Geben Sie den Radius oben, den Radius unten und die Höhe eines Kegelstumpfs ein (ein Körper wie ein Eimer, mit zwei parallelen Kreisen oben und unten und einer Seite, die sich verjüngt). Angezeigt werden der Oberflächeninhalt, die Mantellinie und die Aufteilung der Flächeninhalte.
Geben Sie die drei Längen in derselben Einheit ein, nur als Zahlen (bei 15 cm geben Sie „15“ ein). Der größere Radius darf oben oder unten stehen. Bei einem Radius von 0 ergibt sich ein Kegel, bei zwei gleichen Werten ein Zylinder.
Ergebnis und Figur
Geben Sie in den Feldern links die Radien oben und unten sowie die Höhe ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie den Radius oben, den Radius unten und die Höhe ein, und Sie sehen sofort den Oberflächeninhalt eines Kegelstumpfs (eine Form wie ein Eimer oder ein Puddingbecher)
- Die Aufteilung (Kreis oben, Kreis unten und Mantelfläche) und die Mantellinie (die Länge der schrägen Seite) werden gleich mit angezeigt
- Den berechneten Kegelstumpf sehen Sie auch als 3D-Figur, die Sie mit der Maus ziehen und drehen können
- Geben Sie bei einem der Radien 0 ein, erhalten Sie die Oberfläche eines Kegels, und mit demselben Radius oben und unten die eines Zylinders
- Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Geben Sie die drei Längen in derselben Einheit ein (zum Beispiel alle in cm). Die einzugebende „Höhe“ ist der senkrechte Abstand zwischen dem Kreis oben und dem Kreis unten, nicht die Länge der schrägen Seite (die Mantellinie). Die Mantellinie bestimmt und zeigt der Rechner für Sie an.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Farbmenge für einen Eimer oder Blumentopf abschätzen (Zuhause und Heimwerken)
Auf der Farbdose steht die Ergiebigkeit (zum Beispiel „ca. 10 m² pro Liter“): Kennen Sie die zu streichende Fläche, wissen Sie die nötige Menge. Bei einem Eimer mit 15 cm Radius am Rand, 10 cm Radius am Boden und 25 cm Tiefe beträgt der Oberflächeninhalt etwa 3.023 cm² (etwa 0,3 m²).
Streichen Sie nur die Außenseite eines offenen Gefäßes, addieren Sie aus der Aufteilung die „Mantelfläche, etwa 2.002 cm²“ und den „Kreis unten (den Boden), etwa 314 cm²“: zusammen etwa 0,23 m². Aus der Aufteilung nur die Flächen addieren, die man braucht, ist die häufigste praktische Anwendung des Oberflächeninhalts.
Die Pappe für einen Becher berechnen (Herstellung von Lebensmittelverpackungen)
Ein Pappbecher ist ein Kegelstumpf, der oben breiter ist, und hat keinen Deckel (keinen Kreis oben). Bei einem Becher mit 3,6 cm Radius oben, 2,3 cm Radius unten und 8 cm Höhe beträgt die Mantelfläche etwa 150 cm² und der Kreis am Boden etwa 17 cm²: Man braucht mindestens etwa 167 cm² Pappe.
In der echten Fertigung braucht man wegen der Klebeflächen und des Verschnitts etwas mehr, aber diese Rechnung der „Materialfläche pro Stück“ ist der Ausgangspunkt für die Schätzung der Materialkosten.
Den Stoff oder das Papier für einen Lampenschirm abschätzen (Einrichten und Basteln)
Der Kegelstumpf ist die klassische Form des Lampenschirms. Bei einem Schirm mit 10 cm Radius oben, 20 cm Radius unten und 25 cm Höhe ist die Mantellinie etwa 27 cm lang, und der Stoff, mit dem man ihn neu bespannt (die Mantelfläche), umfasst etwa 2.538 cm² (etwa 0,25 m²).
Stoff und Papier werden in Bahnen oder Bögen mit fester Breite verkauft: Denken Sie auch an die Form des Netzes (ein gebogenes Band) und rechnen Sie etwas Zugabe ein.
Die Fläche zum Lackieren oder Dämmen eines Trichters bestimmen (Industrie)
In einer Fabrik ist der untere Teil eines Trichters, der Pulver oder Getreide lagert, ein umgedrehter Kegelstumpf. Bei einem Teil mit 1 m Radius oben, 0,2 m unten und 1,2 m Höhe ist die Mantellinie etwa 1,44 m lang und die Mantelfläche etwa 5,4 m² groß.
Die Menge an Rostschutzfarbe oder an Dämmstoff, der zum Warmhalten darumgewickelt wird, schätzt man anhand dieser Mantelfläche. Behälter, Silos, Rohre: Diese Rechnung ist unverzichtbar, um die Oberflächenbehandlung von Anlagen zu kalkulieren.
Die Fläche abschätzen, die bei einer Torte mit Sahne bestrichen wird (Backen)
Eine runde Torte ist ein Kegelstumpf mit gleichem Radius oben und unten (ein Zylinder): Sie geben einfach zweimal denselben Radius ein. Bei einer Torte aus einer Springform mit 26 cm Durchmesser (Radius 13 cm) und 8 cm Höhe kommen Oberseite und Rand zusammen auf etwa 1.184 cm² (die Unterseite liegt auf dem Teller und wird nicht bestrichen).
Wollen Sie zum Beispiel die nötige Sahne für eine Springform mit 26 cm und eine mit 28 cm vergleichen, vermeidet die Rechnung mit dem Oberflächeninhalt Überraschungen: Bei gleicher Höhe hat die Torte mit 28 cm etwa 1.319 cm², also rund das 1,1-Fache.
Formeln und Abbildungen
Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs (Summe dreier Flächen)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S\)
\(=\)
\(S_{1}\)
\(+\)
\(S_{2}\)
\(+\)
\(S_{3}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(S\): Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs
\(=\)
①
\(S_1\): Flächeninhalt des Kreises oben
\(+\)
②
\(S_2\): Flächeninhalt des Kreises unten
\(+\)
③
\(S_3\): Mantelfläche
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
\(S_1\): Flächeninhalt des Kreises oben
②
addieren Sie den
\(S_2\): Flächeninhalt des Kreises unten
③
und die
\(S_3\): Mantelfläche (Flächeninhalt der Seite, die sich verjüngt)
④
und Sie erhalten den
\(S\): Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs
Einfaches Beispiel
Prüfen wir es an einem Kegelstumpf mit 1 cm Radius oben, 4 cm Radius unten und 4 cm Höhe. Die Kreisflächen ergeben sich als „Radius × Radius × π“, also \(S_1 = \pi\) und \(S_2 = 16\pi\). Die Mantelfläche nach Formel 2 ist \(S_3 = 25\pi\), also
\(S\): Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs
\(=\)
Kreis oben (\(\pi\) cm²)
\(+\)
Kreis unten (\(16\pi\) cm²)
\(+\)
Mantelfläche (\(25\pi\) cm²)
\(S = \pi + 16\pi + 25\pi = 42\pi \approx 131{,}95\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Der Oberflächeninhalt ist der Flächeninhalt der gesamten Oberfläche eines Körpers. Die Oberfläche eines Kegelstumpfs besteht aus drei Teilen: dem Kreis oben, dem Kreis unten und der Seite, die sich verjüngt (der Mantel). Addiert man diese drei Flächeninhalte, erhält man den Oberflächeninhalt.
Die beiden Kreise berechnen Sie mit dem bekannten Kreisinhalt: \(S_1 = \pi r^2\) und \(S_2 = \pi R^2\). Der entscheidende Punkt beim Kegelstumpf ist die Mantelfläche \(S_3\), die Formel 2 erklärt. Denken Sie an das Netz (die aufgeschnittene und flach gelegte Oberfläche): Es besteht aus zwei Kreisen und einem gebogenen Band für die Seite. In deutschen Schulbüchern heißt der Oberflächeninhalt meist \(O\) und die Mantelfläche \(M\).
Mantellinie und Mantelfläche
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(l\)
\(=\)
\(\sqrt{(R - r)^{2} + h^{2}}\)
\(S_{3}\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\((\)
\(r\)
\(+\)
\(R\)
\()\)
\(\times\)
\(l\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(l\): Mantellinie
\(=\)
①
Quadratwurzel aus (Unterschied der Radien)² + (Höhe)²
⑥
\(S_3\): Mantelfläche
\(=\)
⑤
\(\pi\): Pi
\(\times\)
\((\)
③
\(r\): Radius oben
\(+\)
④
\(R\): Radius unten
\()\)
\(\times\)
\(l\): Mantellinie
Die Formel in Worten
①
Berechnen Sie die
Quadratwurzel aus \((R - r)^2 + h^2\)
(den Unterschied der Radien \(R - r\) und die Höhe \(h\) quadrieren, addieren und aus der Summe die Wurzel ziehen)
②
und Sie erhalten die
\(l\): Mantellinie (Länge der schrägen Seite)
③
Addieren Sie den
\(r\): Radius oben
④
und den
\(R\): Radius unten
⑤
multiplizieren Sie mit
\(\pi\): Pi (etwa 3,14)
und mit der Mantellinie \(l\)
⑥
und Sie erhalten die
\(S_3\): Mantelfläche
Einfaches Beispiel
Mit demselben Kegelstumpf wie in Formel 1 (Radius oben 1 cm, Radius unten 4 cm, Höhe 4 cm)
\(l\): Mantellinie
\(=\)
Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate (9 + 16 = 25)
\(S_3\): Mantelfläche
\(=\)
\(\pi\): Pi
\(\times\)
\((\)
Radius oben (1 cm)
\(+\)
Radius unten (4 cm)
\()\)
\(\times\)
Mantellinie (5 cm)
\(l = \sqrt{(4 - 1)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
\(S_3 = \pi \times (1 + 4) \times 5 = 25\pi \approx 78{,}54\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Die Mantellinie \(l\) berechnet sich mit dem Satz des Pythagoras. Schneiden Sie den Kegelstumpf senkrecht mittendurch und betrachten Sie den Schnitt: Die schräge Seite ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen waagerechte Kathete der Unterschied der Radien \(R - r\) und dessen senkrechte Kathete die Höhe \(h\) ist. Ein häufiger Fehler ist, diese schräge Länge in das Feld „Höhe \(h\)“ einzugeben. Die Höhe wird senkrecht gemessen und ist bei zwei verschiedenen Radien immer kürzer als die Mantellinie (nur beim Zylinder, wo die Radien gleich sind, ist \(l = h\)).
Warum ist die Mantelfläche „\(\pi \times (r + R) \times l\)“? Aufgeschnitten bildet die Seite ein Band. Sein Flächeninhalt ist der Mittelwert aus dem Umfang oben \(2\pi r\) und dem Umfang unten \(2\pi R\), also \(\pi(r + R)\), mal die Breite des Bandes (die Mantellinie \(l\)). Das ist derselbe Gedanke wie beim Flächeninhalt eines Trapezes, „(Summe der parallelen Seiten) × Höhe ÷ 2“.
Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs in einer einzigen Formel
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\((\)
\(r\)
\(2\)
\(+\)
\(R\)
\(2\)
\()\)
\(+\)
\(\pi\)
\(\times\)
\((\)
\(r\)
\(+\)
\(R\)
\()\)
\(\times\)
\(l\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑥
\(S\): Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs
\(=\)
④
\(\pi\): Pi
\(\times\)
\((\)
①
\(r\): Radius oben
③
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
\(+\)
②
\(R\): Radius unten
zum Quadrat
\()\)
\(+\)
\(\pi\): Pi
\(\times\)
\((\)
\(r\): Radius oben
\(+\)
\(R\): Radius unten
\()\)
\(\times\)
⑤
\(l\): Mantellinie (aus Formel 2)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
\(r\): Radius oben
②
und den
\(R\): Radius unten
③
addieren Sie ihre
Quadrate (jede Zahl mit sich selbst multipliziert)
④
und multiplizieren Sie mit
\(\pi\): Pi (etwa 3,14)
um den Flächeninhalt der beiden Kreise zu erhalten
⑤
Multiplizieren Sie die
\(l\): Mantellinie
mit der Summe der Radien \(r + R\) und mit \(\pi\), um die Mantelfläche zu erhalten. Addieren Sie beide
⑥
und Sie erhalten den
\(S\): Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs
Einfaches Beispiel
Mit demselben Kegelstumpf wie in den Formeln 1 und 2 (Radius oben 1 cm, Radius unten 4 cm, Höhe 4 cm, Mantellinie 5 cm) liefert die zusammengefasste Formel
\(S\): Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs
\(=\)
\(\pi\): Pi
\(\times\)
\((\)
Radius oben (1 cm)
zum Quadrat
\(+\)
Radius unten (4 cm)
zum Quadrat
\()\)
\(+\)
\(\pi\): Pi
\(\times\)
\((\)
Radius oben (1 cm)
\(+\)
Radius unten (4 cm)
\()\)
\(\times\)
Mantellinie (5 cm)
\(\pi \times (1^2 + 4^2) = 17\pi\)
\(\pi \times (1 + 4) \times 5 = 25\pi\)
\(S = 17\pi + 25\pi = 42\pi \approx 131{,}95\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Diese Formel enthält auch den Kegel und den Zylinder. Mit \(r = 0\) wird sie zum Oberflächeninhalt eines Kegels, \(S = \pi R^2 + \pi R l\). Mit \(r = R\) wird die Mantellinie zu \(l = h\), und man erhält den Oberflächeninhalt eines Zylinders, \(S = 2\pi r^2 + 2\pi r h\). Vertauschen Sie den Radius oben und unten, ändert sich das Ergebnis nicht (die Formel behält ihre Form, wenn man \(r\) und \(R\) vertauscht).
Der Oberflächeninhalt steht in einer Längeneinheit zum Quadrat, etwa in cm² oder m². Er ist eine ganz andere Größe als das Volumen desselben Kegelstumpfs (in cm³): Am besten unterscheiden Sie die beiden an der Einheit.
Der Oberflächeninhalt eines Kegelstumpfs ist „Flächeninhalt des Kreises oben + Flächeninhalt des Kreises unten + Mantelfläche“. Für die Mantelfläche bestimmen Sie zuerst mit dem Satz des Pythagoras die Mantellinie (die Länge der schrägen Seite) und rechnen dann „π × (Radius oben + Radius unten) × Mantellinie“.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(r\) | kleines r | Der Radius des Kreises oben (der Deckfläche), dessen Anfangsbuchstabe er ist. Auf dieser Seite ist es immer der Radius oben, egal ob der Kreis oben der kleinere ist oder nicht. |
| \(R\) | großes R | Der Radius des Kreises unten (der Grundfläche). Er wird großgeschrieben, damit man ihn vom Radius oben \(r\) unterscheiden kann. |
| \(h\) | h | Die Höhe des Kegelstumpfs (h wie „Höhe“). Sie ist der senkrechte Abstand zwischen dem Kreis oben und dem Kreis unten und nicht mit der Länge der schrägen Seite zu verwechseln (der Mantellinie \(l\)). |
| \(l\) | l | Die Mantellinie (die Länge der schrägen Seite). Deutsche Schulbücher schreiben dafür meist \(s\). Auf dieser Seite wird sie automatisch berechnet: \(l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}\). |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl, das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises. Ihre Nachkommastellen hören nie auf: \(3{,}14159265\ldots\). In der Grundschule und Unterstufe rechnet man mit 3,14. |
| \(r^2\) | r Quadrat | Die Zahl \(r\) mit sich selbst multipliziert (\(r \times r\)). Die kleine 2 oben rechts ist ein Exponent und bedeutet „zweimal als Faktor“. |
| \(\sqrt{\phantom{9}}\) | Wurzel (Quadratwurzel) | Das Zeichen für die Quadratwurzel. Sie steht für die Zahl ab 0, die quadriert die Zahl unter dem Wurzelzeichen ergibt. Zum Beispiel ist \(\sqrt{25} = 5\) (weil \(5^2 = 25\)). |
| \(S\) | großes S | Ein häufiger Buchstabe für einen Flächeninhalt. Auf dieser Seite steht er für den Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs (deutsche Schulbücher schreiben dafür meist \(O\)). |
| \(S_1,\ S_2,\ S_3\) | S eins, S zwei, S drei | Die Symbole für die Teile des Oberflächeninhalts. Die kleine Zahl unten rechts (der Index) dient nur der Unterscheidung. Auf dieser Seite ist \(S_1\) der Flächeninhalt des Kreises oben, \(S_2\) der des Kreises unten und \(S_3\) die Mantelfläche. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | Quadratzentimeter | Eine Einheit für den Flächeninhalt. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat einen Flächeninhalt von 1 cm². Verwechseln Sie sie nicht mit cm³ (Kubikzentimeter), der Einheit für das Volumen. |
Begriffe
| Kegelstumpf | Der Körper, der entsteht, wenn man einen Kegel parallel zur Grundfläche durchschneidet und den Teil mit der Spitze entfernt. Oben und unten sind zwei parallele Kreise unterschiedlicher Größe, und die Seite verjüngt sich. Eimer, Blumentöpfe, Becher und Puddingförmchen: Es ist eine sehr häufige Form. |
| Kegel | Ein Körper mit einem Kreis als Grundfläche, der in einem einzigen Punkt, der Spitze, endet, wie eine Eiswaffel. Der Kegelstumpf entsteht aus einem Kegel. |
| Oberflächeninhalt | Der Flächeninhalt der gesamten Oberfläche eines Körpers (man sagt auch kurz die Oberfläche). Man braucht ihn, um zu wissen, wie viel man zum Bedecken einer Fläche braucht, etwa Farbe oder Geschenkpapier. Er ist eine andere Größe als das Volumen, das misst, was hineinpasst. |
| Mantelfläche | Der Flächeninhalt nur der Seitenfläche eines Körpers (des Mantels). Beim Kegelstumpf ist es der Flächeninhalt der Seite, die sich verjüngt, ohne den Kreis oben und unten. |
| Mantellinie | Die schräge Strecke entlang der Seite eines Kegels oder Kegelstumpfs, oder ihre Länge. Beim Kegelstumpf verbindet sie auf dem kürzesten Weg entlang der Seite den Rand des Kreises oben mit dem Rand des Kreises unten, und der Satz des Pythagoras liefert \(l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}\). |
| Netz | Die ebene Figur, die entsteht, wenn man die Oberfläche eines Körpers aufschneidet und flach hinlegt. Das Netz eines Kegelstumpfs besteht aus zwei Kreisen und einem gebogenen Band für die Seite (ein großer Kreissektor, aus dem ein kleinerer ausgeschnitten ist). Der Oberflächeninhalt ist gleich dem Flächeninhalt des Netzes. |
| Satz des Pythagoras | Der Satz, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten ist. Auf dieser Seite liefert er die Mantellinie \(l\) als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit der waagerechten Kathete \(R - r\) und der senkrechten Kathete \(h\). |
Was Sie vorab wissen sollten
Das hilft Ihnen, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen, statt nur die Schaltfläche zu drücken.
| Flächeninhalt und Umfang des Kreises und die Kreiszahl π – Klasse 7 (12–13 Jahre) |
|
| Flächeneinheiten – Klasse 4–6 (9–12 Jahre) |
|
| Körper und ihre Netze – Klasse 5–6 und 9–10 (10–12 und 14–16 Jahre) |
|
| Potenzen – Klasse 7 (12–13 Jahre) |
|
| Quadratwurzeln – Klasse 8–9 (13–15 Jahre) |
|
| Der Satz des Pythagoras – Klasse 8–9 (13–15 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des Oberflächeninhalts als Summe dreier Flächen
| Flächeninhalt des Kreises oben (cm²) | 3,14 |
| Flächeninhalt des Kreises unten (cm²) | 50,27 |
| Mantelfläche (cm²) | 78,54 |
| Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs (cm²) | =B1+B2+B3 |
Tabelle zur Berechnung der Mantellinie und der Mantelfläche
| Radius oben r (cm) | 1 |
| Radius unten R (cm) | 4 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Mantellinie l (cm) | =WURZEL((B2-B1)^2+B3^2) |
| Mantelfläche (cm²) | =PI()*(B1+B2)*B4 |
Tabelle zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegelstumpfs (zusammengefasste Formel)
| Radius oben r (cm) | 15 |
| Radius unten R (cm) | 10 |
| Höhe h (cm) | 25 |
| Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs (cm²) | =PI()*(B1^2+B2^2)+PI()*(B1+B2)*WURZEL((B2-B1)^2+B3^2) |
Nach dem Einfügen enthält Spalte A die Bezeichnungen und Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, und die Formeln in den folgenden Zeilen rechnen daraus automatisch.
In einer Formel bedeuten „B1“ und „B2“ „die Zahl aus dieser Zelle verwenden“. „*“ ist die Multiplikation, „^2“ das Quadrat, und „WURZEL()“ und „PI()“ sind die Excel-Funktionen für die Quadratwurzel und die Kreiszahl π (3,14159…).
In der ersten Tabelle zeigt B4 zum Beispiel 131,95 (derselbe Kegelstumpf wie in den Formelbeispielen). Die zweite Tabelle zeigt in B4 die Mantellinie 5 und in B5 die Mantelfläche, etwa 78,54. Die dritte Tabelle greift einen Eimer mit 15 cm Radius am Rand, 10 cm Radius am Boden und 25 cm Tiefe auf, und B4 zeigt etwa 3.023,4 (cm²). Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen Längen.
In einer Formel bedeuten „B1“ und „B2“ „die Zahl aus dieser Zelle verwenden“. „*“ ist die Multiplikation, „^2“ das Quadrat, und „WURZEL()“ und „PI()“ sind die Excel-Funktionen für die Quadratwurzel und die Kreiszahl π (3,14159…).
In der ersten Tabelle zeigt B4 zum Beispiel 131,95 (derselbe Kegelstumpf wie in den Formelbeispielen). Die zweite Tabelle zeigt in B4 die Mantellinie 5 und in B5 die Mantelfläche, etwa 78,54. Die dritte Tabelle greift einen Eimer mit 15 cm Radius am Rand, 10 cm Radius am Boden und 25 cm Tiefe auf, und B4 zeigt etwa 3.023,4 (cm²). Ersetzen Sie einfach die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen Längen.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des Oberflächeninhalts als Summe dreier Flächen
| Flächeninhalt des Kreises oben (cm²) | 3,14 |
| Flächeninhalt des Kreises unten (cm²) | 50,27 |
| Mantelfläche (cm²) | 78,54 |
| Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs (cm²) | =B1+B2+B3 |
Tabelle zur Berechnung der Mantellinie und der Mantelfläche
| Radius oben r (cm) | 1 |
| Radius unten R (cm) | 4 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Mantellinie l (cm) | =WURZEL((B2-B1)^2+B3^2) |
| Mantelfläche (cm²) | =PI()*(B1+B2)*B4 |
Tabelle zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegelstumpfs (zusammengefasste Formel)
| Radius oben r (cm) | 15 |
| Radius unten R (cm) | 10 |
| Höhe h (cm) | 25 |
| Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs (cm²) | =PI()*(B1^2+B2^2)+PI()*(B1+B2)*WURZEL((B2-B1)^2+B3^2) |
Dieselben Formeln wie in Excel (einschließlich der Funktionen WURZEL() und PI()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die eingegebenen Zahlen durch Ihre eigenen Längen.
Mit Python berechnen
import math
radius_top = 15 # Radius des Kreises oben
radius_bottom = 10 # Radius des Kreises unten (der Grundfläche)
height = 25 # Höhe (in derselben Einheit wie die Radien)
slant = math.sqrt((radius_bottom - radius_top)**2 + height**2) # Mantellinie (Länge der schrägen Seite)
top_area = math.pi * radius_top**2 # Flächeninhalt des Kreises oben
bottom_area = math.pi * radius_bottom**2 # Flächeninhalt des Kreises unten
lateral_area = math.pi * (radius_top + radius_bottom) * slant # Mantelfläche
total_area = top_area + bottom_area + lateral_area # Oberflächeninhalt
print(f"Mantellinie: {slant} cm")
print(f"Kreis oben: {top_area} cm2")
print(f"Kreis unten: {bottom_area} cm2")
print(f"Mantelfläche: {lateral_area} cm2")
print(f"Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs: {total_area} cm2")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.sqrt()“ ist die Quadratwurzel, „math.pi“ die Kreiszahl π, „**2“ das Quadrat und „*“ die Multiplikation. Ändern Sie die drei Werte am Anfang und führen Sie den Code aus (das Beispiel rechnet in cm; bei Eingabe in m sind die Ergebnisse in m²).
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs (Summe dreier Flächen)
S = S₁ + S₂ + S₃
S = S_{1} + S_{2} + S_{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>3</mn></msub>
</mrow>
</math>
S = S_1 + S_2 + S_3
s1 + s2 + s3
S := S1 + S2 + S3;
S = S1 + S2 + S3;
S = S_1 + S_2 + S_3
Mantellinie und Mantelfläche
S₃ = π(r + R)√((R − r)² + h²)
S_{3} = \pi (r + R) \sqrt{(R - r)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>3</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>(</mo>
<mi>r</mi>
<mo>+</mo>
<mi>R</mi>
<mo>)</mo>
<msqrt>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>R</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</msqrt>
</mrow>
</math>
S_3 = pi (r + R) sqrt((R - r)^2 + h^2)
Pi*(r + R)*Sqrt[(R - r)^2 + h^2]
S3 := Pi*(r + R)*sqrt((R - r)^2 + h^2);
S3 = pi*(r + R)*sqrt((R - r)^2 + h^2);
S_3 = π(r + R)√((R − r)^2 + h^2)
Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs in einer einzigen Formel
S = π(r² + R²) + π(r + R)√((R − r)² + h²)
S = \pi \left( r^{2} + R^{2} \right) + \pi (r + R) \sqrt{(R - r)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>(</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>π</mi>
<mo>(</mo>
<mi>r</mi>
<mo>+</mo>
<mi>R</mi>
<mo>)</mo>
<msqrt>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>R</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</msqrt>
</mrow>
</math>
S = pi (r^2 + R^2) + pi (r + R) sqrt((R - r)^2 + h^2)
Pi*(r^2 + R^2) + Pi*(r + R)*Sqrt[(R - r)^2 + h^2]
S := Pi*(r^2 + R^2) + Pi*(r + R)*sqrt((R - r)^2 + h^2);
S = pi*(r^2 + R^2) + pi*(r + R)*sqrt((R - r)^2 + h^2);
S = π(r^2 + R^2) + π(r + R)√((R − r)^2 + h^2)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für mathematische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht im Kopf oder nach Gefühl). Ein Kegelstumpf (in Form eines Eimers) hat oben einen Radius von 15 cm, unten einen Radius von 10 cm und eine Höhe von 25 cm. Berechnen Sie: 1. die Mantellinie (die Länge der schrägen Seite), l = √((R − r)² + h²) 2. den Oberflächeninhalt dieses Kegelstumpfs in cm² (mit der Formel S = π(r² + R²) + π(r + R)l) 3. die Aufteilung des Oberflächeninhalts (Kreis oben, Kreis unten und Mantelfläche) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
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2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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