Binomialverteilung berechnen (genau k Treffer, kumulierte Wahrscheinlichkeit)

Geben Sie die Anzahl der Versuche n, die Trefferwahrscheinlichkeit p bei einem Versuch und die Anzahl der Treffer k ein. Sie erhalten die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer, die kumulierten Wahrscheinlichkeiten für höchstens k und mindestens k Treffer, den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung sowie ein Säulendiagramm der gesamten Verteilung.

Anzahl der Versuche n

Trefferwahrscheinlichkeit p

Anzahl der Treffer k

Geben Sie die Trefferwahrscheinlichkeit p als Dezimalzahl von 0 bis 1 ein (für 25 % geben Sie 0,25 ein) oder als Bruch wie 1/4. n ist eine ganze Zahl von 1 bis 50 und k eine ganze Zahl von 0 bis n.

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie die Anzahl der Versuche und die Wahrscheinlichkeit in die Felder links ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Säulendiagramm der Verteilung erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Diagramme
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie nur 3 Zahlen ein, und Sie erhalten sofort „die Wahrscheinlichkeit, dass etwas mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) bei \(n\) Versuchen genau \(k\)-mal eintritt“, \(P(X = k) = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}\)
Die Antwort erscheint als vollständig gekürzter Bruch wie \(\dfrac{3}{8}\) (der exakte Wert) und zugleich als Dezimalzahl und in Prozent. Sie sehen auch den Rechenweg für die Anzahl der Kombinationen \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
Gleichzeitig berechnet der Rechner die kumulierten Wahrscheinlichkeiten „höchstens \(k\)-mal“ \(P(X \le k)\) und „mindestens \(k\)-mal“ \(P(X \ge k)\)
Er zeigt den Erwartungswert \(E(X) = np\), die Varianz \(\mathrm{Var}(X) = np(1-p)\) und die Standardabweichung \(\sigma\) und prüft die Faustregel für die Normalapproximation
Die gesamte Verteilung, von 0 bis \(n\) Treffern, wird als Säulendiagramm gezeichnet, sodass Sie auf einen Blick sehen, welche Trefferzahlen am wahrscheinlichsten sind

Der Rechner gilt für Bernoulli-Ketten, bei denen die Wahrscheinlichkeit jedes Mal gleich ist und die Ergebnisse einander nicht beeinflussen (unabhängig sind). Er gilt nicht, wenn sich die Wahrscheinlichkeit von Versuch zu Versuch ändert, etwa beim Ziehen von Losen ohne Zurücklegen.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

„k Treffer bei n Versuchen“ bei Lootboxen und Verlosungen abschätzen (Spiele)

Öffnen Sie 100 Lootboxen mit einer Drop-Rate von 1 %, folgt die Anzahl der seltenen Drops der Binomialverteilung \(B(100; 0{,}01)\) (unter der Annahme, dass jeder Versuch wie angegeben dieselbe Chance hat und unabhängig ist). Die Wahrscheinlichkeit, überhaupt nichts zu bekommen, beträgt \(0{,}99^{100} \approx 36{,}6\,\%\), die Verteilung zeigt also, dass das Bauchgefühl „100 Versuche bei 1 % sind fast sicher“ riskant ist.
„Den Erwartungswert \(np\) plus die Streuung“ abzuschätzen, wenn Sie planen, wie viel Sie ausgeben, ist genau die Rechnung dieser Seite.

Annahmekriterien für die Stichprobenprüfung festlegen (Fertigung und Qualitätssicherung)

Statt jedes Teil zu prüfen, nutzen Fabriken die Stichprobenprüfung: „Aus einem Los werden \(n\) Teile entnommen, und das Los wird angenommen, wenn höchstens \(c\) Teile fehlerhaft sind.“ Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Los mit der Fehlerquote \(p\) angenommen wird, ist genau die kumulierte binomiale Wahrscheinlichkeit \(P(X \le c)\). Entnimmt man zum Beispiel einem Los mit 1 % Fehlerquote 20 Teile und nimmt es nur bei 0 Fehlern an, beträgt die Annahmewahrscheinlichkeit \(0{,}99^{20} \approx 81{,}8\,\%\).
Diese Rechnung dient dazu, Prüfregeln zu entwerfen, die gute Lose mit hoher Wahrscheinlichkeit annehmen und schlechte ablehnen.

Zufallstreffer bei Multiple-Choice-Klausuren abschätzen (Bildung und Prüfungen)

Raten Sie bei allen 20 Fragen einer Klausur mit je 4 Antwortmöglichkeiten, folgt die Anzahl der richtigen Antworten der Binomialverteilung \(B(20; 0{,}25)\), und der Erwartungswert ist \(20 \cdot 0{,}25 = 5\) Fragen. Die Chance, durch Glück 8 oder mehr richtig zu haben, beträgt nur etwa 10 %, was wahrscheinlichkeitstheoretisch bestätigt, dass bloßes Raten selten zum Bestehen reicht.
Auch wer Klausuren stellt, behält diese Verteilung im Blick, wenn er die Anzahl der Fragen und die Bestehensgrenze festlegt, damit man nicht durch Glück besteht.

Die Schwankungen von Trefferzahlen im Sport lesen (Basketball und mehr)

Wirft eine Spielerin mit einer Freiwurfquote von 70 % 10 Freiwürfe, beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau 7 Treffer nur \({}_{10}\mathrm{C}_{7} \cdot 0{,}7^{7} \cdot 0{,}3^{3} \approx 26{,}7\,\%\) (jeder Wurf wird als unabhängig mit fester Trefferquote behandelt). Genau 7 von 10 zu treffen ist für eine 70-%-Werferin also nicht so gewöhnlich, wie es klingt. 6 oder 8 Treffer kommen ständig vor.
Die Binomialverteilung hilft Ihnen zu erkennen, wie viel von einer „Serie“ oder einem „Formtief“ nur normale zufällige Schwankung ist.

Woher die Fehlermarge bei Umfragen und Einschaltquoten kommt (Erhebungen)

Bei Umfragen zur Sonntagsfrage und bei der Messung von Einschaltquoten behandelt man die Anzahl der Personen unter den \(n\) Befragten, die eine bestimmte Antwort geben, als binomialverteilt. Die Fehlermarge „plus/minus einige Prozentpunkte“ wird aus der Standardabweichung \(\sqrt{np(1-p)}\) und der Normalapproximation berechnet.
Wie viele Personen befragt werden müssen, um die Fehlermarge auf eine Zielgröße zu senken, richtet sich unmittelbar nach den Eigenschaften der Binomialverteilung.

Formeln und Diagramme

Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung (genau \(k\) Treffer)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(P(X = k)\) \(=\) \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) \(\cdot\) \(p\) \(k\) \(\cdot\) \((1 - p)\) \(n - k\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

⑥ \(P(X = k)\): Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer \(=\) ⑤ \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\): Anzahl der Möglichkeiten, welche Versuche Treffer sind \(\cdot\) ① \(p\): Trefferwahrscheinlichkeit ② \(k\): Anzahl der Treffer \(\cdot\) ③ \(1 - p\): Wahrscheinlichkeit für eine Niete ④ \(n - k\): Anzahl der Nieten

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die \(p\): Trefferwahrscheinlichkeit

② multiplizieren Sie sie so oft mit sich selbst, wie die \(k\): Anzahl der Treffer angibt,

③ nehmen Sie dann die \(1 - p\): Wahrscheinlichkeit für eine Niete

④ und multiplizieren Sie sie so oft mit sich selbst, wie die \(n - k\): Anzahl der Nieten angibt,

⑤ multiplizieren Sie die Ergebnisse mit der \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\): Anzahl der Möglichkeiten, welche Versuche Treffer sind

⑥ und Sie erhalten die \(P(X = k)\): Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer

Einfaches Beispiel

Wirft man eine Münze (Wahrscheinlichkeit für Kopf \(\dfrac{1}{2}\)) 4-mal, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau 2-mal Kopf

Wahrscheinlichkeit für genau 2 \(P(X = 2)\) \(=\) Anzahl der Reihenfolgen \({}_{4}\mathrm{C}_{2}\) \(\cdot\) Kopf \(\dfrac{1}{2}\), zweimal \(\cdot\) Zahl \(\dfrac{1}{2}\), zweimal

\({}_{4}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\)

\(P(X = 2) = 6 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}\ \ (37{,}5\,\%)\)

Der Kerngedanke

Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Reihenfolge mit \(k\) Treffern und \(n-k\) Nieten ist \(p^{k} (1-p)^{n-k}\). Es gibt \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) solche Reihenfolgen (Möglichkeiten, auszuwählen, welche Versuche Treffer sind), und das Multiplizieren mit dieser Anzahl ergibt die Antwort. In deutschen Schulbüchern schreibt man die Anzahl meist als Binomialkoeffizient \(\binom{n}{k}\) („\(n\) über \(k\)“). Es ist dieselbe Zahl. Die Verteilung, die die Wahrscheinlichkeit jeder möglichen Trefferzahl \(X\) (0, 1, …, \(n\) Treffer) zusammenfasst, heißt Binomialverteilung und wird \(B(n;\ p)\) geschrieben (in Deutschland mit Semikolon). Der Rechner auf dieser Seite zeichnet die gesamte Verteilung als Säulendiagramm.

Kumulierte Wahrscheinlichkeit (höchstens \(k\) und mindestens \(k\) Treffer)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(P(X \le k)\) \(=\) \(P(X=0) + P(X=1) + \cdots + P(X=k)\)

\(P(X \ge k)\) \(=\) \(1\) \(-\) \(P(X \le k - 1)\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(P(X \le k)\): Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer \(=\) ① Summe der Wahrscheinlichkeiten für genau 0 bis genau \(k\) Treffer

⑤ \(P(X \ge k)\): Wahrscheinlichkeit für mindestens \(k\) Treffer \(=\) ③ \(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit \(-\) ④ Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k-1\) Treffer

Die Formel in Worten

① Addieren Sie alle Wahrscheinlichkeiten für genau 0, genau 1, …, genau \(k\) Treffer

② und Sie erhalten die \(P(X \le k)\): Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer

③ Bei „mindestens \(k\)“ ist die Rechnung mit dem Gegenereignis kürzer. Gehen Sie von der \(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit aus,

④ ziehen Sie die \(P(X \le k-1)\): Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k-1\) Treffer ab,

⑤ und Sie erhalten die \(P(X \ge k)\): Wahrscheinlichkeit für mindestens \(k\) Treffer

Einfaches Beispiel

Wirft man eine Münze 4-mal, dann sind die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2-mal Kopf und die Wahrscheinlichkeit für mindestens 2-mal Kopf

Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 \(P(X \le 2)\) \(=\) Summe für 0, 1 und 2

\(P(X \le 2) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{6}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68{,}75\,\%)\)

\(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - \dfrac{5}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68{,}75\,\%)\)

Der Kerngedanke

„Höchstens“ und „mindestens“ schließen die Zahl selbst ein (höchstens 2 bedeutet 0, 1 oder 2). Das übliche Vorgehen ist, für „höchstens \(k\)“ einfach die exakten Wahrscheinlichkeiten zu addieren und für „mindestens \(k\)“ die Wahrscheinlichkeit für „höchstens \(k-1\)“ von der Gesamtwahrscheinlichkeit 1 abzuziehen (mit dem Gegenereignis). „Die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens einmal eintritt“ ist \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\). Das ist die häufigste Anwendung des Gegenereignisses.

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Binomialverteilung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(E(X)\) \(=\) \(n\) \(\cdot\) \(p\)

\(\mathrm{Var}(X)\) \(=\) \(n\) \(\cdot\) \(p\) \(\cdot\) \((1 - p)\)

\(\sigma\) \(=\) \(\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(E(X)\): Erwartungswert (durchschnittliche Trefferzahl) \(=\) ① \(n\): Anzahl der Versuche \(\cdot\) ② \(p\): Trefferwahrscheinlichkeit

⑤ \(\mathrm{Var}(X)\): Varianz (wie stark gestreut) \(=\) \(n\): Anzahl der Versuche \(\cdot\) \(p\): Trefferwahrscheinlichkeit \(\cdot\) ④ \(1 - p\): Wahrscheinlichkeit für eine Niete

⑦ \(\sigma\): Standardabweichung (typische Streuung) \(=\) ⑥ Quadratwurzel der Varianz \(\mathrm{Var}(X)\)

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die \(n\): Anzahl der Versuche mit der

② \(p\): Trefferwahrscheinlichkeit ,

③ und Sie erhalten den \(E(X)\): Erwartungswert (durchschnittliche Trefferzahl)

④ Multiplizieren Sie das weiter mit der \(1 - p\): Wahrscheinlichkeit für eine Niete

⑤ und Sie erhalten die \(\mathrm{Var}(X)\): Varianz (wie stark gestreut)

⑥ Die Quadratwurzel der Varianz \(\mathrm{Var}(X)\) ist die

⑦ \(\sigma\): Standardabweichung (typische Streuung)

Einfaches Beispiel

Für die Anzahl der Einsen bei 30 Würfen mit einem Würfel (\(n = 30\), \(p = \dfrac{1}{6}\)) gilt

Erwartungswert \(E(X)\) \(=\) Anzahl der Versuche \(30\) \(\cdot\) Wahrscheinlichkeit für eine 1 \(\dfrac{1}{6}\)

\(E(X) = 30 \cdot \dfrac{1}{6} = 5\)

\(\mathrm{Var}(X) = 30 \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{6}\)

\(\sigma = \sqrt{\dfrac{25}{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{6}} = \dfrac{5\sqrt{6}}{6} \approx 2{,}04\)

Der Kerngedanke

Der Erwartungswert \(np\) entspricht genau Ihrer Intuition: „Wiederholt man etwas mit der Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{6}\) 30-mal, tritt es im Durchschnitt etwa \(30 \cdot \dfrac{1}{6} = 5\)-mal ein.“ Die Varianz und die Standardabweichung zeigen, wie weit die tatsächliche Trefferzahl typischerweise vom Erwartungswert entfernt liegt. Bei einer Standardabweichung von etwa 2 können Sie das Ergebnis als „meist irgendwo um 3 bis 7-mal“ lesen statt als „genau 5-mal“. Bei gleichem \(n\) ist die Varianz \(np(1-p)\) am größten, wenn \(p = \dfrac{1}{2}\) ist (sind Treffer und Niete gleich wahrscheinlich, ist das Ergebnis am schwersten vorherzusagen).

Normalapproximation (Faustregel: \(np \ge 5\) und \(n(1-p) \ge 5\))

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

\(B(n; p)\) \(\approx\) \(N(np; np(1 - p))\)

① \(B(n; p)\): Binomialverteilung \(\approx\) ② Normalverteilung mit Mittelwert \(np\) und Varianz \(np(1-p)\)

Die Formel in Worten

① Die \(B(n; p)\): Binomialverteilung lässt sich, wenn \(np \ge 5\) und \(n(1-p) \ge 5\) gilt (die Faustregel), näherungsweise durch die

② \(N(np; np(1-p))\): Normalverteilung mit Mittelwert \(np\) und Varianz \(np(1-p)\) ersetzen

Einfaches Beispiel

Die Anzahl von Kopf bei 20 Münzwürfen (\(n = 20\), \(p = \dfrac{1}{2}\)) ist

Binomialverteilung \(B(20; \dfrac{1}{2})\) \(\approx\) Normalverteilung \(N(10; 5)\)

\(np = 20 \cdot \dfrac{1}{2} = 10 \ge 5,\quad n(1 - p) = 20 \cdot \dfrac{1}{2} = 10 \ge 5\)

\(B\left(20; \dfrac{1}{2}\right) \approx N(10; 5)\)

Der Kerngedanke

Wächst \(n\), nähert sich das Säulendiagramm der Binomialverteilung einer symmetrischen Glockenform an, fast wie die Normalverteilung. Bei großem \(n\) können Sie also die langen Summen der Binomialverteilung durch die Tabelle der Normalverteilung ersetzen (oder durch z-Werte). Das ist die Normalapproximation, und \(np \ge 5\) und \(n(1-p) \ge 5\) ist die gängige Faustregel dafür, wann man sie nutzen darf. In deutschen Schulbüchern ist die Laplace-Bedingung \(\sigma > 3\) verbreitet, die auf demselben Gedanken beruht. In \(N(np; np(1-p))\) lautet die Reihenfolge „Mittelwert; Varianz“. Nach dem Annähern finden Sie Werte wie „die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine bestimmte Trefferzahl“ auf unserer Seite „Wahrscheinlichkeit bei der Normalverteilung“.

Die Binomialverteilung ist die Verteilung von „wie oft etwas mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) bei \(n\) Versuchen eintritt“. Die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer ist \(P(X = k) = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}\), der Erwartungswert ist \(np\) und die Varianz ist \(np(1-p)\). Bei großem \(n\) lässt sie sich durch die Normalverteilung \(N(np; np(1-p))\) annähern.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(X\)	X	Die Zufallsgröße für die Anzahl der Treffer. Üblicherweise schreibt man Zahlen, die vom Zufall bestimmt werden, mit Großbuchstaben vom Ende des Alphabets, etwa \(X,\ Y,\ Z\).
\(P(X = k)\)	P von X gleich k	Die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferzahl \(X\) genau \(k\) ist. \(P\) steht für „Probability“, das englische Wort für Wahrscheinlichkeit.
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)	n über k	Die Anzahl der Kombinationen, \(k\) von \(n\) Dingen auszuwählen. \(C\) steht für „Combination“. In deutschen Schulbüchern schreibt man stattdessen meist den Binomialkoeffizienten \(\dbinom{n}{k}\), gelesen „\(n\) über \(k\)“.
\(n\)	n	Die Anzahl der Versuche (wie oft Sie wiederholen). Für eine Anzahl wird häufig der Buchstabe \(n\) verwendet.
\(p\)	p	Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei einem Versuch (Trefferwahrscheinlichkeit). Der Buchstabe stammt von „Probability“, und der Kleinbuchstabe steht häufig für die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs.
\(1 - p\)	eins minus p	Die Wahrscheinlichkeit für eine Niete bei einem Versuch (kein Treffer). Es tritt immer entweder ein Treffer oder eine Niete ein, also bleibt, was von der Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\) nach Abzug von \(p\) übrig ist. Sie wird auch \(q\) geschrieben.
\(k\)	k	Die Anzahl der Treffer, eine ganze Zahl von \(0\) bis \(n\). Der Buchstabe \(k\) wird häufig verwendet, um „wie oft“ anzugeben.
\(P(X \le k)\)	P von X kleiner gleich k	Die Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer (irgendeine Zahl von 0 bis \(k\)). Es ist eine kumulierte Wahrscheinlichkeit, die bis \(k\) aufaddierten exakten Wahrscheinlichkeiten.
\(P(X \ge k)\)	P von X größer gleich k	Die Wahrscheinlichkeit für mindestens \(k\) Treffer (irgendeine Zahl von \(k\) bis \(n\)). Zieht man \(P(X \le k-1)\) von der Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\) ab (das Gegenereignis), wird die Summe kürzer.
\(E(X)\)	E von X	Der Erwartungswert (die durchschnittliche Trefferzahl). \(E\) steht für „Expectation“. Bei der Binomialverteilung ist \(E(X) = np\). Er wird auch \(\mu\) geschrieben.
\(\mathrm{Var}(X)\)	Varianz von X	Die Varianz (wie stark die Ergebnisse streuen). Bei der Binomialverteilung ist \(\mathrm{Var}(X) = np(1-p)\). Sie wird auch \(V(X)\) oder \(\sigma^2\) geschrieben.
\(\sigma\)	Sigma	Die Standardabweichung. Der griechische Kleinbuchstabe Sigma. Sie ist die Quadratwurzel der Varianz, \(\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}\), und zeigt den typischen Abstand zum Erwartungswert.
\(B(n; p)\)	B von n Strichpunkt p	Die Binomialverteilung mit \(n\) Versuchen und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\). \(B\) steht für „binomial“. „\(X\) ist binomialverteilt“ schreibt man \(X \sim B(n; p)\).
\(N(\mu; \sigma^2)\)	N von My Strichpunkt Sigma Quadrat	Die Normalverteilung mit Mittelwert \(\mu\) und Varianz \(\sigma^2\). \(N\) steht für „normal“. Üblicherweise lautet die Reihenfolge in der Klammer „Mittelwert; Varianz“.
\(\approx\)	ungefähr gleich	Das Zeichen für „ungefähr gleich“. Auf dieser Seite zeigt es, dass sich die Binomialverteilung näherungsweise durch die Normalverteilung ersetzen lässt.

Begriffe

Binomialverteilung	Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von „wie oft etwas mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) bei \(n\) Versuchen eintritt“. Der Name kommt daher, dass das \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) in der Formel dasselbe ist wie der Binomialkoeffizient (die Koeffizienten im binomischen Lehrsatz). In Deutschland wird sie in der Stochastik der Oberstufe behandelt.
Zufallsgröße	Eine Variable, deren Wert vom Zufall bestimmt wird. Auf dieser Seite ist die Trefferzahl die Zufallsgröße. Sie nimmt die Werte von 0 bis höchstens n an, jeden mit einer eigenen Wahrscheinlichkeit.
Versuch	Eine einzelne Durchführung eines Experiments oder einer Beobachtung, deren Ergebnis vom Zufall bestimmt wird, etwa ein Münzwurf oder das Ziehen eines Loses.
Bernoulli-Kette	Derselbe Versuch wird jedes Mal mit derselben Wahrscheinlichkeit wiederholt, ohne dass sich die Ergebnisse gegenseitig beeinflussen (unabhängig). Die Binomialverteilung ist die Verteilung der Trefferzahl in einer Bernoulli-Kette.
unabhängig	Wenn das Ergebnis eines Versuchs das Ergebnis eines anderen nicht beeinflusst. Der erste und der zweite Wurf eines Würfels sind unabhängig, das Ziehen von Losen ohne Zurücklegen dagegen nicht (weil die früheren Ergebnisse ändern, wie viele Gewinne übrig sind).
Kombination	Eine Möglichkeit, \(k\) von \(n\) Dingen auszuwählen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Die Gesamtzahl davon ist \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) (der Binomialkoeffizient). In der Binomialverteilung zählt sie die Möglichkeiten, auszuwählen, bei welchen der \(n\) Versuche ein Treffer eintritt.
kumulierte Wahrscheinlichkeit	Die bis zu einer bestimmten Trefferzahl aufaddierten exakten Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer, \(P(X \le k)\), ist das typische Beispiel. Sie ist die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße.
Gegenereignis	Das Ereignis, dass etwas nicht eintritt. Die Wahrscheinlichkeiten ergeben immer zusammen 1, also lässt sich eine Wahrscheinlichkeit wie „mindestens \(k\)“ leicht finden, indem man die Gegenseite (höchstens \(k-1\)) von 1 abzieht.
Erwartungswert	Der durchschnittliche Wert, wenn Sie die Versuche oft wiederholen. Bei der Binomialverteilung ist es die durchschnittliche Trefferzahl, gegeben durch die einfache Formel \(np\).
Varianz	Ein Maß dafür, wie weit die tatsächlichen Werte typischerweise vom Erwartungswert abweichen (die Streuung). Sie ist als Mittelwert der quadrierten Abweichungen definiert.
Standardabweichung	Die Quadratwurzel der Varianz. Die Varianz hat quadrierte Einheiten, also führt das Wurzelziehen zur ursprünglichen Einheit zurück (hier die Trefferzahl) und ergibt ein Maß für die Streuung.
Normalverteilung	Eine symmetrische, glockenförmige Verteilung, bei der Werte nahe am Mittelwert am wahrscheinlichsten sind und Werte weiter weg weniger wahrscheinlich. Viele reale Größen wie Körpergrößen und Messfehler haben annähernd diese Form, und auch die Binomialverteilung nähert sich ihr bei großem \(n\).
Normalapproximation	Das Ersetzen der Binomialverteilung durch die Normalverteilung \(N(np; np(1-p))\) bei großem \(n\). Die gängige Faustregel ist \(np \ge 5\) und \(n(1-p) \ge 5\) (in Schulbüchern oft die Laplace-Bedingung \(\sigma > 3\)).

Was Sie vorab wissen sollten

Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis nutzen können und nicht nur auf die Schaltfläche klicken, hilft Ihnen das folgende Grundwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, die Themen dieser Tabelle noch einmal durchzugehen.

Grundlagen der Wahrscheinlichkeit (Klasse 7, 12–13 Jahre)	Wissen, dass eine Wahrscheinlichkeit zeigt, wie wahrscheinlich etwas ist, als Zahl von 0 bis 1 (einschließlich des Umrechnens von 0,25 in 25 %) Wissen, dass die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse immer zusammen 1 ergeben
Rechnen mit Brüchen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Brüche multiplizieren (\(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)), kürzen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen können Sich damit wohlfühlen, Antworten als Bruch zu belassen (und \(\dfrac{3}{8}\) in 0,375 umzuwandeln)
Potenzen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Wissen, dass die kleine Zahl oben rechts (der Exponent) angibt, wie oft multipliziert wird, wie in \(p^{3} = p \cdot p \cdot p\) Einen Bruch potenzieren können, wie in \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4} = \dfrac{1}{16}\)
Kombinatorik und Kombinationen (Sekundarstufe II, ab 15 Jahren)	Wissen, dass \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) (der Binomialkoeffizient „\(n\) über \(k\)“) „die Anzahl der Möglichkeiten ist, \(k\) von \(n\) Dingen ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen“ Ihn berechnen können, wie in \({}_{4}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\)
Bernoulli-Ketten und das Gegenereignis (Sekundarstufe II, ab 15 Jahren)	Den Aufbau einer Bernoulli-Kette verstehen, „unabhängig und jedes Mal mit derselben Wahrscheinlichkeit wiederholt“ Den Gedanken des Gegenereignisses nutzen können, „mindestens einmal“ als \(1 - P(X = 0)\) zu berechnen
Zufallsgrößen, Erwartungswert und Varianz (Sekundarstufe II, ab 16 Jahren)	Wissen, was eine Zufallsgröße (eine Variable, deren Wert vom Zufall bestimmt wird) und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sind Wissen, dass der Erwartungswert der Durchschnittswert ist und die Varianz und die Standardabweichung die Streuung zeigen
Die Normalverteilung (Sekundarstufe II, ab 16 Jahren)	Wissen, dass die Normalverteilung eine symmetrische, glockenförmige Verteilung ist, bei der Werte nahe am Mittelwert am wahrscheinlichsten sind (das brauchen Sie für die Karte zur Normalapproximation) Wissen, dass die Reihenfolge in \(N(\mu; \sigma^2)\) „Mittelwert; Varianz“ lautet

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer

Anzahl der Versuche n	4
Trefferwahrscheinlichkeit p	0,5
Anzahl der Treffer k	2
Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer P(X=k)	=BINOM.VERT(B3;B1;B2;FALSCH)

Tabelle zur Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten (höchstens k, mindestens k)

Anzahl der Versuche n	4
Trefferwahrscheinlichkeit p	0,5
Anzahl der Treffer k	2
Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer P(X≤k)	=BINOM.VERT(B3;B1;B2;WAHR)
Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer P(X≥k)	=1-BINOM.VERT(B3-1;B1;B2;WAHR)

Tabelle zur Berechnung von Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Anzahl der Versuche n	30
Trefferwahrscheinlichkeit p	=1/6
Erwartungswert E(X) = np	=B1*B2
Varianz Var(X) = np(1-p)	=B1B2(1-B2)
Standardabweichung σ	=WURZEL(B4)

Tabelle zur Prüfung der Faustregel für die Normalapproximation

Anzahl der Versuche n	20
Trefferwahrscheinlichkeit p	0,5
np	=B1*B2
n(1-p)	=B1*(1-B2)
Faustregel erfüllt?	=UND(B3>=5;B4>=5)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (n, p und k) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
BINOM.VERT ist die Funktion der Binomialverteilung. Ihre Argumente lauten der Reihe nach „Anzahl der Treffer; Anzahl der Versuche; Trefferwahrscheinlichkeit; kumuliert oder nicht“. Mit FALSCH am Ende erhalten Sie die exakte Wahrscheinlichkeit, mit WAHR die kumulierte Wahrscheinlichkeit für höchstens diese Trefferzahl.
Die erste Tabelle ist das Beispiel für genau 2-mal Kopf bei 4 Münzwürfen, und die Antwort ist 0,375 (= 3/8).
Beide Antworten in der zweiten Tabelle sind 0,6875. „Mindestens k“ ergibt sich, indem man „höchstens k−1“ von 1 abzieht (diese Formel liefert einen Fehler, wenn k gleich 0 ist, aber die Wahrscheinlichkeit für 0 oder mehr ist immer 1).
Die dritte Tabelle ist die Anzahl der Einsen bei 30 Würfen mit einem Würfel: Erwartungswert 5, Varianz 4,1667 und Standardabweichung 2,0412.
Die vierte Tabelle zeigt WAHR, wenn np und n(1−p) beide mindestens 5 sind (die Faustregel für die Normalapproximation ist erfüllt), und sonst FALSCH.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer

Anzahl der Versuche n	4
Trefferwahrscheinlichkeit p	0,5
Anzahl der Treffer k	2
Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer P(X=k)	=BINOMVERT(B3;B1;B2;FALSCH)

Tabelle zur Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten (höchstens k, mindestens k)

Anzahl der Versuche n	4
Trefferwahrscheinlichkeit p	0,5
Anzahl der Treffer k	2
Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer P(X≤k)	=BINOMVERT(B3;B1;B2;WAHR)
Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer P(X≥k)	=1-BINOMVERT(B3-1;B1;B2;WAHR)

Tabelle zur Berechnung von Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Anzahl der Versuche n	30
Trefferwahrscheinlichkeit p	=1/6
Erwartungswert E(X) = np	=B1*B2
Varianz Var(X) = np(1-p)	=B1B2(1-B2)
Standardabweichung σ	=WURZEL(B4)

Tabelle zur Prüfung der Faustregel für die Normalapproximation

Anzahl der Versuche n	20
Trefferwahrscheinlichkeit p	0,5
np	=B1*B2
n(1-p)	=B1*(1-B2)
Faustregel erfüllt?	=UND(B3>=5;B4>=5)

In Google Tabellen heißt die Funktion BINOMVERT (die Argumente stehen in derselben Reihenfolge wie bei BINOM.VERT in Excel: „Anzahl der Treffer; Anzahl der Versuche; Trefferwahrscheinlichkeit; kumuliert oder nicht“). Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie n, p und k durch Ihre eigenen Zahlen.
Wie in Excel liefert die Formel für „mindestens k“ einen Fehler, wenn k gleich 0 ist (die Wahrscheinlichkeit für 0 oder mehr ist immer 1).

Mit Python berechnen

from fractions import Fraction
from math import comb, sqrt

trial_count = 4                  # Anzahl der Versuche n
success_prob = Fraction(1, 2)    # Trefferwahrscheinlichkeit p (auch eine Dezimalzahl wie 0.3 geht)
success_count = 2                # Anzahl der Treffer k

failure_prob = 1 - success_prob

# Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer P(X=k) = nCk × p^k × (1−p)^(n−k)
exact_prob = (comb(trial_count, success_count)
              * success_prob ** success_count
              * failure_prob ** (trial_count - success_count))
print(f"Wahrscheinlichkeit für genau {success_count} Treffer: {exact_prob} = {float(exact_prob)}")

# kumulierte Wahrscheinlichkeiten (höchstens k, mindestens k)
prob_le = sum(comb(trial_count, i) * success_prob ** i * failure_prob ** (trial_count - i)
              for i in range(success_count + 1))
prob_ge = 1 - prob_le + exact_prob
print(f"Wahrscheinlichkeit für höchstens {success_count} Treffer: {prob_le} = {float(prob_le)}")
print(f"Wahrscheinlichkeit für mindestens {success_count} Treffer: {prob_ge} = {float(prob_ge)}")

# Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
mean = trial_count * success_prob
variance = mean * failure_prob
print(f"Erwartungswert: {mean}  Varianz: {variance}  Standardabweichung: {sqrt(variance)}")

Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek. Das Modul fractions hält die Rechnung als exakte Brüche ohne Rundungsfehler (comb ist die Anzahl der Kombinationen nCk). Dieses Beispiel ist genau 2-mal Kopf bei 4 Münzwürfen. Beim Ausführen zeigt es die Wahrscheinlichkeit 3/8, 11/16 sowohl für höchstens 2 als auch für mindestens 2 Treffer sowie Erwartungswert 2, Varianz 1 und Standardabweichung 1,0. Ändern Sie die drei Zahlen n, p und k und führen Sie den Code aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung (genau \(k\) Treffer)

P(X = k) = nCk · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <msup><mi>p</mi><mi>k</mi></msup>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>k</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P(X = k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

PDF[BinomialDistribution[n, p], k]

binomial(n, k)*p^k*(1-p)^(n-k);

binopdf(k, n, p)

P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

Kumulierte Wahrscheinlichkeit (höchstens \(k\) und mindestens \(k\) Treffer)

P(X ≤ k) = Σ[i=0→k] nCi · pⁱ · (1 − p)ⁿ⁻ⁱ

P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \cdot p^{i} \cdot (1 - p)^{n - i}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>&#x2264;</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>k</mi>
    </munderover>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>i</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <msup><mi>p</mi><mi>i</mi></msup>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>i</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P(X <= k) = sum_(i=0)^k C(n,i) p^i (1-p)^(n-i)

CDF[BinomialDistribution[n, p], k]

add(binomial(n, i)*p^i*(1-p)^(n-i), i = 0..k);

binocdf(k, n, p)

P(X≤k) = Σ_(i=0)^k C(n,i) p^i (1-p)^(n-i)

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Binomialverteilung

E(X) = np,  Var(X) = np(1 − p),  σ = √(np(1 − p))

E(X) = np, \quad \mathrm{Var}(X) = np(1 - p), \quad \sigma = \sqrt{np(1 - p)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>Var</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo>
    <mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
    <mo>,</mo>
    <mi>&#x3C3;</mi><mo>=</mo>
    <msqrt><mi>n</mi><mi>p</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow></msqrt>
  </mrow>
</math>

E(X) = np, Var(X) = np(1-p), sigma = sqrt(np(1-p))

{Mean[BinomialDistribution[n, p]], Variance[BinomialDistribution[n, p]], StandardDeviation[BinomialDistribution[n, p]]}

n*p; n*p*(1-p); sqrt(n*p*(1-p));

[m, v] = binostat(n, p); s = sqrt(v);

E(X) = np, Var(X) = np(1-p), σ = √(np(1-p))

Normalapproximation (Faustregel: \(np \ge 5\) und \(n(1-p) \ge 5\))

B(n; p) ≈ N(np; np(1 − p))

B(n; p) \approx N(np; np(1 - p))

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>B</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#x2248;</mo>
    <mi>N</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mi>p</mi><mo>;</mo>
    <mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

B(n; p) ~~ N(np; np(1-p))

NormalDistribution[n p, Sqrt[n p (1 - p)]]

Normal(n*p, sqrt(n*p*(1-p)));

pd = makedist('Normal', 'mu', n*p, 'sigma', sqrt(n*p*(1-p)));

B(n; p) ≈ N(np; np(1-p))

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Mathematik (Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (rechnen Sie nicht im Kopf und raten Sie nicht).

Sie nehmen 10-mal an einer Verlosung teil, und jede Teilnahme gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit 1/6. Berechnen Sie für die Binomialverteilung der Anzahl der Gewinne:
1. Die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Gewinne, P(X=2) (als vollständig gekürzten Bruch und als Dezimalzahl)
2. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Gewinne, P(X≤2), und für mindestens 2 Gewinne, P(X≥2)
3. Den Erwartungswert E(X), die Varianz Var(X) und die Standardabweichung σ
4. Ob die Faustregel für die Normalapproximation, np ≥ 5 und n(1−p) ≥ 5, erfüllt ist

Rechnen Sie in Python exakt mit fractions und math.comb aus der Standardbibliothek und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel