Geben Sie Radius oben, Radius unten und Höhe des Kegelstumpfs ein (ein Körper wie ein Eimer – oben und unten parallele Kreise, dazwischen eine schräge Seite). Angezeigt werden die Oberfläche, die Mantellinie (die schräge Länge der Seite) und die einzelnen Flächen.
Geben Sie alle drei Längen in derselben Einheit und nur als Zahl ein (für 15 cm also „15“). Welcher Radius größer ist, spielt keine Rolle. Ist ein Radius 0, erhalten Sie die Oberfläche eines Kegels, bei zwei gleichen Radien die eines Zylinders.
Ergebnis und Figur
Geben Sie links die Radien oben und unten und die Höhe ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Radius oben, Radius unten und Höhe eingeben – und Sie kennen sofort die Oberfläche des Kegelstumpfs (die Form eines Eimers oder Joghurtbechers)
- Angezeigt werden auch die Anteile der Oberfläche (Kreis oben, Kreis unten, Mantelfläche) und die Mantellinie (die schräge Länge der Seite)
- Den berechneten Kegelstumpf sehen Sie auch als 3D-Figur, die Sie mit der Maus drehen können
- Geben Sie für einen Radius 0 ein, erhalten Sie die Oberfläche eines Kegels; zweimal derselbe Radius ergibt einen Zylinder
- Dazu: verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Geben Sie alle drei Längen in derselben Einheit ein (z. B. alle in cm). Die Höhe ist der senkrechte Abstand zwischen dem Kreis oben und dem Kreis unten, nicht die schräge Länge der Seite (die Mantellinie). Die Mantellinie berechnet und zeigt der Rechner selbst.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Farbe für Eimer oder Blumentopf abschätzen (Haushalt und Heimwerken)
Auf jeder Farbdose steht die Ergiebigkeit (wie viele m² ein Liter schafft). Kennen Sie die Fläche, rechnen Sie die nötige Menge zurück. Ein Eimer mit 15 cm Radius am oberen Rand, 10 cm Radius am Boden und 25 cm Tiefe hat eine Oberfläche von rund 3.023 cm² (rund 0,3 m²).
Streichen Sie nur die Außenseite eines Behälters ohne Deckel, addieren Sie aus den Anteilen die Mantelfläche (rund 2.002 cm²) und den Kreis unten (Boden, rund 314 cm²): rund 0,23 m². Nur die Flächen zu addieren, die man wirklich braucht – das ist der Kern jeder praktischen Oberflächenrechnung.
Papierbedarf für einen Pappbecher berechnen (Verpackungsherstellung)
Ein Pappbecher ist ein Kegelstumpf, der oben weiter ist, und hat oben keinen Deckel. Mit 3,6 cm Radius oben, 2,3 cm Radius unten und 8 cm Höhe ist die Mantelfläche rund 150 cm² und der Boden rund 17 cm² – zusammen mindestens rund 167 cm² Papier.
In der Produktion kommen Klebenähte und Stanzverschnitt dazu, also etwas mehr. Aber diese Rechnung „Materialfläche pro Stück“ ist der Ausgangspunkt jeder Materialkalkulation.
Stoff für einen Lampenschirm abschätzen (Wohnen und Handarbeit)
Der Kegelstumpf ist die klassische Lampenschirmform. Bei 10 cm Radius oben, 20 cm Radius unten und 25 cm Höhe ist die Mantellinie rund 27 cm und der Stoff für den Bezug (die Mantelfläche) rund 2.538 cm² (rund 0,25 m²).
Stoff und Papier gibt es in festen Breiten. Denken Sie deshalb neben der Fläche auch an die Form im Netz (ein gebogener Streifen) und kaufen Sie mit etwas Reserve.
Fläche für Anstrich und Dämmung eines Trichters (Industrie)
Der untere Teil eines Schüttgutbehälters (Trichter, Bunker) für Pulver oder Getreide ist ein umgedrehter Kegelstumpf. Mit 1 m Radius oben, 0,2 m Radius unten und 1,2 m Höhe ist die Mantellinie rund 1,44 m und die Mantelfläche rund 5,4 m².
Wie viel Rostschutzfarbe oder Dämmmaterial nötig ist, schätzt man aus dieser Mantelfläche. Bei Behältern, Silos und Lüftungskanälen ist diese Rechnung für die Kosten der Oberflächenbehandlung unverzichtbar.
Wie viel Creme braucht die Torte? (Backen)
Eine runde Torte ist ein Kegelstumpf mit gleichen Radien oben und unten (also ein Zylinder) – geben Sie einfach zweimal denselben Radius ein. Ein Boden aus der 26er-Springform (13 cm Radius) mit 8 cm Höhe hat oben und an der Seite zusammen rund 1.184 cm² zum Einstreichen (unten liegt er auf der Platte).
Auch der Vergleich zwischen Formen gelingt so: Eine 20er-Torte gleicher Höhe hat nur rund 70 % dieser Fläche, braucht also auch nur rund 70 % der Creme.
Formeln und Abbildungen
Oberfläche des Kegelstumpfs (Summe der drei Flächen)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S\)
\(=\)
\(S_{1}\)
\(+\)
\(S_{2}\)
\(+\)
\(S_{3}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(S\): Oberfläche des Kegelstumpfs
\(=\)
①
\(S_1\): Fläche des Kreises oben
\(+\)
②
\(S_2\): Fläche des Kreises unten
\(+\)
③
\(S_3\): Mantelfläche
Die Formel in Worten
①
Addiert man die
\(S_1\): Fläche des Kreises oben
,
②
die
\(S_2\): Fläche des Kreises unten
③
und die
\(S_3\): Mantelfläche (die Fläche der schrägen Seite)
, erhält man die
④
\(S\): Oberfläche des Kegelstumpfs
Einfaches Beispiel
Wir prüfen das an einem Kegelstumpf mit 1 cm Radius oben, 4 cm Radius unten und 4 cm Höhe. Die Kreise oben und unten haben nach „Radius × Radius × π“ die Flächen \(S_1 = \pi\) und \(S_2 = 16\pi\), die Mantelfläche ist nach Formel 2 \(S_3 = 25\pi\). Also
\(S\): Oberfläche des Kegelstumpfs
\(=\)
Kreis oben (\(\pi\) cm²)
\(+\)
Kreis unten (\(16\pi\) cm²)
\(+\)
Mantelfläche (\(25\pi\) cm²)
\(S = \pi + 16\pi + 25\pi = 42\pi \approx 131{,}95\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Die Oberfläche ist der Flächeninhalt der gesamten Außenseite eines Körpers. Ein Kegelstumpf besteht aus drei Flächen – Kreis oben (Deckfläche), Kreis unten (Grundfläche) und schräge Seite (Mantel) –, also addiert man diese drei.
Die beiden Kreise berechnen Sie mit der bekannten Kreisformel: \(S_1 = \pi r^2\) und \(S_2 = \pi R^2\). Der Knackpunkt ist die Mantelfläche \(S_3\), die Formel 2 erklärt. Im Netz (der aufgeschnittenen Oberfläche) sieht man zwei Kreise und einen gebogenen Streifen als Mantel.
Mantellinie und Mantelfläche
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(l\)
\(=\)
\(\sqrt{(R - r)^{2} + h^{2}}\)
\(S_{3}\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\((\)
\(r\)
\(+\)
\(R\)
\()\)
\(\times\)
\(l\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(l\): Mantellinie
\(=\)
①
Wurzel aus „Differenz der Radien hoch 2“ + „Höhe hoch 2“
⑥
\(S_3\): Mantelfläche
\(=\)
⑤
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
\((\)
③
\(r\): Radius oben
\(+\)
④
\(R\): Radius unten
\()\)
\(\times\)
\(l\): Mantellinie
Die Formel in Worten
①
Berechnet man die
Wurzel aus der Quadratsumme \((R - r)^2 + h^2\)
(Differenz der Radien \(R - r\) und Höhe \(h\) jeweils quadrieren, addieren und die Wurzel ziehen), erhält man die
②
\(l\): Mantellinie (schräge Länge der Seite)
.
③
Addiert man den
\(r\): Radius oben
④
und den
\(R\): Radius unten
und multipliziert mit der
⑤
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
und der Mantellinie \(l\), erhält man die
⑥
\(S_3\): Mantelfläche
Einfaches Beispiel
Wir rechnen mit demselben Kegelstumpf wie in Formel 1 (1 cm Radius oben, 4 cm unten, 4 cm hoch)
\(l\): Mantellinie
\(=\)
Wurzel aus der Quadratsumme (9 + 16 = 25)
\(S_3\): Mantelfläche
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
\((\)
Radius oben (1 cm)
\(+\)
Radius unten (4 cm)
\()\)
\(\times\)
Mantellinie (5 cm)
\(l = \sqrt{(4 - 1)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
\(S_3 = \pi \times (1 + 4) \times 5 = 25\pi \approx 78{,}54\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Die Mantellinie \(l\) erhält man mit dem Satz des Pythagoras: Schneidet man den Kegelstumpf senkrecht durch die Mitte, ist die schräge Seite die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Differenz der Radien \(R - r\) waagerecht und der Höhe \(h\) senkrecht. Ein häufiger Fehler ist, diese schräge Länge als Höhe \(h\) einzugeben – die Höhe ist der senkrechte Abstand und bei verschiedenen Radien immer kürzer als die Mantellinie (nur beim Zylinder mit gleichen Radien ist \(l = h\)).
Warum ist die Mantelfläche \(\pi \times (r + R) \times l\)? Der aufgeschnittene Mantel ist ein gebogener Streifen; seine Fläche ist der Mittelwert aus oberem Umfang \(2\pi r\) und unterem Umfang \(2\pi R\), also \(\pi(r + R)\), mal der Breite des Streifens (Mantellinie \(l\)). Das ist derselbe Gedanke wie bei der Trapezfläche „(a + c) × h : 2“. Im Schulbuch steht \(M = \pi \cdot s \cdot (r_1 + r_2)\).
Oberfläche des Kegelstumpfs in einer Formel
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\((\)
\(r\)
\(2\)
\(+\)
\(R\)
\(2\)
\()\)
\(+\)
\(\pi\)
\(\times\)
\((\)
\(r\)
\(+\)
\(R\)
\()\)
\(\times\)
\(l\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑥
\(S\): Oberfläche des Kegelstumpfs
\(=\)
④
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
\((\)
①
\(r\): Radius oben
③
hoch 2 (mit sich selbst malnehmen)
\(+\)
②
\(R\): Radius unten
hoch 2
\()\)
\(+\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
\((\)
\(r\): Radius oben
\(+\)
\(R\): Radius unten
\()\)
\(\times\)
⑤
\(l\): Mantellinie (aus Formel 2)
Die Formel in Worten
①
Man nimmt den
\(r\): Radius oben
②
und den
\(R\): Radius unten
jeweils
③
hoch 2 (mit sich selbst malnehmen)
, addiert sie und multipliziert mit der
④
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
– das sind die beiden Kreisflächen zusammen. Die
⑤
\(l\): Mantellinie
mal „Summe der Radien \(r + R\)“ mal \(\pi\) ergibt die Mantelfläche. Beides zusammen ist die
⑥
\(S\): Oberfläche des Kegelstumpfs
Einfaches Beispiel
Mit demselben Kegelstumpf wie in Formel 1 und 2 (1 cm Radius oben, 4 cm unten, 4 cm hoch, Mantellinie 5 cm), in einer Formel gerechnet
\(S\): Oberfläche des Kegelstumpfs
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
\((\)
Radius oben (1 cm)
hoch 2
\(+\)
Radius unten (4 cm)
hoch 2
\()\)
\(+\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
\((\)
Radius oben (1 cm)
\(+\)
Radius unten (4 cm)
\()\)
\(\times\)
Mantellinie (5 cm)
\(\pi \times (1^2 + 4^2) = 17\pi\)
\(\pi \times (1 + 4) \times 5 = 25\pi\)
\(S = 17\pi + 25\pi = 42\pi \approx 131{,}95\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Die Formel enthält auch Kegel und Zylinder: Mit \(r = 0\) wird daraus die Oberflächenformel des Kegels \(S = \pi R^2 + \pi R l\), mit \(r = R\) wird \(l = h\), und es ergibt sich die Zylinderformel \(S = 2\pi r^2 + 2\pi r h\). Vertauscht man Radius oben und unten, ändert sich nichts (die Formel bleibt beim Tausch von \(r\) und \(R\) gleich).
Die Oberfläche hat die Einheit „Länge hoch 2“, also cm² oder m². Das Volumen desselben Kegelstumpfs (cm³) ist eine ganz andere Größe – an der Einheit erkennen Sie den Unterschied.
Die Oberfläche eines Kegelstumpfs ist „Kreis oben + Kreis unten + Mantelfläche“. Für die Mantelfläche bestimmen Sie zuerst mit dem Satz des Pythagoras die Mantellinie (die schräge Länge der Seite) und rechnen dann „π × (Radius oben + Radius unten) × Mantellinie“.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(r\) | klein r | Der Radius des Kreises oben (Deckfläche; lateinisch radius). Hier bedeutet \(r\) immer „oben“, nicht unbedingt „der kleinere“. Im Schulbuch heißen die Radien oft \(r_1\) und \(r_2\). |
| \(R\) | groß R | Der Radius des Kreises unten (Grundfläche). Er wird großgeschrieben, damit man ihn vom Radius oben \(r\) unterscheiden kann. |
| \(h\) | h | Die Höhe des Kegelstumpfs (englisch height) – der senkrechte Abstand zwischen dem Kreis oben und dem Kreis unten, nicht die schräge Länge der Seite (Mantellinie \(l\)). |
| \(l\) | l | Die Mantellinie (die schräge Länge der Seite; im Schulbuch meist \(s\)). Der Rechner bestimmt sie automatisch mit \(l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}\). |
| \(\pi\) | pi | Die Kreiszahl: Sie gibt an, wie oft der Durchmesser in den Kreisumfang passt, und hat unendlich viele Nachkommastellen (\(3{,}14159265\ldots\)). Oft rechnet man mit 3,14. |
| \(r^2\) | r Quadrat (r hoch 2) | Die Zahl \(r\) mit sich selbst multipliziert (\(r \times r\)). Die kleine 2 oben rechts ist der Exponent und bedeutet „zweimal als Faktor“. |
| \(\sqrt{\phantom{9}}\) | Wurzel (Quadratwurzel) | Das Zeichen für die Quadratwurzel: die Zahl ab 0, deren Quadrat die Zahl unter der Wurzel ergibt. Beispiel: \(\sqrt{25} = 5\), denn \(5^2 = 25\). |
| \(S\) | S | Ein häufiges Zeichen für Flächen (von englisch surface bzw. lateinisch superficies). Hier steht es für die Oberfläche des Kegelstumpfs; deutsche Schulbücher schreiben dafür meist \(O\). |
| \(S_1,\ S_2,\ S_3\) | S eins, S zwei, S drei | Zeichen für die Anteile der Oberfläche. Die kleinen Zahlen unten rechts (Indizes) unterscheiden nur „erstes, zweites …“. Hier ist \(S_1\) der Kreis oben, \(S_2\) der Kreis unten und \(S_3\) die Mantelfläche. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | Quadratzentimeter | Eine Flächeneinheit. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat den Flächeninhalt 1 cm². Nicht verwechseln mit cm³ (Kubikzentimeter), der Einheit für Volumen. |
Begriffe
| Kegelstumpf | Ein Kegel, den man parallel zum Grundkreis durchschneidet und dessen Spitze man wegnimmt. Oben und unten liegen zwei parallele, verschieden große Kreise, dazwischen eine schräge Seite. Eimer, Blumentopf, Pappbecher und Puddingform haben diese Form. |
| Kegel | Ein Körper mit einem Kreis als Grundfläche, der zu einer Spitze zuläuft – die Form einer Eiswaffel. Aus ihm entsteht der Kegelstumpf. |
| Oberfläche | Der Flächeninhalt der gesamten Außenseite eines Körpers (auch Oberflächeninhalt). Man braucht sie, wenn es darum geht, wie viel eine Oberfläche bedeckt – Farbe, Papier, Folie. Sie ist etwas anderes als das Volumen, das den Rauminhalt angibt. |
| Mantelfläche | Nur die Fläche der Seite eines Körpers (des Mantels). Beim Kegelstumpf ist das die schräge Seite ohne die beiden Kreise. |
| Mantellinie | Die schräge Strecke entlang der Seite eines Kegels oder Kegelstumpfs (und ihre Länge; im Schulbuch \(s\)). Beim Kegelstumpf verbindet sie den oberen und den unteren Rand auf kürzestem Weg; ihre Länge ist nach dem Satz des Pythagoras \(l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}\). |
| Netz | Die aufgeschnittene und flach ausgebreitete Oberfläche eines Körpers. Das Netz eines Kegelstumpfs besteht aus zwei Kreisen und einem gebogenen Streifen als Mantel (ein großer Kreisausschnitt, aus dem ein kleiner herausgeschnitten ist). Die Oberfläche ist die Summe der Flächen im Netz. |
| Satz des Pythagoras | Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten. Hier bestimmt man damit die Mantellinie \(l\) als Hypotenuse des Dreiecks mit \(R - r\) waagerecht und \(h\) senkrecht. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
| Kreisfläche, Kreisumfang und Kreiszahl (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Flächeneinheiten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Körper und ihr Netz (Klasse 5–10, 10–16 Jahre) |
|
| Potenzen (Klasse 7, 12–13 Jahre) |
|
| Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Oberfläche als Summe der drei Flächen
| Kreis oben (cm²) | 3,14 |
| Kreis unten (cm²) | 50,27 |
| Mantelfläche (cm²) | 78,54 |
| Oberfläche des Kegelstumpfs (cm²) | =B1+B2+B3 |
Tabelle für Mantellinie und Mantelfläche
| Radius oben r (cm) | 1 |
| Radius unten R (cm) | 4 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Mantellinie l (cm) | =WURZEL((B2-B1)^2+B3^2) |
| Mantelfläche (cm²) | =PI()*(B1+B2)*B4 |
Tabelle für die Oberfläche des Kegelstumpfs in einer Formel
| Radius oben r (cm) | 15 |
| Radius unten R (cm) | 10 |
| Höhe h (cm) | 25 |
| Oberfläche des Kegelstumpfs (cm²) | =PI()*(B1^2+B2^2)+PI()*(B1+B2)*WURZEL((B2-B1)^2+B3^2) |
Nach dem Einfügen stehen in Spalte A die Bezeichnungen und in Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind die Eingaben, die Formeln darunter rechnen damit automatisch.
„B1“ und „B2“ bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“, „*“ steht für Malnehmen, „^2“ für hoch 2, „WURZEL()“ ist die Quadratwurzel und „PI()“ die Excel-Funktion für die Kreiszahl (3,14159 …).
In der ersten Tabelle erscheint in B4 zum Beispiel 131,95 (derselbe Kegelstumpf wie im Beispiel der Formeln). Die zweite Tabelle zeigt in B4 die Mantellinie 5 und in B5 die Mantelfläche von rund 78,54. Die dritte Tabelle ist das Eimer-Beispiel (15 cm Radius oben, 10 cm unten, 25 cm tief) und zeigt in B4 rund 3.023,4 (cm²). Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Maße.
„B1“ und „B2“ bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“, „*“ steht für Malnehmen, „^2“ für hoch 2, „WURZEL()“ ist die Quadratwurzel und „PI()“ die Excel-Funktion für die Kreiszahl (3,14159 …).
In der ersten Tabelle erscheint in B4 zum Beispiel 131,95 (derselbe Kegelstumpf wie im Beispiel der Formeln). Die zweite Tabelle zeigt in B4 die Mantellinie 5 und in B5 die Mantelfläche von rund 78,54. Die dritte Tabelle ist das Eimer-Beispiel (15 cm Radius oben, 10 cm unten, 25 cm tief) und zeigt in B4 rund 3.023,4 (cm²). Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Maße.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Oberfläche als Summe der drei Flächen
| Kreis oben (cm²) | 3,14 |
| Kreis unten (cm²) | 50,27 |
| Mantelfläche (cm²) | 78,54 |
| Oberfläche des Kegelstumpfs (cm²) | =B1+B2+B3 |
Tabelle für Mantellinie und Mantelfläche
| Radius oben r (cm) | 1 |
| Radius unten R (cm) | 4 |
| Höhe h (cm) | 4 |
| Mantellinie l (cm) | =WURZEL((B2-B1)^2+B3^2) |
| Mantelfläche (cm²) | =PI()*(B1+B2)*B4 |
Tabelle für die Oberfläche des Kegelstumpfs in einer Formel
| Radius oben r (cm) | 15 |
| Radius unten R (cm) | 10 |
| Höhe h (cm) | 25 |
| Oberfläche des Kegelstumpfs (cm²) | =PI()*(B1^2+B2^2)+PI()*(B1+B2)*WURZEL((B2-B1)^2+B3^2) |
Dieselben Formeln wie in Excel (auch die Funktionen WURZEL() und PI()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Maße.
So berechnen Sie es in Python
import math
radius_top = 15 # Radius oben (Deckfläche)
radius_bottom = 10 # Radius unten (Grundfläche)
height = 25 # Höhe (in derselben Einheit wie die Radien)
slant = math.sqrt((radius_bottom - radius_top)**2 + height**2) # Mantellinie (schräge Länge der Seite)
top_area = math.pi * radius_top**2 # Fläche des Kreises oben
bottom_area = math.pi * radius_bottom**2 # Fläche des Kreises unten
lateral_area = math.pi * (radius_top + radius_bottom) * slant # Mantelfläche
total_area = top_area + bottom_area + lateral_area # Oberfläche
print(f"Mantellinie: {slant} cm")
print(f"Kreis oben: {top_area} cm2")
print(f"Kreis unten: {bottom_area} cm2")
print(f"Mantelfläche: {lateral_area} cm2")
print(f"Oberfläche des Kegelstumpfs: {total_area} cm2")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.sqrt()“ ist die Quadratwurzel, „math.pi“ die Kreiszahl, „**2“ steht für hoch 2 und „*“ für Malnehmen. Ersetzen Sie oben die drei Werte durch Ihre eigenen und führen Sie den Code aus (das Beispiel rechnet in cm; bei Eingabe in m erhalten Sie m²).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Oberfläche des Kegelstumpfs (Summe der drei Flächen)
S = S₁ + S₂ + S₃
S = S_{1} + S_{2} + S_{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>3</mn></msub>
</mrow>
</math>
S = S_1 + S_2 + S_3
s1 + s2 + s3
S := S1 + S2 + S3;
S = S1 + S2 + S3;
S = S_1 + S_2 + S_3
Mantellinie und Mantelfläche
S₃ = π(r + R)√((R − r)² + h²)
S_{3} = \pi (r + R) \sqrt{(R - r)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>3</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>(</mo>
<mi>r</mi>
<mo>+</mo>
<mi>R</mi>
<mo>)</mo>
<msqrt>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>R</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</msqrt>
</mrow>
</math>
S_3 = pi (r + R) sqrt((R - r)^2 + h^2)
Pi*(r + R)*Sqrt[(R - r)^2 + h^2]
S3 := Pi*(r + R)*sqrt((R - r)^2 + h^2);
S3 = pi*(r + R)*sqrt((R - r)^2 + h^2);
S_3 = π(r + R)√((R − r)^2 + h^2)
Oberfläche des Kegelstumpfs in einer Formel
S = π(r² + R²) + π(r + R)√((R − r)² + h²)
S = \pi \left( r^{2} + R^{2} \right) + \pi (r + R) \sqrt{(R - r)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>(</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>π</mi>
<mo>(</mo>
<mi>r</mi>
<mo>+</mo>
<mi>R</mi>
<mo>)</mo>
<msqrt>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>R</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</msqrt>
</mrow>
</math>
S = pi (r^2 + R^2) + pi (r + R) sqrt((R - r)^2 + h^2)
Pi*(r^2 + R^2) + Pi*(r + R)*Sqrt[(R - r)^2 + h^2]
S := Pi*(r^2 + R^2) + Pi*(r + R)*sqrt((R - r)^2 + h^2);
S = pi*(r^2 + R^2) + pi*(r + R)*sqrt((R - r)^2 + h^2);
S = π(r^2 + R^2) + π(r + R)√((R − r)^2 + h^2)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Ein Kegelstumpf (geformt wie ein Eimer) hat oben einen Kreis mit 15 cm Radius, unten einen Kreis mit 10 cm Radius und ist 25 cm hoch. Berechnen Sie: 1. die Mantellinie (die schräge Länge der Seite) l = √((R − r)² + h²) 2. die Oberfläche des Kegelstumpfs in cm² (Formel S = π(r² + R²) + π(r + R)l) 3. die Anteile der Oberfläche (Kreis oben, Kreis unten, Mantelfläche) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
Volumen eines Kegelstumpfs berechnen (aus beiden Radien und Höhe)
Berechnet aus denselben drei Längen das Volumen (den Rauminhalt) desselben Kegelstumpfs
Satz des Pythagoras – Rechner für Hypotenuse und Katheten
Der Satz über rechtwinklige Dreiecke, mit dem man die Mantellinie (die schräge Länge der Seite) bestimmt
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