements indépendants. |
| événement contraire | L’événement opposé : la chose ne se produit pas. Si la probabilité qu’elle se produise est 0,3, la probabilité qu’elle ne se produise pas (celle de l’événement contraire) est \(1 - 0{,}3 = 0{,}7\). |
| système d’équations | Une façon de trouver deux nombres inconnus en combinant deux équations. Le calcul inverse de cette page résout un système d’équations dont les deux inconnues sont \(P(A)\) et \(P(B)\). |
| équation du second degré | Chercher « deux nombres dont la somme vaut \(S\) et le produit \(P\) » revient à résoudre l’équation du second degré \(x^2 - Sx + P = 0\). La plupart des calculs inverses de cette page aboutissent à cette forme. |
| formule des racines | La formule qui donne les solutions de toute équation du second degré \(ax^2 + bx + c = 0\) : \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\). Les équations du second degré auxquelles aboutissent les calculs de cette page se résolvent ainsi. |
| discriminant | Le nombre sous la racine carrée dans la formule des racines, \(\Delta = b^2 - 4ac\). S’il est positif, il y a deux solutions ; s’il vaut 0, une seule ; s’il est négatif, aucun nombre ne convient (pas de solution réelle). Un discriminant négatif est la raison la plus fréquente du message « pas de solution » sur cette page. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
| Premières notions de probabilités (collège, 5e-3e, 12-15 ans) |
|
| Probabilité de deux événements indépendants (page associée de ce site) |
|
| Équations du premier degré (4e, 13-14 ans) |
|
| Équations du second degré et discriminant (première, 16-17 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour retrouver P(A) et P(B) à partir de « les deux se produisent » et « au moins l’un se produit »
| Les deux se produisent, P(A∩B) | 0,12 |
| Au moins l’un se produit, P(A∪B) | 0,58 |
| P(A) (la plus petite solution) | =(B1+B2-RACINE((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
| P(B) (la plus grande solution) | =(B1+B2+RACINE((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
Après le collage, B1 et B2 sont vos valeurs, et B3 et B4 affichent P(A) et P(B) retrouvées par le calcul inverse.
Le tableau utilise les relations P(A) + P(B) = P(A∪B) + P(A∩B) et P(A) × P(B) = P(A∩B), et résout l’équation du second degré obtenue avec la formule des racines.
RACINE est la fonction de la racine carrée. Les valeurs qui rendent négatif le nombre sous la racine n’ont pas de solution et affichent une erreur (#NOMBRE!).
Pour les autres combinaisons (par exemple si vous connaissez P(A) et P(A∪B)), suivez les « Étapes du calcul » affichées par le calculateur de cette page.
Le tableau utilise les relations P(A) + P(B) = P(A∪B) + P(A∩B) et P(A) × P(B) = P(A∩B), et résout l’équation du second degré obtenue avec la formule des racines.
RACINE est la fonction de la racine carrée. Les valeurs qui rendent négatif le nombre sous la racine n’ont pas de solution et affichent une erreur (#NOMBRE!).
Pour les autres combinaisons (par exemple si vous connaissez P(A) et P(A∪B)), suivez les « Étapes du calcul » affichées par le calculateur de cette page.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour retrouver P(A) et P(B) à partir de « les deux se produisent » et « au moins l’un se produit »
| Les deux se produisent, P(A∩B) | 0,12 |
| Au moins l’un se produit, P(A∪B) | 0,58 |
| P(A) (la plus petite solution) | =(B1+B2-RACINE((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
| P(B) (la plus grande solution) | =(B1+B2+RACINE((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
Les mêmes formules que dans Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres de B1 et B2 par vos propres valeurs.
Calculer avec Python
import math
p_both = 0.12 # les deux se produisent, P(A∩B)
p_at_least_one = 0.58 # au moins l’un se produit, P(A∪B)
sum_of_pa_pb = p_at_least_one + p_both # P(A) + P(B)
product_of_pa_pb = p_both # P(A) × P(B)
discriminant = sum_of_pa_pb ** 2 - 4 * product_of_pa_pb # discriminant de l’équation du second degré
if discriminant < 0:
print("Pas de solution (aucune probabilité ne correspond à cette combinaison)")
else:
sqrt_of_discriminant = math.sqrt(discriminant)
p_a = (sum_of_pa_pb - sqrt_of_discriminant) / 2
p_b = (sum_of_pa_pb + sqrt_of_discriminant) / 2
print(f"P(A) = {p_a}, P(B) = {p_b}")
Cet exemple correspond au cas où vous connaissez « les deux se produisent » et « au moins l’un se produit ». Modifiez les deux valeurs du début, puis exécutez. Quand il y a deux réponses, l’autre solution est la même avec P(A) et P(B) échangées. (En Python, les décimales s’écrivent avec un point.)
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Les relations toujours vraies pour deux événements indépendants
P(A∩B) = P(A) × P(B), P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A)×P(B)
P(A \cap B) = P(A)\,P(B), \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)\,P(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"></mspace>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) P(B), P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B)
Solve[{pa*pb == 0.12, pa + pb - pa*pb == 0.58}, {pa, pb}]
solve({pa*pb = 0.12, pa + pb - pa*pb = 0.58}, {pa, pb});
syms pa pb; sol = solve(pa*pb == 0.12, pa + pb - pa*pb == 0.58, pa, pb);
P(A∩B) = P(A) × P(B), P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)×P(B)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul de probabilités. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Pour deux événements indépendants A et B, on sait que la probabilité que les deux se produisent est P(A∩B) = 0,12, et que la probabilité qu’au moins l’un se produise est P(A∪B) = 0,58. Trouve P(A) et P(B). Puis calcule aussi la probabilité que chacun ne se produise pas, la probabilité qu’un seul des deux se produise, P(AΔB), et la probabilité qu’aucun ne se produise. S’il y a deux solutions, donne les deux. Présente dans un tableau les formules utilisées et les résultats de l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Probabilité de deux événements indépendants (et, ou)
Calcule, à partir de deux probabilités, la probabilité que les deux se produisent, qu’au moins l’un se produise, etc.
Probabilité d’épreuves répétées (n fois de suite, au moins une fois)
Calcule la probabilité qu’un événement se produise n fois de suite, ou au moins une fois en n essais
