Vektorrechner (Summe, Differenz, Betrag, Skalarprodukt und Winkel)

Wählen Sie Ebene oder Raum und geben Sie die Komponenten der beiden Vektoren a und b sowie die Koeffizienten k und l ein. Die Formel unten ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können also auch direkt darin die Komponenten ändern.

Ebene oder Raum

Vektor a, x-Komponente

Vektor a, y-Komponente

Vektor a, z-Komponente

Vektor b, x-Komponente

Vektor b, y-Komponente

Vektor b, z-Komponente

Koeffizient k (multipliziert a)

Koeffizient l (multipliziert b)

Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 sind erlaubt. Eine leere Komponente wird als 0 behandelt, ein leerer Koeffizient k oder l als 1.

Ergebnis und Figur

Geben Sie links die Komponenten der Vektoren ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Abbildung erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie nur die Komponenten der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) in der Ebene (2D) oder im Raum (3D) ein, und Sie erhalten die Summe \(\vec{a}+\vec{b}\), die Differenz \(\vec{a}-\vec{b}\) und die Linearkombination \(k\vec{a}+l\vec{b}\) auf einmal
Der Betrag \(|\vec{a}|\) wird sowohl als exakter Wert mit vereinfachter Wurzel angezeigt, etwa \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), als auch als Dezimalzahl
Außerdem erhalten Sie das Skalarprodukt \(\vec{a}\cdot\vec{b}\), den Winkel zwischen den Vektoren \(\theta\) (in Grad und im Bogenmaß, bei besonderen Winkeln wie \(45^{\circ}\) mit exaktem Wert), die Einheitsvektoren und eine Prüfung auf orthogonal und parallel
Der Rechner zeigt die Vektoren als Spaltenvektoren, so wie Sie sie von Hand schreiben würden, und Sie können die Komponenten direkt darin ändern
Komponenten und Koeffizienten dürfen Dezimalzahlen, negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein
Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Ein Vektor mit dem Betrag 0 (der Nullvektor) hat keine Richtung, deshalb gibt es weder einen Winkel zwischen ihm und einem anderen Vektor noch einen Einheitsvektor. Dieser Rechner rechnet nicht, wenn \(\vec{a}\) oder \(\vec{b}\) der Nullvektor ist.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Kräfte zusammensetzen (Physik, Architektur und Technik)

Wirken mehrere Kräfte auf einen Körper, ist ihre gemeinsame Wirkung die Summe von Vektoren. Die Zugkraft eines schräg gezogenen Seils in eine waagerechte und eine senkrechte Komponente zu zerlegen und diese zu addieren, ist genau diese Rechnung.
Beim Entwurf von Brücken und Gebäuden werden Kräfte wie das Eigengewicht des Bauwerks, Wind und Erdbeben als Vektoren zusammengesetzt, um Richtung und Größe der Kraft auf jedes Bauteil zu bestimmen. Würde man nur die Beträge addieren und die Richtungen ignorieren, wäre der Entwurf gefährlich, das Rechnen mit Vektoren ist deshalb unverzichtbar.

3D-Spiele und Computergrafik

In einem Spiel wird die Bewegung einer Figur als „Ortsvektor + Geschwindigkeitsvektor“ berechnet, und die Richtung der Kamera und eines fliegenden Geschosses sind ebenfalls Vektoren. Einheitsvektoren werden in jedem Bild verwendet, wenn nur eine Richtung gebraucht wird (Bewegungsrichtung, Blickrichtung).
Auch für die Beleuchtung ist das Skalarprodukt der Schlüssel. Je größer das Skalarprodukt aus der Richtung, in die eine Fläche zeigt (ihrem Normalenvektor), und der Richtung des Lichts ist, desto direkter trifft das Licht auf, und dieser Wert bestimmt die Helligkeit auf dem Bildschirm. Ist das Skalarprodukt 0 oder kleiner, erreicht das Licht die Fläche nicht.

Der Kurs eines Flugzeugs oder Schiffs (Geschwindigkeiten zusammensetzen)

Der tatsächliche Weg eines Flugzeugs ist die Summe aus seinem Geschwindigkeitsvektor in Richtung der Flugzeugnase und dem Geschwindigkeitsvektor des Windes. Um bei Wind aus Norden genau nach Osten zu fliegen, muss die Nase teilweise gegen den Wind zeigen, und wie weit man sie drehen muss, ergibt sich durch Subtraktion von Vektoren.
Auf See addieren und subtrahieren Schiffe den Vektor der Strömung, um zu entscheiden, wie sie steuern müssen. Geschwindigkeit und Zeit komponentenweise behandeln zu können, ist eine Stärke von Vektoren.

Messen, wie ähnlich sich Texte oder Produkte sind (KI und Empfehlungen)

Suchmaschinen und generative KI verwandeln Texte in lange Zahlenlisten, also Vektoren. Ob zwei Texte ähnlich sind, beurteilt man am Winkel zwischen ihren Vektoren: Je näher \(\cos\theta\) an 1 liegt, desto ähnlicher sind sie (Kosinus-Ähnlichkeit).
Auch die Funktion „Kunden, die sich das angesehen haben, mochten auch“ in Online-Shops verwandelt Kaufverläufe in Vektoren und sucht Personen und Produkte mit kleinen Winkeln dazwischen. Hier zählt die Richtung (das Muster der Vorlieben) mehr als die Länge (etwa wie viel jemand insgesamt ausgibt), weshalb das Messen über den Winkel gut funktioniert.

Geräte, die Lage und Neigung messen (Drohnen, Navigationssysteme und Smartphones)

Drohnen und Smartphones bestimmen, wie stark sie geneigt sind, aus dem Winkel zwischen dem vom Beschleunigungssensor gemessenen Schwerkraft-Vektor und einem Bezugs-Vektor des Geräts. Dass der Bildschirm zwischen Hoch- und Querformat wechselt, ist ein Ergebnis dieser Rechnung.
In der GPS-Navigation und in der Vermessung behandelt man den Unterschied der Koordinaten zweier Punkte als Vektor: Sein Betrag ist die Entfernung und seine Richtung die Peilung. Im Raum fügen Sie einfach die Höhenkomponente hinzu, und dieselben Formeln funktionieren unverändert.

Formeln und Abbildungen

Betrag eines Vektors (aus den Komponenten)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(|\vec{a}|\) \(=\) \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(|\vec{a}|\): Betrag des Vektors \(\vec{a}\) (Länge des Pfeils) \(=\) ① Wurzel aus der Summe der quadrierten Komponenten, \(a_1^{2}+a_2^{2}\)

Die Formel in Worten

① Steht \(\vec{a}=\binom{a_1}{a_2}\) in Komponentendarstellung, berechnen Sie die Wurzel aus \(a_1^{2}+a_2^{2}\), der quadrierten \(x\)-Komponente plus der quadrierten \(y\)-Komponente ,

② und Sie erhalten den \(|\vec{a}|\): Betrag des Vektors \(\vec{a}\) (Länge des Pfeils)

Einfaches Beispiel

Der Betrag von \(\vec{a}=\binom{4}{2}\) (die Länge eines Pfeils, der 4 nach rechts und 2 nach oben geht) ist

Betrag von \(\vec{a}=\binom{4}{2}\) \(=\) Wurzel aus \(4^2+2^2=20\)

\(|\vec{a}| = \sqrt{4^{2}+2^{2}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}4721\)

Der Kerngedanke

Diese Formel ist der Satz des Pythagoras selbst. Die Komponenten \(a_1\) und \(a_2\) zerlegen den Pfeil in „wie weit nach rechts“ und „wie weit nach oben“, der Pfeil ist also die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen beide Katheten \(a_1\) und \(a_2\) sind. Deshalb ist seine Länge \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\). Bei einem Vektor im Raum \(\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\) addieren Sie auch das Quadrat der Höhenkomponente: \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}\). Es kommt nur ein Summand hinzu, die Schritte sind dieselben. Schreiben Sie die Wurzel im Ergebnis immer in vereinfachter Form (zum Beispiel \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)). Dieser Rechner zeigt sowohl den vereinfachten exakten Wert als auch eine Dezimalzahl.

Summe und Differenz von Vektoren (komponentenweise addieren oder subtrahieren)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\vec{a}+\vec{b}\) \(=\) \((a_1+b_1,\ a_2+b_2)\)

\(\vec{a}-\vec{b}\) \(=\) \((a_1-b_1,\ a_2-b_2)\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② Summe von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) \(=\) ① Vektor, dessen \(x\)-Komponenten und \(y\)-Komponenten addiert wurden

④ Differenz von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) \(=\) ③ Vektor, dessen \(x\)-Komponenten und \(y\)-Komponenten subtrahiert wurden

Die Formel in Worten

① Der Vektor, dessen \(x\)-Komponenten und \(y\)-Komponenten addiert wurden, \((a_1+b_1,\ a_2+b_2)\) ist die

② Summe von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), \(\vec{a}+\vec{b}\) , und der

③ Vektor, dessen \(x\)-Komponenten und \(y\)-Komponenten subtrahiert wurden, \((a_1-b_1,\ a_2-b_2)\) ist die

④ Differenz von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), \(\vec{a}-\vec{b}\)

Einfaches Beispiel

Für \(\vec{a}=\binom{4}{2}\) und \(\vec{b}=\binom{-1}{2}\) gilt

\(\vec{a}+\vec{b}\) \(=\) \(\binom{4+(-1)}{2+2}\)

\(\vec{a}+\vec{b} = \binom{4+(-1)}{2+2} = \binom{3}{4}\)

\(\vec{a}-\vec{b} = \binom{4-(-1)}{2-2} = \binom{5}{0}\)

Der Kerngedanke

In der Abbildung ist die Summe \(\vec{a}+\vec{b}\) der Pfeil, den Sie erhalten, wenn Sie den Anfang von \(\vec{b}\) an das Ende von \(\vec{a}\) setzen, vom allerersten Anfang bis zum allerletzten Ende. Er ist die Diagonale des Parallelogramms mit den Seiten \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), deshalb spricht man von der Parallelogrammregel. Die Differenz \(\vec{a}-\vec{b}\) ist \(\vec{a}+(-\vec{b})\): erst \(\vec{b}\) umkehren, dann addieren. In der Abbildung ist es der Pfeil vom Ende von \(\vec{b}\) zum Ende von \(\vec{a}\). Die Richtung verwechselt man leicht, merken Sie sich deshalb: „vom Ende des abgezogenen Vektors (\(\vec{b}\)) zum Ende dessen, von dem abgezogen wird (\(\vec{a}\))“. Wenn Sie daran denken, dass der Pfeil auf \(\vec{a}\) zeigt, zeichnen Sie ihn nicht verkehrt herum. Im Raum kommt nur ein weiterer Summand hinzu, der die \(z\)-Komponenten addiert oder subtrahiert, die Schritte sind dieselben.

Vielfaches eines Vektors (skalare Multiplikation)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

\(k\vec{a}\) \(=\) \((ka_1,\ ka_2)\)

② \(k\)-faches von \(\vec{a}\) \(=\) ① Vektor, dessen Komponenten jeweils mit \(k\) multipliziert wurden

Die Formel in Worten

① Der Vektor, dessen Komponenten jeweils mit \(k\) multipliziert wurden, \((ka_1,\ ka_2)\) ist das

② \(k\)-fache des Vektors \(\vec{a}\), \(k\vec{a}\)

Einfaches Beispiel

Verdoppelt man \(\vec{a}=\binom{4}{2}\) (ein Pfeil in derselben Richtung, doppelt so lang), erhält man

\(2\vec{a}\) \(=\) \(\binom{2 \times 4}{2 \times 2}\)

\(2\vec{a} = \binom{2 \times 4}{2 \times 2} = \binom{8}{4}\)

\(|2\vec{a}| = \sqrt{8^{2}+4^{2}} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} = 2 \times 2\sqrt{5} = 2|\vec{a}|\)

Der Kerngedanke

Ein Vielfaches streckt oder staucht den Pfeil. Für \(k>0\) bleibt die Richtung gleich, und die Länge wird \(k\)-mal so groß. Für \(k<0\) kehrt sich die Richtung um, und die Länge wird \(|k|\)-mal so groß (\(k=-1\) ergibt den Gegenvektor \(-\vec{a}\)). Der Betrag ist \(|k\vec{a}|=|k|\,|\vec{a}|\). Dieser Rechner arbeitet mit der Form \(k\vec{a}+l\vec{b}\). Mit \(k=1,\ l=1\) erhalten Sie die Summe, mit \(k=1,\ l=-1\) die Differenz, allein durch Ändern der Koeffizienten können Sie also auch Ausdrücke wie \(2\vec{a}-3\vec{b}\) berechnen. Mit \(k=0\) erhalten Sie den Nullvektor \(\vec{0}\), dessen Komponenten alle 0 sind. Der Nullvektor hat die Länge 0 und keine Richtung.

Skalarprodukt (eine Rechnung, die aus zwei Vektoren eine Zahl macht)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(=\) \(|\vec{a}|\) \(\times\) \(|\vec{b}|\) \(\times\) \(\cos\theta\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(=\) \(a_1b_1+a_2b_2\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ Skalarprodukt von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) \(=\) ① Betrag von \(\vec{a}\) \(\times\) ② Betrag von \(\vec{b}\) \(\times\) ③ \(\cos\theta\): Kosinus des Winkels \(\theta\)

⑥ Skalarprodukt von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) \(=\) ⑤ Produkt der \(x\)-Komponenten plus Produkt der \(y\)-Komponenten

Die Formel in Worten

① Multiplizieren Sie den Betrag von \(\vec{a}\), \(|\vec{a}|\) , den

② Betrag von \(\vec{b}\), \(|\vec{b}|\) und den

③ \(\cos\theta\): Kosinus des Winkels \(\theta\) miteinander, und Sie erhalten das

④ Skalarprodukt \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) . Mit Komponenten ergibt das

⑤ Produkt der \(x\)-Komponenten plus Produkt der \(y\)-Komponenten, \(a_1b_1+a_2b_2\) denselben Wert, also erhalten Sie auch damit das

⑥ Skalarprodukt \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)

Einfaches Beispiel

Das Skalarprodukt von \(\vec{a}=\binom{4}{2}\) und \(\vec{b}=\binom{-1}{2}\) ist

Skalarprodukt \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(=\) \(4 \times (-1) + 2 \times 2\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = -4 + 4 = 0\)

Der Kerngedanke

Das Ergebnis eines Skalarprodukts ist kein Vektor, sondern nur eine Zahl (ein Skalar). Der Name klingt nach Multiplikation, sehen Sie es aber als eine besondere Rechnung, die aus zwei Pfeilen eine Zahl macht. Schreiben Sie es immer mit einem Mal-Punkt; \(\vec{a}\times\vec{b}\) ist eine andere Rechnung (das Kreuzprodukt). In der Abbildung ist es „die Länge des Schattens von \(\vec{b}\), der senkrecht auf die Richtung von \(\vec{a}\) fällt (die Projektion), \(|\vec{b}|\cos\theta\), mal \(|\vec{a}|\)“. Je besser die beiden Richtungen übereinstimmen, desto größer ist also das Skalarprodukt. Bei einem rechten Winkel hat der Schatten die Länge 0, das Skalarprodukt ist also 0. Zeigen die Richtungen fast entgegengesetzt, fällt der Schatten in die andere Richtung, das Skalarprodukt ist dann negativ. Verwenden Sie die Definition (Beträge und Winkel), wenn Sie den Winkel kennen, und die Komponentenformel, wenn Sie die Koordinaten kennen. Im Raum kommt ein Summand \(a_3b_3\) hinzu: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\).

Winkel zwischen zwei Vektoren

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\cos\theta\) \(=\) \(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(\cos\theta\): Kosinus des Winkels \(\theta\) \(=\) ① \(\dfrac{\text{Skalarprodukt }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{Produkt der Beträge }|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)

Die Formel in Worten

① Berechnen Sie \(\dfrac{\text{Skalarprodukt }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{Produkt der Beträge }|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\) und Sie erhalten den

② \(\cos\theta\): Kosinus des Winkels \(\theta\) , und daraus den Winkel \(\theta\)

Einfaches Beispiel

Der Winkel zwischen \(\vec{a}=\binom{1}{1}\) und \(\vec{b}=\binom{2}{0}\) (das Skalarprodukt ist \(1 \times 2 + 1 \times 0 = 2\), die Beträge sind \(|\vec{a}|=\sqrt{2}\) und \(|\vec{b}|=2\)) ist

\(\cos\theta\) \(=\) \(\dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2}\)

\(\cos\theta = \dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\theta = 45^{\circ} = \dfrac{\pi}{4}\)

Der Kerngedanke

Das ist nur die Definition des Skalarprodukts, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\), nach \(\cos\theta\) aufgelöst. Beachten Sie, dass Sie zuerst den Wert von \(\cos\theta\) erhalten, nicht den Winkel selbst. Um aus \(\cos\theta\) den Winkel zu erhalten, vergleichen Sie mit den Werten besonderer Winkel: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) gehört zu \(45^{\circ}\), \(\dfrac{1}{2}\) zu \(60^{\circ}\) und \(0\) zu \(90^{\circ}\). Für andere Werte verwenden Sie den Arkuskosinus \(\arccos\) (auf dem Taschenrechner \(\cos^{-1}\)); dieser Rechner zeigt das Ergebnis als Dezimalzahl. Der Winkel zwischen zwei Vektoren wird üblicherweise im Bereich \(0^{\circ} \le \theta \le 180^{\circ}\) angegeben. Schon das Vorzeichen von \(\cos\theta\) verrät die Art des Winkels: positiv bedeutet spitz, 0 ein rechter Winkel und negativ stumpf. Bleibt eine Wurzel im Nenner stehen, machen Sie den Nenner rational, etwa \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Bedingungen für orthogonale und parallele Vektoren

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\vec{a}\perp\vec{b}\) \(\iff\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)

\(\vec{a}\parallel\vec{b}\) \(\iff\) \(\vec{b}=k\vec{a}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind orthogonal \(\iff\) ② das Skalarprodukt ist 0

③ \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind parallel \(\iff\) ④ einer ist ein Vielfaches des anderen

Die Formel in Worten

① Wenn weder \(\vec{a}\) noch \(\vec{b}\) der Nullvektor ist, gilt: \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) stehen senkrecht aufeinander genau dann, wenn

② das Skalarprodukt 0 ist, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) , und

③ \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind parallel genau dann, wenn

④ es eine reelle Zahl \(k\) mit \(\vec{b}=k\vec{a}\) gibt

Einfaches Beispiel

Für \(\vec{a}=\binom{4}{2}\) und \(\vec{b}=\binom{-1}{2}\) ist das Skalarprodukt \(4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0\), also

\(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) sind orthogonal \(\iff\) das Skalarprodukt ist \(0\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{a}\perp\vec{b}\)

\(\vec{c} = \binom{8}{4} = 2\vec{a} \quad \Rightarrow \quad \vec{c}\parallel\vec{a}\)

Der Kerngedanke

Um orthogonale Vektoren zu erkennen, brauchen Sie den Winkel nicht, Sie prüfen nur, ob das Skalarprodukt 0 ist. Wegen \(\cos 90^{\circ}=0\) wird die ganze Definition \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) zu 0. In der Geometrie ist das ein Standardwerkzeug, um in Beweisen zu zeigen, dass ein Winkel ein rechter Winkel ist. In der Ebene lautet die Bedingung für parallele Vektoren, \(\vec{b}=k\vec{a}\) in Komponenten \(a_1b_2-a_2b_1=0\). Das ist praktisch, weil Sie es prüfen können, ohne \(k\) zu bestimmen (es sagt dasselbe wie gleiche Verhältnisse der Komponenten, \(a_1:a_2=b_1:b_2\)). Beide Bedingungen setzen voraus, dass weder \(\vec{a}\) noch \(\vec{b}\) der Nullvektor ist. Der Nullvektor hat mit jedem Vektor das Skalarprodukt 0, aber weil er keine Richtung hat, nennt man ihn nicht orthogonal und fragt auch nicht, ob er parallel ist. Deshalb formulieren Lehrbücher die Bedingungen mit „für \(\vec{a} \neq \vec{0},\ \vec{b} \neq \vec{0}\)“.

Einheitsvektor (nur die Richtung behalten)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\) \(=\) \(\left(\dfrac{a_1}{|\vec{a}|},\ \dfrac{a_2}{|\vec{a}|}\right)\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② Vektor mit derselben Richtung wie \(\vec{a}\) und dem Betrag 1 \(=\) ① \(\dfrac{\text{ursprüngliche Komponenten }\binom{a_1}{a_2}}{\text{Betrag des Vektors }|\vec{a}|}\)

Die Formel in Worten

① Teilen Sie jede Komponente durch den Betrag, wie in \(\dfrac{\text{ursprüngliche Komponenten }\binom{a_1}{a_2}}{\text{Betrag des Vektors }|\vec{a}|}\) , und Sie erhalten den

② Vektor mit derselben Richtung wie \(\vec{a}\) und dem Betrag 1 (den Einheitsvektor)

Einfaches Beispiel

Der Einheitsvektor in Richtung von \(\vec{a}=\binom{4}{2}\) (mit dem Betrag \(|\vec{a}|=2\sqrt{5}\)) ist

Einheitsvektor in Richtung von \(\vec{a}=\binom{4}{2}\) \(=\) \(\dfrac{\binom{4}{2}}{2\sqrt{5}}\)

\(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \dfrac{1}{2\sqrt{5}}\binom{4}{2} = \binom{\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}{\dfrac{\sqrt{5}}{5}}\)

\(\sqrt{\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{20}{25}+\dfrac{5}{25}} = \sqrt{\dfrac{25}{25}} = 1\)

Der Kerngedanke

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor, der die Längeninformation weglässt und nur die Richtung behält. Das Teilen durch den Betrag ergibt immer die Länge 1, denn \(\left|\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\right| = \dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|} = 1\), Sie müssen die Länge nach dem Teilen also nicht noch einmal prüfen. Mit der Richtung allein können Sie „den Punkt, der 5 Einheiten in Richtung von \(\vec{a}\) liegt“ als „5 × der Einheitsvektor“ schreiben. Er ist ein Werkzeug für Fälle, in denen die Länge egal ist und nur die Richtung zählt, etwa die Fahrtrichtung, die Blickrichtung oder die Richtung, in die eine Fläche zeigt (der Normalenvektor). Teilt man die Komponenten durch den Betrag, steht eine Wurzel im Nenner, machen Sie das Ergebnis also rational, etwa \(\dfrac{4}{2\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\). Zu jeder Richtung gibt es einen Vektor vom Betrag 1, sagen Sie deshalb „in Richtung von \(\vec{a}\)“, um ihn vom Einheitsvektor der Gegenrichtung, \(-\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\), zu unterscheiden. Im Raum kommt nur ein weiterer Summand hinzu, der die \(z\)-Komponente durch denselben Betrag teilt, die Schritte sind dieselben.

Ein Vektor ist eine Größe mit Richtung und Betrag, und in Komponentendarstellung, \(\vec{a}=\binom{a_1}{a_2}\), werden die Rechnungen viel einfacher. Summen, Differenzen und Vielfache rechnet man komponentenweise, der Betrag ist \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\) (der Satz des Pythagoras), und das Skalarprodukt ist die Summe der Produkte der Komponenten, \(a_1b_1+a_2b_2\). Teilt man das Skalarprodukt durch das Produkt der Beträge, erhält man \(\cos\theta\), woraus sich der Winkel zwischen den beiden Vektoren ergibt. Ist das Skalarprodukt 0, sind die Vektoren orthogonal; ist einer ein Vielfaches des anderen, sind sie parallel.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(\vec{a}\)	Vektor a	Das Symbol für einen Vektor. Der Pfeil über dem Buchstaben zeigt, dass es eine Größe mit Richtung ist. Manche Lehrbücher schreiben stattdessen fett, etwa \(\boldsymbol{a}\); gemeint ist derselbe Vektor. Die gerichtete Strecke vom Punkt A zum Punkt B schreibt man \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) (der Vektor von A nach B).
\(a_1,\ a_2,\ a_3\)	a Index 1, a Index 2, a Index 3	Die Komponenten des Vektors \(\vec{a}\). Die kleine Zahl unten rechts (der Index) sagt, um welche Komponente es geht: \(a_1\) ist der Schritt in \(x\)-Richtung, \(a_2\) in \(y\)-Richtung und \(a_3\) in \(z\)-Richtung. Manche Lehrbücher verwenden stattdessen \(x\) und \(y\) als Index, etwa \(\vec{a}=\binom{a_x}{a_y}\).
\(\|\vec{a}\|\)	Betrag des Vektors a	Der Betrag des Vektors \(\vec{a}\) (die Länge des Pfeils). Er verwendet dieselben senkrechten Striche wie der Betrag einer reellen Zahl, mit demselben Gedanken: die Richtung weglassen und nur die Größe betrachten. Der Wert ist immer 0 oder größer.
\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)	a Punkt b	Das Skalarprodukt. Üblich ist die Schreibweise mit einem Mal-Punkt, und das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor. Der Name „Skalarprodukt“ kommt daher, dass das Ergebnis ein Skalar ist (im Englischen sagt man wegen dieses Symbols „dot product“).
\(\theta\)	Theta	Der Winkel zwischen zwei Vektoren. Für Winkel verwendet man üblicherweise griechische Buchstaben, und \(\theta\) ist einer der häufigsten (viele deutsche Schulbücher schreiben \(\varphi\)). Der Winkel zwischen Vektoren ist der Winkel zwischen ihnen, wenn sie im selben Punkt beginnen, im Bereich von \(0^{\circ}\) bis \(180^{\circ}\).
\(\cos\theta\)	Kosinus Theta	Der Kosinus des Winkels \(\theta\). Im rechtwinkligen Dreieck ist er die Ankathete geteilt durch die Hypotenuse, und er nimmt Werte von \(-1\) bis \(1\) an. Er verbindet das Skalarprodukt mit dem Winkel.
\(\cos^{-1}\)	Arkuskosinus (arccos)	Der Arkuskosinus. Eine Funktion, die aus dem Wert von \(\cos\theta\) den Winkel \(\theta\) liefert, auf dem Taschenrechner meist als \(\cos^{-1}\) beschriftet. Die \(-1\) oben rechts steht für „die Umkehrung“ und nicht für \(\cos\) hoch \(-1\). Auf dem Taschenrechner ist es die klein über cos stehende Taste (oft mit 2nd oder SHIFT zu erreichen).
\(k,\ l\)	k, l	Reelle Zahlen (Skalare), die angeben, wievielfach ein Vektor genommen wird. Für Konstanten wird oft der Buchstabe \(k\) verwendet. In diesem Rechner geben Sie sie als Koeffizienten von \(k\vec{a}+l\vec{b}\) ein.
\(\vec{0}\)	Nullvektor	Der Vektor, dessen Komponenten alle 0 sind (der Nullvektor). Ein besonderer Vektor mit dem Betrag 0 und ohne Richtung, für ihn gibt es weder einen Winkel noch einen Einheitsvektor.
\(\perp\)	steht senkrecht auf	Das Symbol für „steht senkrecht auf“ (orthogonal). \(\vec{a}\perp\vec{b}\) liest man „\(\vec{a}\) steht senkrecht auf \(\vec{b}\)“. Das Symbol ist die Zeichnung eines rechten Winkels.
\(\parallel\)	ist parallel zu	Das Symbol für „ist parallel zu“. \(\vec{a}\parallel\vec{b}\) liest man „\(\vec{a}\) ist parallel zu \(\vec{b}\)“. Das Symbol sind zwei parallele Striche nebeneinander.
\(\iff\)	genau dann, wenn	Ein Symbol dafür, dass die linke und die rechte Seite gleichwertig (äquivalent) sind. Es bedeutet „die rechte Seite gilt genau dann, wenn die linke gilt“ und wird mit einem Doppelpfeil geschrieben.
\(\sqrt{\ }\)	Wurzel	Das Symbol für die Quadratwurzel. \(\sqrt{20}\) ist „die positive Zahl, die quadriert 20 ergibt“. Die Beträge von Vektoren werden mit diesem Symbol geschrieben, und man gibt sie in vereinfachter Form an, indem man Quadratzahlen vor die Wurzel zieht, etwa \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).

Begriffe

Vektor	Eine Größe, die sowohl eine Richtung als auch eine Größe (den Betrag) hat. Sie beschreibt Dinge wie Geschwindigkeit, Kraft und Bewegung, bei denen die Größe allein nicht reicht und man auch die Richtung braucht. Sie wird als Pfeil gezeichnet, und verschiebt man ihn ohne Drehung (gleiche Richtung und Länge), erhält man denselben Vektor.
Skalar	Einfach eine Zahl ohne Richtung (etwa eine Länge, ein Gewicht oder eine Temperatur). Das Wort dient dazu, sie von einem Vektor zu unterscheiden. Das Ergebnis eines Skalarprodukts ist ein Skalar.
gerichtete Strecke	Eine Strecke mit einer Richtung: der Pfeil selbst, mit festem Anfangs- und Endpunkt. Ein Vektor ist das, was man erhält, wenn man nur Richtung und Länge behält, unabhängig von der Lage.
Komponentendarstellung	Eine Schreibweise, die einen Vektor als Zahlenpaar angibt, „wie weit in \(x\)-Richtung, wie weit in \(y\)-Richtung“. In der Schule schreibt man ihn meist als Spaltenvektor, \(\vec{a}=\binom{4}{2}\); die Zeilenschreibweise (4 \| 2) bedeutet dasselbe. In Komponentendarstellung sind Summen und Skalarprodukte nur noch Zahlenrechnungen.
Betrag	Die Länge des Pfeils eines Vektors. Man nennt ihn auch Länge oder Norm, und aus den Komponenten erhält man ihn mit \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\).
Einheitsvektor	Ein Vektor mit dem Betrag 1. Rechnet man \(\dfrac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}\), erhält man einen Vektor in derselben Richtung wie \(\vec{a}\), dessen Länge auf 1 gesetzt ist. Man verwendet ihn, wenn man nur eine Richtung angeben möchte.
Nullvektor	Der Vektor \(\vec{0}\), dessen Komponenten alle 0 sind. Sein Betrag ist 0, und er hat keine Richtung. Er entsteht als Differenz eines Vektors mit sich selbst, \(\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}\).
Gegenvektor	Der Vektor \(-\vec{a}\) mit demselben Betrag und genau entgegengesetzter Richtung. Er entsteht durch Multiplikation mit \(k=-1\) und wird bei der Differenz \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\) verwendet.
Vielfaches	Ein Vektor, der mit einer Zahl \(k\) multipliziert wurde (skalare Multiplikation, Multiplikation mit einem Skalar). Die Länge wird \(k\)-mal so groß in derselben Richtung, und ist \(k\) negativ, kehrt sich die Richtung um.
Parallelogrammregel	Die Regel, dass die Summe zweier Vektoren die Diagonale des Parallelogramms mit diesen beiden Vektoren als Seiten ist. Sie wird unmittelbar verwendet, um Kräfte in einer Zeichnung zusammenzusetzen.
Skalarprodukt	Eine Rechnung, die aus zwei Vektoren eine Zahl macht. Sie ist als \(\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\) definiert, und mit Komponenten berechnet man sie als \(a_1b_1+a_2b_2\). Sie drückt als Zahl aus, wie gut die beiden Richtungen übereinstimmen.
Winkel zwischen zwei Vektoren	Der Winkel \(\theta\), der entsteht, wenn zwei Vektoren im selben Punkt beginnen. Er wird im Bereich von \(0^{\circ}\) bis \(180^{\circ}\) betrachtet.
Projektion	Der Schatten eines Vektors auf die Richtung eines anderen, wenn Licht senkrecht darauf fällt (die Orthogonalprojektion). Die Länge der Projektion von \(\vec{b}\) auf die Richtung von \(\vec{a}\) ist \(\|\vec{b}\|\cos\theta\), und das Skalarprodukt lässt sich als diese Schattenlänge mal \(\|\vec{a}\|\) deuten.
orthogonal	Zwei Vektoren, die sich im rechten Winkel treffen (auch senkrecht genannt). Für zwei Vektoren, die nicht der Nullvektor sind, bedeutet es dasselbe, wie dass das Skalarprodukt 0 ist.
parallel	Zwei Vektoren, die in dieselbe oder genau entgegengesetzte Richtung zeigen (man sagt auch kollinear). Es bedeutet dasselbe, wie dass einer ein Vielfaches des anderen ist, und in der Ebene lässt es sich allein an den Komponenten mit \(a_1b_2-a_2b_1=0\) prüfen.
Ortsvektor	Ein Vektor, der im Ursprung beginnt und die Lage eines Punktes angibt. Der Ortsvektor des Punktes A ist \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\), und die Koordinaten des Punktes sind seine Komponenten. Er ist der Ausgangspunkt, wenn man Figuren mit Vektoren untersucht.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal zu wiederholen.

Koordinatensystem in der Ebene und im Raum (Klasse 6–7, 11–13 Jahre, im Raum Oberstufe)	Die Lage eines Punktes mit einem Zahlenpaar wie \((4 \mid 2)\) beschreiben können (\(x\) ist links–rechts, \(y\) ist unten–oben) Wissen, dass im Raum eine Höhenkoordinate \(z\) hinzukommt und ein Punkt mit drei Zahlen wie \((4 \mid 2 \mid 4)\) beschrieben wird Wissen, dass negative Koordinaten links vom oder unterhalb des Ursprungs liegen (und im Raum zu Ihnen hin oder senkrecht nach unten)
Rechnen mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Negative Zahlen richtig addieren und subtrahieren können, etwa \(4+(-1)\) und \(4-(-1)\) Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen multiplizieren können, etwa \(4 \times (-1) = -4\)
Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Wissen, dass \(\sqrt{20}\) „die positive Zahl ist, die quadriert 20 ergibt“ Eine Wurzel vereinfachen können, indem man Quadratzahlen vor die Wurzel zieht, etwa \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}\) Eine Wurzel aus dem Nenner entfernen (den Nenner rational machen) können, etwa \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Der Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass im rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten ist (\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)) Die Hypotenuse aus den beiden Katheten berechnen können (der Betrag eines Vektors ist genau das)
Trigonometrie, Kosinus (Klasse 9–10, 14–16 Jahre)	Wissen, dass \(\cos\theta\) Werte von \(-1\) bis \(1\) annimmt und mit größer werdendem Winkel kleiner wird Die Werte für besondere Winkel kennen, etwa \(\cos 0^{\circ}=1\), \(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\), \(\cos 90^{\circ}=0\) und \(\cos 180^{\circ}=-1\) Wissen, dass man den Winkel aus einem Wert von \(\cos\theta\) mit dem Arkuskosinus \(\arccos\) (\(\cos^{-1}\), die Umkehrung von cos auf dem Taschenrechner) zurückerhält
Gleichungen und Bruchrechnen (Klasse 6–8, 11–14 Jahre)	Eine lineare Gleichung wie \(2x-12=0\) lösen können Mit Brüchen wie \(\dfrac{3}{5}\) weiterrechnen und sie kürzen können

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des Betrags eines Vektors

x-Komponente a1	4
y-Komponente a2	2
z-Komponente a3 (in der Ebene 0)	4
Betrag \|a\|	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)

Tabelle zur Berechnung von Summe und Differenz von Vektoren

a, x-Komponente a1	4
a, y-Komponente a2	2
a, z-Komponente a3	4
b, x-Komponente b1	-1
b, y-Komponente b2	2
b, z-Komponente b3	2
Summe, x-Komponente	=B1+B4
Summe, y-Komponente	=B2+B5
Summe, z-Komponente	=B3+B6
Differenz, x-Komponente	=B1-B4
Differenz, y-Komponente	=B2-B5
Differenz, z-Komponente	=B3-B6

Tabelle zur Berechnung eines Vielfachen eines Vektors

Skalar k	2
x-Komponente a1	4
y-Komponente a2	2
z-Komponente a3	4
k-faches, x-Komponente	=B1*B2
k-faches, y-Komponente	=B1*B3
k-faches, z-Komponente	=B1*B4

Tabelle zur Berechnung des Skalarprodukts

a, x-Komponente a1	4
a, y-Komponente a2	2
a, z-Komponente a3	4
b, x-Komponente b1	-1
b, y-Komponente b2	2
b, z-Komponente b3	2
Skalarprodukt a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6

Tabelle zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren

Skalarprodukt a·b	8
Betrag \|a\|	6
Betrag \|b\|	3
cosθ	=B1/(B2*B3)
Winkel θ (Grad)	=GRAD(ARCCOS(B4))
Winkel θ (Bogenmaß)	=ARCCOS(B4)

Tabelle zur Prüfung der Bedingungen für orthogonal und parallel (Ebene)

a, x-Komponente a1	4
a, y-Komponente a2	2
b, x-Komponente b1	-1
b, y-Komponente b2	2
Skalarprodukt a·b	=B1B3+B2B4
Orthogonal?	=WENN(B5=0;"Orthogonal";"Nicht orthogonal")
a1b2 − a2b1	=B1B4-B2B3
Parallel?	=WENN(B7=0;"Parallel";"Nicht parallel")

Tabelle zur Berechnung des Einheitsvektors

x-Komponente a1	4
y-Komponente a2	2
z-Komponente a3 (in der Ebene 0)	4
Betrag \|a\|	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)
Einheitsvektor, x-Komponente	=B1/B4
Einheitsvektor, y-Komponente	=B2/B4
Einheitsvektor, z-Komponente	=B3/B4
Kontrolle: Betrag des Einheitsvektors	=WURZEL(B5^2+B6^2+B7^2)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Komponenten und Koeffizienten) die Eingaben, und die unteren Zeilen zeigen die berechneten Ergebnisse.
„^“ ist eine Potenz, WURZEL die Quadratwurzel, ARCCOS der Arkuskosinus (eine Funktion, die aus einem Kosinuswert den Winkel bestimmt) und GRAD wandelt das Bogenmaß in Grad um.
Die Tabellen 1 bis 4 verwenden die Vektoren im Raum a = (4 ; 2 ; 4) und b = (−1 ; 2 ; 2). Der Betrag |a| ist 6, die Summe ist (3 ; 4 ; 6), die Differenz ist (5 ; 0 ; 2), 2a ist (8 ; 4 ; 8), und das Skalarprodukt ist 8. Für Vektoren in der Ebene setzen Sie die Zellen der z-Komponenten auf 0.
Tabelle 5 bestimmt den Winkel aus diesem Skalarprodukt 8 und den Beträgen 6 und 3. cosθ ist 0,4444…, und der Winkel beträgt etwa 63,61 Grad (etwa 1,1102 im Bogenmaß).
Tabelle 6 verwendet die Vektoren in der Ebene a = (4 ; 2) und b = (−1 ; 2). Das Skalarprodukt ist 0, es wird also „Orthogonal“ angezeigt, und a1b2 − a2b1 ist 10 und nicht 0, es wird also „Nicht parallel“ angezeigt.
Tabelle 7 bestimmt den Einheitsvektor zum selben a = (4 ; 2 ; 4) wie in Tabelle 1. Jede Komponente wird durch den Betrag 6 geteilt, das ergibt (0,6667 ; 0,3333 ; 0,6667), und die unterste Zeile bestätigt, dass sein Betrag genau 1 ist.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung des Betrags eines Vektors

x-Komponente a1	4
y-Komponente a2	2
z-Komponente a3 (in der Ebene 0)	4
Betrag \|a\|	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)

Tabelle zur Berechnung von Summe und Differenz von Vektoren

a, x-Komponente a1	4
a, y-Komponente a2	2
a, z-Komponente a3	4
b, x-Komponente b1	-1
b, y-Komponente b2	2
b, z-Komponente b3	2
Summe, x-Komponente	=B1+B4
Summe, y-Komponente	=B2+B5
Summe, z-Komponente	=B3+B6
Differenz, x-Komponente	=B1-B4
Differenz, y-Komponente	=B2-B5
Differenz, z-Komponente	=B3-B6

Tabelle zur Berechnung eines Vielfachen eines Vektors

Skalar k	2
x-Komponente a1	4
y-Komponente a2	2
z-Komponente a3	4
k-faches, x-Komponente	=B1*B2
k-faches, y-Komponente	=B1*B3
k-faches, z-Komponente	=B1*B4

Tabelle zur Berechnung des Skalarprodukts

a, x-Komponente a1	4
a, y-Komponente a2	2
a, z-Komponente a3	4
b, x-Komponente b1	-1
b, y-Komponente b2	2
b, z-Komponente b3	2
Skalarprodukt a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6

Tabelle zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren

Skalarprodukt a·b	8
Betrag \|a\|	6
Betrag \|b\|	3
cosθ	=B1/(B2*B3)
Winkel θ (Grad)	=GRAD(ARCCOS(B4))
Winkel θ (Bogenmaß)	=ARCCOS(B4)

Tabelle zur Prüfung der Bedingungen für orthogonal und parallel (Ebene)

a, x-Komponente a1	4
a, y-Komponente a2	2
b, x-Komponente b1	-1
b, y-Komponente b2	2
Skalarprodukt a·b	=B1B3+B2B4
Orthogonal?	=WENN(B5=0;"Orthogonal";"Nicht orthogonal")
a1b2 − a2b1	=B1B4-B2B3
Parallel?	=WENN(B7=0;"Parallel";"Nicht parallel")

Tabelle zur Berechnung des Einheitsvektors

x-Komponente a1	4
y-Komponente a2	2
z-Komponente a3 (in der Ebene 0)	4
Betrag \|a\|	=WURZEL(B1^2+B2^2+B3^2)
Einheitsvektor, x-Komponente	=B1/B4
Einheitsvektor, y-Komponente	=B2/B4
Einheitsvektor, z-Komponente	=B3/B4
Kontrolle: Betrag des Einheitsvektors	=WURZEL(B5^2+B6^2+B7^2)

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert (WURZEL, ARCCOS, GRAD und WENN heißen in beiden gleich). Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Komponenten durch Ihre eigenen Zahlen.
Google Tabellen hat außerdem eine Funktion namens SUMMENPRODUKT. Geben Sie ihr die beiden Bereiche der Komponenten, etwa „=SUMMENPRODUKT(B1:B3;B4:B6)“, und sie bestimmt das Skalarprodukt in einer einzigen Formel.

Mit Python berechnen

import math
from fractions import Fraction

# Vektorkomponenten (ein Bruch wie 3/4 wird als Fraction(3, 4) geschrieben; für 2D zwei Einträge verwenden)
a = [Fraction(4), Fraction(2), Fraction(4)]
b = [Fraction(-1), Fraction(2), Fraction(2)]
k, l = Fraction(2), Fraction(3)

# Summe, Differenz und Linearkombination (komponentenweise)
vector_sum = [x + y for x, y in zip(a, b)]
vector_diff = [x - y for x, y in zip(a, b)]
combination = [k * x + l * y for x, y in zip(a, b)]

# Skalarprodukt, Beträge und Winkel
dot = sum(x * y for x, y in zip(a, b))
size_a = math.sqrt(sum(x * x for x in a))
size_b = math.sqrt(sum(x * x for x in b))
cos_theta = dot / (size_a * size_b)
theta_degrees = math.degrees(math.acos(cos_theta))

print(f"Summe: {vector_sum}")
print(f"Differenz: {vector_diff}")
print(f"ka + lb: {combination}")
print(f"Skalarprodukt: {dot}")
print(f"Betrag |a|: {size_a}, |b|: {size_b}")
print(f"cos(theta): {float(cos_theta)}, Winkel: {theta_degrees} Grad")

# Einheitsvektor und Orthogonalitätsprüfung
unit_a = [float(x) / size_a for x in a]
print(f"Einheitsvektor in Richtung von a: {unit_a}")
print("Orthogonal" if dot == 0 else "Nicht orthogonal")

Der Code kommt mit der Standardbibliothek aus. Halten Sie die Komponenten als Fraction (Brüche), sind Summe, Differenz und Skalarprodukt exakt und ohne Rundungsfehler. Die Beträge und der Winkel enthalten Wurzeln und werden deshalb mit dem Modul math als Dezimalzahlen berechnet. Dieses Beispiel verwendet a = (4, 2, 4) und b = (−1, 2, 2) und gibt das Skalarprodukt 8, die Beträge 6 und 3 sowie einen Winkel von etwa 63,61 Grad aus (Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt). Ändern Sie die Komponenten und führen Sie den Code aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Betrag eines Vektors (aus den Komponenten)

|a| = √(a₁² + a₂²)

\left|\vec{a}\right| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

abs(vec a) = sqrt(a_1^2 + a_2^2)

Norm[{a1, a2}]

LinearAlgebra:-Norm(Vector([a1, a2]), 2);

norm([a1 a2])

|a| = √(a_1^2 + a_2^2)

Summe und Differenz von Vektoren (komponentenweise addieren oder subtrahieren)

a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\ a_2 + b_2)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>+</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a + vec b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)

{a1, a2} + {b1, b2}

Vector([a1, a2]) + Vector([b1, b2]);

[a1 a2] + [b1 b2]

a + b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)

Vielfaches eines Vektors (skalare Multiplikation)

ka = (ka₁, ka₂)

k\vec{a} = (k a_1,\ k a_2)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>k</mi><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>,</mo>
    <mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

k vec a = (k a_1, k a_2)

k {a1, a2}

k * Vector([a1, a2]);

k * [a1 a2]

ka = (k a_1, k a_2)

Skalarprodukt (eine Rechnung, die aus zwei Vektoren eine Zahl macht)

a ⋅ b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂

\vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
  </mrow>
</math>

vec a * vec b = abs(vec a) abs(vec b) cos theta = a_1 b_1 + a_2 b_2

Dot[{a1, a2}, {b1, b2}]

DotProduct(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));

dot([a1 a2], [b1 b2])

a ⋅ b = |a||b| cos θ = a_1 b_1 + a_2 b_2

Winkel zwischen zwei Vektoren

cos θ = (a ⋅ b) / (|a||b|)

\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#x22C5;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
        <mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

cos theta = (vec a * vec b) / (abs(vec a) abs(vec b))

ArcCos[Dot[a, b]/(Norm[a] Norm[b])]

VectorAngle(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));

acos(dot(a, b) / (norm(a) * norm(b)))

cos θ = (a ⋅ b)/(|a||b|)

Bedingungen für orthogonale und parallele Vektoren

a⊥b ⟺ a ⋅ b = 0,  a∥b ⟺ b = ka

\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0,\qquad \vec{a}\parallel\vec{b} \iff \vec{b}=k\vec{a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x22A5;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x27FA;</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

vec a _|_ vec b <=> vec a * vec b = 0

Dot[a, b] == 0

evalb(DotProduct(a, b) = 0);

dot(a, b) == 0

a ⊥ b ⟺ a ⋅ b = 0

Einheitsvektor (nur die Richtung behalten)

a / |a| = (a₁/|a|, a₂/|a|)

\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|} = \left(\frac{a_1}{\left|\vec{a}\right|},\ \frac{a_2}{\left|\vec{a}\right|}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac>
      <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
      <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
      <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a / abs(vec a) = (a_1/abs(vec a), a_2/abs(vec a))

Normalize[{a1, a2}]

LinearAlgebra:-Normalize(Vector([a1, a2]), 2);

[a1 a2] / norm([a1 a2])

a/|a| = (a_1/|a|, a_2/|a|)

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für mathematische Berechnungen (Vektoren). Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten).

Bestimmen Sie für die Vektoren im Raum a = (4, 2, 4) und b = (−1, 2, 2) jeweils Folgendes.
1. Die Komponenten der Summe a + b, der Differenz a − b und von 2a + 3b
2. Die Beträge |a| und |b| (jeweils als exakte Werte mit vereinfachten Wurzeln und als Dezimalzahlen)
3. Das Skalarprodukt a·b
4. Den Winkel θ zwischen ihnen (jeweils in Grad und im Bogenmaß, bei einem besonderen Winkel mit dem exakten Wert)
5. Den Einheitsvektor in Richtung von a
6. Ob a und b orthogonal oder parallel sind, und warum

Verwenden Sie in Python die Module fractions und math (bei Bedarf auch sympy), und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

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Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

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