Geben Sie Unter- und Obergrenze ein und klicken Sie auf „Berechnen“ – der Rechner erzeugt Zufallszahlen aus diesem Bereich. Anzahl, Nachkommastellen und Wiederholung können Sie ebenfalls festlegen (alle Felder außer den Grenzen dürfen leer bleiben; dann gibt es 1 ganze Zahl mit Wiederholung).
Anzahl ist eine ganze Zahl von 1 bis 999, Nachkommastellen eine ganze Zahl von 0 bis 50. Jeder Klick liefert neue Zufallszahlen, auch bei gleicher Eingabe.
Ergebnis
Geben Sie links einen Bereich ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Die Zufallszahlen erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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-
Das können Sie auf dieser Seite
-
Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
-
Formel
-
Wahrscheinlichkeit jeder ganzen Zufallszahl (diskrete Gleichverteilung)
-
Wie wahrscheinlich zufällige Dezimalzahlen sind (Dichte der stetigen Gleichverteilung)
-
Mittelwert von Zufallszahlen (Erwartungswert der Gleichverteilung)
-
Aus einer Zufallszahl zwischen 0 und 1 eine ganze Zufallszahl im Bereich machen
-
Ein klassisches Verfahren für Pseudozufallszahlen (lineare Kongruenzmethode)
-
-
Symbole und Begriffe
-
Das sollten Sie vorher wissen
-
So berechnen Sie es in Excel
-
So berechnen Sie es in Google Tabellen
-
So berechnen Sie es in Python
-
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
-
So lassen Sie ChatGPT rechnen
-
Die Vorteile von DataChef
-
Verwandte Funktionen
-
Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Sie geben nur eine Untergrenze und eine Obergrenze ein und erhalten sofort Zufallszahlen (zufällig gewählte Zahlen) aus diesem Bereich
- Neben ganzen Zahlen sind auch Dezimalzahlen möglich, mit 0 bis 50 Nachkommastellen
- Bis zu 999 Zahlen auf einmal, mit oder ohne Wiederholung. Bei 2 oder mehr Zahlen sehen Sie neben der erzeugten Reihenfolge auch die aufsteigend und absteigend sortierte Liste
- Von kleinen Bereichen wie 1 bis 6 bis zu riesigen ganzen Zahlen mit mehr als 20 Stellen
- Außerdem: eine verständliche Erklärung, wie Zufallszahlen entstehen, und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Die Zufallszahlen auf dieser Seite sind Pseudozufallszahlen, die ein Computer mit einer Formel erzeugt (mit einem Verfahren in der Qualität, wie sie auch in der Kryptografie verwendet wird). Für Auslosungen, Spiele und Simulationen sind sie zufällig genug. Für Schlüssel oder Passwörter selbst verwenden Sie bitte ein spezielles Werkzeug, das offline arbeitet.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Faire Auslosungen, Verlosungen und Sitzordnungen
Geben Sie allen Teilnehmenden oder Schülern eine Nummer und wählen Sie mit Zufallszahlen – dann ist die Auswahl fair, ohne dass jemand Einfluss nimmt. Alle haben dieselbe Chance (Gleichverteilung). Eine Auslosung, deren Fairness mathematisch abgesichert ist.
Das LOTTO 6aus49 funktioniert genau so: „6 Zahlen von 1 bis 49 ohne Wiederholung“. Dafür gibt es 13.983.816 mögliche Tipps.
Zufallsstichproben für Umfragen und amtliche Statistik
Warum verrät eine Umfrage unter einigen Tausend Menschen, was ganz Deutschland denkt? Die Grundlage ist die Zufallsstichprobe: Die Befragten werden per Zufall ausgewählt. Wer gezielt auswählt, verzerrt das Ergebnis – erst der Zufall macht eine Erhebung verlässlich. Für den Mikrozensus des Statistischen Bundesamts werden jedes Jahr rund 1 % der Haushalte nach einem statistischen Zufallsverfahren ausgewählt.
Bei telefonischen Umfragen werden die Telefonnummern oft selbst mit Zufallszahlen erzeugt (RDD, Random Digit Dialing), damit auch Menschen mit nicht eingetragener Nummer dieselbe Chance haben, angerufen zu werden.
Simulation (Monte-Carlo-Methode) in Finanzen, Wetter und Wissenschaft
Auch ein Problem, das für eine Formel zu komplex ist, lässt sich näherungsweise lösen, indem man Zehntausende zufällige Versuche durchführt und die Ergebnisse auswertet. Das ist die Monte-Carlo-Methode. Sie wird überall eingesetzt – von Risikoberechnungen bei Banken über Ensemble-Wettervorhersagen (viele Vorhersagen mit leicht veränderten Anfangsbedingungen) bis zur Forschung in Physik und Medizin.
Ihre theoretische Grundlage ist die Eigenschaft, die Sie auf dieser Seite kennenlernen: Der Mittelwert von Zufallszahlen nähert sich dem Erwartungswert.
Zufall in Spielen (Würfel, Kartenmischen, Lootboxen)
Der ganze Zufall in Videospielen – Würfelwürfe, gemischte Karten, Lootboxen und zufällig erzeugte Karten – entsteht mit Pseudozufallszahlen.
Dass derselbe Seed dieselbe Folge liefert, wird sogar gezielt genutzt: für Wiederholungen (Replays) und um einen Welt-Seed mit Freunden zu teilen, damit alle auf derselben Karte spielen.
Zufallszahlen in Verschlüsselung und IT-Sicherheit (und die Grenzen von Pseudozufallszahlen)
Verschlüsselte Verbindungen beim Onlineshopping und Einmalpasswörter funktionieren nur dank Zufallszahlen – Zahlen, die ein Angreifer nicht vorhersagen kann.
Gewöhnliche Pseudozufallszahlen wären vorhersagbar und sind hier tabu. Stattdessen kommen kryptografisch sichere Generatoren und Hardware-Zufallszahlengeneratoren zum Einsatz, die physikalische Vorgänge wie thermisches Rauschen nutzen. Das ist die anspruchsvollste Anwendung von Zufallszahlen – ihre Qualität entscheidet über die Sicherheit.
Formel
Wahrscheinlichkeit jeder ganzen Zufallszahl (diskrete Gleichverteilung)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(P(X=k)\)
\(=\)
\(1\)
\(\div\)
\((b-a+1)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P(X=k)\): Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte ganze Zahl \(k\)
\(=\)
①
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
\(\div\)
②
\((b-a+1)\): Anzahl der möglichen ganzen Zahlen
Die Formel in Worten
①
Teilt man die
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
②
gleichmäßig auf die
\((b-a+1)\): Anzahl der möglichen ganzen Zahlen
auf,
③
erhält man die
\(P(X=k)\): Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte ganze Zahl \(k\)
(jede ganze Zahl ist gleich wahrscheinlich)
Einfaches Beispiel
Ein Würfel ist eine ganze Zufallszahl von 1 bis 6. Die Wahrscheinlichkeit für eine 3 ist:
Wahrscheinlichkeit für eine 3 \(P\)
\(=\)
Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\)
\(\div\)
mögliche Werte (6)
\(1 \div (6 - 1 + 1) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167\ \ (16{,}7\,\%)\)
Der Grundgedanke
Ein Zufallszahlengenerator ist so gebaut, dass jede Zahl im Bereich gleich wahrscheinlich ist. Das nennt man Gleichverteilung. Mit der Untergrenze \(a\) und der Obergrenze \(b\) gibt es \(b - a + 1\) mögliche ganze Zahlen (für 1 bis 6: \(6 - 1 + 1 = 6\)), die Wahrscheinlichkeit jeder Zahl ist also 1 geteilt durch diese Anzahl. „Gerade kam eine 3, also kommt die 3 jetzt seltener“ stimmt nicht: Jeder Zug beginnt neu mit denselben Wahrscheinlichkeiten.
Wie wahrscheinlich zufällige Dezimalzahlen sind (Dichte der stetigen Gleichverteilung)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(f(x)\)
\(=\)
\(1\)
\(\div\)
\((b-a)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(f(x)\): Wahrscheinlichkeitsdichte (Höhe des Graphen)
\(=\)
①
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
\(\div\)
②
\((b-a)\): Breite des Bereichs
Die Formel in Worten
①
Verteilt man die
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
②
gleichmäßig über die
\((b-a)\): Breite des Bereichs
,
③
erhält man die
\(f(x)\): Wahrscheinlichkeitsdichte (Höhe des Graphen)
(der Graph ist ein flaches Rechteck)
Einfaches Beispiel
Bei zufälligen Dezimalzahlen von 0 bis 10 ist der Graph 1 : 10 = 0,1 hoch. Die Wahrscheinlichkeit, zwischen 2 und 5 zu landen, ist Höhe × Breite
Höhe des Graphen \(f(x)\)
\(=\)
Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\)
\(\div\)
Breite des Bereichs (10)
\(1 \div (10 - 0) = 0{,}1\)
\(0{,}1 \times (5 - 2) = 0{,}3\ \ (30\,\%)\)
Der Grundgedanke
Zufällige Dezimalzahlen haben unendlich viele mögliche Werte, deshalb ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3,000… (oder irgendeinen anderen einzelnen Punkt) zu treffen, gleich 0. Bei Dezimalzahlen betrachtet man daher die Wahrscheinlichkeit, in einem Bereich zu landen. Sie ist die Fläche unter dem Graphen (Höhe × Breite), über den ganzen Bereich \(0{,}1 \times 10 = 1\) (100 %). Die Höhe \(f(x)\) ist überall im Bereich gleich, jeder Teil ist also gleich wahrscheinlich – genau das bedeutet Gleichverteilung.
Mittelwert von Zufallszahlen (Erwartungswert der Gleichverteilung)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(E[X]\)
\(=\)
\((a+b)\)
\(\div\)
\(2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(E[X]\): Mittelwert der Zufallszahlen (Erwartungswert)
\(=\)
①
\((a+b)\): Untergrenze \(a\) plus Obergrenze \(b\)
\(\div\)
②
\(2\): Divisor (ergibt die Mitte)
Die Formel in Worten
①
Teilt man
\((a+b)\): Untergrenze \(a\) plus Obergrenze \(b\)
②
durch den
\(2\): Divisor
und nimmt so genau die Mitte des Bereichs,
③
erhält man den
\(E[X]\): Mittelwert der Zufallszahlen (Erwartungswert)
Einfaches Beispiel
Erzeugt man viele ganze Zufallszahlen von 1 bis 100, nähert sich ihr Mittelwert diesem Wert:
Mittelwert (Erwartungswert) \(E[X]\)
\(=\)
Unter- plus Obergrenze (1 + 100)
\(\div\)
Divisor (2)
\((1 + 100) \div 2 = 50{,}5\)
Der Grundgedanke
Eine Gleichverteilung ist im Bereich symmetrisch, der Mittelwert (Erwartungswert) liegt also genau in der Mitte. Beim Würfel (1 bis 6) ist er \((1+6) : 2 = 3{,}5\). Jeder Wurf ist eine ganze Zahl, aber der Mittelwert vieler Würfe nähert sich 3,5 immer mehr an. Bei zufälligen Dezimalzahlen beträgt die Streuung (Varianz) \(V[X] = \frac{(b-a)^2}{12}\).
Aus einer Zufallszahl zwischen 0 und 1 eine ganze Zufallszahl im Bereich machen
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(n\)
\(=\)
\(a\)
\(+\)
\(\lfloor\)
\(u\)
\(\times\)
\((b-a+1)\)
\(\rfloor\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(n\): ganze Zufallszahl im Bereich
\(=\)
④
\(a\): Untergrenze
\(+\)
\(\lfloor\)
①
\(u\): Zufallszahl ab 0 und kleiner als 1
\(\times\)
②
\((b-a+1)\): Anzahl der möglichen ganzen Zahlen
③
\(\rfloor\)
Die Formel in Worten
①
Man nimmt die
\(u\): Zufallszahl ab 0 und kleiner als 1
②
, streckt sie durch Multiplizieren mit der
\((b-a+1)\): Anzahl der möglichen ganzen Zahlen
③
, schneidet mit dem Zeichen \(\lfloor\ \rfloor\) (Abrundungsfunktion) die Nachkommastellen ab
④
und addiert die
\(a\): Untergrenze
. So erhält man die
⑤
\(n\): ganze Zufallszahl im Bereich
Einfaches Beispiel
Ist die Zufallszahl zwischen 0 und 1 gleich 0,32, ergibt die Umrechnung in eine ganze Zufallszahl von 1 bis 10:
ganze Zufallszahl \(n\)
\(=\)
Untergrenze (1)
\(+\)
\(\lfloor\)
Zufallszahl zwischen 0 und 1 (0,32)
\(\times\)
mögliche Werte (10)
\(\rfloor\)
\(1 + \lfloor 0{,}32 \times 10 \rfloor = 1 + \lfloor 3{,}2 \rfloor = 1 + 3 = 4\)
Der Grundgedanke
Computer erzeugen eine Zufallszahl oft zuerst als Dezimalzahl ab 0 und kleiner als 1 und bringen sie dann mit dieser Formel in den gewünschten Bereich. Ist \(u\) gleichmäßig zwischen 0 und 1 verteilt, ist \(n\) mit gleicher Wahrscheinlichkeit jede ganze Zahl von \(a\) bis \(b\). Genau mit dieser Formel macht man auch aus der Excel-Funktion ZUFALLSZAHL eine ganze Zufallszahl (siehe Abschnitt Excel).
Ein klassisches Verfahren für Pseudozufallszahlen (lineare Kongruenzmethode)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(X_{n+1}\)
\(=\)
\((aX_n + c)\)
\(\bmod\)
\(m\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(X_{n+1}\): nächste Zufallszahl
\(=\)
①
\((aX_n + c)\): aktuelle Zufallszahl \(X_n\) mal \(a\), plus \(c\)
\(\bmod\)
②
\(m\): Divisor
Die Formel in Worten
①
Teilt man die Zahl
\((aX_n + c)\): aktuelle Zufallszahl \(X_n\) mal \(a\), plus \(c\)
②
durch den
\(m\): Divisor
und nimmt den Rest,
③
erhält man die
\(X_{n+1}\): nächste Zufallszahl
(durch Wiederholen entsteht eine Folge von Zufallszahlen)
Einfaches Beispiel
Mit Faktor 5, Summand 3, Divisor 16 und dem Startwert (Seed) 7 entsteht die Folge der Zufallszahlen so:
nächste Zufallszahl \(X_1\)
\(=\)
7 mal 5, plus 3 (38)
\(\bmod\)
Divisor (16)
\((5 \times 7 + 3) \bmod 16 = 38 \bmod 16 = 6\)
\((5 \times 6 + 3) \bmod 16 = 33 \bmod 16 = 1\)
Der Grundgedanke
Schon das Wiederholen eines einfachen Schritts – „multiplizieren, addieren, Rest nehmen“ – erzeugt eine Zahlenfolge, die zufällig aussieht. Das ist die Grundidee der Pseudozufallszahlen. (Hier sind \(a, c, m\) vorher festgelegte Konstanten, nicht die Unter- und Obergrenze aus den Formeln oben.)
Die wichtigste Eigenschaft: Derselbe Startwert (Seed) liefert immer genau dieselbe Folge. Mit einer Formel erzeugte Zufallszahlen sind also nicht wirklich zufällig. Echte Computer nutzen statt der einfachen linearen Kongruenzmethode verbesserte Verfahren wie den Mersenne-Twister, aber die Kernidee – „eine Rechenfolge, die der Seed festlegt“ – ist dieselbe.
Die Zahlen eines Zufallszahlengenerators folgen einer Gleichverteilung – jede Zahl im Bereich ist gleich wahrscheinlich. Der wichtigste Punkt – Computer-Zufallszahlen sind Pseudozufallszahlen aus einer Formel. Derselbe Seed (Startwert) liefert immer dieselbe Folge, echter Zufall ist das also nicht.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(a\) | a | Die Untergrenze des Bereichs (ab dieser Zahl). (Beispiel: Zufallszahlen von 1 bis 100, \(a = 1\)) |
| \(b\) | b | Die Obergrenze des Bereichs (höchstens diese Zahl). (Beispiel: Zufallszahlen von 1 bis 100, \(b = 100\)) |
| \(P(X=k)\) | P von X gleich k | Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallszahl \(X\) genau die ganze Zahl \(k\) ist. Bei gleichverteilten ganzen Zufallszahlen ist sie für jedes \(k\) gleich. |
| \(f(x)\) | f von x (Wahrscheinlichkeitsdichte) | Die Höhe des Graphen, die zeigt, wie wahrscheinlich zufällige Dezimalzahlen sind (Dichtefunktion). Bei der Gleichverteilung ist sie überall im Bereich gleich. |
| \(E[X]\) | E von X (Erwartungswert) | Der Wert, dem sich der Mittelwert nähert, wenn man viele Zufallszahlen \(X\) erzeugt. E steht für „Erwartungswert“ (englisch „expectation“). |
| \(u\) | u | Eine gleichverteilte Zufallszahl ab 0 und kleiner als 1. Die meisten Computer-Zufallszahlen entstehen zuerst in dieser Form und werden dann in den gewünschten Bereich gebracht. |
| \(\lfloor\ \rfloor\) | Abrundungsklammern (Gaußklammer) | Ein Zeichen, das die Nachkommastellen der Zahl darin abschneidet und auf eine ganze Zahl abrundet. (Beispiel: \(\lfloor 3{,}2 \rfloor = 3\)) |
| \(X_n\) | X n | Der \(n\)-te Wert einer Folge von Pseudozufallszahlen. Der Startwert \(X_0\) ist der Seed. |
| \(\bmod\) | modulo | Die Rechnung, die den Rest einer Division liefert. (Beispiel: \(38 \bmod 16 = 6\), denn 38 : 16 = 2 Rest 6) |
Begriffe
| Zufallszahl | Eine Zahl ohne Muster, aus dem man die nächste vorhersagen könnte – wie die Augenzahl eines Würfels. Der Generator auf dieser Seite wählt Zahlen zufällig aus dem angegebenen Bereich. |
| Gleichverteilung | Eine Verteilung, bei der jeder Wert im Bereich gleich wahrscheinlich ist. Bei ganzen Zufallszahlen hat jede ganze Zahl dieselbe Wahrscheinlichkeit, bei Dezimalzahlen ist der Graph überall gleich hoch. |
| Pseudozufallszahl | Eine Zahl aus einer Folge, die mit einer Formel erzeugt wird und zufällig aussieht. Das Verfahren heißt Pseudozufallszahlengenerator (englisch PRNG). Fast alle Computer-Zufallszahlen sind Pseudozufallszahlen. |
| Seed | Der Startwert für die Berechnung von Pseudozufallszahlen (auch Startwert oder Keim). Derselbe Seed liefert immer genau dieselbe Folge. Normalerweise wird er automatisch festgelegt, etwa aus der Uhrzeit, deshalb sieht jede Folge anders aus. |
| lineare Kongruenzmethode | Das klassischste Verfahren für Pseudozufallszahlen, das „multiplizieren, addieren, Rest nehmen“ wiederholt. Ideal, um das Prinzip zu verstehen; in der Praxis sind heute bessere Verfahren wie der Mersenne-Twister üblich. |
| Hardware-Zufallszahlengenerator | Ein Gerät, das Zufallszahlen aus physikalischen Vorgängen gewinnt – Würfel, Münzen, elektrisches Rauschen in der Atmosphäre oder thermisches Rauschen in Schaltungen. Da keine Formel beteiligt ist, lassen sich die Zahlen nicht reproduzieren und kommen echten Zufallszahlen nahe. |
| Erwartungswert | Der Mittelwert eines zufälligen Ergebnisses bei sehr vielen Wiederholungen. Bei gleichverteilten Zufallszahlen liegt er genau in der Mitte des Bereichs. |
| Zufallsstichprobe | Die Auswahl der Befragten oder Untersuchungsobjekte per Zufall, etwa mit Zufallszahlen, ohne menschliche Absicht. Das grundlegende Mittel gegen Verzerrungen in statistischen Erhebungen. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, hilft Ihnen Folgendes.
| Division mit Rest (Klasse 3–4, 8–10 Jahre) |
|
| Dezimalzahlen und Abrunden (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Anteile und Prozent (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Grundlagen der Wahrscheinlichkeit (Klasse 6–8, 11–14 Jahre) |
|
| Der Erwartungswert (Klasse 9–10 oder Oberstufe, 14–17 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit jeder ganzen Zahl
| Untergrenze a | 1 |
| Obergrenze b | 6 |
| Wahrscheinlichkeit jeder ganzen Zahl | =1/(B2-B1+1) |
Tabelle für die Höhe des Graphen (Wahrscheinlichkeitsdichte) bei Dezimalzahlen
| Untergrenze a | 0 |
| Obergrenze b | 10 |
| Dichte (Höhe des Graphen) | =1/(B2-B1) |
Tabelle für den Mittelwert (Erwartungswert) der Zufallszahlen
| Untergrenze a | 1 |
| Obergrenze b | 100 |
| Mittelwert (Erwartungswert) | =(B1+B2)/2 |
Tabelle für eine ganze Zufallszahl
| Untergrenze a | 1 |
| Obergrenze b | 100 |
| Ganze Zufallszahl (ändert sich bei jeder Neuberechnung) | =B1+GANZZAHL(ZUFALLSZAHL()*(B2-B1+1)) |
Tabelle für die nächste Zufallszahl mit der linearen Kongruenzmethode
| Aktuelle Zufallszahl Xn | 7 |
| Faktor a | 5 |
| Summand c | 3 |
| Divisor m | 16 |
| Nächste Zufallszahl | =REST(B2*B1+B3;B4) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, die Formel in der letzten Zeile wird automatisch berechnet.
Die erste Tabelle zeigt etwa 0,1667 (= 1/6), die dritte 50,5 und die fünfte 6.
ZUFALLSZAHL() in der vierten Tabelle erzeugt eine Zufallszahl ab 0 und kleiner als 1 – genau in der Form der Umrechnungsformel im Abschnitt Formel. Mit der Taste F9 erhalten Sie jedes Mal eine neue Zufallszahl.
Die erste Tabelle zeigt etwa 0,1667 (= 1/6), die dritte 50,5 und die fünfte 6.
ZUFALLSZAHL() in der vierten Tabelle erzeugt eine Zufallszahl ab 0 und kleiner als 1 – genau in der Form der Umrechnungsformel im Abschnitt Formel. Mit der Taste F9 erhalten Sie jedes Mal eine neue Zufallszahl.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit jeder ganzen Zahl
| Untergrenze a | 1 |
| Obergrenze b | 6 |
| Wahrscheinlichkeit jeder ganzen Zahl | =1/(B2-B1+1) |
Tabelle für die Höhe des Graphen (Wahrscheinlichkeitsdichte) bei Dezimalzahlen
| Untergrenze a | 0 |
| Obergrenze b | 10 |
| Dichte (Höhe des Graphen) | =1/(B2-B1) |
Tabelle für den Mittelwert (Erwartungswert) der Zufallszahlen
| Untergrenze a | 1 |
| Obergrenze b | 100 |
| Mittelwert (Erwartungswert) | =(B1+B2)/2 |
Tabelle für eine ganze Zufallszahl
| Untergrenze a | 1 |
| Obergrenze b | 100 |
| Ganze Zufallszahl (ändert sich bei jeder Neuberechnung) | =B1+GANZZAHL(ZUFALLSZAHL()*(B2-B1+1)) |
Tabelle für die nächste Zufallszahl mit der linearen Kongruenzmethode
| Aktuelle Zufallszahl Xn | 7 |
| Faktor a | 5 |
| Summand c | 3 |
| Divisor m | 16 |
| Nächste Zufallszahl | =REST(B2*B1+B3;B4) |
In Google Tabellen mit deutscher Spracheinstellung funktionieren dieselben Formeln wie in Excel.
Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Werte.
Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Werte.
So berechnen Sie es in Python
import random
lower = 1 # Untergrenze
upper = 100 # Obergrenze
count = 5 # Anzahl der Zufallszahlen
# ganze Zufallszahlen (mit Wiederholung)
integers = [random.randint(lower, upper) for _ in range(count)]
# ganze Zufallszahlen (ohne Wiederholung)
unique_integers = random.sample(range(lower, upper + 1), count)
# zufällige Dezimalzahlen
decimals = [random.uniform(lower, upper) for _ in range(count)]
print(f"Ganze Zufallszahlen (mit Wiederholung): {integers}")
print(f"Ganze Zufallszahlen (ohne Wiederholung): {unique_integers}")
print(f"Zufällige Dezimalzahlen: {decimals}")
# mit festem Seed kommt bei jedem Lauf dieselbe Folge heraus (Eigenschaft von Pseudozufallszahlen)
random.seed(42)
print(f"Zufallszahlen mit Seed 42: {[random.randint(1, 100) for _ in range(3)]}")
Es genügt das Standardmodul random (ein Pseudozufallszahlen-Generator namens Mersenne-Twister). Mit den letzten beiden Zeilen sehen Sie, dass derselbe Seed jedes Mal dasselbe Ergebnis liefert. Für Passwörter oder Schlüssel verwenden Sie statt random das dafür vorgesehene Modul secrets.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Wahrscheinlichkeit jeder ganzen Zufallszahl (diskrete Gleichverteilung)
P(X = k) = 1 / (b − a + 1)
P(X = k) = \frac{1}{b - a + 1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P(X = k) = 1/(b - a + 1)
1/(b - a + 1)
p := 1/(b - a + 1);
p = 1/(b - a + 1);
P(X = k) = 1/(b - a + 1)
Wie wahrscheinlich zufällige Dezimalzahlen sind (Dichte der stetigen Gleichverteilung)
f(x) = 1 / (b − a)
f(x) = \frac{1}{b - a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
f(x) = 1/(b - a)
1/(b - a)
f := 1/(b - a);
f = 1/(b - a);
f(x) = 1/(b - a)
Mittelwert von Zufallszahlen (Erwartungswert der Gleichverteilung)
E[X] = (a + b) / 2
E[X] = \frac{a + b}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>E</mi><mo>[</mo><mi>X</mi><mo>]</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
E[X] = (a + b)/2
(a + b)/2
mean := (a + b)/2;
mean_x = (a + b)/2;
E[X] = (a + b)/2
Aus einer Zufallszahl zwischen 0 und 1 eine ganze Zufallszahl im Bereich machen
n = a + ⌊u × (b − a + 1)⌋
n = a + \lfloor u \times (b - a + 1) \rfloor
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>+</mo>
<mo>⌊</mo>
<mi>u</mi>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>⌋</mo>
</mrow>
</math>
n = a + |__ u xx (b - a + 1) __|
a + Floor[u*(b - a + 1)]
n := a + floor(u*(b - a + 1));
n = a + floor(u*(b - a + 1));
n = a + ⌊u × (b - a + 1)⌋
Ein klassisches Verfahren für Pseudozufallszahlen (lineare Kongruenzmethode)
Xₙ₊₁ = (a·Xₙ + c) mod m
X_{n+1} = (a X_n + c) \bmod m
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>X</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<mi>a</mi><msub><mi>X</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>+</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
<mo>mod</mo>
<mi>m</mi>
</mrow>
</math>
X_(n+1) = (a X_n + c) mod m
Mod[a*x + c, m]
X[n + 1] := (a*X[n] + c) mod m;
x_next = mod(a*x + c, m);
X_(n+1) = (a X_n + c) mod m
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Assistent zum Erzeugen von Zufallszahlen. Führen Sie die folgenden Schritte aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (Zufallszahlen lassen sich nicht ohne Code erzeugen – raten oder erfinden Sie keine Zahlen). 1. Erzeugen Sie 5 ganze Zufallszahlen von 1 bis 100 ohne Wiederholung. 2. Sortieren Sie diese 5 Zahlen aufsteigend. 3. Erzeugen Sie 1 zufällige Dezimalzahl von 0,2 bis 112,5 mit 3 Nachkommastellen. Zeigen Sie den verwendeten Code und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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