Calculatrice de loi binomiale

Saisissez le nombre d’épreuves n, la probabilité de succès à chaque épreuve p et le nombre de succès k. Vous obtenez la probabilité d’exactement k succès, les probabilités cumulées « au plus k » et « au moins k », l’espérance, la variance et l’écart-type, ainsi que le diagramme en bâtons de toute la loi.

Nombre d’épreuves n

Probabilité de succès p

Nombre de succès k

Entrez la probabilité p sous forme décimale entre 0 et 1 (pour 25 %, entrez 0,25) ou sous forme de fraction comme 1/4. n est un nombre entier de 1 à 50, et k un nombre entier de 0 à n.

Résultat et graphique

Saisissez le nombre d’épreuves et la probabilité dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et le diagramme en bâtons de la loi s’affichent ici.

Table des matières

[ Fermer X ]

Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formules et graphiques
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Saisissez seulement 3 nombres pour obtenir aussitôt « la probabilité qu’un événement de probabilité \(p\) se produise exactement \(k\) fois en \(n\) épreuves », \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}\)
La réponse s’affiche en fraction irréductible comme \(\dfrac{3}{8}\) (valeur exacte), en décimal et en pourcentage. Vous voyez aussi les étapes du calcul du nombre de combinaisons \(\binom{n}{k}\)
Le calculateur donne en même temps les probabilités cumulées « au plus \(k\) fois » \(P(X \leqslant k)\) et « au moins \(k\) fois » \(P(X \geqslant k)\)
Il affiche l’espérance \(E(X) = np\), la variance \(V(X) = np(1-p)\) et l’écart-type \(\sigma\), et vérifie la condition usuelle pour l’approximation par la loi normale
Toute la loi, de 0 à \(n\) succès, est tracée en diagramme en bâtons : vous voyez d’un coup d’œil quels nombres de succès sont les plus probables

Ce calcul vaut pour des épreuves répétées où la probabilité est la même à chaque fois et où les résultats ne s’influencent pas (elles sont indépendantes). Il ne convient pas quand la probabilité change d’un essai à l’autre, comme lorsqu’on tire des billets sans les remettre.

À quoi sert ce calcul ?

Estimer « k gains sur n tirages » dans les jeux (gacha, loot box, tombolas)

Si vous faites 100 tirages (gacha ou loot box) avec un taux de drop de 1 %, le nombre d’objets rares obtenus suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(100\,;\,0{,}01)\) (en supposant, comme annoncé, que chaque tirage a la même probabilité et qu’ils sont indépendants). La probabilité de n’obtenir rien du tout est de \(0{,}99^{100} \approx 36{,}6\,\%\) : la loi montre que l’intuition « 100 tirages à 1 %, c’est presque sûr » est risquée.
Estimer « l’espérance \(np\) plus la dispersion » quand on prévoit son budget, c’est exactement le calcul de cette page.

Concevoir les règles d’un contrôle par échantillonnage (industrie, contrôle qualité)

Au lieu de contrôler chaque pièce, les usines pratiquent le contrôle par échantillonnage : « on prélève \(n\) pièces dans un lot, et on accepte le lot s’il y a au plus \(c\) défauts ». La probabilité qu’un lot de taux de défaut \(p\) soit accepté est exactement la probabilité binomiale cumulée \(P(X \leqslant c)\). Par exemple, si l’on prélève 20 pièces dans un lot à 1 % de défauts et qu’on n’accepte le lot qu’avec 0 défaut, la probabilité d’acceptation est \(0{,}99^{20} \approx 81{,}8\,\%\).
Ce calcul sert à concevoir des règles de contrôle qui acceptent les bons lots avec une forte probabilité et rejettent les mauvais.

Estimer les bonnes réponses au hasard dans un QCM (enseignement, examens)

Si vous répondez au hasard aux 20 questions d’un QCM à 4 choix, le nombre de bonnes réponses suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(20\,;\,0{,}25)\), et l’espérance est de \(20 \times 0{,}25 = 5\) questions. La probabilité d’avoir au moins 8 bonnes réponses par chance n’est que d’environ 10 % : les probabilités confirment qu’on atteint rarement la note de passage en répondant au hasard.
Les concepteurs d’examens gardent aussi cette loi en tête quand ils fixent le nombre de questions et la note minimale, pour qu’il soit difficile de réussir par chance.

Lire les hauts et les bas des statistiques sportives (basket et autres)

Quand un joueur qui réussit 70 % de ses lancers francs en tente 10, la probabilité d’en réussir exactement 7 n’est que de \(\binom{10}{7} \times 0{,}7^{7} \times 0{,}3^{3} \approx 26{,}7\,\%\) (en considérant chaque tir comme indépendant, avec un taux de réussite fixe). Pour un joueur à 70 %, réussir exactement 7 tirs sur 10 n’est pas aussi banal qu’il y paraît : en réussir 6 ou 8 arrive tout le temps.
La loi binomiale aide à distinguer, dans une « série » ou un « passage à vide », ce qui relève simplement du hasard.

D’où vient la marge d’erreur des sondages et des mesures d’audience (enquêtes)

Dans les sondages d’opinion et les mesures d’audience, on considère que le nombre de personnes, parmi les \(n\) interrogées, qui donnent une certaine réponse suit une loi binomiale. La marge d’erreur « à plus ou moins quelques points » se calcule à partir de l’écart-type \(\sqrt{np(1-p)}\) et de l’approximation par la loi normale.
Décider combien de personnes interroger pour ramener la marge d’erreur à la taille voulue repose directement sur les propriétés de la loi binomiale.

Formules et graphiques

Probabilité binomiale (probabilité d’exactement \(k\) succès)

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(P(X = k)\) \(=\) \(\binom{n}{k}\) \(\times\) \(p\) \(k\) \(\times\) \((1 - p)\) \(n - k\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

⑥ \(P(X = k)\) : probabilité d’exactement \(k\) succès \(=\) ⑤ \(\binom{n}{k}\) : nombre de façons de choisir les épreuves réussies \(\times\) ① \(p\) : probabilité de succès ② \(k\) : nombre de succès \(\times\) ③ \(1 - p\) : probabilité d’échec ④ \(n - k\) : nombre d’échecs

La formule en mots

① On prend la

② et on la multiplie par elle-même autant de fois que le

③ puis on prend la

④ et on la multiplie par elle-même autant de fois que le

⑤ on multiplie ces résultats par le

⑥ et on obtient la

Exemple simple

Si l’on lance une pièce (probabilité d’obtenir « pile » : \(\dfrac{1}{2}\)) 4 fois, la probabilité d’obtenir exactement 2 fois « pile » est

exactement 2 fois \(P(X = 2)\) \(=\) nombre d’ordres \(\binom{4}{2}\) \(\times\) pile \(\dfrac{1}{2}\), deux fois \(\times\) face \(\dfrac{1}{2}\), deux fois

\(\binom{4}{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)

\(P(X = 2) = 6 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}\ \ (37{,}5\,\%)\)

L’idée clé

La probabilité d’un ordre particulier avec \(k\) succès et \(n-k\) échecs est \(p^{k} (1-p)^{n-k}\). Il y a \(\binom{n}{k}\) ordres de ce type (façons de choisir quelles épreuves sont réussies) : en multipliant par ce nombre, on obtient la réponse. C’est la formule du schéma de Bernoulli vue au lycée. La loi qui rassemble la probabilité de chaque nombre de succès possible \(X\) (0, 1, …, \(n\)) s’appelle la loi binomiale et se note \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\). Le calculateur de cette page trace toute la loi en diagramme en bâtons.

Probabilités cumulées (au plus \(k\) et au moins \(k\) succès)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(P(X \leqslant k)\) \(=\) \(P(X=0) + P(X=1) + \cdots + P(X=k)\)

\(P(X \geqslant k)\) \(=\) \(1\) \(-\) \(P(X \leqslant k - 1)\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

② \(P(X \leqslant k)\) : probabilité d’au plus \(k\) succès \(=\) ① somme des probabilités d’exactement 0 à exactement \(k\) succès

⑤ \(P(X \geqslant k)\) : probabilité d’au moins \(k\) succès \(=\) ③ \(1\) : probabilité totale \(-\) ④ probabilité d’au plus \(k-1\) succès

La formule en mots

① On additionne toutes les

② et on obtient la

③ Pour « au moins \(k\) », l’événement contraire raccourcit le calcul. On part de la

④ on retire la

⑤ et on obtient la

Exemple simple

Si l’on lance une pièce 4 fois, la probabilité d’obtenir au plus 2 fois « pile » et celle d’obtenir au moins 2 fois « pile » sont

au plus 2 fois \(P(X \leqslant 2)\) \(=\) somme pour 0, 1 et 2

\(P(X \leqslant 2) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{6}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68{,}75\,\%)\)

\(P(X \geqslant 2) = 1 - P(X \leqslant 1) = 1 - \dfrac{5}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68{,}75\,\%)\)

L’idée clé

« Au plus » et « au moins » incluent le nombre lui-même (au plus 2 veut dire 0, 1 ou 2). La méthode classique : pour « au plus \(k\) », on additionne simplement les probabilités exactes ; pour « au moins \(k\) », on retire « au plus \(k-1\) » du total 1 (par l’événement contraire). « La probabilité que l’événement se produise au moins une fois », c’est \(P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0)\). C’est l’usage le plus fréquent de l’événement contraire.

Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(E(X)\) \(=\) \(n\) \(\times\) \(p\)

\(V(X)\) \(=\) \(n\) \(\times\) \(p\) \(\times\) \((1 - p)\)

\(\sigma\) \(=\) \(\sqrt{V(X)}\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(E(X)\) : espérance (nombre moyen de succès) \(=\) ① \(n\) : nombre d’épreuves \(\times\) ② \(p\) : probabilité de succès

⑤ \(V(X)\) : variance (la dispersion) \(=\) \(n\) : nombre d’épreuves \(\times\) \(p\) : probabilité de succès \(\times\) ④ \(1 - p\) : probabilité d’échec

⑦ \(\sigma\) : écart-type (écart habituel) \(=\) ⑥ racine carrée de la variance \(V(X)\)

La formule en mots

① On multiplie le

② par la

③ et on obtient l’

④ En multipliant encore par la

⑤ on obtient la

⑥ La est l’

⑦

Exemple simple

Pour le nombre de 1 obtenus en lançant un dé 30 fois (\(n = 30\), \(p = \dfrac{1}{6}\)) :

espérance \(E(X)\) \(=\) nombre d’épreuves \(30\) \(\times\) probabilité d’un 1 \(\dfrac{1}{6}\)

\(E(X) = 30 \times \dfrac{1}{6} = 5\)

\(V(X) = 30 \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{6}\)

\(\sigma = \sqrt{\dfrac{25}{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{6}} = \dfrac{5\sqrt{6}}{6} \approx 2{,}04\)

L’idée clé

L’espérance \(np\) correspond exactement à l’intuition : « Si l’on fait 30 fois une chose de probabilité \(\dfrac{1}{6}\), elle se produit en moyenne environ \(30 \times \dfrac{1}{6} = 5\) fois. » La variance et l’écart-type indiquent à quelle distance de l’espérance le nombre réel tombe habituellement. Avec un écart-type d’environ 2, on peut lire le résultat comme « le plus souvent entre 3 et 7 fois » plutôt que « exactement 5 fois ». Pour un même \(n\), la variance \(np(1-p)\) est maximale quand \(p = \dfrac{1}{2}\) (quand succès et échec sont aussi probables l’un que l’autre, le résultat est le plus difficile à prévoir).

Approximation par la loi normale (condition usuelle : \(np \geqslant 5\) et \(n(1-p) \geqslant 5\))

Graphique

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

\(\mathcal{B}(n\,;\,p)\) \(\approx\) \(\mathcal{N}(np\,;\,np(1 - p))\)

① \(\mathcal{B}(n\,;\,p)\) : loi binomiale \(\approx\) ② loi normale de moyenne \(np\) et de variance \(np(1-p)\)

La formule en mots

① La peut, quand \(np \geqslant 5\) et \(n(1-p) \geqslant 5\) (condition usuelle), être approchée par la

②

Exemple simple

Le nombre de « pile » en lançant une pièce 20 fois (\(n = 20\), \(p = \dfrac{1}{2}\)) suit

loi binomiale \(\mathcal{B}\left(20\,;\,\dfrac{1}{2}\right)\) \(\approx\) loi normale \(\mathcal{N}(10\,;\,5)\)

\(np = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \geqslant 5\ \text{ et }\ n(1 - p) = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \geqslant 5\)

\(\mathcal{B}\left(20\,;\,\dfrac{1}{2}\right) \approx \mathcal{N}(10\,;\,5)\)

L’idée clé

Quand \(n\) augmente, le diagramme en bâtons de la loi binomiale se rapproche d’une cloche symétrique, presque identique à la loi normale. Quand \(n\) est grand, on peut donc remplacer les longues sommes de la loi binomiale par la table de la loi normale (ou par des scores z). C’est l’approximation par la loi normale, et \(np \geqslant 5\) et \(n(1-p) \geqslant 5\) est la condition usuelle pour l’utiliser (beaucoup de manuels français ajoutent aussi \(n \geqslant 30\)). Dans \(\mathcal{N}(np\,;\,np(1-p))\), l’ordre est « moyenne ; variance ». Après l’approximation, vous pouvez calculer par exemple « la probabilité d’au moins tant de succès » sur notre page Probabilité avec la loi normale.

La loi binomiale est la loi du « nombre de fois qu’un événement de probabilité \(p\) se produit en \(n\) épreuves ». La probabilité d’exactement \(k\) succès est \(P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}\), l’espérance vaut \(np\) et la variance \(np(1-p)\). Quand \(n\) est grand, on peut l’approcher par la loi normale \(\mathcal{N}(np\,;\,np(1-p))\).

Symboles et termes

Symboles

\(X\)	X	La variable aléatoire qui compte le nombre de succès. Par convention, les nombres qui dépendent du hasard s’écrivent avec des majuscules de la fin de l’alphabet, comme \(X\), \(Y\), \(Z\).
\(P(X = k)\)	P de X égale k	La probabilité que le nombre de succès \(X\) soit exactement \(k\). \(P\) est l’initiale de « probabilité ».
\(\dbinom{n}{k}\)	k parmi n	Le nombre de combinaisons de \(k\) éléments choisis parmi \(n\). C’est la notation des manuels français. D’autres pays, et certaines calculatrices, l’écrivent \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) ou \(C_n^k\).
\(n\)	n	Le nombre d’épreuves (le nombre de répétitions). La lettre \(n\), comme « nombre », sert souvent pour un effectif.
\(p\)	p	La probabilité de succès à une épreuve. Elle vient de « probabilité », et la minuscule sert souvent pour la probabilité d’un seul essai.
\(1 - p\)	un moins p	La probabilité d’échec à une épreuve (ne pas réussir). Il y a toujours soit succès soit échec : c’est donc ce qui reste quand on retire \(p\) du total \(1\). On l’écrit aussi \(q\).
\(k\)	k	Le nombre de succès, un nombre entier de \(0\) à \(n\). La lettre \(k\) sert souvent à dire « combien de fois ».
\(P(X \leqslant k)\)	P de X inférieur ou égal à k	La probabilité d’au plus \(k\) succès (de 0 à \(k\)). C’est une probabilité cumulée : les probabilités exactes additionnées jusqu’à \(k\).
\(P(X \geqslant k)\)	P de X supérieur ou égal à k	La probabilité d’au moins \(k\) succès (de \(k\) à \(n\)). En retirant \(P(X \leqslant k-1)\) du total \(1\) (l’événement contraire), on raccourcit la somme.
\(E(X)\)	E de X	L’espérance (le nombre moyen de succès). \(E\) est l’initiale de « espérance ». Pour la loi binomiale, \(E(X) = np\). On l’appelle aussi moyenne et on la note \(\mu\).
\(V(X)\)	V de X	La variance (la dispersion des résultats). \(V\) est l’initiale de « variance ». Pour la loi binomiale, \(V(X) = np(1-p)\). On la note aussi \(\sigma^2\).
\(\sigma\)	sigma	L’écart-type. C’est la lettre grecque sigma minuscule, le « s » grec (de l’anglais « standard deviation »). C’est la racine carrée de la variance, \(\sigma = \sqrt{V(X)}\), qui donne l’écart habituel à l’espérance.
\(\mathcal{B}(n\,;\,p)\)	B de paramètres n et p	La loi binomiale de paramètres \(n\) (nombre d’épreuves) et \(p\) (probabilité de succès). \(\mathcal{B}\) est l’initiale de « binomiale ». « \(X\) suit la loi binomiale » s’écrit \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)\). On voit aussi \(\mathcal{B}(n,\ p)\).
\(\mathcal{N}(\mu\,;\,\sigma^2)\)	N de paramètres mu et sigma carré	La loi normale de moyenne \(\mu\) et de variance \(\sigma^2\). \(\mathcal{N}\) est l’initiale de « normale ». Par convention, l’ordre dans les parenthèses est « moyenne ; variance ».
\(\approx\)	environ égal à	Le symbole de « à peu près égal ». Sur cette page, il indique que la loi binomiale peut être approchée par la loi normale.

Termes

loi binomiale	La loi de probabilité du « nombre de fois qu’un événement de probabilité \(p\) se produit en \(n\) épreuves ». Son nom vient de ce que le \(\binom{n}{k}\) de la formule est un coefficient binomial (les coefficients de la formule du binôme de Newton). En France, on l’étudie en première, spécialité mathématiques.
variable aléatoire	Une variable dont la valeur dépend du hasard. Sur cette page, c’est le nombre de succès. Elle prend les valeurs de 0 à n, chacune avec sa propre probabilité.
épreuve	Une seule réalisation d’une expérience ou d’une observation dont le résultat est dû au hasard, comme un lancer de pièce ou le tirage d’un billet.
épreuves répétées	La répétition de la même épreuve, avec la même probabilité à chaque fois et sans que les résultats s’influencent (de façon indépendante). Avec deux issues (succès ou échec), on parle de schéma de Bernoulli. La loi binomiale est la loi du nombre de succès dans ces épreuves répétées.
indépendant	Se dit d’épreuves dont le résultat de l’une n’influence pas le résultat de l’autre. Le premier et le deuxième lancer d’un dé sont indépendants, mais tirer des billets sans les remettre ne l’est pas (les résultats précédents changent le nombre de billets gagnants restants).
combinaison	Une façon de choisir \(k\) éléments parmi \(n\) sans tenir compte de l’ordre. Leur nombre total est \(\binom{n}{k}\). Dans la loi binomiale, il compte les façons de choisir lesquelles des \(n\) épreuves sont des succès.
probabilité cumulée	Les probabilités exactes additionnées jusqu’à un certain nombre. La probabilité d’au plus \(k\) succès, \(P(X \leqslant k)\), en est l’exemple type (c’est la fonction de répartition en \(k\)).
événement contraire	L’événement où la chose ne se produit pas. Les probabilités font toujours 1 au total, donc une probabilité comme « au moins \(k\) » se trouve facilement en retirant de 1 celle du cas opposé (au plus \(k-1\)).
espérance	La valeur moyenne quand on répète les épreuves de nombreuses fois. Pour la loi binomiale, c’est le nombre moyen de succès, donné par la formule simple \(np\).
variance	Une mesure de l’écart habituel entre les valeurs réelles et l’espérance (la dispersion). Elle est définie comme la moyenne des carrés des écarts.
écart-type	La racine carrée de la variance. La variance est dans une unité « au carré » ; en prenant la racine carrée, on revient à l’unité d’origine (ici, le nombre de succès) pour mesurer la dispersion.
loi normale	Une loi en forme de cloche symétrique, où les valeurs proches de la moyenne sont les plus probables et les valeurs éloignées de moins en moins probables. Beaucoup de grandeurs réelles, comme la taille ou les erreurs de mesure, s’en approchent, et la loi binomiale s’en rapproche aussi quand \(n\) est grand.
approximation par la loi normale	Le remplacement de la loi binomiale par la loi normale \(\mathcal{N}(np\,;\,np(1-p))\) quand \(n\) est grand. La condition usuelle est \(np \geqslant 5\) et \(n(1-p) \geqslant 5\).

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir les notions de ce tableau est le moyen le plus rapide d’avancer.

Premières notions de probabilités (collège, 5e-3e, 12-15 ans)	Savoir qu’une probabilité indique à quel point une chose est probable, par un nombre de 0 à 1 (y compris lire 0,25 comme 25 %) Savoir que les probabilités de toutes les issues possibles font toujours 1 au total
Calculs avec les fractions (5e-4e, 12-14 ans)	Savoir multiplier des fractions (\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)), les simplifier et les réduire au même dénominateur Être à l’aise pour garder les réponses en fractions (et transformer \(\dfrac{3}{8}\) en 0,375)
Puissances et exposants (4e-3e, 13-15 ans)	Savoir que le petit nombre en haut à droite (l’exposant) indique combien de fois on multiplie, comme \(p^{3} = p \times p \times p\) Savoir calculer la puissance d’une fraction, comme \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4} = \dfrac{1}{16}\)
Dénombrement et combinaisons (terminale, 17-18 ans)	Savoir que \(\binom{n}{k}\) est « le nombre de façons de choisir \(k\) éléments parmi \(n\) sans tenir compte de l’ordre » Savoir le calculer, comme \(\binom{4}{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)
Schéma de Bernoulli et événement contraire (première, 16-17 ans)	Comprendre le cadre des épreuves répétées : « répétées de façon indépendante, avec la même probabilité à chaque fois » Savoir utiliser l’événement contraire pour trouver « au moins une fois » par \(1 - P(X = 0)\)
Variables aléatoires, espérance et variance (première, 16-17 ans)	Savoir ce que sont une variable aléatoire (une variable dont la valeur dépend du hasard) et une loi de probabilité Savoir que l’espérance est la valeur moyenne, et que la variance et l’écart-type mesurent la dispersion
La loi normale (lycée ou études supérieures)	Savoir que la loi normale est une loi en cloche symétrique où les valeurs proches de la moyenne sont les plus probables (utile pour la carte sur l’approximation par la loi normale) Savoir que l’ordre dans \(\mathcal{N}(\mu\,;\,\sigma^2)\) est « moyenne ; variance »

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver la probabilité d’exactement k succès

Nombre d’épreuves n	4
Probabilité de succès p	0,5
Nombre de succès k	2
Probabilité d’exactement k succès P(X=k)	=LOI.BINOMIALE.N(B3;B1;B2;FAUX)

Tableau pour trouver les probabilités cumulées (au plus k, au moins k)

Nombre d’épreuves n	4
Probabilité de succès p	0,5
Nombre de succès k	2
Probabilité d’au plus k succès P(X⩽k)	=LOI.BINOMIALE.N(B3;B1;B2;VRAI)
Probabilité d’au moins k succès P(X⩾k)	=1-LOI.BINOMIALE.N(B3-1;B1;B2;VRAI)

Tableau pour trouver l’espérance, la variance et l’écart-type

Nombre d’épreuves n	30
Probabilité de succès p	=1/6
Espérance E(X) = np	=B1*B2
Variance V(X) = np(1-p)	=B1B2(1-B2)
Écart-type σ	=RACINE(B4)

Tableau pour vérifier la condition de l’approximation par la loi normale

Nombre d’épreuves n	20
Probabilité de succès p	0,5
np	=B1*B2
n(1-p)	=B1*(1-B2)
Condition remplie ?	=ET(B3>=5;B4>=5)

Après le collage, les lignes du haut (n, p et k) sont vos valeurs et les lignes du bas se calculent automatiquement.
LOI.BINOMIALE.N est la fonction de la loi binomiale. Ses arguments sont, dans l’ordre, « nombre de succès ; nombre d’épreuves ; probabilité de succès ; cumulée ou non ». FAUX à la fin donne la probabilité exacte, et VRAI donne la probabilité cumulée jusqu’à ce nombre inclus.
Le premier tableau reprend l’exemple d’exactement 2 fois « pile » en 4 lancers, et la réponse est 0,375 (= 3/8).
Les deux réponses du deuxième tableau valent 0,6875. « Au moins k » s’obtient en retirant « au plus k−1 » de 1 (cette formule renvoie une erreur si k vaut 0, mais la probabilité d’au moins 0 succès vaut toujours 1).
Le troisième tableau porte sur le nombre de 1 en 30 lancers de dé : espérance 5, variance 4,1667 et écart-type 2,0412.
Le quatrième tableau affiche VRAI quand np et n(1−p) valent tous deux au moins 5 (la condition de l’approximation par la loi normale est remplie), et FAUX sinon.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver la probabilité d’exactement k succès

Nombre d’épreuves n	4
Probabilité de succès p	0,5
Nombre de succès k	2
Probabilité d’exactement k succès P(X=k)	=LOI.BINOMIALE(B3;B1;B2;FAUX)

Tableau pour trouver les probabilités cumulées (au plus k, au moins k)

Nombre d’épreuves n	4
Probabilité de succès p	0,5
Nombre de succès k	2
Probabilité d’au plus k succès P(X⩽k)	=LOI.BINOMIALE(B3;B1;B2;VRAI)
Probabilité d’au moins k succès P(X⩾k)	=1-LOI.BINOMIALE(B3-1;B1;B2;VRAI)

Tableau pour trouver l’espérance, la variance et l’écart-type

Nombre d’épreuves n	30
Probabilité de succès p	=1/6
Espérance E(X) = np	=B1*B2
Variance V(X) = np(1-p)	=B1B2(1-B2)
Écart-type σ	=RACINE(B4)

Tableau pour vérifier la condition de l’approximation par la loi normale

Nombre d’épreuves n	20
Probabilité de succès p	0,5
np	=B1*B2
n(1-p)	=B1*(1-B2)
Condition remplie ?	=ET(B3>=5;B4>=5)

Dans Google Sheets en français, la fonction s’appelle LOI.BINOMIALE (les arguments sont dans le même ordre que LOI.BINOMIALE.N d’Excel : « nombre de succès ; nombre d’épreuves ; probabilité de succès ; cumulée ou non »). Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez n, p et k par vos propres nombres.
Comme dans Excel, la formule « au moins k » renvoie une erreur si k vaut 0 (la probabilité d’au moins 0 succès vaut toujours 1).

Calculer avec Python

from fractions import Fraction
from math import comb, sqrt

trial_count = 4                  # nombre d’épreuves n
success_prob = Fraction(1, 2)    # probabilité de succès p (un décimal comme 0.3 convient aussi)
success_count = 2                # nombre de succès k

failure_prob = 1 - success_prob

# probabilité d’exactement k succès P(X=k) = (k parmi n) × p^k × (1−p)^(n−k)
exact_prob = (comb(trial_count, success_count)
              * success_prob ** success_count
              * failure_prob ** (trial_count - success_count))
print(f"Probabilité d’exactement {success_count} succès : {exact_prob} = {float(exact_prob)}")

# probabilités cumulées (au plus k, au moins k)
prob_le = sum(comb(trial_count, i) * success_prob ** i * failure_prob ** (trial_count - i)
              for i in range(success_count + 1))
prob_ge = 1 - prob_le + exact_prob
print(f"Probabilité d’au plus {success_count} succès : {prob_le} = {float(prob_le)}")
print(f"Probabilité d’au moins {success_count} succès : {prob_ge} = {float(prob_ge)}")

# espérance, variance et écart-type
mean = trial_count * success_prob
variance = mean * failure_prob
print(f"Espérance : {mean}  Variance : {variance}  Écart-type : {sqrt(variance)}")

Fonctionne avec la seule bibliothèque standard. Le module fractions garde le calcul en fractions exactes, sans erreur d’arrondi (comb donne le nombre de combinaisons « k parmi n »). Cet exemple est celui d’exactement 2 fois « pile » en 4 lancers. À l’exécution, il affiche la probabilité 3/8 = 0,375, 11/16 = 0,6875 pour « au plus 2 » comme pour « au moins 2 », et l’espérance 2, la variance 1 et l’écart-type 1. Modifiez les trois nombres n, p et k, puis exécutez.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Probabilité binomiale (probabilité d’exactement \(k\) succès)

P(X = k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <msup><mi>p</mi><mi>k</mi></msup>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>k</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P(X = k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

PDF[BinomialDistribution[n, p], k]

binomial(n, k)*p^k*(1-p)^(n-k);

binopdf(k, n, p)

P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

Probabilités cumulées (au plus \(k\) et au moins \(k\) succès)

P(X ⩽ k) = Σ[i=0→k] C(n, i) pⁱ (1 − p)ⁿ⁻ⁱ

P(X \leqslant k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^{i} (1 - p)^{n - i}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>&#x2A7D;</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>k</mi>
    </munderover>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>i</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <msup><mi>p</mi><mi>i</mi></msup>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>i</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P(X <= k) = sum_(i=0)^k C(n,i) p^i (1-p)^(n-i)

CDF[BinomialDistribution[n, p], k]

add(binomial(n, i)*p^i*(1-p)^(n-i), i = 0..k);

binocdf(k, n, p)

P(X⩽k) = Σ_(i=0)^k C(n,i) p^i (1-p)^(n-i)

Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale

E(X) = np,  V(X) = np(1 − p),  σ = √(np(1 − p))

E(X) = np, \quad V(X) = np(1 - p), \quad \sigma = \sqrt{np(1 - p)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>V</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo>
    <mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
    <mo>,</mo>
    <mi>&#x3C3;</mi><mo>=</mo>
    <msqrt><mi>n</mi><mi>p</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow></msqrt>
  </mrow>
</math>

E(X) = np, V(X) = np(1-p), sigma = sqrt(np(1-p))

{Mean[BinomialDistribution[n, p]], Variance[BinomialDistribution[n, p]], StandardDeviation[BinomialDistribution[n, p]]}

n*p; n*p*(1-p); sqrt(n*p*(1-p));

[m, v] = binostat(n, p); s = sqrt(v);

E(X) = np, V(X) = np(1-p), σ = √(np(1-p))

Approximation par la loi normale (condition usuelle : \(np \geqslant 5\) et \(n(1-p) \geqslant 5\))

B(n ; p) ≈ N(np ; np(1 − p))

\mathcal{B}(n\,;\,p) \approx \mathcal{N}(np\,;\,np(1 - p))

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi mathvariant="script">B</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#x2248;</mo>
    <mi mathvariant="script">N</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mi>p</mi><mo>;</mo>
    <mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

B(n; p) ~~ N(np; np(1-p))

NormalDistribution[n p, Sqrt[n p (1 - p)]]

Normal(n*p, sqrt(n*p*(1-p)));

pd = makedist('Normal', 'mu', n*p, 'sigma', sqrt(n*p*(1-p)));

B(n ; p) ≈ N(np ; np(1-p))

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul en mathématiques (probabilités et statistiques). Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

Je participe 10 fois à un tirage au sort, et chaque participation a une probabilité de 1/6 de gagner. Pour la loi binomiale du nombre de gains, calcule :
1. La probabilité de gagner exactement 2 fois, P(X=2) (en fraction irréductible et en écriture décimale)
2. La probabilité de gagner au plus 2 fois, P(X⩽2), et au moins 2 fois, P(X⩾2)
3. L’espérance E(X), la variance V(X) et l’écart-type σ
4. Si la condition usuelle de l’approximation par la loi normale, np ⩾ 5 et n(1−p) ⩾ 5, est remplie

En Python, calcule de façon exacte avec fractions et math.comb de la bibliothèque standard, et présente les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule