Binomialverteilung berechnen (genau, höchstens, mindestens k Treffer)

Geben Sie die Anzahl der Versuche n, die Trefferwahrscheinlichkeit p pro Versuch und die Anzahl der Treffer k ein. Sie erhalten die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer, die kumulierten Wahrscheinlichkeiten für höchstens und mindestens k Treffer, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung sowie ein Säulendiagramm der ganzen Verteilung.

Anzahl der Versuche n

Trefferwahrscheinlichkeit p

Anzahl der Treffer k

Geben Sie die Wahrscheinlichkeit p als Dezimalzahl von 0 bis 1 (für 25 % also 0,25) oder als Bruch wie 1/4 ein. n ist eine ganze Zahl von 1 bis 50, k eine ganze Zahl von 0 bis n.

Ergebnis und Graph

Geben Sie links die Anzahl der Versuche und die Wahrscheinlichkeit ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und Säulendiagramm der Verteilung erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Diagramme
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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Das können Sie auf dieser Seite

Mit nur 3 Zahlen berechnen Sie sofort, „wie wahrscheinlich etwas mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) bei \(n\) Versuchen genau \(k\)-mal eintritt“: \(P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}\)
Das Ergebnis erscheint als vollständig gekürzter Bruch (exakter Wert) wie \(\dfrac{3}{8}\) und zusätzlich als Dezimalzahl und in Prozent. Auch der Rechenweg für den Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) wird gezeigt
Gleichzeitig berechnet der Rechner die kumulierten Wahrscheinlichkeiten „höchstens \(k\)“ \(P(X \le k)\) und „mindestens \(k\)“ \(P(X \ge k)\)
Er zeigt den Erwartungswert \(E(X) = np\), die Varianz \(V(X) = np(1-p)\) und die Standardabweichung \(\sigma\) und prüft die Faustregel, ob sich die Normalverteilung als Näherung eignet
Die ganze Verteilung von 0 bis \(n\) Treffern wird als Säulendiagramm gezeichnet – so sehen Sie auf einen Blick, welche Trefferzahlen am wahrscheinlichsten sind

Der Rechner gilt für Wiederholungen (Bernoulli-Kette), bei denen die Wahrscheinlichkeit jedes Mal gleich ist und sich die Ergebnisse nicht gegenseitig beeinflussen (unabhängig). Ändert sich die Wahrscheinlichkeit von Versuch zu Versuch – etwa beim Ziehen von Losen ohne Zurücklegen –, passt er nicht.

Wofür braucht man diese Berechnung?

„k Treffer bei n Versuchen“ bei Lootboxen und Verlosungen abschätzen (Spiele)

Öffnen Sie 100 Lootboxen mit 1 % Dropchance, folgt die Anzahl der seltenen Drops der Binomialverteilung \(B(100;\ 0{,}01)\) (wenn jeder Versuch wie angegeben dieselbe Wahrscheinlichkeit hat und unabhängig ist). Die Wahrscheinlichkeit, gar nichts zu bekommen, liegt bei \(0{,}99^{100} \approx 36{,}6\,\%\) – die Verteilung zeigt, wie trügerisch das Bauchgefühl „100 Versuche mit 1 % sind fast sicher“ ist.
Wer Ausgaben anhand von „Erwartungswert \(np\) plus Streuung“ plant, macht genau die Rechnung dieser Seite.

Annahmeregeln für Stichprobenprüfungen festlegen (Fertigung und Qualitätskontrolle)

Statt alles zu prüfen, nutzen Fabriken Stichprobenprüfungen (Annahmestichproben): „Aus einem Los \(n\) Teile entnehmen und das Los annehmen, wenn höchstens \(c\) fehlerhaft sind.“ Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Los mit Fehlerquote \(p\) angenommen wird, ist genau die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le c)\) der Binomialverteilung. Entnimmt man zum Beispiel aus einem Los mit 1 % Fehlerquote 20 Teile und nimmt es nur bei 0 Fehlern an, liegt die Annahmewahrscheinlichkeit bei \(0{,}99^{20} \approx 81{,}8\,\%\).
Mit dieser Rechnung werden Prüfregeln entworfen, die gute Lose mit hoher Wahrscheinlichkeit durchlassen und schlechte aussortieren.

Zufallstreffer bei Multiple-Choice-Tests abschätzen (Schule und Prüfungen)

Raten Sie bei allen 20 Fragen eines Tests mit je 4 Antwortmöglichkeiten, folgt die Zahl der richtigen Antworten der Binomialverteilung \(B(20;\ 0{,}25)\), der Erwartungswert ist \(20 \times 0{,}25 = 5\) Fragen. Die Wahrscheinlichkeit, 8 oder mehr Fragen zufällig richtig zu haben, liegt nur bei etwa 10 % – reines Raten reicht also selten zum Bestehen.
Auch wer Prüfungen erstellt, berücksichtigt diese Verteilung bei der Zahl der Fragen und der Bestehensgrenze, damit man nicht zufällig besteht.

Schwankungen in der Sportstatistik richtig lesen (Basketball, Fußball und mehr)

Wirft eine Basketballspielerin mit 70 % Freiwurfquote 10 Freiwürfe, trifft sie genau 7 nur mit \(\binom{10}{7} \times 0{,}7^{7} \times 0{,}3^{3} \approx 26{,}7\,\%\) Wahrscheinlichkeit (wenn jeder Wurf als unabhängig mit fester Trefferquote gilt). „70 % Quote, also 7 von 10“ ist gar nicht so selbstverständlich; 6 oder 8 Treffer kommen ständig vor. Dasselbe gilt für einen Elfmeterschützen mit 70 % Quote.
Die Binomialverteilung hilft zu erkennen, wie viel an einer „Glückssträhne“ oder einem „Formtief“ einfach normale Zufallsschwankung ist.

Woher die Fehlertoleranz bei Umfragen und Einschaltquoten kommt (Statistik)

Bei Umfragen wie der Sonntagsfrage oder bei der Messung von Einschaltquoten nimmt man an, dass die Zahl der Befragten mit einer bestimmten Antwort unter \(n\) Befragten binomialverteilt ist. Die übliche Fehlertoleranz von „plus/minus einigen Prozentpunkten“ ergibt sich aus der Standardabweichung \(\sqrt{np(1-p)}\) und der Näherung durch die Normalverteilung.
Auch die Frage, wie viele Menschen man befragen muss, um eine gewünschte Fehlertoleranz zu erreichen, beruht direkt auf den Eigenschaften der Binomialverteilung.

Formeln und Diagramme

Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung (genau \(k\) Treffer)

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(P(X = k)\) \(=\) \(\binom{n}{k}\) \(\times\) \(p\) \(k\) \(\times\) \((1 - p)\) \(n - k\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

⑥ \(P(X = k)\): Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer \(=\) ⑤ \(\binom{n}{k}\): Anzahl der Möglichkeiten, auf welche Versuche die Treffer fallen \(\times\) ① \(p\): Trefferwahrscheinlichkeit ② \(k\): Anzahl der Treffer \(\times\) ③ \(1 - p\): Wahrscheinlichkeit für eine Niete ④ \(n - k\): Anzahl der Nieten

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die \(p\): Trefferwahrscheinlichkeit

② so oft mit sich selbst, wie die \(k\): Anzahl der Treffer angibt,

③ ebenso die \(1 - p\): Wahrscheinlichkeit für eine Niete

④ so oft, wie die \(n - k\): Anzahl der Nieten angibt.

⑤ Multiplizieren Sie beides mit dem \(\binom{n}{k}\): Anzahl der Möglichkeiten, auf welche Versuche die Treffer fallen

⑥ und Sie erhalten die \(P(X = k)\): Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer

Einfaches Beispiel

Werfen Sie eine Münze („Kopf“ mit der Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{2}\)) 4-mal, so ist die Wahrscheinlichkeit für genau 2-mal „Kopf“

genau 2-mal \(P(X = 2)\) \(=\) Anzahl der Reihenfolgen \(\binom{4}{2}\) \(\times\) „Kopf“ \(\dfrac{1}{2}\), zweimal \(\times\) „Zahl“ \(\dfrac{1}{2}\), zweimal

\(\binom{4}{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)

\(P(X = 2) = 6 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}\ \ (37{,}5\,\%)\)

Der Grundgedanke

Eine bestimmte Reihenfolge mit \(k\) Treffern und \(n-k\) Nieten hat die Wahrscheinlichkeit \(p^{k} (1-p)^{n-k}\) (Pfadregel im Baumdiagramm). Solche Reihenfolgen (Pfade) gibt es \(\binom{n}{k}\) – so viele Möglichkeiten gibt es, die Versuche mit Treffer auszuwählen. Multipliziert man damit, erhält man das Ergebnis (Formel von Bernoulli). Fasst man die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Trefferzahlen \(X\) (0, 1, …, \(n\)) zusammen, erhält man die Binomialverteilung, geschrieben \(B(n;\ p)\) oder \(B_{n;\,p}\). Der Rechner auf dieser Seite zeichnet die ganze Verteilung als Säulendiagramm.

Kumulierte Wahrscheinlichkeit (höchstens \(k\) und mindestens \(k\) Treffer)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(P(X \le k)\) \(=\) \(P(X=0) + P(X=1) + \cdots + P(X=k)\)

\(P(X \ge k)\) \(=\) \(1\) \(-\) \(P(X \le k - 1)\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(P(X \le k)\): Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer \(=\) ① Summe der Wahrscheinlichkeiten für genau 0 bis genau \(k\) Treffer

⑤ \(P(X \ge k)\): Wahrscheinlichkeit für mindestens \(k\) Treffer \(=\) ③ \(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit \(-\) ④ Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k-1\) Treffer

Die Formel in Worten

① Addiert man alle Wahrscheinlichkeiten für genau 0, genau 1, …, genau \(k\) Treffer ,

② erhält man die \(P(X \le k)\): Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer .

③ Für „mindestens \(k\)“ geht es über das Gegenereignis kürzer: Von der \(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit

④ ziehen Sie die \(P(X \le k-1)\): Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k-1\) Treffer ab

⑤ und erhalten die \(P(X \ge k)\): Wahrscheinlichkeit für mindestens \(k\) Treffer

Einfaches Beispiel

Werfen Sie eine Münze 4-mal, so sind die Wahrscheinlichkeiten für höchstens 2-mal und für mindestens 2-mal „Kopf“

höchstens 2-mal \(P(X \le 2)\) \(=\) Summe für 0-, 1- und 2-mal

\(P(X \le 2) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{6}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68{,}75\,\%)\)

\(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - \dfrac{5}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68{,}75\,\%)\)

Der Grundgedanke

„Höchstens“ und „mindestens“ schließen die Zahl selbst ein (höchstens 2 heißt 0, 1 oder 2). Üblich ist: Für „höchstens \(k\)“ addiert man einfach die Einzelwahrscheinlichkeiten, für „mindestens \(k\)“ zieht man „höchstens \(k-1\)“ von der Gesamtwahrscheinlichkeit 1 ab (Gegenereignis). In Formelsammlungen und Tafelwerken stehen dafür die Tabellen der kumulierten Binomialverteilung. „Die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens einmal eintritt“ ist \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\) – die häufigste Anwendung des Gegenereignisses.

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Binomialverteilung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(E(X)\) \(=\) \(n\) \(\times\) \(p\)

\(V(X)\) \(=\) \(n\) \(\times\) \(p\) \(\times\) \((1 - p)\)

\(\sigma\) \(=\) \(\sqrt{V(X)}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(E(X)\): Erwartungswert (durchschnittliche Trefferzahl) \(=\) ① \(n\): Anzahl der Versuche \(\times\) ② \(p\): Trefferwahrscheinlichkeit

⑤ \(V(X)\): Varianz (Stärke der Streuung) \(=\) \(n\): Anzahl der Versuche \(\times\) \(p\): Trefferwahrscheinlichkeit \(\times\) ④ \(1 - p\): Wahrscheinlichkeit für eine Niete

⑦ \(\sigma\): Standardabweichung (typische Streuung) \(=\) ⑥ Wurzel aus der Varianz \(V(X)\)

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie die \(n\): Anzahl der Versuche

② mit der \(p\): Trefferwahrscheinlichkeit ,

③ dann erhalten Sie den \(E(X)\): Erwartungswert (durchschnittliche Trefferzahl) .

④ Multiplizieren Sie ihn zusätzlich mit der \(1 - p\): Wahrscheinlichkeit für eine Niete ,

⑤ dann erhalten Sie die \(V(X)\): Varianz (Stärke der Streuung) .

⑥ Die Wurzel aus der Varianz \(V(X)\) ist die

⑦ \(\sigma\): Standardabweichung (typische Streuung) .

Einfaches Beispiel

Für die Anzahl der Einsen bei 30 Würfelwürfen (\(n = 30\), \(p = \dfrac{1}{6}\)) gilt:

Erwartungswert \(E(X)\) \(=\) Anzahl der Versuche \(30\) \(\times\) Wahrscheinlichkeit für eine 1 \(\dfrac{1}{6}\)

\(E(X) = 30 \times \dfrac{1}{6} = 5\)

\(V(X) = 30 \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{6}\)

\(\sigma = \sqrt{\dfrac{25}{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{6}} = \dfrac{5\sqrt{6}}{6} \approx 2{,}04\)

Der Grundgedanke

Der Erwartungswert \(np\) entspricht genau der Intuition: „Macht man etwas mit der Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{6}\) 30-mal, tritt es im Durchschnitt etwa \(30 \times \dfrac{1}{6} = 5\)-mal ein.“ Varianz und Standardabweichung zeigen, wie weit die tatsächliche Trefferzahl typischerweise vom Erwartungswert abweicht. Bei einer Standardabweichung von etwa 2 liest man das Ergebnis nicht als „genau 5-mal“, sondern als „meistens irgendwo zwischen 3- und 7-mal“. Bei gleichem \(n\) ist die Varianz \(np(1-p)\) für \(p = \dfrac{1}{2}\) am größten (wenn Treffer und Niete gleich wahrscheinlich sind, ist das Ergebnis am schwersten vorherzusagen).

Näherung durch die Normalverteilung (Faustregel: \(np \ge 5\) und \(n(1-p) \ge 5\))

Diagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

\(B(n;\ p)\) \(\approx\) \(N(np;\ np(1 - p))\)

① \(B(n;\ p)\): Binomialverteilung \(\approx\) ② Normalverteilung mit Erwartungswert \(np\) und Varianz \(np(1-p)\)

Die Formel in Worten

① Die \(B(n;\ p)\): Binomialverteilung lässt sich, wenn die Faustregel \(np \ge 5\) und \(n(1-p) \ge 5\) erfüllt ist, näherungsweise ersetzen durch die

② \(N(np;\ np(1-p))\): Normalverteilung mit Erwartungswert \(np\) und Varianz \(np(1-p)\) .

Einfaches Beispiel

Für die Anzahl „Kopf“ bei 20 Münzwürfen (\(n = 20\), \(p = \dfrac{1}{2}\)) gilt

Binomialverteilung \(B(20;\ \dfrac{1}{2})\) \(\approx\) Normalverteilung \(N(10;\ 5)\)

\(np = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \ge 5,\quad n(1 - p) = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \ge 5\)

\(B\left(20;\ \dfrac{1}{2}\right) \approx N(10;\ 5)\)

Der Grundgedanke

Mit wachsendem \(n\) nähert sich das Säulendiagramm der Binomialverteilung einer symmetrischen Glockenform und sieht fast aus wie die Normalverteilung. Bei großem \(n\) kann man deshalb statt der langen Summen der Binomialverteilung mit der Tabelle der Normalverteilung (standardisierte z-Werte) rechnen. Das ist die Normalapproximation (Näherung durch die Normalverteilung); \(np \ge 5\) und \(n(1-p) \ge 5\) ist eine verbreitete Faustregel dafür. In deutschen Schulbüchern findet man oft die strengere Laplace-Bedingung \(\sigma = \sqrt{np(1-p)} > 3\). In \(N(np;\ np(1-p))\) stehen in der Klammer der Reihe nach „Erwartungswert; Varianz“. Wahrscheinlichkeiten wie „mindestens so viele Treffer“ nach der Näherung berechnen Sie auf unserer Seite zur Wahrscheinlichkeit der Normalverteilung.

Die Binomialverteilung beschreibt, „wie oft etwas mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) bei \(n\) Versuchen eintritt“. Die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer ist \(P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}\), der Erwartungswert ist \(np\), die Varianz \(np(1-p)\). Bei großem \(n\) lässt sie sich durch die Normalverteilung \(N(np;\ np(1-p))\) annähern.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(X\)	X	Die Zufallsgröße für die Anzahl der Treffer. Zahlen, die vom Zufall abhängen, schreibt man üblicherweise mit Großbuchstaben vom Ende des Alphabets, etwa \(X\), \(Y\), \(Z\).
\(P(X = k)\)	P von X gleich k	Die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferzahl \(X\) genau \(k\) ist. \(P\) steht für „probabilitas“ (lateinisch, englisch „probability“).
\(\dbinom{n}{k}\)	n über k	Der Binomialkoeffizient: die Anzahl der Möglichkeiten, aus \(n\) Elementen \(k\) auszuwählen. Taschenrechner nennen ihn oft nCr; in manchen Ländern schreibt man \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\).
\(n\)	n	Die Anzahl der Versuche (wie oft wiederholt wird), auch Länge der Bernoulli-Kette. Für Anzahlen nimmt man oft den Buchstaben \(n\).
\(p\)	p	Die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem Versuch. Der Kleinbuchstabe wird oft für die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Versuchs verwendet.
\(1 - p\)	eins minus p	Die Wahrscheinlichkeit für eine Niete bei einem Versuch. Treffer oder Niete tritt immer ein, deshalb ist es der Rest von \(1\) nach Abzug von \(p\). Man schreibt auch \(q\).
\(k\)	k	Die Anzahl der Treffer, eine ganze Zahl von \(0\) bis \(n\). Der Buchstabe \(k\) wird oft für „wie oft“ verwendet.
\(P(X \le k)\)	P von X kleiner gleich k	Die Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer (0 bis \(k\)). Sie ist eine kumulierte Wahrscheinlichkeit: die Einzelwahrscheinlichkeiten bis \(k\) aufaddiert.
\(P(X \ge k)\)	P von X größer gleich k	Die Wahrscheinlichkeit für mindestens \(k\) Treffer (\(k\) bis \(n\)). Zieht man \(P(X \le k-1)\) von der Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\) ab (Gegenereignis), wird die Summe kürzer.
\(E(X)\)	E von X	Der Erwartungswert (die durchschnittliche Trefferzahl). Bei der Binomialverteilung ist \(E(X) = np\). Man schreibt ihn auch \(\mu\).
\(V(X)\)	V von X	Die Varianz (wie stark die Ergebnisse streuen). Bei der Binomialverteilung ist \(V(X) = np(1-p)\). Man schreibt auch \(\mathrm{Var}(X)\) oder \(\sigma^2\).
\(\sigma\)	Sigma	Die Standardabweichung, das kleine griechische Sigma. Sie ist die Wurzel aus der Varianz, \(\sigma = \sqrt{V(X)}\), und zeigt die typische Abweichung vom Erwartungswert.
\(B(n;\ p)\)	B von n und p	Die Binomialverteilung mit \(n\) Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit \(p\). „\(X\) ist binomialverteilt“ schreibt man \(X \sim B(n;\ p)\); in Schulbüchern findet man auch \(B_{n;\,p}\).
\(N(\mu;\ \sigma^2)\)	N von My und Sigma Quadrat	Die Normalverteilung mit Erwartungswert \(\mu\) und Varianz \(\sigma^2\). In der Klammer steht üblicherweise zuerst der Erwartungswert, dann die Varianz.
\(\approx\)	ungefähr gleich	Das Zeichen für „ungefähr gleich“. Auf dieser Seite zeigt es, dass sich die Binomialverteilung näherungsweise durch die Normalverteilung ersetzen lässt.

Begriffe

Binomialverteilung	Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für „wie oft etwas mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) bei \(n\) Versuchen eintritt“. Der Name kommt vom Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) in der Formel (den Koeffizienten des binomischen Lehrsatzes). In Deutschland lernt man sie in der Oberstufe.
Zufallsgröße	Eine Variable, deren Wert vom Zufall abhängt. Auf dieser Seite ist die Trefferzahl die Zufallsgröße; sie nimmt die Werte 0 bis n jeweils mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit an.
Zufallsexperiment	Ein Experiment oder eine Beobachtung, deren Ergebnis vom Zufall abhängt, etwa ein Münzwurf oder das Ziehen eines Loses. Jede einzelne Durchführung heißt Versuch.
Bernoulli-Kette	Ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ausgängen (Treffer oder Niete), das mit jedes Mal gleicher Wahrscheinlichkeit \(n\)-mal unabhängig wiederholt wird („Bernoulli-Kette der Länge \(n\)“). Die Binomialverteilung ist die Verteilung der Trefferzahl in einer Bernoulli-Kette.
unabhängige Ereignisse	Das Ergebnis eines Versuchs beeinflusst das eines anderen nicht. Der erste und der zweite Würfelwurf sind unabhängig, das Ziehen von Losen ohne Zurücklegen dagegen nicht (frühere Ergebnisse ändern, wie viele Gewinne noch übrig sind).
Binomialkoeffizient	Die Anzahl der Möglichkeiten, aus \(n\) Elementen \(k\) ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen (Kombinationen), geschrieben \(\binom{n}{k}\) und gelesen „n über k“. In der Binomialverteilung zählt er, auf welche der \(n\) Versuche die Treffer fallen können.
kumulierte Wahrscheinlichkeit	Die Einzelwahrscheinlichkeiten bis zu einer bestimmten Trefferzahl aufaddiert. Das typische Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer, \(P(X \le k)\).
Gegenereignis	Das Ereignis, dass etwas nicht eintritt. Die Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen immer 1, deshalb erhält man eine Wahrscheinlichkeit wie „mindestens \(k\)“ leicht, indem man die Gegenseite (höchstens \(k-1\)) von 1 abzieht.
Erwartungswert	Der Durchschnittswert bei sehr vielen Wiederholungen. Bei der Binomialverteilung ist es die durchschnittliche Trefferzahl, mit der einfachen Formel \(np\).
Varianz	Ein Maß dafür, wie weit die tatsächlichen Werte typischerweise vom Erwartungswert abweichen (Streuung). Sie ist als Mittelwert der quadrierten Abweichungen definiert.
Standardabweichung	Die Wurzel aus der Varianz. Die Varianz hat eine quadrierte Einheit; die Wurzel bringt sie auf die ursprüngliche Einheit zurück (hier die Trefferzahl) – ein Maß für die Streuung.
Normalverteilung	Eine symmetrische, glockenförmige Verteilung (Gaußsche Glockenkurve): Werte nahe dem Mittelwert sind am wahrscheinlichsten, weiter entfernte immer unwahrscheinlicher. Viele reale Größen wie Körpergröße oder Messfehler kommen dieser Form nahe, und auch die Binomialverteilung nähert sich ihr bei großem \(n\).
Normalapproximation	Die Binomialverteilung bei großem \(n\) durch die Normalverteilung \(N(np;\ np(1-p))\) ersetzen. Eine verbreitete Faustregel ist \(np \ge 5\) und \(n(1-p) \ge 5\); in Schulbüchern oft die Laplace-Bedingung \(\sigma > 3\).

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es am schnellsten, die Themen dieser Liste noch einmal zu wiederholen.

Grundlagen der Wahrscheinlichkeit (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass eine Wahrscheinlichkeit als Zahl von 0 bis 1 angibt, wie wahrscheinlich etwas ist (einschließlich des Umrechnens wie 0,25 = 25 %) Wissen, dass die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse zusammen immer 1 ergeben
Bruchrechnung (Klasse 6, 11–12 Jahre)	Brüche multiplizieren (\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)), kürzen und gleichnamig machen können Gewohnt sein, Ergebnisse als Bruch stehen zu lassen (und \(\dfrac{3}{8}\) in 0,375 umrechnen können)
Potenzen (Klasse 5–9, 10–15 Jahre)	Wissen, dass die kleine Zahl oben rechts (der Exponent) angibt, wie oft multipliziert wird, etwa \(p^{3} = p \times p \times p\) Potenzen von Brüchen berechnen können, etwa \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4} = \dfrac{1}{16}\)
Kombinatorik und Binomialkoeffizient (Klasse 10 bis Oberstufe, 15–17 Jahre)	Wissen, dass \(\binom{n}{k}\) „die Anzahl der Möglichkeiten ist, aus \(n\) Elementen \(k\) ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen“ Ihn berechnen können, etwa \(\binom{4}{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)
Bernoulli-Ketten und Gegenereignis (Oberstufe, 16–18 Jahre)	Die Situation einer Bernoulli-Kette verstehen – „unabhängig mit jedes Mal gleicher Wahrscheinlichkeit wiederholt“ Mit dem Gegenereignis „mindestens einmal“ als \(1 - P(X = 0)\) berechnen können
Zufallsgrößen, Erwartungswert und Varianz (Oberstufe, 16–18 Jahre)	Wissen, was eine Zufallsgröße (eine Variable, deren Wert vom Zufall abhängt) und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sind Wissen, dass der Erwartungswert den Durchschnitt und Varianz und Standardabweichung die Streuung angeben
Die Normalverteilung (Oberstufe, 17–19 Jahre)	Wissen, dass die Normalverteilung eine symmetrische, glockenförmige Verteilung ist, bei der Werte nahe dem Erwartungswert am wahrscheinlichsten sind (nötig für die Formelkarte zur Näherung) Wissen, dass in \(N(\mu;\ \sigma^2)\) in der Klammer zuerst der Erwartungswert und dann die Varianz steht

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer

Anzahl der Versuche n	4
Trefferwahrscheinlichkeit p	0,5
Anzahl der Treffer k	2
Genau k Treffer P(X=k)	=BINOM.VERT(B3;B1;B2;FALSCH)

Tabelle für die kumulierten Wahrscheinlichkeiten (höchstens k, mindestens k)

Anzahl der Versuche n	4
Trefferwahrscheinlichkeit p	0,5
Anzahl der Treffer k	2
Höchstens k Treffer P(X≤k)	=BINOM.VERT(B3;B1;B2;WAHR)
Mindestens k Treffer P(X≥k)	=1-BINOM.VERT(B3-1;B1;B2;WAHR)

Tabelle für Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Anzahl der Versuche n	30
Trefferwahrscheinlichkeit p	=1/6
Erwartungswert E(X) = np	=B1*B2
Varianz V(X) = np(1-p)	=B1B2(1-B2)
Standardabweichung σ	=WURZEL(B4)

Tabelle zur Prüfung der Faustregel für die Näherung durch die Normalverteilung

Anzahl der Versuche n	20
Trefferwahrscheinlichkeit p	0,5
np	=B1*B2
n(1-p)	=B1*(1-B2)
Faustregel erfüllt?	=UND(B3>=5;B4>=5)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (n, p und k) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
BINOM.VERT ist die Funktion der Binomialverteilung. Die Argumente sind der Reihe nach „Anzahl der Treffer; Anzahl der Versuche; Trefferwahrscheinlichkeit; kumuliert oder nicht“. FALSCH am Ende liefert die Wahrscheinlichkeit für genau diese Trefferzahl, WAHR die kumulierte Wahrscheinlichkeit für höchstens diese Trefferzahl.
Die erste Tabelle ist das Beispiel „genau 2-mal Kopf bei 4 Münzwürfen“, das Ergebnis ist 0,375 (= 3/8).
In der zweiten Tabelle sind beide Ergebnisse 0,6875. „Mindestens k“ wird berechnet, indem man „höchstens k−1“ von 1 abzieht (bei k = 0 gibt die Formel einen Fehler aus, die Wahrscheinlichkeit für mindestens 0 ist aber immer 1).
Die dritte Tabelle ist die Anzahl der Einsen bei 30 Würfelwürfen: Erwartungswert 5, Varianz 4,1667 und Standardabweichung 2,0412.
Die vierte Tabelle zeigt WAHR, wenn np und n(1−p) beide mindestens 5 sind (Faustregel für die Näherung durch die Normalverteilung erfüllt), sonst FALSCH.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer

Anzahl der Versuche n	4
Trefferwahrscheinlichkeit p	0,5
Anzahl der Treffer k	2
Genau k Treffer P(X=k)	=BINOMVERT(B3;B1;B2;FALSCH)

Tabelle für die kumulierten Wahrscheinlichkeiten (höchstens k, mindestens k)

Anzahl der Versuche n	4
Trefferwahrscheinlichkeit p	0,5
Anzahl der Treffer k	2
Höchstens k Treffer P(X≤k)	=BINOMVERT(B3;B1;B2;WAHR)
Mindestens k Treffer P(X≥k)	=1-BINOMVERT(B3-1;B1;B2;WAHR)

Tabelle für Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Anzahl der Versuche n	30
Trefferwahrscheinlichkeit p	=1/6
Erwartungswert E(X) = np	=B1*B2
Varianz V(X) = np(1-p)	=B1B2(1-B2)
Standardabweichung σ	=WURZEL(B4)

Tabelle zur Prüfung der Faustregel für die Näherung durch die Normalverteilung

Anzahl der Versuche n	20
Trefferwahrscheinlichkeit p	0,5
np	=B1*B2
n(1-p)	=B1*(1-B2)
Faustregel erfüllt?	=UND(B3>=5;B4>=5)

In Google Tabellen heißt die Funktion BINOMVERT (die Argumente stehen in derselben Reihenfolge wie bei BINOM.VERT in Excel: „Anzahl der Treffer; Anzahl der Versuche; Trefferwahrscheinlichkeit; kumuliert oder nicht“). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie n, p und k durch Ihre eigenen Zahlen.
Wie in Excel gibt die Formel für „mindestens k“ bei k = 0 einen Fehler aus (die Wahrscheinlichkeit für mindestens 0 ist immer 1).

So berechnen Sie es in Python

from fractions import Fraction
from math import comb, sqrt

trial_count = 4                  # Anzahl der Versuche n
success_prob = Fraction(1, 2)    # Trefferwahrscheinlichkeit p (eine Dezimalzahl wie 0.3 geht auch)
success_count = 2                # Anzahl der Treffer k

failure_prob = 1 - success_prob

# Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer P(X=k) = (n über k) × p^k × (1−p)^(n−k)
exact_prob = (comb(trial_count, success_count)
              * success_prob ** success_count
              * failure_prob ** (trial_count - success_count))
print(f"Wahrscheinlichkeit für genau {success_count} Treffer: {exact_prob} = {float(exact_prob)}")

# kumulierte Wahrscheinlichkeiten (höchstens k, mindestens k)
prob_le = sum(comb(trial_count, i) * success_prob ** i * failure_prob ** (trial_count - i)
              for i in range(success_count + 1))
prob_ge = 1 - prob_le + exact_prob
print(f"Wahrscheinlichkeit für höchstens {success_count} Treffer: {prob_le} = {float(prob_le)}")
print(f"Wahrscheinlichkeit für mindestens {success_count} Treffer: {prob_ge} = {float(prob_ge)}")

# Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
mean = trial_count * success_prob
variance = mean * failure_prob
print(f"Erwartungswert: {mean}  Varianz: {variance}  Standardabweichung: {sqrt(variance)}")

Läuft nur mit der Standardbibliothek. Mit dem Modul fractions bleibt die Rechnung als exakter Bruch ohne Rundungsfehler (comb ist der Binomialkoeffizient „n über k“). Das Beispiel ist „genau 2-mal Kopf bei 4 Münzwürfen“. Beim Ausführen erscheinen die Wahrscheinlichkeit 3/8 (0,375), für höchstens 2 und mindestens 2 jeweils 11/16 (0,6875) sowie Erwartungswert 2, Varianz 1 und Standardabweichung 1 – Python zeigt Dezimalzahlen dabei mit Punkt an. Ändern Sie die drei Zahlen n, p und k und führen Sie den Code aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung (genau \(k\) Treffer)

P(X = k) = (n über k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <msup><mi>p</mi><mi>k</mi></msup>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>k</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P(X = k) = ((n),(k)) p^k (1-p)^(n-k)

PDF[BinomialDistribution[n, p], k]

binomial(n, k)*p^k*(1-p)^(n-k);

binopdf(k, n, p)

P(X=k) = (n¦k) p^k (1-p)^(n-k)

Kumulierte Wahrscheinlichkeit (höchstens \(k\) und mindestens \(k\) Treffer)

P(X ≤ k) = Σ[i=0→k] (n über i) pⁱ (1 − p)ⁿ⁻ⁱ

P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^{i} (1 - p)^{n - i}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>&#x2264;</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>k</mi>
    </munderover>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>i</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <msup><mi>p</mi><mi>i</mi></msup>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>i</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P(X <= k) = sum_(i=0)^k ((n),(i)) p^i (1-p)^(n-i)

CDF[BinomialDistribution[n, p], k]

add(binomial(n, i)*p^i*(1-p)^(n-i), i = 0..k);

binocdf(k, n, p)

P(X≤k) = Σ_(i=0)^k (n¦i) p^i (1-p)^(n-i)

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung der Binomialverteilung

E(X) = np,  V(X) = np(1 − p),  σ = √(np(1 − p))

E(X) = np, \quad V(X) = np(1 - p), \quad \sigma = \sqrt{np(1 - p)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>V</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo>
    <mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
    <mo>,</mo>
    <mi>&#x3C3;</mi><mo>=</mo>
    <msqrt><mi>n</mi><mi>p</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow></msqrt>
  </mrow>
</math>

E(X) = np, V(X) = np(1-p), sigma = sqrt(np(1-p))

{Mean[BinomialDistribution[n, p]], Variance[BinomialDistribution[n, p]], StandardDeviation[BinomialDistribution[n, p]]}

n*p; n*p*(1-p); sqrt(n*p*(1-p));

[m, v] = binostat(n, p); s = sqrt(v);

E(X) = np, V(X) = np(1-p), σ = √(np(1-p))

Näherung durch die Normalverteilung (Faustregel: \(np \ge 5\) und \(n(1-p) \ge 5\))

B(n; p) ≈ N(np; np(1 − p))

B(n;\ p) \approx N(np;\ np(1 - p))

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>B</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#x2248;</mo>
    <mi>N</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mi>p</mi><mo>;</mo>
    <mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

B(n; p) ~~ N(np; np(1-p))

NormalDistribution[n p, Sqrt[n p (1 - p)]]

Normal(n*p, sqrt(n*p*(1-p)));

pd = makedist('Normal', 'mu', n*p, 'sigma', sqrt(n*p*(1-p)));

B(n; p) ≈ N(np; np(1-p))

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Assistent für Mathematik (Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Sie nehmen 10-mal an einer Verlosung teil, jedes Mal mit der Gewinnwahrscheinlichkeit 1/6. Berechnen Sie für die Binomialverteilung der Anzahl der Gewinne:
1. Die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Gewinne, P(X=2) (als vollständig gekürzter Bruch und als Dezimalzahl)
2. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Gewinne, P(X≤2), und für mindestens 2 Gewinne, P(X≥2)
3. Den Erwartungswert E(X), die Varianz V(X) und die Standardabweichung σ
4. Ob die Faustregel für die Näherung durch die Normalverteilung, np ≥ 5 und n(1−p) ≥ 5, erfüllt ist

Rechnen Sie in Python exakt mit fractions und math.comb aus der Standardbibliothek und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel