Geben Sie die untere und die obere Grenze ein und klicken Sie auf „Berechnen“, um Zufallszahlen in diesem Bereich zu erzeugen. Sie können auch die Anzahl, die Nachkommastellen und die Wiederholung festlegen (alles außer den Grenzen darf leer bleiben, das bedeutet 1 ganze Zahl, Wiederholung erlaubt).
Geben Sie die Anzahl als ganze Zahl von 1 bis 999 ein und die Nachkommastellen als ganze Zahl von 0 bis 50. Jeder Klick liefert neue Zufallszahlen, auch bei gleicher Eingabe.
Ergebnis
Geben Sie in den Feldern links einen Bereich ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Die Zufallszahlen erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
-
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
-
Formel
-
Wahrscheinlichkeit jedes Wertes bei ganzzahligen Zufallszahlen (diskrete Gleichverteilung)
-
Wie wahrscheinlich Zufallsdezimalzahlen sind (Dichtefunktion der stetigen Gleichverteilung)
-
Mittelwert von Zufallszahlen (Erwartungswert einer Gleichverteilung)
-
Aus einer Zufallszahl von 0 bis 1 eine ganzzahlige Zufallszahl in einem Bereich machen
-
Ein klassisches Verfahren für Pseudozufallszahlen (linearer Kongruenzgenerator)
-
-
Symbole und Begriffe
-
Was Sie vorab wissen sollten
-
Mit Excel berechnen
-
Mit Google Tabellen berechnen
-
Mit Python berechnen
-
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
-
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
-
Die Vorteile von DataChef
-
Verwandte Funktionen
-
Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie einfach eine untere und eine obere Grenze ein, und Sie erhalten sofort Zufallszahlen (vom Zufall bestimmte Zahlen) in diesem Bereich
- Sie können auch Zufallsdezimalzahlen statt ganzer Zahlen erzeugen. Wählen Sie 0 bis 50 Nachkommastellen
- Erzeugen Sie bis zu 999 Zahlen auf einmal, mit oder ohne Wiederholung. Bei 2 oder mehr zeigt das Ergebnis sie außer in der erzeugten Reihenfolge auch aufsteigend und absteigend sortiert
- Es funktioniert von einem kleinen Bereich wie 1 bis 6 bis zu riesigen ganzen Zahlen mit mehr als 20 Stellen
- Eine leicht verständliche Erklärung, wie Zufallszahlen funktionieren, sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Die Zufallszahlen auf dieser Seite sind Pseudozufallszahlen, die ein Computer mit einer Formel erzeugt (das verwendete Verfahren hat die Qualität, die auch in der Kryptografie genutzt wird). Sie sind zufällig genug für Verlosungen, Spiele und Simulationen. Um Verschlüsselungsschlüssel oder Passwörter selbst zu erzeugen, nutzen Sie jedoch ein spezielles Werkzeug, das offline arbeitet.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Faire Verlosungen, Ziehungen und Sitzplatzverteilungen
Geben Sie jeder Teilnehmerin, jedem Teilnehmer oder jeder Schülerin und jedem Schüler eine Nummer und ziehen Sie mit Zufallszahlen, dann ist die Auswahl fair, ohne dass die Absichten irgendeines Menschen eine Rolle spielen. Jede und jeder hat dieselbe Chance, gezogen zu werden (eine Gleichverteilung). Es ist eine Ziehung, deren Fairness durch Mathematik gesichert ist.
Die Zahlen beim LOTTO 6aus49, „6 Zahlen aus 49 ohne Wiederholung“, funktionieren genau so, und es gibt 13.983.816 mögliche Kombinationen davon (LOTTO.de).
Zufallsstichprobe für Meinungsumfragen und statistische Erhebungen
Wie kann eine Umfrage unter einigen Tausend Menschen, etwa zur Sonntagsfrage, sagen, was ganz Deutschland denkt, ohne alle zu fragen? Die Antwort ist die Zufallsstichprobe: Die Personen, die gefragt werden, werden mit Zufallszahlen gewählt. Eine gezielte Auswahl würde die Ergebnisse verzerren, erst die zufällige Auswahl macht eine Umfrage vertrauenswürdig.
Bei Telefonumfragen werden die Telefonnummern häufig selbst mit Zufallszahlen erzeugt (in Deutschland etwa nach dem Gabler-Häder-Verfahren), damit auch Personen ohne Eintrag im Telefonbuch dieselbe Chance haben, angerufen zu werden.
Simulation (die Monte-Carlo-Methode) in Finanzwesen, Wetter und Wissenschaft
Selbst ein zu komplexes Problem, um es mit einer Formel zu lösen, lässt sich näherungsweise beantworten, indem man zehntausende zufällige Versuche durchführt und die Ergebnisse zusammenzählt. Das nennt man Monte-Carlo-Methode. Sie wird überall eingesetzt, von Risikoberechnungen bei Banken und Ensemble-Wettervorhersagen (viele Vorhersagen mit leicht verschiedenen Anfangsbedingungen) bis zur Forschung in Physik und Medizin.
Ihre theoretische Grundlage ist die Eigenschaft, die Sie auf dieser Seite kennenlernen: Der Mittelwert von Zufallszahlen nähert sich dem Erwartungswert.
Zufall in Spielen (Würfel, gemischte Karten und Lootboxen)
Der gesamte Zufall in Videospielen, von Würfelwürfen und gemischten Karten bis zu Lootboxen und zufällig erzeugten Karten, entsteht mit Pseudozufallszahlen.
Dass derselbe Seed dieselbe Folge liefert, wird sogar gezielt genutzt, in Wiederholungsfunktionen und beim Teilen eines Welt-Seeds mit Freunden, damit alle dieselbe Karte spielen.
Zufallszahlen hinter Verschlüsselung und Sicherheit (und die Grenzen von Pseudozufallszahlen)
Verschlüsselte Verbindungen beim Online-Shopping und Einmalpasswörter funktionieren nur wegen Zufallszahlen, Zahlen, die eine Angreiferin oder ein Angreifer nicht vorhersagen kann.
Gewöhnliche Pseudozufallszahlen ließen sich vorhersagen, deshalb sind sie hier nicht brauchbar. Stattdessen werden kryptografisch sichere Generatoren und Hardware-Zufallszahlengeneratoren eingesetzt, die physikalische Ereignisse wie Wärmerauschen nutzen. Das ist die anspruchsvollste Anwendung von Zufallszahlen, bei der ihre Qualität darüber entscheidet, wie sicher die Welt ist.
Formel
Wahrscheinlichkeit jedes Wertes bei ganzzahligen Zufallszahlen (diskrete Gleichverteilung)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(P(X=k)\)
\(=\)
\(1\)
\(\div\)
\((b-a+1)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(P(X=k)\): Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte ganze Zahl \(k\)
\(=\)
①
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
\(\div\)
②
\((b-a+1)\): Anzahl der möglichen ganzen Zahlen
Die Formel in Worten
①
Teilen Sie die
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
②
in gleiche Teile, entsprechend der
\((b-a+1)\): Anzahl der möglichen ganzen Zahlen
,
③
und Sie erhalten die
\(P(X=k)\): Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte ganze Zahl \(k\)
(jede ganze Zahl ist gleich wahrscheinlich)
Einfaches Beispiel
Ein Würfel lässt sich als Zufallszahl von 1 bis 6 auffassen. Die Wahrscheinlichkeit, eine 3 zu würfeln, ist
Wahrscheinlichkeit für eine 3 \(P\)
\(=\)
Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\)
\(\div\)
mögliche Werte (6)
\(1 \div (6 - 1 + 1) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167\ \ (16{,}7\,\%)\)
Der Kerngedanke
Ein Zufallszahlengenerator ist so gebaut, dass jede Zahl im Bereich gleich wahrscheinlich ist. Dieses Muster heißt Gleichverteilung. Bei einer unteren Grenze \(a\) und einer oberen Grenze \(b\) gibt es \(b - a + 1\) mögliche ganze Zahlen (für 1 bis 6 sind es \(6 - 1 + 1 = 6\)), also ist die Wahrscheinlichkeit jeder einzelnen 1 geteilt durch diese Anzahl. „Eben kam eine 3, also ist beim nächsten Mal eine 3 weniger wahrscheinlich“ stimmt nicht. Jede Ziehung beginnt neu mit denselben Wahrscheinlichkeiten.
Wie wahrscheinlich Zufallsdezimalzahlen sind (Dichtefunktion der stetigen Gleichverteilung)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(f(x)\)
\(=\)
\(1\)
\(\div\)
\((b-a)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(f(x)\): Wahrscheinlichkeitsdichte (Höhe des Graphen)
\(=\)
①
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
\(\div\)
②
\((b-a)\): Breite des Bereichs
Die Formel in Worten
①
Verteilen Sie die
\(1\): Gesamtwahrscheinlichkeit
②
gleichmäßig über die
\((b-a)\): Breite des Bereichs
,
③
und Sie erhalten die
\(f(x)\): Wahrscheinlichkeitsdichte (Höhe des Graphen)
(der Graph ist ein flaches Rechteck)
Einfaches Beispiel
Für Zufallsdezimalzahlen von 0 bis 10 ist die Höhe des Graphen 1 ÷ 10 = 0,1. Die Wahrscheinlichkeit, zwischen 2 und 5 zu landen, ist Höhe · Breite
Höhe des Graphen \(f(x)\)
\(=\)
Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\)
\(\div\)
Breite des Bereichs (10)
\(1 \div (10 - 0) = 0{,}1\)
\(0{,}1 \cdot (5 - 2) = 0{,}3\ \ (30\,\%)\)
Der Kerngedanke
Zufallsdezimalzahlen haben unendlich viele mögliche Werte, also ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3,000… (oder einen anderen einzelnen Punkt) zu erhalten, gleich 0. Deshalb betrachtet man bei Zufallsdezimalzahlen die Wahrscheinlichkeit, in einem Bereich zu landen. Die Wahrscheinlichkeit ist die Fläche unter dem Graphen (Höhe · Breite), und über den ganzen Bereich beträgt sie \(0{,}1 \cdot 10 = 1\) (100 %). Die Höhe \(f(x)\) ist im ganzen Bereich gleich, also ist jeder Teil gleich wahrscheinlich. Das bedeutet Gleichverteilung.
Mittelwert von Zufallszahlen (Erwartungswert einer Gleichverteilung)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(E[X]\)
\(=\)
\((a+b)\)
\(\div\)
\(2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(E[X]\): Mittelwert der Zufallszahlen (Erwartungswert)
\(=\)
①
\((a+b)\): untere Grenze \(a\) plus obere Grenze \(b\)
\(\div\)
②
\(2\): Divisor (ergibt die Mitte)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\((a+b)\): untere Grenze \(a\) plus obere Grenze \(b\)
②
teilen Sie sie durch den
\(2\): Divisor
(um genau die Mitte des Bereichs zu finden)
③
und Sie erhalten den
\(E[X]\): Mittelwert der Zufallszahlen (Erwartungswert)
Einfaches Beispiel
Erzeugen Sie viele ganzzahlige Zufallszahlen von 1 bis 100, nähert sich ihr Mittelwert immer mehr
Mittelwert (Erwartungswert) \(E[X]\)
\(=\)
untere plus obere Grenze (1 + 100)
\(\div\)
Divisor (2)
\((1 + 100) \div 2 = 50{,}5\)
Der Kerngedanke
Eine Gleichverteilung ist innerhalb ihres Bereichs symmetrisch, also liegt der Mittelwert (Erwartungswert) genau in der Mitte. Bei einem Würfel (1 bis 6) ist er \((1+6) \div 2 = 3{,}5\). Jeder Wurf ist eine ganze Zahl, aber der Mittelwert vieler Würfe nähert sich immer mehr 3,5. Bei Zufallsdezimalzahlen ist die Streuung (die Varianz) \(V[X] = \frac{(b-a)^2}{12}\).
Aus einer Zufallszahl von 0 bis 1 eine ganzzahlige Zufallszahl in einem Bereich machen
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(n\)
\(=\)
\(a\)
\(+\)
\(\lfloor\)
\(u\)
\(\cdot\)
\((b-a+1)\)
\(\rfloor\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(n\): ganzzahlige Zufallszahl im Bereich
\(=\)
④
\(a\): untere Grenze
\(+\)
\(\lfloor\)
①
\(u\): Zufallszahl von 0 bis (ausschließlich) 1
\(\cdot\)
②
\((b-a+1)\): Anzahl der möglichen ganzen Zahlen
③
\(\rfloor\)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(u\): Zufallszahl von 0 bis (ausschließlich) 1
,
②
dehnen Sie sie, indem Sie mit der
\((b-a+1)\): Anzahl der möglichen ganzen Zahlen
multiplizieren,
③
schneiden Sie mit dem Zeichen \(\lfloor\ \rfloor\) (Abrundungsfunktion) den Nachkommateil ab, um eine ganze Zahl zu erhalten,
④
addieren Sie die
\(a\): untere Grenze
dazu
⑤
und Sie erhalten die
\(n\): ganzzahlige Zufallszahl im Bereich
Einfaches Beispiel
Ist die Zufallszahl von 0 bis 1 gleich 0,32, ergibt die Umwandlung in eine ganzzahlige Zufallszahl von 1 bis 10
ganzzahlige Zufallszahl \(n\)
\(=\)
untere Grenze (1)
\(+\)
\(\lfloor\)
Zufallszahl von 0 bis 1 (0,32)
\(\cdot\)
mögliche Werte (10)
\(\rfloor\)
\(1 + \lfloor 0{,}32 \cdot 10 \rfloor = 1 + \lfloor 3{,}2 \rfloor = 1 + 3 = 4\)
Der Kerngedanke
Computer erzeugen eine Zufallszahl oft zuerst als Dezimalzahl von 0 bis (ausschließlich) 1 und verschieben sie dann mit dieser Formel in den gewünschten Bereich. Ist \(u\) gleichmäßig zwischen 0 und 1 verteilt, ist \(n\) jede ganze Zahl von \(a\) bis \(b\) mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Genau diese Formel verwenden Sie auch, um mit der Excel-Funktion ZUFALLSZAHL ganzzahlige Zufallszahlen zu erzeugen (siehe den Abschnitt zu Excel).
Ein klassisches Verfahren für Pseudozufallszahlen (linearer Kongruenzgenerator)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(X_{n+1}\)
\(=\)
\((aX_n + c)\)
\(\bmod\)
\(m\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(X_{n+1}\): nächste Zufallszahl
\(=\)
①
\((aX_n + c)\): aktuelle Zufallszahl \(X_n\) mal \(a\), plus \(c\)
\(\bmod\)
②
\(m\): Divisor
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\((aX_n + c)\): aktuelle Zufallszahl \(X_n\) mal \(a\), plus \(c\)
②
teilen Sie sie durch den
\(m\): Divisor
und behalten Sie den Rest,
③
und Sie erhalten die
\(X_{n+1}\): nächste Zufallszahl
(wiederholen Sie das, um eine Folge von Zufallszahlen zu erzeugen)
Einfaches Beispiel
Mit dem Faktor 5, dem Summanden 3, dem Divisor 16 und dem Startwert (Seed) 7 ergibt sich die Folge der Zufallszahlen wie folgt
nächste Zufallszahl \(X_1\)
\(=\)
7 mal 5, plus 3 (38)
\(\bmod\)
Divisor (16)
\((5 \cdot 7 + 3) \bmod 16 = 38 \bmod 16 = 6\)
\((5 \cdot 6 + 3) \bmod 16 = 33 \bmod 16 = 1\)
Der Kerngedanke
Allein die Wiederholung eines einfachen Schritts, „multiplizieren, addieren, den Rest behalten“, erzeugt eine Zahlenfolge, die zufällig aussieht. Das ist die Grundidee hinter Pseudozufallszahlen. (Hier sind \(a, c, m\) vorher gewählte Konstanten. Sie sind nicht die untere und obere Grenze aus den Formeln oben.)
Die entscheidende Eigenschaft ist, dass derselbe Startwert (Seed) immer genau dieselbe Folge liefert. Mit anderen Worten: Zufallszahlen, die mit einer Formel erzeugt werden, sind nicht wirklich zufällig. Echte Computer nutzen statt eines einfachen linearen Kongruenzgenerators verbesserte Verfahren wie den Mersenne-Twister, aber der Kerngedanke, „eine vom Seed bestimmte Folge von Rechnungen“, ist derselbe.
Die Zahlen eines Zufallszahlengenerators folgen einer Gleichverteilung, bei der jede Zahl im Bereich gleich wahrscheinlich ist. Der wichtigste Punkt ist, dass Computer-Zufallszahlen Pseudozufallszahlen sind, die mit einer Formel erzeugt werden. Derselbe Seed (Startwert) liefert immer dieselbe Folge, also sind sie kein echter Zufall.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(a\) | a | Die untere Grenze des Bereichs (diese Zahl oder mehr). (Beispiel: Für Zufallszahlen von 1 bis 100 ist \(a = 1\)) |
| \(b\) | b | Die obere Grenze des Bereichs (diese Zahl oder weniger). (Beispiel: Für Zufallszahlen von 1 bis 100 ist \(b = 100\)) |
| \(P(X=k)\) | P von X gleich k | Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallszahl \(X\) genau die ganze Zahl \(k\) ist. Bei gleichverteilten ganzzahligen Zufallszahlen ist sie für jedes \(k\) gleich. |
| \(f(x)\) | f von x (Wahrscheinlichkeitsdichte) | Die Höhe des Graphen, die zeigt, wie wahrscheinlich Zufallsdezimalzahlen sind (die Dichtefunktion). Bei einer Gleichverteilung ist die Höhe im ganzen Bereich gleich. |
| \(E[X]\) | E von X (Erwartungswert) | Der Wert, dem sich der Mittelwert nähert, wenn Sie viele Zufallszahlen \(X\) erzeugen. E steht für „Expectation“, das englische Wort für Erwartungswert. |
| \(u\) | u | Eine gleichverteilte Zufallszahl von 0 bis (ausschließlich) 1. Die meisten Computer-Zufallszahlen werden zuerst in dieser Form erzeugt und dann in den gewünschten Bereich verschoben. |
| \(\lfloor\ \rfloor\) | Abrundungsfunktion (Gaußklammer) | Ein Zeichen, das den Nachkommateil der Zahl darin abschneidet und auf eine ganze Zahl abrundet. (Beispiel: \(\lfloor 3{,}2 \rfloor = 3\)) |
| \(X_n\) | X Index n | Der \(n\)-te Wert einer Folge von Pseudozufallszahlen. Der Anfangswert \(X_0\) ist der Seed. |
| \(\bmod\) | modulo | Die Rechenoperation, die den Rest einer Division liefert. (Beispiel: \(38 \bmod 16 = 6\), denn 38 geteilt durch 16 ist 2 Rest 6) |
Begriffe
| Zufallszahl | Eine Zahl ohne Muster, an dem sich erkennen ließe, was als Nächstes kommt, wie das Ergebnis eines Würfelwurfs. Der Generator auf dieser Seite erzeugt Zahlen, die zufällig aus dem von Ihnen gewählten Bereich gezogen werden. |
| Gleichverteilung | Eine Verteilung, bei der jeder Wert im Bereich gleich wahrscheinlich ist. Bei ganzzahligen Zufallszahlen hat jede ganze Zahl dieselbe Wahrscheinlichkeit. Bei Zufallsdezimalzahlen hat der Graph überall dieselbe Höhe. |
| Pseudozufallszahl | Eine Zahl aus einer Folge, die mit einer Formel erzeugt wird und zufällig aussieht. Die Formel heißt PRNG (Pseudozufallszahlengenerator). Fast alle Computer-Zufallszahlen sind Pseudozufallszahlen. |
| Seed | Der Startwert (auch Seed genannt), mit dem die Berechnung von Pseudozufallszahlen beginnt. Beginnt man mit demselben Seed, erhält man immer genau dieselbe Folge. Normalerweise wird der Seed automatisch festgelegt, zum Beispiel aus der aktuellen Uhrzeit, sodass jede Folge anders aussieht. |
| linearer Kongruenzgenerator | Das klassischste Verfahren für Pseudozufallszahlen, das „multiplizieren, addieren, den Rest behalten“ wiederholt. Es ist ideal, um zu lernen, wie sie funktionieren, aber heute sind in der Praxis Verfahren höherer Qualität wie der Mersenne-Twister üblich. |
| Hardware-Zufallszahlengenerator | Ein Gerät, das Zufallszahlen aus physikalischen Ereignissen erzeugt, etwa aus Würfeln, Münzen, elektrischem Rauschen in der Atmosphäre oder Wärmerauschen in elektronischen Schaltungen. Da keine Formel beteiligt ist, lassen sich die Zahlen nicht reproduzieren und kommen echten Zufallszahlen nahe. |
| Erwartungswert | Der Durchschnitt eines vom Zufall bestimmten Ergebnisses bei vielen Wiederholungen. Bei gleichverteilten Zufallszahlen liegt der Erwartungswert genau in der Mitte des Bereichs. |
| Zufallsstichprobe | Das zufällige Auswählen dessen, wer oder was untersucht wird, zum Beispiel mit Zufallszahlen, ohne menschliche Wahl. Sie ist das grundlegende Mittel, in statistischen Erhebungen Verzerrungen zu vermeiden (auch Zufallsauswahl genannt). |
Was Sie vorab wissen sollten
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis nutzen können und nicht nur auf die Schaltfläche klicken, hilft Ihnen das folgende Grundwissen.
| Division mit Rest (Klasse 3–4, 8–10 Jahre) |
|
| Dezimalzahlen und Abrunden (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Anteile und Prozente (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Grundlagen der Wahrscheinlichkeit (Klasse 7, 12–13 Jahre) |
|
| Erwartungswert (Sekundarstufe II, ab 16 Jahren) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit jeder ganzen Zahl
| Untere Grenze a | 1 |
| Obere Grenze b | 6 |
| Wahrscheinlichkeit jeder ganzen Zahl | =1/(B2-B1+1) |
Tabelle zur Berechnung der Höhe des Graphen (Wahrscheinlichkeitsdichte) für Zufallsdezimalzahlen
| Untere Grenze a | 0 |
| Obere Grenze b | 10 |
| Wahrscheinlichkeitsdichte (Höhe des Graphen) | =1/(B2-B1) |
Tabelle zur Berechnung des Mittelwertes (Erwartungswert) der Zufallszahlen
| Untere Grenze a | 1 |
| Obere Grenze b | 100 |
| Mittelwert (Erwartungswert) | =(B1+B2)/2 |
Tabelle zur Erzeugung einer ganzzahligen Zufallszahl
| Untere Grenze a | 1 |
| Obere Grenze b | 100 |
| Ganzzahlige Zufallszahl (ändert sich bei jeder Neuberechnung) | =B1+GANZZAHL(ZUFALLSZAHL()*(B2-B1+1)) |
Tabelle zur Berechnung der nächsten Zufallszahl mit einem linearen Kongruenzgenerator
| Aktuelle Zufallszahl Xn | 7 |
| Faktor a | 5 |
| Summand c | 3 |
| Divisor m | 16 |
| Nächste Zufallszahl | =REST(B2*B1+B3;B4) |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen Ihre Eingaben, und die Formel in der letzten Zeile wird automatisch berechnet.
Die erste Tabelle zeigt etwa 0,1667 (= 1/6), die dritte 50,5 und die fünfte 6.
ZUFALLSZAHL() in der vierten Tabelle erzeugt eine Zufallszahl von 0 bis (ausschließlich) 1, genau in der Form der Umwandlungsformel im Abschnitt Formel. Drücken Sie F9, um jedes Mal eine neue Zufallszahl zu erhalten.
Die erste Tabelle zeigt etwa 0,1667 (= 1/6), die dritte 50,5 und die fünfte 6.
ZUFALLSZAHL() in der vierten Tabelle erzeugt eine Zufallszahl von 0 bis (ausschließlich) 1, genau in der Form der Umwandlungsformel im Abschnitt Formel. Drücken Sie F9, um jedes Mal eine neue Zufallszahl zu erhalten.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit jeder ganzen Zahl
| Untere Grenze a | 1 |
| Obere Grenze b | 6 |
| Wahrscheinlichkeit jeder ganzen Zahl | =1/(B2-B1+1) |
Tabelle zur Berechnung der Höhe des Graphen (Wahrscheinlichkeitsdichte) für Zufallsdezimalzahlen
| Untere Grenze a | 0 |
| Obere Grenze b | 10 |
| Wahrscheinlichkeitsdichte (Höhe des Graphen) | =1/(B2-B1) |
Tabelle zur Berechnung des Mittelwertes (Erwartungswert) der Zufallszahlen
| Untere Grenze a | 1 |
| Obere Grenze b | 100 |
| Mittelwert (Erwartungswert) | =(B1+B2)/2 |
Tabelle zur Erzeugung einer ganzzahligen Zufallszahl
| Untere Grenze a | 1 |
| Obere Grenze b | 100 |
| Ganzzahlige Zufallszahl (ändert sich bei jeder Neuberechnung) | =B1+GANZZAHL(ZUFALLSZAHL()*(B2-B1+1)) |
Tabelle zur Berechnung der nächsten Zufallszahl mit einem linearen Kongruenzgenerator
| Aktuelle Zufallszahl Xn | 7 |
| Faktor a | 5 |
| Summand c | 3 |
| Divisor m | 16 |
| Nächste Zufallszahl | =REST(B2*B1+B3;B4) |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert (ZUFALLSZAHL, GANZZAHL und REST heißen in Google Tabellen genauso, wenn die Sprache auf Deutsch eingestellt ist).
Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingabezahlen durch Ihre eigenen Werte.
Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingabezahlen durch Ihre eigenen Werte.
Mit Python berechnen
import random
lower = 1 # untere Grenze
upper = 100 # obere Grenze
count = 5 # Anzahl der zu erzeugenden Zahlen
# ganzzahlige Zufallszahlen (Wiederholung erlaubt)
integers = [random.randint(lower, upper) for _ in range(count)]
# ganzzahlige Zufallszahlen (ohne Wiederholung)
unique_integers = random.sample(range(lower, upper + 1), count)
# Zufallsdezimalzahlen
decimals = [random.uniform(lower, upper) for _ in range(count)]
print(f"Ganzzahlige Zufallszahlen (Wiederholung erlaubt): {integers}")
print(f"Ganzzahlige Zufallszahlen (ohne Wiederholung): {unique_integers}")
print(f"Zufallsdezimalzahlen: {decimals}")
# mit festem Seed kommt bei jedem Lauf dieselbe Folge zurück (eine Eigenschaft von Pseudozufallszahlen)
random.seed(42)
print(f"Zufallszahlen mit Seed 42: {[random.randint(1, 100) for _ in range(3)]}")
Der Code läuft nur mit dem Standardmodul random (ein Pseudozufallszahlengenerator namens Mersenne-Twister). Führen Sie die letzten zwei Zeilen aus, sehen Sie, dass derselbe Seed jedes Mal dasselbe Ergebnis liefert. Zum Erzeugen von Passwörtern oder Verschlüsselungsschlüsseln nutzen Sie statt random das spezielle Modul secrets.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Wahrscheinlichkeit jedes Wertes bei ganzzahligen Zufallszahlen (diskrete Gleichverteilung)
P(X = k) = 1 / (b − a + 1)
P(X = k) = \frac{1}{b - a + 1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P(X = k) = 1/(b - a + 1)
1/(b - a + 1)
p := 1/(b - a + 1);
p = 1/(b - a + 1);
P(X = k) = 1/(b - a + 1)
Wie wahrscheinlich Zufallsdezimalzahlen sind (Dichtefunktion der stetigen Gleichverteilung)
f(x) = 1 / (b − a)
f(x) = \frac{1}{b - a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
f(x) = 1/(b - a)
1/(b - a)
f := 1/(b - a);
f = 1/(b - a);
f(x) = 1/(b - a)
Mittelwert von Zufallszahlen (Erwartungswert einer Gleichverteilung)
E[X] = (a + b) / 2
E[X] = \frac{a + b}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>E</mi><mo>[</mo><mi>X</mi><mo>]</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
E[X] = (a + b)/2
(a + b)/2
mean := (a + b)/2;
mean_x = (a + b)/2;
E[X] = (a + b)/2
Aus einer Zufallszahl von 0 bis 1 eine ganzzahlige Zufallszahl in einem Bereich machen
n = a + ⌊u · (b − a + 1)⌋
n = a + \lfloor u \cdot (b - a + 1) \rfloor
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>+</mo>
<mo>⌊</mo>
<mi>u</mi>
<mo>⋅</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>⌋</mo>
</mrow>
</math>
n = a + |__ u * (b - a + 1) __|
a + Floor[u*(b - a + 1)]
n := a + floor(u*(b - a + 1));
n = a + floor(u*(b - a + 1));
n = a + ⌊u · (b - a + 1)⌋
Ein klassisches Verfahren für Pseudozufallszahlen (linearer Kongruenzgenerator)
Xₙ₊₁ = (a·Xₙ + c) mod m
X_{n+1} = (a X_n + c) \bmod m
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>X</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<mi>a</mi><msub><mi>X</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>+</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
<mo>mod</mo>
<mi>m</mi>
</mrow>
</math>
X_(n+1) = (a X_n + c) mod m
Mod[a*x + c, m]
X[n + 1] := (a*X[n] + c) mod m;
x_next = mod(a*x + c, m);
X_(n+1) = (a X_n + c) mod m
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für das Erzeugen von Zufallszahlen. Erledigen Sie Folgendes, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (Zufallszahlen lassen sich nicht ohne Code erzeugen, also raten Sie nicht und erfinden Sie keine Zahlen). 1. Erzeugen Sie 5 ganzzahlige Zufallszahlen von 1 bis 100 ohne Wiederholung. 2. Sortieren Sie diese 5 Zahlen aufsteigend. 3. Erzeugen Sie 1 Zufallsdezimalzahl von 0,2 bis 112,5 mit 3 Nachkommastellen. Zeigen Sie den verwendeten Code und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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