Vektorrechner – Skalarprodukt, Betrag, Winkel und Linearkombination

Wählen Sie Ebene oder Raum und geben Sie die Koordinaten der beiden Vektoren a und b sowie die Koeffizienten k und l ein. Die Formel unten ist mit den Eingabefeldern verknüpft – Sie können die Koordinaten auch direkt darin ändern.

Ebene oder Raum

x-Koordinate von Vektor a

y-Koordinate von Vektor a

z-Koordinate von Vektor a

x-Koordinate von Vektor b

y-Koordinate von Vektor b

z-Koordinate von Vektor b

Koeffizient k (Vielfaches von a)

Koeffizient l (Vielfaches von b)

Geben Sie nur Zahlen ein. Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 sind erlaubt. Eine leere Koordinate zählt als 0, ein leerer Koeffizient k oder l als 1.

Ergebnis und Figur

Geben Sie links die Koordinaten der Vektoren ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Abbildung erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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Das können Sie auf dieser Seite

Sie geben nur die Koordinaten der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) in der Ebene (2D) oder im Raum (3D) ein und erhalten Summe \(\vec{a}+\vec{b}\), Differenz \(\vec{a}-\vec{b}\) und die Linearkombination \(k\vec{a}+l\vec{b}\) auf einen Schlag
Den Betrag \(|\vec{a}|\) zeigt der Rechner als exakten Wert mit vereinfachter Wurzel, etwa \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), und als Dezimalzahl
Gleichzeitig erhalten Sie das Skalarprodukt \(\vec{a}\cdot\vec{b}\), den Winkel zwischen den Vektoren \(\theta\) (in Grad und im Bogenmaß, bei besonderen Winkeln wie \(45^{\circ}\) exakt), die Einheitsvektoren und die Prüfung auf orthogonal oder parallel
Der Rechner zeigt die Vektoren als Spaltenvektoren, so wie Sie sie von Hand schreiben, und Sie können die Koordinaten direkt darin ändern
Koordinaten und Koeffizienten dürfen Dezimalzahlen, negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein
Dazu finden Sie eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Ein Vektor mit dem Betrag 0 (der Nullvektor) hat keine Richtung. Es gibt also keinen Winkel zwischen ihm und einem anderen Vektor und keinen Einheitsvektor. Ist \(\vec{a}\) oder \(\vec{b}\) der Nullvektor, rechnet dieser Rechner deshalb nicht.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Kräfte zusammensetzen (Physik, Bauwesen und Technik)

Wirken mehrere Kräfte auf einen Körper, ist ihre Gesamtwirkung die Summe von Vektoren. Die Zugkraft eines schräg gespannten Seils in eine waagerechte und eine senkrechte Komponente zu zerlegen und zusammenzuzählen, ist genau diese Rechnung.
Bei der Planung von Brücken und Gebäuden setzt man Kräfte wie Eigengewicht, Wind und Erdbeben als Vektoren zusammen, um Richtung und Größe der Kraft auf jedes Bauteil zu bestimmen. Wer nur die Beträge addiert und die Richtungen vergisst, plant gefährlich falsch – ohne Vektoren geht es nicht.

3D-Spiele und Computergrafik

In einem Spiel berechnet man die Bewegung einer Figur als „Ortsvektor + Geschwindigkeitsvektor“; auch die Blickrichtung der Kamera und die Flugbahn eines Geschosses sind Vektoren. Einheitsvektoren kommen in jedem Bild zum Einsatz, wenn nur eine Richtung gebraucht wird (Fahrtrichtung, Blickrichtung).
Auch für die Beleuchtung ist das Skalarprodukt der Schlüssel: Je größer das Skalarprodukt aus der Richtung, in die eine Fläche zeigt (ihrem Normalenvektor), und der Lichtrichtung, desto direkter trifft das Licht, und dieser Wert bestimmt die Helligkeit auf dem Bildschirm. Ist das Skalarprodukt 0 oder kleiner, erreicht das Licht die Fläche nicht.

Der Kurs eines Flugzeugs oder Schiffs (Geschwindigkeiten zusammensetzen)

Der tatsächliche Weg eines Flugzeugs ist die Summe aus seinem Geschwindigkeitsvektor in Richtung der Flugzeugnase und dem Geschwindigkeitsvektor des Windes. Um bei Nordwind genau nach Osten zu fliegen, muss die Nase etwas gegen den Wind zeigen; wie weit, ergibt sich durch Subtrahieren von Vektoren (Windvorhaltewinkel).
Auf See addieren und subtrahieren Schiffe den Vektor der Strömung, um den Kurs festzulegen. Geschwindigkeit und Zeit Koordinate für Koordinate behandeln zu können, ist eine Stärke der Vektoren.

Messen, wie ähnlich Texte oder Produkte sind (KI und Empfehlungen)

Suchmaschinen und generative KI wandeln Texte in lange Zahlenlisten um, also in Vektoren. Ob sich zwei Texte ähneln, beurteilt man über den Winkel zwischen ihren Vektoren: Je näher \(\cos\theta\) an 1 liegt, desto ähnlicher sind sie (Kosinus-Ähnlichkeit).
Auch die Funktion „Kunden, die diesen Artikel angesehen haben, interessierten sich auch für …“ in Onlineshops macht aus Kaufverläufen Vektoren und sucht Personen und Produkte mit kleinem Winkel dazwischen. Hier zählt die Richtung (das Muster der Vorlieben) mehr als die Länge (etwa wie viel jemand insgesamt ausgibt) – deshalb funktioniert das Messen über den Winkel so gut.

Geräte, die Lage und Neigung messen (Drohnen, Navi und Smartphone)

Drohnen und Smartphones bestimmen ihre Neigung aus dem Winkel zwischen dem vom Beschleunigungssensor gemessenen Schwerkraftvektor und einem Bezugsvektor des Geräts. Dass der Bildschirm zwischen Hoch- und Querformat wechselt, ist ein Ergebnis dieser Rechnung.
Im Navi und in der Vermessung behandelt man die Differenz der Koordinaten zweier Punkte als Vektor: Sein Betrag ist die Entfernung, seine Richtung die Peilung. Im Raum kommt nur die Höhe dazu, und dieselben Formeln gelten unverändert.

Formeln und Abbildungen

Betrag eines Vektors (aus den Koordinaten)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(|\vec{a}|\) \(=\) \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(|\vec{a}|\): Betrag des Vektors \(\vec{a}\) (Länge des Pfeils) \(=\) ① Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate \(a_1^{2}+a_2^{2}\)

Die Formel in Worten

① Ist \(\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\) in Koordinatendarstellung gegeben, so liefert die Wurzel aus \(a_1^{2}+a_2^{2}\), also \(x\)-Koordinate zum Quadrat plus \(y\)-Koordinate zum Quadrat, den

② \(|\vec{a}|\): Betrag des Vektors \(\vec{a}\) (Länge des Pfeils) .

Einfaches Beispiel

Der Betrag von \(\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) (die Länge eines Pfeils, der 4 nach rechts und 2 nach oben geht) ist

Betrag von \(\vec{a}\) \(=\) Wurzel aus \(4^2+2^2=20\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{4^{2}+2^{2}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}4721\)

Der Grundgedanke

Diese Formel ist nichts anderes als der Satz des Pythagoras. Die Koordinaten \(a_1\) und \(a_2\) zerlegen den Pfeil in „wie weit nach rechts“ und „wie weit nach oben“. Der Pfeil ist also die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten \(a_1\) und \(a_2\) – deshalb ist seine Länge \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\). Bei einem Vektor im Raum \(\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\) kommt das Quadrat der Höhe dazu: \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}\). Es ist nur ein Summand mehr, der Rechenweg bleibt gleich. Schreiben Sie die Wurzel im Ergebnis immer vereinfacht (z. B. \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)). Auch dieser Rechner zeigt den vereinfachten exakten Wert und eine Dezimalzahl.

Summe und Differenz von Vektoren (koordinatenweise addieren bzw. subtrahieren)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\vec{a}+\vec{b}\) \(=\) \(\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{pmatrix}\)

\(\vec{a}-\vec{b}\) \(=\) \(\begin{pmatrix}a_1-b_1\\a_2-b_2\end{pmatrix}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② Summe von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) \(=\) ① Vektor aus den addierten \(x\)- und \(y\)-Koordinaten

④ Differenz von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) \(=\) ③ Vektor aus den subtrahierten \(x\)- und \(y\)-Koordinaten

Die Formel in Worten

① Der Vektor aus den addierten \(x\)- und \(y\)-Koordinaten ist die

② Summe von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), \(\vec{a}+\vec{b}\) , und der

③ Vektor aus den subtrahierten \(x\)- und \(y\)-Koordinaten ist die

④ Differenz von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), \(\vec{a}-\vec{b}\) .

Einfaches Beispiel

Für \(\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\) gilt

\(\vec{a}+\vec{b}\) \(=\) \(\begin{pmatrix}4+(-1)\\2+2\end{pmatrix}\)

\(\vec{a}+\vec{b} = \begin{pmatrix}4+(-1)\\2+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\)

\(\vec{a}-\vec{b} = \begin{pmatrix}4-(-1)\\2-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}\)

Der Grundgedanke

In der Abbildung ist die Summe \(\vec{a}+\vec{b}\) der Pfeil, den Sie erhalten, wenn Sie den Anfang von \(\vec{b}\) an die Spitze von \(\vec{a}\) setzen: vom allerersten Anfangspunkt bis zur letzten Spitze. Er ist die Diagonale des Parallelogramms mit den Seiten \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), deshalb spricht man von der Parallelogrammregel. Die Differenz \(\vec{a}-\vec{b}\) ist \(\vec{a}+(-\vec{b})\): \(\vec{b}\) umdrehen und dann addieren. In der Abbildung ist sie der Pfeil von der Spitze von \(\vec{b}\) zur Spitze von \(\vec{a}\). Die Richtung verwechselt man leicht, merken Sie sich deshalb: „von der Spitze des abgezogenen Vektors (\(\vec{b}\)) zur Spitze des Vektors, von dem abgezogen wird (\(\vec{a}\))“. Wer sich merkt, dass der Pfeil auf \(\vec{a}\) zeigt, zeichnet ihn nicht verkehrt herum. Im Raum kommt nur eine Zeile für die \(z\)-Koordinaten dazu, der Rechenweg bleibt gleich.

Vielfaches eines Vektors

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

\(k\vec{a}\) \(=\) \(\begin{pmatrix}ka_1\\ka_2\end{pmatrix}\)

② \(k\)-faches von \(\vec{a}\) \(=\) ① Vektor, dessen Koordinaten jeweils mit \(k\) multipliziert sind

Die Formel in Worten

① Der Vektor, dessen Koordinaten jeweils mit \(k\) multipliziert sind, ist das

② \(k\)-fache des Vektors \(\vec{a}\), \(k\vec{a}\) .

Einfaches Beispiel

Verdoppeln Sie \(\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) (ein Pfeil in derselben Richtung, doppelt so lang), erhalten Sie

\(2\vec{a}\) \(=\) \(\begin{pmatrix}2 \cdot 4\\2 \cdot 2\end{pmatrix}\)

\(2\vec{a} = \begin{pmatrix}2 \cdot 4\\2 \cdot 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}\)

\(|2\vec{a}| = \sqrt{8^{2}+4^{2}} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 2|\vec{a}|\)

Der Grundgedanke

Ein Vielfaches streckt oder staucht den Pfeil. Bei \(k>0\) bleibt die Richtung gleich, und die Länge wird \(k\)-mal so groß. Bei \(k<0\) dreht sich die Richtung um, und die Länge wird \(|k|\)-mal so groß (\(k=-1\) liefert den Gegenvektor \(-\vec{a}\)). Für den Betrag gilt \(|k\vec{a}|=|k|\,|\vec{a}|\). Dieser Rechner arbeitet mit der Form \(k\vec{a}+l\vec{b}\), einer Linearkombination. Mit \(k=1\) und \(l=1\) erhalten Sie die Summe, mit \(k=1\) und \(l=-1\) die Differenz – nur durch Ändern der Koeffizienten berechnen Sie also auch Ausdrücke wie \(2\vec{a}-3\vec{b}\). Mit \(k=0\) entsteht der Nullvektor \(\vec{0}\), dessen Koordinaten alle 0 sind. Er hat die Länge 0 und keine Richtung.

Skalarprodukt (aus zwei Vektoren wird eine Zahl)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(=\) \(|\vec{a}|\) \(\times\) \(|\vec{b}|\) \(\times\) \(\cos\theta\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(=\) \(a_1b_1+a_2b_2\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ Skalarprodukt von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) \(=\) ① Betrag von \(\vec{a}\) \(\times\) ② Betrag von \(\vec{b}\) \(\times\) ③ \(\cos\theta\): Kosinus des Winkels \(\theta\)

⑥ Skalarprodukt von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) \(=\) ⑤ Produkt der \(x\)-Koordinaten plus Produkt der \(y\)-Koordinaten

Die Formel in Worten

① Multipliziert man den Betrag von \(\vec{a}\), \(|\vec{a}|\) , den

② Betrag von \(\vec{b}\), \(|\vec{b}|\) und den

③ \(\cos\theta\): Kosinus des Winkels \(\theta\) , erhält man das

④ Skalarprodukt \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) . In Koordinaten liefert das

⑤ Produkt der \(x\)-Koordinaten plus Produkt der \(y\)-Koordinaten, \(a_1b_1+a_2b_2\) denselben Wert, also ebenfalls das

⑥ Skalarprodukt \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) .

Einfaches Beispiel

Das Skalarprodukt von \(\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\) ist

Skalarprodukt \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(=\) \(4 \cdot (-1) + 2 \cdot 2\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = -4 + 4 = 0\)

Der Grundgedanke

Das Ergebnis des Skalarprodukts ist kein Vektor, sondern einfach eine Zahl (ein Skalar) – daher der Name. Es klingt nach Multiplikation, ist aber eine besondere Rechnung, die aus zwei Pfeilen eine Zahl macht. Schreiben Sie es immer mit dem Malpunkt; \(\vec{a}\times\vec{b}\) ist eine andere Rechnung (das Kreuzprodukt). In der Abbildung bedeutet es: „Länge des Schattens, den \(\vec{b}\) senkrecht auf die Richtung von \(\vec{a}\) wirft (die Projektion), \(|\vec{b}|\cos\theta\), mal \(|\vec{a}|\)“. Je besser die beiden Richtungen übereinstimmen, desto größer ist das Skalarprodukt. Bei einem rechten Winkel hat der Schatten die Länge 0, das Skalarprodukt ist also 0. Zeigen die Richtungen fast entgegengesetzt, fällt der Schatten nach hinten, und das Skalarprodukt ist negativ. Die Definition (Beträge und Winkel) nutzen Sie, wenn Sie den Winkel kennen, die Koordinatenformel, wenn Sie die Koordinaten kennen. Im Raum kommt der Summand \(a_3b_3\) dazu: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\).

Winkel zwischen zwei Vektoren

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\cos\theta\) \(=\) \(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(\cos\theta\): Kosinus des Winkels \(\theta\) \(=\) ① \(\dfrac{\text{Skalarprodukt }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{Produkt der Beträge }|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)

Die Formel in Worten

① Berechnet man \(\dfrac{\text{Skalarprodukt }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{Produkt der Beträge }|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\) , erhält man den

② \(\cos\theta\): Kosinus des Winkels \(\theta\) und daraus den Winkel \(\theta\).

Einfaches Beispiel

Der Winkel zwischen \(\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{b}=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\) (das Skalarprodukt ist \(1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = 2\), die Beträge sind \(|\vec{a}|=\sqrt{2}\) und \(|\vec{b}|=2\)) ist

\(\cos\theta\) \(=\) \(\dfrac{2}{\sqrt{2} \cdot 2}\)

\(\cos\theta = \dfrac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\theta = 45^{\circ} = \dfrac{\pi}{4}\)

Der Grundgedanke

Das ist einfach die Definition des Skalarprodukts, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\), nach \(\cos\theta\) aufgelöst. Beachten Sie: Zuerst erhalten Sie den Wert von \(\cos\theta\), nicht den Winkel selbst. Um aus \(\cos\theta\) den Winkel zu bestimmen, vergleichen Sie mit den Werten besonderer Winkel: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) gehört zu \(45^{\circ}\), \(\dfrac{1}{2}\) zu \(60^{\circ}\) und \(0\) zu \(90^{\circ}\). Bei anderen Werten nehmen Sie den Arkuskosinus \(\cos^{-1}\) (arccos); dieser Rechner zeigt das Ergebnis als Dezimalzahl. Den Winkel zwischen zwei Vektoren gibt man vereinbarungsgemäß im Bereich \(0^{\circ} \le \theta \le 180^{\circ}\) an. Schon das Vorzeichen von \(\cos\theta\) verrät die Art des Winkels: positiv heißt spitz, 0 heißt rechter Winkel, negativ heißt stumpf. Bleibt eine Wurzel im Nenner, machen Sie den Nenner rational, etwa \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Bedingungen für orthogonale und parallele Vektoren

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\vec{a}\perp\vec{b}\) \(\iff\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)

\(\vec{a}\parallel\vec{b}\) \(\iff\) \(\vec{b}=k\vec{a}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind orthogonal \(\iff\) ② das Skalarprodukt ist 0

③ \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind parallel \(\iff\) ④ einer ist ein Vielfaches des anderen

Die Formel in Worten

① Ist weder \(\vec{a}\) noch \(\vec{b}\) der Nullvektor, dann gilt: \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) stehen im rechten Winkel zueinander genau dann, wenn

② das Skalarprodukt 0 ist, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) , und

③ \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind parallel genau dann, wenn

④ \(\vec{b}=k\vec{a}\) für eine reelle Zahl \(k\) gilt .

Einfaches Beispiel

Für \(\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\) ist das Skalarprodukt \(4 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = 0\), also gilt

\(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind orthogonal \(\iff\) Skalarprodukt ist \(0\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{a}\perp\vec{b}\)

\(\vec{c} = \begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix} = 2\vec{a} \quad \Rightarrow \quad \vec{c}\parallel\vec{a}\)

Der Grundgedanke

Ob zwei Vektoren orthogonal (senkrecht) sind, prüfen Sie ohne Winkel: Ist das Skalarprodukt 0? Wegen \(\cos 90^{\circ}=0\) wird die ganze Definition \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) zu 0. Das ist das Standardwerkzeug, um in der Geometrie einen rechten Winkel nachzuweisen. In der Ebene lautet die Bedingung für parallele Vektoren \(\vec{b}=k\vec{a}\) in Koordinaten \(a_1b_2-a_2b_1=0\). Praktisch, denn so prüfen Sie es, ohne \(k\) zu bestimmen (es bedeutet dasselbe wie gleiche Verhältnisse der Koordinaten, \(a_1:a_2=b_1:b_2\)). Parallele Vektoren nennt man auch kollinear. Beide Bedingungen setzen voraus, dass weder \(\vec{a}\) noch \(\vec{b}\) der Nullvektor ist. Der Nullvektor hat mit jedem Vektor das Skalarprodukt 0, hat aber keine Richtung – man nennt ihn daher nicht orthogonal und fragt auch nicht, ob er parallel ist. Deshalb stehen die Bedingungen in Schulbüchern mit dem Zusatz „für \(\vec{a} \neq \vec{0}\) und \(\vec{b} \neq \vec{0}\)“.

Einheitsvektor (nur die Richtung behalten)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\vec{a}_0\) \(=\) \(\dfrac{1}{|\vec{a}|}\cdot\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② Vektor mit derselben Richtung wie \(\vec{a}\) und dem Betrag 1 \(=\) ① ursprüngliche Koordinaten, jeweils geteilt durch den Betrag \(|\vec{a}|\)

Die Formel in Worten

① Teilt man jede Koordinate durch den Betrag, also ursprüngliche Koordinaten, jeweils geteilt durch den Betrag \(|\vec{a}|\) , erhält man den

② Vektor mit derselben Richtung wie \(\vec{a}\) und dem Betrag 1 (den Einheitsvektor \(\vec{a}_0\)) .

Einfaches Beispiel

Der Einheitsvektor in Richtung von \(\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) (mit dem Betrag \(|\vec{a}|=2\sqrt{5}\)) ist

Einheitsvektor \(\vec{a}_0\) \(=\) \(\dfrac{1}{2\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\)

\(\vec{a}_0 = \dfrac{1}{2\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\\ \dfrac{\sqrt{5}}{5}\end{pmatrix}\)

\(\sqrt{\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{20}{25}+\dfrac{5}{25}} = \sqrt{\dfrac{25}{25}} = 1\)

Der Grundgedanke

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor, der die Information über die Länge weglässt und nur die Richtung behält. Teilen durch den Betrag ergibt immer die Länge 1, denn \(\left|\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\right| = \dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|} = 1\) – nachprüfen müssen Sie die Länge danach also nicht. In Schulbüchern schreibt man ihn oft \(\vec{a}_0\) („a null“). Mit der Richtung allein lässt sich „der Punkt 5 Einheiten in Richtung von \(\vec{a}\)“ als „5 mal Einheitsvektor“ schreiben. Ein Werkzeug für alle Fälle, in denen nicht die Länge, sondern nur die Richtung zählt: Fahrtrichtung, Blickrichtung oder die Richtung, in die eine Fläche zeigt (der Normalenvektor). Beim Teilen der Koordinaten durch den Betrag entsteht eine Wurzel im Nenner; machen Sie den Nenner rational, etwa \(\dfrac{4}{2\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\). Einen Vektor mit dem Betrag 1 gibt es für jede Richtung – sagen Sie deshalb „in Richtung von \(\vec{a}\)“, um ihn vom Einheitsvektor in Gegenrichtung, \(-\vec{a}_0\), zu unterscheiden. Im Raum wird auch die \(z\)-Koordinate durch denselben Betrag geteilt, der Rechenweg bleibt gleich.

Ein Vektor ist eine Größe mit Richtung und Länge (Betrag). In Koordinatendarstellung als Spaltenvektor \(\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\) wird das Rechnen viel einfacher: Summe, Differenz und Vielfache rechnet man Koordinate für Koordinate, der Betrag ist \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\) (Satz des Pythagoras), und das Skalarprodukt ist die Summe der Produkte der Koordinaten, \(a_1b_1+a_2b_2\). Teilt man das Skalarprodukt durch das Produkt der Beträge, erhält man \(\cos\theta\) und damit den Winkel zwischen den beiden Vektoren. Ist das Skalarprodukt 0, sind die Vektoren orthogonal; ist einer ein Vielfaches des anderen, sind sie parallel.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(\vec{a}\)	Vektor a	Das Zeichen für einen Vektor. Der Pfeil über dem Buchstaben zeigt, dass es eine Größe mit Richtung ist. Manche Bücher schreiben stattdessen fett, etwa \(\boldsymbol{a}\); gemeint ist dasselbe. Den Vektor vom Punkt A zum Punkt B schreibt man \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\).
\(a_1,\ a_2,\ a_3\)	a eins, a zwei, a drei	Die Koordinaten des Vektors \(\vec{a}\). Die kleine Zahl rechts unten (der Index) sagt, welche gemeint ist: \(a_1\) ist der Schritt in \(x\)-Richtung, \(a_2\) in \(y\)-Richtung und \(a_3\) in \(z\)-Richtung. Manche Bücher nehmen \(x\) und \(y\) als Index, etwa \(a_x\) und \(a_y\).
\(\|\vec{a}\|\)	Betrag von Vektor a	Der Betrag des Vektors \(\vec{a}\) (die Länge des Pfeils). Er nutzt dieselben senkrechten Striche wie der Betrag einer Zahl, mit derselben Idee: Richtung weglassen, nur die Größe ansehen. Der Wert ist immer 0 oder größer.
\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)	a mal b	Das Skalarprodukt. Man schreibt es mit dem Malpunkt (in manchen Büchern auch \(\vec{a}\circ\vec{b}\)), und das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor. Daher der Name: Das Ergebnis ist ein Skalar.
\(\theta\)	Theta	Der Winkel zwischen zwei Vektoren. Für Winkel nimmt man üblicherweise griechische Buchstaben, \(\theta\) ist der häufigste (in deutschen Schulbüchern oft auch \(\alpha\) oder \(\varphi\)). Gemeint ist die Öffnung zwischen den Vektoren, wenn sie im selben Punkt beginnen, im Bereich \(0^{\circ}\) bis \(180^{\circ}\).
\(\cos\theta\)	Kosinus Theta	Der Kosinus des Winkels \(\theta\). Im rechtwinkligen Dreieck ist er „Ankathete durch Hypotenuse“ und nimmt Werte von \(-1\) bis \(1\) an. Er verbindet das Skalarprodukt mit dem Winkel.
\(\cos^{-1}\)	Arkuskosinus	Der Arkuskosinus. Eine Funktion, die aus dem Wert von \(\cos\theta\) den Winkel \(\theta\) liefert, auch \(\arccos\) geschrieben. Die \(-1\) rechts oben bedeutet „Umkehroperation“, nicht \(\cos\) hoch \(-1\). Auf dem Taschenrechner ist es die Taste, die klein über cos steht (meist mit SHIFT oder 2nd).
\(k,\ l\)	k, l	Reelle Zahlen (Skalare), die angeben, mit welcher Zahl ein Vektor multipliziert wird. Für Konstanten nimmt man oft \(k\). In diesem Rechner geben Sie sie als Koeffizienten von \(k\vec{a}+l\vec{b}\) ein.
\(\vec{0}\)	Nullvektor	Der Vektor, dessen Koordinaten alle 0 sind (der Nullvektor). Ein besonderer Vektor mit dem Betrag 0 und ohne Richtung – Winkel und Einheitsvektor gibt es für ihn nicht.
\(\perp\)	ist orthogonal zu (senkrecht auf)	Das Zeichen für „ist orthogonal zu“. \(\vec{a}\perp\vec{b}\) liest man „\(\vec{a}\) ist orthogonal zu \(\vec{b}\)“ oder „\(\vec{a}\) steht senkrecht auf \(\vec{b}\)“. Das Zeichen stellt einen rechten Winkel dar.
\(\parallel\)	ist parallel zu	Das Zeichen für „ist parallel zu“. \(\vec{a}\parallel\vec{b}\) liest man „\(\vec{a}\) ist parallel zu \(\vec{b}\)“. Das Zeichen zeigt zwei parallele Linien nebeneinander.
\(\iff\)	genau dann, wenn	Zeigt, dass linke und rechte Seite gleichwertig (äquivalent) sind: „Die rechte Seite gilt, wenn die linke gilt, und nur dann.“ Man schreibt es als Doppelpfeil in beide Richtungen.
\(\sqrt{\ }\)	Wurzel	Das Wurzelzeichen. \(\sqrt{20}\) ist „die positive Zahl, die quadriert 20 ergibt“. Beträge von Vektoren schreibt man mit diesem Zeichen und gibt das Ergebnis vereinfacht an, indem man Quadratzahlen aus der Wurzel zieht (teilweises Wurzelziehen), etwa \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).

Begriffe

Vektor	Eine Größe mit Richtung und Länge (Betrag). Damit beschreibt man Geschwindigkeit, Kraft oder Verschiebung – alles, wofür die Größe allein nicht reicht, sondern auch die Richtung zählt. Man zeichnet ihn als Pfeil; verschiebt man ihn, ohne ihn zu drehen (gleiche Richtung und Länge), bleibt es derselbe Vektor.
Skalar	Eine bloße Zahl ohne Richtung (etwa eine Länge, ein Gewicht oder eine Temperatur). Das Wort dient zur Abgrenzung vom Vektor. Das Ergebnis eines Skalarprodukts ist ein Skalar.
Pfeil (gerichtete Strecke)	Eine Strecke mit Richtung, also der konkrete Pfeil mit festem Anfangs- und Endpunkt. Der Vektor ist das, was übrig bleibt, wenn man von der Lage absieht und nur Richtung und Länge behält – alle gleich langen, gleich gerichteten Pfeile stellen denselben Vektor dar.
Koordinatendarstellung (Spaltenvektor)	Die Schreibweise eines Vektors als Zahlen, die angeben „wie weit in \(x\)-Richtung, wie weit in \(y\)-Richtung“. In deutschen Schulbüchern schreibt man die Koordinaten untereinander als Spaltenvektor, \(\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\), Punkte dagegen nebeneinander mit senkrechtem Strich, \(P(4\,\|\,2)\). Andere Länder schreiben Vektoren oft in eine Zeile, etwa \((4,\ 2)\) – gemeint ist dasselbe. In Koordinaten werden Summen und Skalarprodukte zu einfachen Zahlenrechnungen.
Betrag	Die Länge des Pfeils eines Vektors, auch Länge oder Norm genannt. Aus den Koordinaten erhält man ihn mit \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\).
Einheitsvektor	Ein Vektor mit dem Betrag 1. Die Rechnung \(\vec{a}_0 = \dfrac{1}{\|\vec{a}\|}\cdot\vec{a}\) liefert einen Vektor in Richtung von \(\vec{a}\), dessen Länge auf 1 gebracht ist. Man nutzt ihn, wenn nur eine Richtung ausgedrückt werden soll.
Nullvektor	Der Vektor \(\vec{0}\), dessen Koordinaten alle 0 sind. Sein Betrag ist 0, eine Richtung hat er nicht. Er entsteht als Differenz eines Vektors mit sich selbst: \(\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}\).
Gegenvektor	Der Vektor \(-\vec{a}\) mit gleichem Betrag und genau entgegengesetzter Richtung. Er ist das Vielfache mit \(k=-1\) und wird bei der Differenz \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\) gebraucht.
Vielfaches (S-Multiplikation)	Ein Vektor, mit einer Zahl \(k\) multipliziert (Multiplikation mit einem Skalar, kurz S-Multiplikation). Die Länge wird \(k\)-mal so groß bei gleicher Richtung; ist \(k\) negativ, kehrt sich die Richtung um.
Parallelogrammregel	Die Regel, dass die Summe zweier Vektoren die Diagonale des Parallelogramms ist, das die beiden Vektoren aufspannen. In der Physik nutzt man sie direkt als Kräfteparallelogramm, um Kräfte zeichnerisch zusammenzusetzen.
Skalarprodukt	Eine Rechnung, die aus zwei Vektoren eine Zahl macht. Definiert als \(\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\), in Koordinaten \(a_1b_1+a_2b_2\). Es drückt als Zahl aus, wie gut zwei Richtungen übereinstimmen.
Winkel zwischen zwei Vektoren	Der Winkel \(\theta\), der entsteht, wenn zwei Vektoren im selben Punkt beginnen. Man betrachtet ihn im Bereich \(0^{\circ}\) bis \(180^{\circ}\).
Projektion	Der Schatten, den ein Vektor auf die Richtung eines anderen wirft, wenn das Licht senkrecht darauf fällt (orthogonale Projektion). Die Länge der Projektion von \(\vec{b}\) auf die Richtung von \(\vec{a}\) ist \(\|\vec{b}\|\cos\theta\); das Skalarprodukt lässt sich als diese Schattenlänge mal \(\|\vec{a}\|\) deuten.
orthogonal	Zwei Vektoren stehen im rechten Winkel zueinander (senkrecht). Für zwei Vektoren, die nicht der Nullvektor sind, bedeutet das dasselbe wie „das Skalarprodukt ist 0“.
parallel	Zwei Vektoren zeigen in dieselbe oder genau die entgegengesetzte Richtung (auch kollinear). Das bedeutet dasselbe wie „einer ist ein Vielfaches des anderen“; in der Ebene prüft man es allein mit den Koordinaten: \(a_1b_2-a_2b_1=0\).
Ortsvektor	Ein Vektor, der im Ursprung beginnt und die Lage eines Punktes angibt. Der Ortsvektor des Punktes A ist \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\); die Koordinaten des Punktes sind seine Koordinaten. Er ist der Ausgangspunkt, um Figuren mit Vektoren zu untersuchen.

Das sollten Sie vorher wissen

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen – nicht nur auf den Knopf zu drücken.
Wenn Sie hängen bleiben, ist eine Wiederholung dieser Themen der schnellste Weg weiter.

Koordinatensystem in der Ebene und im Raum (Klasse 5 bis Oberstufe, 10–18 Jahre)	Die Lage eines Punktes mit zwei Zahlen angeben können, etwa \(P(4\,\|\,2)\) (\(x\) für links–rechts, \(y\) für unten–oben) Wissen, dass im Raum die Höhe \(z\) dazukommt und ein Punkt drei Zahlen hat, etwa \(P(4\,\|\,2\,\|\,4)\) Wissen, dass negative Koordinaten links bzw. unterhalb des Ursprungs liegen (im Raum auch nach vorn bzw. nach unten)
Rechnen mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Mit negativen Zahlen richtig addieren und subtrahieren können, etwa \(4+(-1)\) und \(4-(-1)\) Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen multiplizieren können, etwa \(4 \cdot (-1) = -4\)
Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass \(\sqrt{20}\) „die positive Zahl ist, die quadriert 20 ergibt“ Wurzeln durch teilweises Wurzelziehen vereinfachen können, etwa \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}\) Eine Wurzel aus dem Nenner entfernen können (Nenner rational machen), etwa \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass im rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Kathetenquadrate ist (\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)) Aus den Katheten die Hypotenuse berechnen können (der Betrag eines Vektors ist genau das)
Trigonometrie – Kosinus (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass \(\cos\theta\) Werte von \(-1\) bis \(1\) annimmt und mit wachsendem Winkel kleiner wird Die Werte besonderer Winkel kennen, etwa \(\cos 0^{\circ}=1\), \(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\), \(\cos 90^{\circ}=0\) und \(\cos 180^{\circ}=-1\) Wissen, dass man aus einem Wert von \(\cos\theta\) den Winkel mit dem Arkuskosinus \(\cos^{-1}\) zurückrechnet (auf dem Taschenrechner die Umkehrung von cos)
Gleichungen und Bruchrechnung (Klasse 6–8, 11–14 Jahre)	Eine lineare Gleichung wie \(2x-12=0\) lösen können Mit Brüchen wie \(\dfrac{3}{5}\) weiterrechnen und kürzen können

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den Betrag eines Vektors

x-Koordinate a1	4
y-Koordinate a2	2
z-Koordinate a3 (in der Ebene 0)	4
Betrag \|a\|	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)

Tabelle für Summe und Differenz von Vektoren

a: x-Koordinate a1	4
a: y-Koordinate a2	2
a: z-Koordinate a3	4
b: x-Koordinate b1	-1
b: y-Koordinate b2	2
b: z-Koordinate b3	2
Summe: x-Koordinate	=B1+B4
Summe: y-Koordinate	=B2+B5
Summe: z-Koordinate	=B3+B6
Differenz: x-Koordinate	=B1-B4
Differenz: y-Koordinate	=B2-B5
Differenz: z-Koordinate	=B3-B6

Tabelle für ein Vielfaches eines Vektors

Skalar k	2
x-Koordinate a1	4
y-Koordinate a2	2
z-Koordinate a3	4
k-faches: x-Koordinate	=B1*B2
k-faches: y-Koordinate	=B1*B3
k-faches: z-Koordinate	=B1*B4

Tabelle für das Skalarprodukt

a: x-Koordinate a1	4
a: y-Koordinate a2	2
a: z-Koordinate a3	4
b: x-Koordinate b1	-1
b: y-Koordinate b2	2
b: z-Koordinate b3	2
Skalarprodukt a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6

Tabelle für den Winkel zwischen zwei Vektoren

Skalarprodukt a·b	8
Betrag \|a\|	6
Betrag \|b\|	3
cosθ	=B1/(B2*B3)
Winkel θ (Grad)	=GRAD(ARCCOS(B4))
Winkel θ (Bogenmaß)	=ARCCOS(B4)

Tabelle zur Prüfung auf orthogonal und parallel (Ebene)

a: x-Koordinate a1	4
a: y-Koordinate a2	2
b: x-Koordinate b1	-1
b: y-Koordinate b2	2
Skalarprodukt a·b	=B1B3+B2B4
Orthogonal?	=WENN(B5=0;"orthogonal";"nicht orthogonal")
a1b2 − a2b1	=B1B4-B2B3
Parallel?	=WENN(B7=0;"parallel";"nicht parallel")

Tabelle für den Einheitsvektor

x-Koordinate a1	4
y-Koordinate a2	2
z-Koordinate a3 (in der Ebene 0)	4
Betrag \|a\|	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)
Einheitsvektor: x-Koordinate	=B1/B4
Einheitsvektor: y-Koordinate	=B2/B4
Einheitsvektor: z-Koordinate	=B3/B4
Probe: Betrag des Einheitsvektors	=WURZEL(B5^2+B6^2+B7^2)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Koordinaten und Koeffizienten) die Eingaben, die unteren Zeilen zeigen die berechneten Ergebnisse.
„^“ steht für eine Potenz, WURZEL für die Quadratwurzel, ARCCOS für den Arkuskosinus (er bestimmt den Winkel aus einem Kosinuswert) und GRAD rechnet Bogenmaß in Grad um.
Die Tabellen 1 bis 4 verwenden die Vektoren im Raum \(\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\2\\4\end{pmatrix}\) und \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}\). Der Betrag \(|\vec{a}|\) ist 6, die Summe \(\begin{pmatrix}3\\4\\6\end{pmatrix}\), die Differenz \(\begin{pmatrix}5\\0\\2\end{pmatrix}\), \(2\vec{a} = \begin{pmatrix}8\\4\\8\end{pmatrix}\) und das Skalarprodukt 8. Für Vektoren in der Ebene setzen Sie die Zellen der z-Koordinate auf 0.
Tabelle 5 bestimmt aus diesem Skalarprodukt 8 und den Beträgen 6 und 3 den Winkel. cosθ ist 0,4444…, der Winkel etwa 63,61 Grad (etwa 1,1102 im Bogenmaß).
Tabelle 6 verwendet die Vektoren in der Ebene \(\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\). Das Skalarprodukt ist 0, also erscheint „orthogonal“; a1b2 − a2b1 ist 10, nicht 0, also erscheint „nicht parallel“.
Tabelle 7 bestimmt den Einheitsvektor zu demselben \(\vec{a}\) wie in Tabelle 1. Jede Koordinate wird durch den Betrag 6 geteilt, das ergibt \(\begin{pmatrix}0{,}6667\\0{,}3333\\0{,}6667\end{pmatrix}\), und die letzte Zeile bestätigt, dass sein Betrag genau 1 ist.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für den Betrag eines Vektors

x-Koordinate a1	4
y-Koordinate a2	2
z-Koordinate a3 (in der Ebene 0)	4
Betrag \|a\|	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)

Tabelle für Summe und Differenz von Vektoren

a: x-Koordinate a1	4
a: y-Koordinate a2	2
a: z-Koordinate a3	4
b: x-Koordinate b1	-1
b: y-Koordinate b2	2
b: z-Koordinate b3	2
Summe: x-Koordinate	=B1+B4
Summe: y-Koordinate	=B2+B5
Summe: z-Koordinate	=B3+B6
Differenz: x-Koordinate	=B1-B4
Differenz: y-Koordinate	=B2-B5
Differenz: z-Koordinate	=B3-B6

Tabelle für ein Vielfaches eines Vektors

Skalar k	2
x-Koordinate a1	4
y-Koordinate a2	2
z-Koordinate a3	4
k-faches: x-Koordinate	=B1*B2
k-faches: y-Koordinate	=B1*B3
k-faches: z-Koordinate	=B1*B4

Tabelle für das Skalarprodukt

a: x-Koordinate a1	4
a: y-Koordinate a2	2
a: z-Koordinate a3	4
b: x-Koordinate b1	-1
b: y-Koordinate b2	2
b: z-Koordinate b3	2
Skalarprodukt a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6

Tabelle für den Winkel zwischen zwei Vektoren

Skalarprodukt a·b	8
Betrag \|a\|	6
Betrag \|b\|	3
cosθ	=B1/(B2*B3)
Winkel θ (Grad)	=GRAD(ARCCOS(B4))
Winkel θ (Bogenmaß)	=ARCCOS(B4)

Tabelle zur Prüfung auf orthogonal und parallel (Ebene)

a: x-Koordinate a1	4
a: y-Koordinate a2	2
b: x-Koordinate b1	-1
b: y-Koordinate b2	2
Skalarprodukt a·b	=B1B3+B2B4
Orthogonal?	=WENN(B5=0;"orthogonal";"nicht orthogonal")
a1b2 − a2b1	=B1B4-B2B3
Parallel?	=WENN(B7=0;"parallel";"nicht parallel")

Tabelle für den Einheitsvektor

x-Koordinate a1	4
y-Koordinate a2	2
z-Koordinate a3 (in der Ebene 0)	4
Betrag \|a\|	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)
Einheitsvektor: x-Koordinate	=B1/B4
Einheitsvektor: y-Koordinate	=B2/B4
Einheitsvektor: z-Koordinate	=B3/B4
Probe: Betrag des Einheitsvektors	=WURZEL(B5^2+B6^2+B7^2)

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert (WURZEL, ARCCOS, GRAD und WENN heißen in beiden Programmen gleich). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koordinaten durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit der Funktion SUMMENPRODUKT geht das Skalarprodukt sogar in einer einzigen Formel: Geben Sie die beiden Koordinatenbereiche an, etwa „=SUMMENPRODUKT(B1:B3;B4:B6)“.

So berechnen Sie es in Python

import math
from fractions import Fraction

# Koordinaten der Vektoren (ein Bruch wie 3/4 lässt sich als Fraction(3, 4) schreiben; in der Ebene zwei Einträge)
a = [Fraction(4), Fraction(2), Fraction(4)]
b = [Fraction(-1), Fraction(2), Fraction(2)]
k, l = Fraction(2), Fraction(3)

# Summe, Differenz und Linearkombination (koordinatenweise)
vector_sum = [x + y for x, y in zip(a, b)]
vector_diff = [x - y for x, y in zip(a, b)]
combination = [k * x + l * y for x, y in zip(a, b)]

# Skalarprodukt, Beträge und Winkel
dot = sum(x * y for x, y in zip(a, b))
size_a = math.sqrt(sum(x * x for x in a))
size_b = math.sqrt(sum(x * x for x in b))
cos_theta = dot / (size_a * size_b)
theta_degrees = math.degrees(math.acos(cos_theta))

print(f"Summe: {vector_sum}")
print(f"Differenz: {vector_diff}")
print(f"ka + lb: {combination}")
print(f"Skalarprodukt: {dot}")
print(f"Betrag |a|: {size_a}, |b|: {size_b}")
print(f"cos(theta): {float(cos_theta)}, Winkel: {theta_degrees} Grad")

# Einheitsvektor und Prüfung auf Orthogonalität
unit_a = [float(x) / size_a for x in a]
print(f"Einheitsvektor in Richtung von a: {unit_a}")
print("Orthogonal" if dot == 0 else "Nicht orthogonal")

Der Code kommt mit der Standardbibliothek aus. Speichert man die Koordinaten als Fraction (Brüche), sind Summe, Differenz und Skalarprodukt exakt, ganz ohne Rundungsfehler. Beträge und Winkel enthalten Wurzeln und werden deshalb mit dem Modul math als Dezimalzahlen berechnet. Das Beispiel verwendet \(\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\2\\4\end{pmatrix}\) und \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}\) und gibt das Skalarprodukt 8, die Beträge 6 und 3 sowie einen Winkel von etwa 63,61 Grad aus (Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt). Ändern Sie die Koordinaten und führen Sie den Code erneut aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Betrag eines Vektors (aus den Koordinaten)

|a| = √(a₁² + a₂²)

\left|\vec{a}\right| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

abs(vec a) = sqrt(a_1^2 + a_2^2)

Norm[{a1, a2}]

LinearAlgebra:-Norm(Vector([a1, a2]), 2);

norm([a1 a2])

|a| = √(a_1^2 + a_2^2)

Summe und Differenz von Vektoren (koordinatenweise addieren bzw. subtrahieren)

a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\ a_2 + b_2)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>+</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a + vec b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)

{a1, a2} + {b1, b2}

Vector([a1, a2]) + Vector([b1, b2]);

[a1 a2] + [b1 b2]

a + b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)

Vielfaches eines Vektors

ka = (ka₁, ka₂)

k\vec{a} = (k a_1,\ k a_2)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>k</mi><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>,</mo>
    <mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

k vec a = (k a_1, k a_2)

k {a1, a2}

k * Vector([a1, a2]);

k * [a1 a2]

ka = (k a_1, k a_2)

Skalarprodukt (aus zwei Vektoren wird eine Zahl)

a ⋅ b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂

\vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
  </mrow>
</math>

vec a * vec b = abs(vec a) abs(vec b) cos theta = a_1 b_1 + a_2 b_2

Dot[{a1, a2}, {b1, b2}]

DotProduct(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));

dot([a1 a2], [b1 b2])

a ⋅ b = |a||b| cos θ = a_1 b_1 + a_2 b_2

Winkel zwischen zwei Vektoren

cos θ = (a ⋅ b) / (|a||b|)

\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#x22C5;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
        <mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

cos theta = (vec a * vec b) / (abs(vec a) abs(vec b))

ArcCos[Dot[a, b]/(Norm[a] Norm[b])]

VectorAngle(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));

acos(dot(a, b) / (norm(a) * norm(b)))

cos θ = (a ⋅ b)/(|a||b|)

Bedingungen für orthogonale und parallele Vektoren

a⊥b ⟺ a ⋅ b = 0,  a∥b ⟺ b = ka

\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0,\qquad \vec{a}\parallel\vec{b} \iff \vec{b}=k\vec{a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x22A5;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x27FA;</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

vec a _|_ vec b <=> vec a * vec b = 0

Dot[a, b] == 0

evalb(DotProduct(a, b) = 0);

dot(a, b) == 0

a ⊥ b ⟺ a ⋅ b = 0

Einheitsvektor (nur die Richtung behalten)

a / |a| = (a₁/|a|, a₂/|a|)

\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|} = \left(\frac{a_1}{\left|\vec{a}\right|},\ \frac{a_2}{\left|\vec{a}\right|}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac>
      <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
      <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
      <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a / abs(vec a) = (a_1/abs(vec a), a_2/abs(vec a))

Normalize[{a1, a2}]

LinearAlgebra:-Normalize(Vector([a1, a2]), 2);

[a1 a2] / norm([a1 a2])

a/|a| = (a_1/|a|, a_2/|a|)

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (Vektoren). Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Bestimmen Sie für die Vektoren im Raum a = (4 ; 2 ; 4) und b = (−1 ; 2 ; 2) (Spaltenvektoren, hier in eine Zeile geschrieben) Folgendes.
1. Die Koordinaten der Summe a + b, der Differenz a − b und von 2a + 3b
2. Die Beträge |a| und |b| (als exakte Werte mit vereinfachter Wurzel und als Dezimalzahlen)
3. Das Skalarprodukt a·b
4. Den Winkel θ zwischen den Vektoren (in Grad und im Bogenmaß, bei einem besonderen Winkel auch exakt)
5. Den Einheitsvektor in Richtung von a
6. Ob a und b orthogonal oder parallel sind, mit Begründung

Verwenden Sie in Python die Module fractions und math (bei Bedarf sympy) und geben Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis an. Antworten Sie auf Deutsch und schreiben Sie Vektoren als Spaltenvektoren.

Anleitung

1

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Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

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3

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Vektorrechner – Skalarprodukt, Betrag, Winkel und Linearkombination

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Formeln und Abbildungen

Symbole und Begriffe

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Begriffe

Das sollten Sie vorher wissen

So berechnen Sie es in Excel

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So berechnen Sie es in Python

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