Geben Sie die drei Werte ein, die Sie kennen, aus Startwert, Endwert, Zeitraum und CAGR (%), lassen Sie den gesuchten leer und klicken Sie auf „Berechnen“. Der leere Wert wird berechnet, und eine Tabelle Jahr für Jahr und eine Wachstumskurve werden angezeigt.
Geben Sie genau drei Werte ein (mit allen vier ausgefüllt kann nicht gerechnet werden). Geben Sie den CAGR als Prozentzahl ein (für 10 % geben Sie „10“ ein, für einen Rückgang eine negative Zahl). Geben Sie den Zeitraum in Jahren ein (Dezimalzahlen wie 2,5 sind in Ordnung) oder in Monaten; Monate werden mit Jahre = Monate ÷ 12 umgerechnet. Die Werte können in jeder Einheit sein (Euro, Personen, Stück und so weiter).
Ergebnis und Diagramm
Füllen Sie links drei der Felder aus und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen das Ergebnis, eine Tabelle Jahr für Jahr und ein Diagramm.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Diagramme
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Formel für die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (CAGR)
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Formel für den Endwert (den Wert nach n Jahren)
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Formel für den Startwert (was Sie jetzt brauchen, um ein Ziel zu erreichen)
-
Formel für die Jahre bis zu einem Ziel
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Zum Vergleich: die einfache durchschnittliche Wachstumsrate (wie sie sich vom CAGR unterscheidet)
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Aus einem Startwert, einem Endwert und der Zahl der Jahre berechnen Sie die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (CAGR). Zum Beispiel sind „der Umsatz wuchs in 5 Jahren von 1 Mio. € auf 1,61 Mio. €“ etwa 10 % Wachstum pro Jahr. Der CAGR macht ein unregelmäßiges Wachstum zu „jedes Jahr derselbe Prozentsatz“, der zum gleichen Ergebnis führen würde
- Geben Sie drei der vier Felder ein (Startwert, Endwert, Jahre, CAGR), und das vierte wird berechnet. „Wie viele Jahre braucht es, um den Umsatz bei 10 % Wachstum pro Jahr zu verdoppeln?“ (Jahre), „Was wird es in 5 Jahren bei 15 % pro Jahr sein?“ (Endwert) und „Wie groß müssen wir jetzt sein, um das Ziel zu erreichen?“ (Startwert) sind alle möglich
- Geben Sie den Zeitraum in Jahren ein, auch mit Dezimalstellen wie 2,5, oder in Monaten, etwa 18. Die Jahre bis zum Ziel werden als Dezimalzahl und aufgerundet angezeigt (das Jahr, in dem Sie es erreichen)
- Eine Tabelle Jahr für Jahr und ein Diagramm, das die Wachstumskurve (Startwert × (1 + CAGR) hoch Jahre) über die Gerade für „jedes Jahr derselbe Betrag“ legt, zeigen den Unterschied zur einfachen durchschnittlichen Wachstumsrate auf einen Blick
Der CAGR hängt nur von zwei Werten ab, dem Startwert und dem Endwert. Die Auf und Abs in den Jahren dazwischen gehen nicht in die Rechnung ein (sie sind für sie unsichtbar). Um Anlagerenditen zu glätten, wenn Sie die Rendite jedes Jahres kennen, passt der verwandte „Durchschnittsrendite-Rechner“ besser. Für eine Veränderung über ein Jahr („um wie viel Prozent höher als im Vorjahr?“) geht es mit dem „Rechner für die prozentuale Veränderung“ schneller.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
„X % CAGR“ in Businessplänen und Investorenpräsentationen
Businesspläne von Start-ups und Ergebnispräsentationen börsennotierter Unternehmen beschreiben das Wachstum von Umsatz oder Nutzern zum Beispiel als „ein 3-Jahres-CAGR von 25 %“. Ist der Umsatz in 3 Jahren von 2 Mio. € auf 3,9 Mio. € gewachsen, beträgt der CAGR \((3{,}9 \div 2)^{1/3} - 1 \approx 0{,}249\), also etwa 25 %.
Auch wenn das Wachstum von Jahr zu Jahr ungleichmäßig ist, zeigt eine Zahl, wie schnell etwas gewachsen ist, sodass Sie Unternehmen unterschiedlicher Größe über verschiedene Zeiträume vergleichen können. Der CAGR betrachtet aber nur zwei Punkte und verdeckt, was dazwischen geschah, etwa einen Sprung nur im letzten Jahr. Prüfen Sie beim Lesen eines Berichts auch die Zahlen Jahr für Jahr.
Zurückrechnen auf „wie viele Jahre bis zur Verdopplung des Umsatzes?“ (Zielsetzung im Unternehmen)
Auf die Frage „wenn wir weiter mit 10 % pro Jahr wachsen, wann verdoppelt sich der Umsatz?“ antwortet die Jahresformel \(\log 2 \div \log 1{,}1 \approx 7{,}27\) Jahre, der Umsatz überschreitet die Verdopplung also bis zum Ende von Jahr 8. Umgekehrt ist der nötige CAGR, wenn das Ziel die Verdopplung in 5 Jahren ist, \(2^{1/5} - 1 \approx 0{,}149\), also ein Wachstum von etwa 14,9 % pro Jahr.
Sobald „wie viel Prozent pro Jahr uns zum Ziel bringen“ eine Zahl ist, können Sie sie in ein Umsatzziel für jedes Jahr aufteilen (die Tabelle Jahr für Jahr).
Das Wachstum von App-Nutzern oder Mitgliedern vergleichen (Betrieb eines Webdienstes)
Sind die monatlichen Nutzer einer App in 2 Jahren von 50.000 auf 200.000 (das Vierfache) gewachsen, beträgt der CAGR \(4^{1/2} - 1 = 1\): 100 % pro Jahr (jedes Jahr eine Verdopplung). Ist eine andere App in 4 Jahren auf das Vierfache gewachsen, sind es \(4^{1/4} - 1 \approx 0{,}414\), etwa 41 % pro Jahr. Dasselbe „Vierfache“ wuchs mit sehr unterschiedlicher Geschwindigkeit, und der CAGR macht das sichtbar.
Dieselbe Formel funktioniert unverändert für Dinge, die nicht in Euro gemessen werden, wie Nutzerzahlen.
Die Marktgröße prognostizieren (die Grundlage für „der Markt erreicht 2030 X Milliarden Euro“)
Soll ein Markt im Schnitt 8 % pro Jahr wachsen, lässt sich ein Markt, der heute 1 Mrd. € wert ist, in 5 Jahren auf \(1 \times 1{,}08^5 \approx 1{,}469\), also etwa 1,47 Mrd. €, schätzen (die Endwert-Formel). Viele Angaben zur „Marktgröße in X Jahren“ in Branchenberichten beruhen auf einer solchen Rechnung.
Bedenken Sie, dass die Zahl davon ausgeht, dass die Wachstumsrate von jetzt an gleich bleibt. Prüfen Sie die Annahmen der Prognose (wie viel Prozent, für wie viele Jahre), bevor Sie sie verwenden.
Die Bevölkerungsveränderung als Jahresrate betrachten (Statistik einer Gemeinde oder Region)
Ist die Einwohnerzahl einer Gemeinde in 10 Jahren von 50.000 auf 40.000 gesunken, beträgt der CAGR \((4 \div 5)^{1/10} - 1 \approx -0{,}0221\), ein Rückgang um etwa 2,2 % pro Jahr. „20 % Rückgang in 10 Jahren“ einfach in „2 % Rückgang pro Jahr“ zu teilen, ist ein wenig falsch, weil auch ein Rückgang aufzinst (der Rückgang jedes Jahres wird von der Einwohnerzahl nach dem letzten Rückgang aus gemessen).
Ein Rückgang nutzt genau dieselbe Formel; der CAGR ist nur negativ. Mit der Jahresformel lässt sich auch zurückrechnen, in wie vielen Jahren die Einwohnerzahl unter 30.000 fällt, wenn das Tempo anhält.
Um wie viel Prozent pro Jahr Ihr Gehalt oder die Preise gestiegen sind (Grundwissen zum Geld)
Verdiente jemand vor 20 Jahren zum Beispiel 40.000 € im Jahr und verdient jetzt 60.000 €, beträgt der CAGR \((60 \div 40)^{1/20} - 1 \approx 0{,}0205\), ein Wachstum von etwa 2 % pro Jahr. Auch der Preisanstieg (die Inflation) lässt sich mit derselben Formel in einen durchschnittlichen Jahresprozentsatz umrechnen, sodass Sie das Wachstum Ihres Gehalts und der Preise mit demselben Maßstab vergleichen können.
Eine langfristige Veränderung in eine Jahresrate umzurechnen, kann der CAGR am besten. „50 % mehr in 20 Jahren“ klingt viel, als Jahresrate sind es aber etwa 2 %, eine Zahl, die man sich vorstellen kann.
Formeln und Diagramme
Formel für die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (CAGR)
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(G\)
\(=\)
\(V_n\)
\(\div\)
\(V_0\)
\(r\)
\(=\)
\(G\)
\(1/n\)
\(-\)
\(1\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(G\): Wachstumsfaktor
\(=\)
①
\(V_n\): Endwert
\(\div\)
②
\(V_0\): Startwert
⑤
\(r\): CAGR
\(=\)
\(G\): Wachstumsfaktor
④
hoch \(1/n\) (\(n\) = Jahre)
\(-\)
\(1\)
Die Formel in Worten
①
Teilen Sie
\(V_n\): Endwert
②
durch
\(V_0\): Startwert
③
und Sie erhalten
\(G\): Wachstumsfaktor (wievielmal so groß es geworden ist)
④
potenzieren Sie ihn
mit \(1/n\) (\(n\) = Jahre)
, um ihn in den Faktor pro Jahr umzurechnen,
⑤
ziehen Sie davon 1 ab (den ursprünglichen Anteil), und Sie erhalten
\(r\): CAGR
(für Prozent mit 100 multiplizieren)
Einfaches Beispiel
Wuchs der Umsatz in 2 Jahren von 1.000.000 € auf 1.210.000 €, beträgt der CAGR (in Tausend Euro)
\(G\): Wachstumsfaktor
\(=\)
Endwert (1210)
\(\div\)
Startwert (1000)
\(r\): CAGR
\(=\)
Wachstumsfaktor (1,21)
hoch \(1/2\) (2 Jahre)
\(-\)
\(1\)
\(1210 \div 1000 = 1{,}21\)
\(1{,}21^{1/2} = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1\)
\(1{,}1 - 1 = 0{,}1\ \ (10\%)\)
Der Kerngedanke
Der CAGR ist der Prozentsatz pro Jahr, der, wenn er in jedem Jahr gleich bliebe, vom Startwert zum Endwert führen würde. Im Beispiel oben werden 1.000.000 €, die jedes Jahr um 10 % wachsen (×1,1, dann ×1,1), nach 2 Jahren genau zu 1.210.000 €. Selbst wenn der tatsächliche Umsatz im ersten Jahr sprang und im zweiten gleich blieb, ist der CAGR immer noch 10 %. Der CAGR betrachtet nur die beiden Endpunkte, die Auf und Abs dazwischen gehen also nicht in die Rechnung ein.
„Hoch \(1/n\)“ ist die Zahl, die, mit \(n\) potenziert, die ursprüngliche Zahl ergibt (die \(n\)-te Wurzel). Bei 2 Jahren ist es die Quadratwurzel (\(\sqrt{\ }\)), bei 3 Jahren die dritte Wurzel. Auf dem Taschenrechner oder in Excel geben Sie „^(1/n)“ ein.
Formel für den Endwert (den Wert nach n Jahren)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(V_n\)
\(=\)
\(V_0\)
\(\times\)
\((1 + r)\)
\(n\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(V_n\): Endwert
\(=\)
①
\(V_0\): Startwert
\(\times\)
②
\((1 + r)\): Faktor pro Jahr
③
\(n\): Jahre
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie
\(V_0\): Startwert
②
multiplizieren Sie ihn mit
\((1 + r)\): Faktor pro Jahr
③
immer wieder, einmal für jedes der
\(n\): Jahre
④
und Sie erhalten
\(V_n\): Endwert
Einfaches Beispiel
Wächst ein Umsatz von 1.000.000 € mit einem CAGR von 10 %, beträgt der Umsatz nach 3 Jahren (in Tausend Euro)
\(V_3\): Endwert
\(=\)
Startwert (1000)
\(\times\)
\((1 + 0{,}1)\)
3 Jahre
\(1{,}1^{3} = 1{,}1 \times 1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}331\)
\(1000 \times 1{,}331 = 1331\)
Der Kerngedanke
Diese Formel hat genau dieselbe Gestalt wie der Zinseszins. „10 % Wachstum in jedem Jahr“ heißt „×1,1 in jedem Jahr“, nach 3 Jahren ist es also \(1{,}1 \times 1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}331\)-mal so groß. Das ist ein Zuwachs von 33,1 %, nicht „10 % × 3 Jahre = 30 %“, denn ab dem 2. Jahr werden die 10 % auf den Wert gerechnet, der schon gewachsen ist (wie beim Zinseszins, wenn Zinsen wieder Zinsen bringen).
Die Jahre \(n\) können eine Dezimalzahl wie 2,5 sein. Dann lässt sich eine Rechnung wie \(1{,}1^{2{,}5}\) mit „^“ auf dem Taschenrechner oder in Excel ausführen.
Formel für den Startwert (was Sie jetzt brauchen, um ein Ziel zu erreichen)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(V_0\)
\(=\)
\(V_n\)
\(\div\)
\((1 + r)\)
\(n\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(V_0\): Startwert
\(=\)
①
\(V_n\): Endwert
\(\div\)
②
\((1 + r)\): Faktor pro Jahr
③
\(n\): Jahre
Die Formel in Worten
①
Teilen Sie
\(V_n\): Endwert
②
durch
\((1 + r)\): Faktor pro Jahr
③
hoch
\(n\): Jahre
④
und Sie erhalten
\(V_0\): Startwert
Einfaches Beispiel
Um in 3 Jahren bei einem CAGR von 10 % einen Umsatz von 1.331.000 € zu erreichen, brauchen Sie jetzt einen Umsatz von (in Tausend Euro)
\(V_0\): Startwert
\(=\)
Endwert (1331)
\(\div\)
\((1 + 0{,}1)\)
3 Jahre
\(1{,}1^{3} = 1{,}331\)
\(1331 \div 1{,}331 = 1000\)
Der Kerngedanke
Das ist die Endwert-Formel, umgestellt nach „Startwert = ...“. Was durch Multiplizieren gewachsen ist, kehrt zum Ausgangspunkt zurück, wenn Sie durch denselben Faktor teilen. Nutzen Sie sie, um zurückzurechnen, wie groß Sie jetzt sein müssen, um in \(n\) Jahren ein Ziel zu erreichen.
Formel für die Jahre bis zu einem Ziel
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(G\)
\(=\)
\(V_n\)
\(\div\)
\(V_0\)
\(n\)
\(=\)
\(\log G\)
\(\div\)
\(\log(1 + r)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(G\): Wachstumsfaktor
\(=\)
①
\(V_n\): Endwert
\(\div\)
②
\(V_0\): Startwert
⑤
\(n\): Jahre
\(=\)
\(\log G\): Logarithmus des Wachstumsfaktors
\(\div\)
④
\(\log(1 + r)\): Logarithmus des Faktors pro Jahr
Die Formel in Worten
①
Teilen Sie
\(V_n\): Endwert
②
durch
\(V_0\): Startwert
③
um den
\(G\): Wachstumsfaktor
zu erhalten, und bilden Sie davon den Logarithmus \(\log G\),
④
teilen Sie ihn durch
\(\log(1 + r)\): Logarithmus des Faktors pro Jahr
⑤
und Sie erhalten
\(n\): Jahre
(die Basis des Logarithmus kann 10 oder \(e\) sein; solange Zähler und Nenner dieselbe Basis verwenden, ist das Ergebnis dasselbe)
Einfaches Beispiel
Die Jahre, die ein Umsatz von 1.000.000 € bei einem CAGR von 10 % braucht, um 2.000.000 € zu erreichen (zu verdoppeln), sind (in Tausend Euro)
\(n\): Jahre
\(=\)
\(\log 2\) (Wachstumsfaktor \(2000 \div 1000 = 2\))
\(\div\)
\(\log(1 + 0{,}1)\)
\(\log 2 \approx 0{,}30103,\ \ \log 1{,}1 \approx 0{,}041393\)
\(0{,}30103 \div 0{,}041393 \approx 7{,}27\)
Der Kerngedanke
Der Logarithmus (\(\log\)) beantwortet „mit welcher Potenz muss man 1,1 potenzieren, um 2 zu erhalten?“. Die Antwort sind etwa 7,27 Jahre, bei 10 % Wachstum pro Jahr überschreitet der Umsatz die Verdopplung also bis zum Ende von Jahr 8 (am Ende von Jahr 7 ist er erst \(1{,}1^7 \approx 1{,}949\)-mal so groß, noch nicht am Ziel). Der Rechner zeigt sowohl diese Dezimalzahl der Jahre als auch die aufgerundete Zahl.
Übrigens ergibt die 72er-Regel „Jahre bis zur Verdopplung ≈ 72 ÷ Wachstumsrate (%)“ im Kopf \(72 \div 10 = 7{,}2\) Jahre, sehr nah an der Rechnung oben.
Zum Vergleich: die einfache durchschnittliche Wachstumsrate (wie sie sich vom CAGR unterscheidet)
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(g\)
\(=\)
\(\left(\dfrac{V_n}{V_0} - 1\right)\)
\(\div\)
\(n\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(g\): einfache durchschnittliche Wachstumsrate
\(=\)
①
Gesamtwachstum \(\left(\dfrac{\text{Endwert } V_n}{\text{Startwert } V_0} - 1\right)\)
\(\div\)
②
\(n\): Jahre
Die Formel in Worten
①
Teilen Sie das
Gesamtwachstum (um wie viel Prozent es über den ganzen Zeitraum gewachsen ist)
②
durch
\(n\): Jahre
③
und Sie erhalten
\(g\): einfache durchschnittliche Wachstumsrate
(für Prozent mit 100 multiplizieren)
Einfaches Beispiel
Wuchs der Umsatz in 2 Jahren von 1.000.000 € auf 1.210.000 € (21 % Wachstum insgesamt), beträgt die einfache durchschnittliche Wachstumsrate
\(g\): einfache durchschnittliche Wachstumsrate
\(=\)
Gesamtwachstum (0,21)
\(\div\)
2 Jahre
\(1210 \div 1000 - 1 = 0{,}21\)
\(0{,}21 \div 2 = 0{,}105\ \ (10{,}5\%)\)
Der Kerngedanke
Bei demselben „1.000.000 € → 1.210.000 € in 2 Jahren“ beträgt die einfache durchschnittliche Wachstumsrate 10,5 %, der CAGR aber 10 %. Der einfache Durchschnitt ist die Sicht der Geraden: „es wuchs in jedem Jahr um denselben Betrag (105.000 €)“. Der CAGR ist die Sicht der Kurve: „es wuchs in jedem Jahr um denselben Prozentsatz (×1,1)“.
Nennen Sie es nach dem einfachen Durchschnitt „10,5 % Wachstum pro Jahr“, ergäbe ein tatsächliches Wachstum von 10,5 % in jedem Jahr \(1{,}105^2 = 1{,}221\)-mal, was größer aussieht als das tatsächliche 1,21-fache. Je länger der Zeitraum und je höher das Wachstum, desto größer wird diese Lücke. Wenn Sie über Wachstum als Jahresrate sprechen, ist der CAGR der Standard.
Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (CAGR) ist „Endwert ÷ Startwert“ hoch \(1/n\) minus 1: der Prozentsatz pro Jahr, wenn das Wachstum in jedem Jahr gleich bliebe. Um stattdessen den Endwert, den Startwert oder die Jahre zu berechnen, stellen Sie die Formel nur um. Kennen Sie also drei der vier Werte, lässt sich der vierte immer berechnen.
Symbole und Begriffe
Symbole
| CAGR | C-A-G-R | Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (englisch Compound Annual Growth Rate): der Prozentsatz pro Jahr, wenn das Wachstum in jedem Jahr gleich bliebe. Auf dieser Seite wird er mit dem Symbol \(r\) geschrieben. |
| \(V_0\) | V tiefgestellt null | Der Startwert (der Wert zu Beginn des Zeitraums). \(V\) steht für value (Wert), und die kleine 0 rechts unten steht für Jahr 0. (Beispiel: Umsatz von 1.000.000 € vor fünf Jahren) |
| \(V_n\) | V tiefgestellt n | Der Endwert (der Wert nach \(n\) Jahren). Das kleine \(n\) rechts unten steht für Jahr \(n\). (Beispiel: Umsatz von 1.610.510 € in diesem Jahr) |
| \(G\) | G | Der Wachstumsfaktor: Endwert ÷ Startwert (\(V_n \div V_0\)), wievielmal so groß der Wert über den ganzen Zeitraum geworden ist. Der Buchstabe steht für growth (Wachstum). (Beispiel: 1.000.000 € → 1.210.000 € ergibt \(G = 1{,}21\)) |
| \(n\) | n | Die Zahl der Jahre vom Startwert bis zum Endwert. Der Buchstabe steht für Number (Anzahl). Sie kann eine Dezimalzahl wie 2,5 sein (18 Monate sind \(18 \div 12 = 1{,}5\) Jahre). |
| \(r\) | r | Der CAGR als Dezimalzahl geschrieben. Der Buchstabe steht für rate (Rate). Für 10 % ist \(r = 0{,}1\); multiplizieren Sie mit 100, um ihn als Prozentsatz darzustellen. |
| \(1 + r\) | eins plus r | Der Faktor pro Jahr. Bei 10 % Wachstum ist er \(1 + 0{,}1 = 1{,}1\). Er ist die ursprüngliche 1 plus das Wachstum \(r\), und über \(n\) Jahre multipliziert er sich zu \((1 + r)^n\). |
| \(x^{1/n}\) | x hoch eins durch n | \(x\) hoch \(1/n\): die Zahl, die, mit \(n\) potenziert, \(x\) ergibt (die \(n\)-te Wurzel \(\sqrt[n]{x}\)). Bei 2 Jahren ist es die Quadratwurzel, bei 3 Jahren die dritte Wurzel. (Beispiel: \(1{,}21^{1/2} = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1\)) |
| \(\log\) | log | Der Logarithmus: das Symbol für „mit welcher Potenz muss man eine Zahl potenzieren, um diesen Wert zu erhalten?“. Diese Seite nutzt es, um auf die Jahre zurückzurechnen, etwa bei „mit welcher Potenz muss man 1,1 potenzieren, um 2 zu erhalten?“. Die Basis kann 10 sein (dekadischer Logarithmus) oder \(e\) (natürlicher Logarithmus, \(\ln\)); solange Zähler und Nenner dieselbe Basis verwenden, ist die Antwort gleich. |
| \(g\) | g | Die einfache durchschnittliche Wachstumsrate: nur das Gesamtwachstum geteilt durch die Jahre, zum Vergleich. Sie hat einen eigenen Buchstaben, um sie vom CAGR \(r\) zu unterscheiden (und sie ist eine andere Größe als das große \(G\), der Wachstumsfaktor). |
Begriffe
| CAGR (durchschnittliche jährliche Wachstumsrate) | Das Wachstum über mehrere Jahre, umgerechnet in den Prozentsatz pro Jahr, der, in jedem Jahr gleich gehalten, dasselbe Ergebnis liefert. Er hängt nur vom Startwert, vom Endwert und von der Zahl der Jahre ab; die Auf und Abs dazwischen gehen nicht in die Rechnung ein. Er ist das Standardmaß, um das Wachstum von Umsatz, Nutzern, Marktgröße, Bevölkerung und so weiter als Jahresrate zu vergleichen. |
| Zinseszins | Ein Wachstum, bei dem derselbe Prozentsatz auch auf das gerechnet wird, was schon hinzugekommen ist. Zwei Jahre mit 10 % Wachstum ergeben \(1{,}1 \times 1{,}1 = 1{,}21\)-mal so viel (21 % mehr), nicht „10 % + 10 % = 20 % mehr“. Der CAGR glättet das Wachstum mit dieser Zinseszins-Sicht. |
| geometrisches Mittel | Der Mittelwert, den Sie erhalten, wenn Sie \(n\) Zahlen miteinander multiplizieren und die \(n\)-te Wurzel ziehen (Potenz \(1/n\)). Der CAGR ist das geometrische Mittel der jährlichen Faktoren minus 1, das sich vom gewöhnlichen Mittelwert unterscheidet (addieren und teilen, das arithmetische Mittel). Für Größen, die durch Multiplikation verbunden sind, wie Faktoren, nutzen Sie das geometrische Mittel. |
| einfache durchschnittliche Wachstumsrate (arithmetisches Mittel) | Nur das Gesamtwachstum über den Zeitraum geteilt durch die Zahl der Jahre. Sie ist die Sicht der Geraden, „in jedem Jahr derselbe Betrag“, und ignoriert den Zinseszins, deshalb fällt sie bei einem Wachstum über mehr als ein Jahr größer aus als der CAGR (bei einem Rückgang fällt der jährliche Rückgang kleiner aus als beim CAGR). Wenn Sie über eine Jahresrate sprechen, ist der CAGR der Standard. |
| Wachstumsfaktor | Endwert ÷ Startwert, wievielmal so groß der Wert über den ganzen Zeitraum geworden ist. 1.000.000 €, die auf 1.610.510 € wachsen, sind etwa das 1,61-Fache. Ziehen Sie 1 ab und multiplizieren Sie mit 100, erhalten Sie das Gesamtwachstum (etwa 61 % mehr). |
| n-te Wurzel | Die Zahl, die, mit \(n\) potenziert, eine Zahl ergibt, geschrieben \(\sqrt[n]{x}\) oder \(x^{1/n}\). Ist etwas in 2 Jahren auf das 1,21-Fache gewachsen, ist der Faktor pro Jahr \(\sqrt{1{,}21} = 1{,}1\), und das ist der Kern der Berechnung des CAGR. |
| Logarithmus (log) | Die Zahl für die Potenz in „mit welcher Potenz muss man \(a\) potenzieren, um \(b\) zu erhalten?“, geschrieben \(\log_{a} b\). Er findet einen Exponenten (eine Anzahl von Multiplikationen), deshalb dient er dazu, auf die Jahre zurückzurechnen, etwa bei „wie viele Jahre bis zur Verdopplung bei 10 % Wachstum pro Jahr?“. |
| 72er-Regel | Eine Faustregel für das Kopfrechnen – „Jahre bis zur Verdopplung ≈ 72 ÷ Jahresrate (%)“. Bei 10 % pro Jahr dauert die Verdopplung etwa 7,2 Jahre, bei 5 % etwa 14,4 Jahre. Sie kommt dem exakten Wert aus dem Logarithmus sehr nahe. |
| Veränderung zum Vorjahr | Die Veränderung vom letzten zu diesem Jahr, etwa „10 % mehr als im Vorjahr“. Der CAGR ist der Wert, den diese jährliche Veränderung hätte, wenn sie in jedem Jahr gleich wäre. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier finden Sie, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur auf die Schaltfläche zu drücken.
Kommen Sie nicht weiter, ist die Wiederholung dieser Themen der schnellste Weg.
| Prozentrechnung (Klasse 6 (11–12 Jahre)) |
|
| Potenzen (Klasse 6–9 (11–15 Jahre)) |
|
| Zinseszins (Klasse 9–10 (14–16 Jahre)) |
|
| \(n\)-te Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponenten (Klasse 10–11 (15–17 Jahre)) |
|
| Logarithmen (Klasse 10–11 (15–17 Jahre)) |
|
| Terme und Umformen von Gleichungen (Klasse 7–8 (12–14 Jahre)) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des CAGR
| Startwert V0 | 1000 |
| Endwert Vn | 1610,51 |
| Jahre n | 5 |
| CAGR r (%) | =((B2/B1)^(1/B3)-1)*100 |
Tabelle zur Berechnung des Endwerts
| Startwert V0 | 1000 |
| CAGR r (%) | 10 |
| Jahre n | 3 |
| Endwert Vn | =B1*(1+B2/100)^B3 |
Tabelle zur Berechnung des Startwerts
| Endwert Vn | 1331 |
| CAGR r (%) | 10 |
| Jahre n | 3 |
| Startwert V0 | =B1/(1+B2/100)^B3 |
Tabelle zur Berechnung der Jahre bis zu einem Ziel
| Startwert V0 | 1000 |
| Endwert Vn (Ziel) | 2000 |
| CAGR r (%) | 10 |
| Jahre n | =LN(B2/B1)/LN(1+B3/100) |
| Aufgerundete Jahre | =AUFRUNDEN(B4;0) |
Tabelle zur Berechnung der einfachen durchschnittlichen Wachstumsrate (zum Vergleich)
| Startwert V0 | 1000 |
| Endwert Vn | 1210 |
| Jahre n | 2 |
| Einfache durchschnittliche Wachstumsrate g (%) | =(B2/B1-1)/B3*100 |
Nach dem Einfügen sind B1 bis B3 Ihre Eingaben, und B4 wird automatisch berechnet.
Bei der ersten Tabelle steht zum Beispiel in B4 der Wert 10 (ein CAGR von 10 %), bei der zweiten in B4 der Wert 1331 (der Wert nach 3 Jahren), bei der dritten in B4 der Wert 1000 (der nötige Startwert), bei der vierten in B4 etwa 7,27 (Jahre) und in B5 der Wert 8 (aufgerundete Jahre) und bei der fünften in B4 der Wert 10,5 (die einfache durchschnittliche Wachstumsrate).
„^(1/B3)“ ist „hoch 1/n“, und „LN“ ist der natürliche Logarithmus (Logarithmus zur Basis \(e\)). Die Jahresformel liefert mit „LOG10“ oder „LOG“ dasselbe Ergebnis, solange Zähler und Nenner dieselbe Funktion verwenden.
Bei der ersten Tabelle steht zum Beispiel in B4 der Wert 10 (ein CAGR von 10 %), bei der zweiten in B4 der Wert 1331 (der Wert nach 3 Jahren), bei der dritten in B4 der Wert 1000 (der nötige Startwert), bei der vierten in B4 etwa 7,27 (Jahre) und in B5 der Wert 8 (aufgerundete Jahre) und bei der fünften in B4 der Wert 10,5 (die einfache durchschnittliche Wachstumsrate).
„^(1/B3)“ ist „hoch 1/n“, und „LN“ ist der natürliche Logarithmus (Logarithmus zur Basis \(e\)). Die Jahresformel liefert mit „LOG10“ oder „LOG“ dasselbe Ergebnis, solange Zähler und Nenner dieselbe Funktion verwenden.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des CAGR
| Startwert V0 | 1000 |
| Endwert Vn | 1610,51 |
| Jahre n | 5 |
| CAGR r (%) | =((B2/B1)^(1/B3)-1)*100 |
Tabelle zur Berechnung des Endwerts
| Startwert V0 | 1000 |
| CAGR r (%) | 10 |
| Jahre n | 3 |
| Endwert Vn | =B1*(1+B2/100)^B3 |
Tabelle zur Berechnung des Startwerts
| Endwert Vn | 1331 |
| CAGR r (%) | 10 |
| Jahre n | 3 |
| Startwert V0 | =B1/(1+B2/100)^B3 |
Tabelle zur Berechnung der Jahre bis zu einem Ziel
| Startwert V0 | 1000 |
| Endwert Vn (Ziel) | 2000 |
| CAGR r (%) | 10 |
| Jahre n | =LN(B2/B1)/LN(1+B3/100) |
| Aufgerundete Jahre | =AUFRUNDEN(B4;0) |
Tabelle zur Berechnung der einfachen durchschnittlichen Wachstumsrate (zum Vergleich)
| Startwert V0 | 1000 |
| Endwert Vn | 1210 |
| Jahre n | 2 |
| Einfache durchschnittliche Wachstumsrate g (%) | =(B2/B1-1)/B3*100 |
Dieselben Formeln wie in Excel (auch AUFRUNDEN) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie B1 bis B3 durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
import math
start_value = 1000 # Startwert (z. B. Umsatz vor 5 Jahren, in Tausend Euro)
end_value = 1610.51 # Endwert (z. B. Umsatz dieses Jahres)
years = 5 # Jahre
# CAGR = (Endwert / Startwert)^(1/Jahre) - 1
cagr = (end_value / start_value) ** (1 / years) - 1
print(f"CAGR: {cagr * 100:.2f} %")
# Zum Vergleich: einfache durchschnittliche Wachstumsrate = Gesamtwachstum / Jahre
simple_avg = (end_value / start_value - 1) / years
print(f"Einfache durchschnittliche Wachstumsrate: {simple_avg * 100:.2f} %")
# Rückwärts 1: der Wert nach n Jahren aus Startwert und CAGR
rate = 0.10 # CAGR (10 %)
future_value = start_value * (1 + rate) ** 3
print(f"Wert nach 3 Jahren: {future_value:.2f}")
# Rückwärts 2: die Jahre bis zu einem Ziel aus Startwert, Ziel und CAGR
target_value = 2000
years_needed = math.log(target_value / start_value) / math.log(1 + rate)
print(f"Jahre bis zur Verdopplung: {years_needed:.2f} (aufgerundet: {math.ceil(years_needed)})")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. In diesem Beispiel beträgt der CAGR 10,00 %, die einfache durchschnittliche Wachstumsrate 12,21 %, der Wert nach 3 Jahren 1331,00 und die Jahre bis zur Verdopplung etwa 7,27 (aufgerundet 8). „** (1 / years)“ ist „hoch 1/n“, und math.log ist der natürliche Logarithmus. Ändern Sie oben Startwert, Endwert und Jahre und führen Sie den Code aus. Python schreibt die Dezimalzahlen in der Ausgabe allerdings mit Punkt statt Komma.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Formel für die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (CAGR)
r = (Vₙ ÷ V₀)^(1/n) − 1
r = \left(\dfrac{V_n}{V_0}\right)^{1/n} - 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac><msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub><msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub></mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>n</mi></mrow>
</msup>
<mo>−</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
r = (V_n/V_0)^(1/n) - 1
(vn/v0)^(1/n) - 1
r := (V_n/V_0)^(1/n) - 1;
r = (V_n/V_0)^(1/n) - 1;
r = (V_n/V_0)^(1/n) - 1
Formel für den Endwert (den Wert nach n Jahren)
Vₙ = V₀ × (1 + r)ⁿ
V_n = V_0 (1 + r)^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
</mrow>
</math>
V_n = V_0 (1 + r)^n
v0 (1 + r)^n
V_n := V_0*(1 + r)^n;
V_n = V_0*(1 + r)^n;
V_n = V_0 (1 + r)^n
Formel für den Startwert (was Sie jetzt brauchen, um ein Ziel zu erreichen)
V₀ = Vₙ ÷ (1 + r)ⁿ
V_0 = \dfrac{V_n}{(1 + r)^{n}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V_0 = V_n/(1 + r)^n
vn/(1 + r)^n
V_0 := V_n/(1 + r)^n;
V_0 = V_n/(1 + r)^n;
V_0 = V_n/(1 + r)^n
Formel für die Jahre bis zu einem Ziel
n = log(Vₙ ÷ V₀) ÷ log(1 + r)
n = \dfrac{\log\left(V_n / V_0\right)}{\log(1 + r)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>log</mi><mo>(</mo><msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub><mo>/</mo><msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>log</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
n = log(V_n/V_0)/log(1 + r)
Log[vn/v0]/Log[1 + r]
n := log(V_n/V_0)/log(1 + r);
n = log(V_n/V_0)/log(1 + r);
n = log(V_n/V_0)/log(1 + r)
Zum Vergleich: die einfache durchschnittliche Wachstumsrate (wie sie sich vom CAGR unterscheidet)
g = (Vₙ ÷ V₀ − 1) ÷ n
g = \dfrac{V_n / V_0 - 1}{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>g</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub><mo>/</mo><msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
g = (V_n/V_0 - 1)/n
(vn/v0 - 1)/n
g := (V_n/V_0 - 1)/n;
g = (V_n/V_0 - 1)/n;
g = (V_n/V_0 - 1)/n
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für die Unternehmensplanung. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (keine Kopfrechnung und kein Raten). Der Jahresumsatz eines Unternehmens betrug vor fünf Jahren 1.000.000 € und in diesem Jahr 1.610.510 €. Ermitteln Sie Folgendes: 1. Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate, den CAGR ((Endwert ÷ Startwert)^(1/Jahre) − 1, als Prozentwert mit 2 Nachkommastellen) 2. Zum Vergleich die einfache durchschnittliche Wachstumsrate ((Endwert ÷ Startwert − 1) ÷ Jahre, als Prozentwert) und in 1 bis 2 Sätzen, warum sie sich vom CAGR unterscheidet 3. Den Umsatz 3 Jahre nach dem Start, wenn dieser CAGR anhält (Startwert × (1 + CAGR)^3) 4. Ausgehend vom Umsatz dieses Jahres die Jahre, bis sich der Umsatz bei demselben CAGR verdoppelt (log(2) ÷ log(1 + CAGR), als Dezimalzahl und aufgerundet) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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