Kreisgleichung berechnen (allgemeine Form, Mittelpunktsform, Mittelpunkt und Radius, Kreis und Gerade)

Wählen Sie die Richtung der Umformung und geben Sie die Koeffizienten des Kreises ein. Die Gleichung unten ist mit den Eingabefeldern verbunden, Sie können die Koeffizienten also auch direkt in der Gleichung ändern. Um zu prüfen, wie eine Gerade den Kreis trifft, wählen Sie im letzten Auswahlmenü „Auch die Gerade px + qy + s = 0 prüfen“.

Umformung

Koeffizient l von x

Koeffizient m von y

Konstante n

Mittelpunkt: x-Koordinate a

Mittelpunkt: y-Koordinate b

Rechte Seite (Radius zum Quadrat r²)

Kreis und Gerade

Gerade: Koeffizient p von x

Gerade: Koeffizient q von y

Gerade: Konstante s

Geben Sie nur Zahlen ein. Dezimalzahlen mit Komma, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 sind möglich. Ein leerer Koeffizient von x oder y zählt als 1 (x bedeutet dasselbe wie 1x), eine leere Konstante oder Koordinate des Mittelpunkts als 0. Geben Sie für Terme, die Sie nicht brauchen, 0 ein.

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie im Feld links die Koeffizienten ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Abbildung des Kreises erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Führen Sie durch quadratische Ergänzung die allgemeine Form eines Kreises \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) in die Mittelpunktsform \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) über und bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius als exakte Werte mit Brüchen und \(\sqrt{\ }\) (mit Rechenweg)
Sie können auch den umgekehrten Weg gehen: Aus dem Mittelpunkt und der rechten Seite (dem Quadrat des Radius) ausmultiplizieren, um die allgemeine Form zu erhalten
Ist die rechte Seite \(r^{2}\) gleich 0 oder kleiner, ist die Gleichung kein Kreis (sie beschreibt einen einzigen Punkt, oder es gibt keine Figur). Der Rechner sagt Ihnen, was zutrifft und warum
Er zeigt auch, wie eine Gerade \(px + qy + s = 0\) den Kreis trifft (in zwei Punkten, als Tangente oder gar nicht), indem er den Abstand \(d\) des Mittelpunkts von der Geraden mit dem Radius \(r\) vergleicht, und gibt die Schnittpunkte als exakte Werte an
Der Rechner zeigt die Kreisgleichung so, wie Sie sie von Hand schreiben würden, und Sie können die Koeffizienten direkt in der Gleichung ändern. Das Ergebnis lässt sich in einer Abbildung von Kreis und Gerade prüfen

Koordinaten und Koeffizienten können Dezimalzahlen (mit Komma), negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Kollisionsabfrage in Spielen (kreisförmige Trefferzonen)

In 2D-Spielen ist es üblich, die Trefferzone einer Figur oder eines Geschosses als Kreis zu modellieren. Ob die Flugbahn eines Geschosses (eine Gerade) den Kreis eines Gegners trifft, entscheidet genau die Prüfung dieser Seite: den Abstand \(d\) des Mittelpunkts von der Geraden mit dem Radius \(r\) vergleichen. Ob sich zwei Kreise überlappen, entscheidet man genauso, indem man den Abstand ihrer Mittelpunkte mit der Summe ihrer Radien vergleicht.
Kreise werden verwendet, weil sich ihre Form beim Drehen nicht ändert und eine einzige Abstandsberechnung die Prüfung erledigt. Wenn Sie Spieleprogrammierung lernen, sehen Sie Kreisgleichungen in jedem Bild bei der Arbeit.

Modelle für die Reichweite von Funksignalen (Mobilfunkmasten und WLAN)

Unter idealen Bedingungen ohne Hindernisse wird der Bereich, den ein Mobilfunkmast oder ein WLAN-Router erreicht, als Kreis um die Antenne modelliert (Radius = die Reichweite). „Liegt diese Stelle in Reichweite?“ ist ein Vergleich des Abstands vom Mittelpunkt mit dem Radius, also die Prüfung, ob die Stelle innerhalb oder außerhalb des Kreises liegt.
Echte Signale werden von Gelände und Gebäuden beeinflusst, folgen dem also nicht genau. Trotzdem sind Kreismodelle ein Ausgangspunkt, um zu entscheiden, wo man Masten aufstellt, damit es keine Lücken in der Versorgung gibt.

Der Gedanke hinter der Positionsbestimmung (GPS und der Standort Ihres Smartphones)

Die GPS-Positionsbestimmung beruht auf dieser Idee: Kennt man seinen Abstand von einem Satelliten, grenzen sich die möglichen Aufenthaltsorte auf eine Kugeloberfläche ein (einen Kreis, wenn man in der Ebene denkt). Löst man die Kreise (Kugeln) der Abstände von mehreren Satelliten gemeinsam, erhält man den Punkt, in dem sie sich treffen, und das ist Ihr Standort.
Die wirkliche Rechnung ist dreidimensional und korrigiert auch Uhrenfehler, ist also komplizierter. Doch der Gedanke der Kreisgleichung, „die Menge der Punkte mit festem Abstand“, ist ihre Grundlage.

Konstruktion, technisches Zeichnen und CAD (Kreisbögen und Lage von Bohrungen verwalten)

Zeichnungen von Maschinenteilen und Gebäuden sind voller Kreise: Schraubenlöcher, gebogene Kanten, Rohrquerschnitte und so weiter. CAD-Software speichert einen Kreis als „die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius“, das sind die Angaben der Mittelpunktsform, und berechnet bei jeder Änderung einer Form, wo sich Kreise und Geraden schneiden und wo Tangenten verlaufen.
Prüfungen wie „Ist eine Bohrung an dieser Stelle weit genug vom Rand entfernt?“ laufen ebenfalls auf die Berechnung von Abständen von einem Mittelpunkt hinaus.

Kurven bei Straßen und Bahnstrecken entwerfen (Kreisbögen)

Die Grundform einer Kurve bei einer Straße oder Bahnstrecke ist ein Bogen eines Kreises, ein Kreisbogen, und Entwurfszeichnungen verwalten ihn über Mittelpunkt und Radius. Je kleiner der Radius, desto enger die Kurve, deshalb legen die Entwurfsrichtlinien für Straßen für jede Entwurfsgeschwindigkeit einen Mindestradius für Kurven fest.
Wo ein gerades Stück sanft in eine Kurve übergeht, wird direkt die Bedingung „die Gerade ist eine Tangente an den Kreis“ verwendet. Der Gedanke der Tangente prägt wirkliche Straßen.

Formeln und Abbildungen

Kreisgleichung (Mittelpunktsform)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\((x - a)^{2}\) \(+\) \((y - b)^{2}\) \(=\) \(r^{2}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

① Quadrat der Differenz von \(x\) und dem \(a\) des Mittelpunkts \(+\) ② Quadrat der Differenz von \(y\) und dem \(b\) des Mittelpunkts \(=\) ③ \(r^{2}\): Quadrat des Radius

Die Formel in Worten

① Für jeden Punkt \((x|y)\) auf dem Kreis ist das Quadrat des \(x\)-Abstands vom Mittelpunkt, \(x - a\)

② plus das Quadrat des \(y\)-Abstands vom Mittelpunkt, \(y - b\)

③ gleich dem Quadrat des Radius \(r\)

Einfaches Beispiel

Die Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt (1|2) und dem Radius 3 ist

\((x - 1)^{2}\) \(+\) \((y - 2)^{2}\) \(=\) \(3^{2} = 9\)

\((x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9\)

Der Kerngedanke

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem Punkt, dem Mittelpunkt, den gleichen Abstand (den Radius \(r\)) haben. Schreibt man den Abstand zwischen einem Punkt \((x|y)\) auf dem Kreis und dem Mittelpunkt \((a|b)\) mit dem Satz des Pythagoras auf, erhält man \(\sqrt{(x-a)^{2} + (y-b)^{2}} = r\). Quadriert man beide Seiten, ergibt sich die Mittelpunktsform. Die Mittelpunktsform ist also die Definition des Kreises, „Abstand \(r\) vom Mittelpunkt“, als Gleichung geschrieben. Beachten Sie, dass auf der rechten Seite \(r^{2}\) steht, das Quadrat des Radius. Der Radius von \((x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 9\) ist nicht 9, sondern \(\sqrt{9} = 3\).

Allgemeine Form → Mittelpunktsform (Mittelpunkt und Radius durch quadratische Ergänzung bestimmen)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\mathrm{C}\) \(=\) \(\left(-\dfrac{l}{2}\,|\,-\dfrac{m}{2}\right)\)

\(r^{2}\) \(=\) \(\dfrac{l^{2}}{4} + \dfrac{m^{2}}{4} - n\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(\mathrm{C}\): Mittelpunkt \(=\) ① die Hälften des Koeffizienten \(l\) von \(x\) und des Koeffizienten \(m\) von \(y\), mit geändertem Vorzeichen

④ \(r^{2}\): Quadrat des Radius \(=\) ③ Summe der Quadrate der halben Koeffizienten, minus die Konstante \(n\)

Die Formel in Worten

① Führen Sie bei der allgemeinen Form \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) die quadratische Ergänzung durch. Die Hälften der Koeffizienten \(l\) und \(m\), mit geändertem Vorzeichen,

② ergeben den Mittelpunkt \(\mathrm{C}\)

③ und die Summe der Quadrate der halben Koeffizienten minus die Konstante \(n\)

④ ist das Quadrat des Radius \(r^{2}\)

Einfaches Beispiel

Die quadratische Ergänzung bei \(x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 9 = 0\) ergibt

Mittelpunkt \((2|3)\) \(,\) \(r^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)

\(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\)

\(y^{2} - 6y = (y - 3)^{2} - 9\)

\((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)

\(r = \sqrt{4} = 2\)

Der Kerngedanke

Die quadratische Ergänzung schreibt „einen quadratischen Term plus einen linearen Term“, etwa \(x^{2} - 4x\), als „(etwas) zum Quadrat plus eine Konstante“ um, etwa \((x - 2)^{2} - 4\). Man bildet \((x - 2)^{2}\) aus der Hälfte des Koeffizienten von \(x\) (die Hälfte von \(-4\) ist \(-2\)). Beim Ausmultiplizieren entsteht ein zusätzliches \(+4\), das man wieder abzieht, damit beide Seiten gleich bleiben. Die rechte Seite des Ergebnisses ist \(r^{2}\). Prüfen Sie hier immer ihr Vorzeichen. Ist die rechte Seite 0, erfüllt nur ein Punkt die Gleichung, der Mittelpunkt. Ist sie negativ, erfüllt überhaupt kein Punkt sie, weil eine Summe von Quadraten nie negativ ist. Eine Gleichung in der allgemeinen Form beschreibt also nicht immer einen Kreis. Es ist nur dann ein Kreis, wenn die rechte Seite positiv ist.

Lage einer Geraden zum Kreis (Vergleich des Abstands d des Mittelpunkts von der Geraden mit dem Radius r)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(d\) \(=\) \(\dfrac{\left|\,pa + qb + s\,\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(d\): Abstand des Mittelpunkts \((a|b)\) von der Geraden \(=\) ① Betrag der linken Seite der Geradengleichung im Mittelpunkt, geteilt durch \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\)

Die Formel in Worten

① Für die Gerade \(px + qy + s = 0\) gilt: Der Betrag der linken Seite, wenn der Mittelpunkt \((a|b)\) eingesetzt wird, geteilt durch \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\),

② ist der Abstand \(d\) des Mittelpunkts von der Geraden . Vergleichen Sie dieses \(d\) mit dem Radius \(r\), um zu sehen, wie die Gerade den Kreis trifft

Einfaches Beispiel

Für den Kreis \((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4\) (Mittelpunkt \((2|3)\), Radius 2) und die Gerade \(3x + 4y - 8 = 0\)

Abstand \(d = 2\) \(=\) Radius \(r = 2\)

\(d = \dfrac{|3 \times 2 + 4 \times 3 - 8|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \dfrac{10}{5} = 2\)

\(d = r\)

Der Kerngedanke

Je nachdem, ob der Abstand \(d\) oder der Radius \(r\) größer ist, gibt es drei Fälle. Ist \(d < r\), schneidet die Gerade den Kreis in zwei verschiedenen Punkten (sie ist eine Sekante). Ist \(d = r\), berührt sie den Kreis in genau einem Punkt (die Gerade ist eine Tangente, und der gemeinsame Punkt ist der Berührpunkt). Ist \(d > r\), treffen sie sich nicht (die Gerade ist eine Passante). Beim Vergleichen von Zahlen mit \(\sqrt{\ }\) macht man leicht Fehler, deshalb vergleicht dieser Rechner \(d^{2}\) und \(r^{2}\) als exakte Brüche. Diesen Trick können Sie auch von Hand verwenden. Ein anderes Verfahren ist, die Gleichungen von Kreis und Gerade gemeinsam zu lösen: \(y\) (oder \(x\)) eliminieren und das Vorzeichen der Diskriminante \(D\) der entstehenden quadratischen Gleichung ansehen (\(D > 0\): zwei Punkte, \(D = 0\): Tangente, \(D < 0\): keine Punkte). Um die Koordinaten der Schnittpunkte zu finden, lösen Sie dieses Gleichungssystem.

Die Kreisgleichung lässt sich in zwei Formen schreiben: in der Mittelpunktsform \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\), die Mittelpunkt und Radius zeigt, und in der ausmultiplizierten allgemeinen Form \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\). Die quadratische Ergänzung macht aus der allgemeinen Form die Mittelpunktsform, aber es ist nur dann ein Kreis, wenn die rechte Seite (der Wert an der Stelle von \(r^{2}\)) positiv ist. Wie eine Gerade einen Kreis trifft, entscheidet der Vergleich des Abstands \(d\) des Mittelpunkts von der Geraden mit dem Radius \(r\).

Symbole und Begriffe

Symbole

\((x,\ y)\)	x, y	Die Koordinaten eines Punktes, der sich auf dem Kreis bewegt. Die Kreisgleichung sagt: „Sammeln Sie jedes \((x\|y)\), das dies erfüllt, und Sie erhalten den Kreis“.
\(a,\ b\)	a, b	Die Buchstaben für den Mittelpunkt \((a\|b)\) des Kreises. Für feste Zahlen verwendet man üblicherweise Buchstaben vom Anfang des Alphabets. Anders als die beweglichen \(x\) und \(y\) bleiben sie für einen Kreis fest. Deutsche Lehrbücher schreiben den Mittelpunkt oft als \(\mathrm{M}(x_M\|y_M)\).
\(r\)	r	Der Radius des Kreises, vom Anfangsbuchstaben von „Radius“. Beachten Sie, dass auf der rechten Seite der Mittelpunktsform nicht \(r\) selbst steht, sondern sein Quadrat \(r^{2}\).
\(\mathrm{C}\)	C	Ein Buchstabe, der oft für den Mittelpunkt eines Kreises steht, vom Anfangsbuchstaben von „center“. In deutschen Lehrbüchern steht dafür meist \(\mathrm{M}\). Der Kreis selbst wird manchmal auch \(k\) genannt.
\(l,\ m,\ n\)	l, m, n	Die Koeffizienten der allgemeinen Form \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\). Viele Lehrbücher schreiben sie als \(A,\ B,\ C\) oder \(D,\ E,\ F\), die Bedeutung ist dieselbe.
\(d\)	d	Der Abstand des Mittelpunkts von der Geraden, vom Anfangsbuchstaben von „Distanz“. Der Vergleich mit dem Radius \(r\) zeigt, wie die Gerade den Kreis trifft.
\(p,\ q,\ s\)	p, q, s	Die Koeffizienten der Geraden \(px + qy + s = 0\) auf dieser Seite. Eine Gerade schreibt man meist \(ax + by + c = 0\), aber diese Seite verwendet andere Buchstaben, damit sie nicht mit dem Mittelpunkt \((a\|b)\) verwechselt werden.
\(\sqrt{\ }\)	Wurzel (Wurzelzeichen)	Das Zeichen für die positive Zahl, deren Quadrat die Zahl unter dem Zeichen ist (die Quadratwurzel). Der Radius ergibt sich als \(r = \sqrt{r^{2}}\). Ist zum Beispiel \(r^{2} = 8\), dann ist \(r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

Begriffe

Kreis	Die Figur aus allen Punkten einer Ebene, die von einem Punkt (dem Mittelpunkt) den gleichen Abstand (den Radius) haben. Die Kreisgleichung ist diese Definition „fester Abstand“, als Gleichung geschrieben.
Kreisgleichung	Eine Gleichung, die einen Kreis im Koordinatensystem beschreibt. Die Punkte \((x\|y)\), die sie erfüllen, bilden genau den Kreis. Sie wird in der Oberstufe in der analytischen Geometrie behandelt (in manchen Ländern schon früher).
Mittelpunktsform	Die Form \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) (in deutschen Lehrbüchern auch \((x - x_M)^{2} + (y - y_M)^{2} = r^{2}\)). Ihre Stärke ist, dass man den Mittelpunkt \((a\|b)\) und den Radius \(r\) allein durch Hinsehen ablesen kann.
allgemeine Form	Die Form \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\), die entsteht, wenn man die Mittelpunktsform ausmultipliziert und vereinfacht. Man kann Mittelpunkt oder Radius nicht direkt ablesen, doch weil sie schon ausmultipliziert ist, lässt sich mit ihr bei Rechnungen leicht arbeiten.
quadratische Ergänzung	Das Umschreiben eines Ausdrucks wie \(x^{2} + lx\) als „(etwas) zum Quadrat plus eine Konstante“, wie in \(\left(x + \dfrac{l}{2}\right)^{2} - \dfrac{l^{2}}{4}\). Sie wird auch verwendet, um den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion zu finden, und ist die Kerntechnik dieser Seite.
Mittelpunkt	Der Punkt in der Mitte eines Kreises, von jedem Punkt des Kreises gleich weit entfernt (dem Radius). Das \((a\|b)\) in der Mittelpunktsform ist der Mittelpunkt.
Radius	Der Abstand \(r\) des Mittelpunkts von einem Punkt auf dem Kreis. Als Länge ist er immer positiv. Man erhält ihn, indem man die Quadratwurzel der rechten Seite \(r^{2}\) der Mittelpunktsform zieht.
Satz des Pythagoras	Der Satz, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten ist. Er ist die Grundlage des Abstands zweier Punkte, und die Mittelpunktsform eines Kreises ist dieser Satz als Gleichung geschrieben. Er wird in Klasse 8 (13–14 Jahre) behandelt.
Schnittpunkt	Ein Punkt, der auf beiden von zwei Figuren liegt. Bei einem Kreis und einer Geraden gibt es 2, wenn die Gerade den Kreis schneidet, 1, wenn sie eine Tangente ist, und 0, wenn sie ihn verfehlt. Die Koordinaten findet man, indem man die beiden Gleichungen gemeinsam löst.
Tangente	Eine Gerade ist eine Tangente an einen Kreis, wenn beide genau einen Punkt gemeinsam haben. Der gemeinsame Punkt heißt Berührpunkt. Der Abstand des Mittelpunkts von einer Tangente ist genau der Radius.
Sehne	Schneidet eine Gerade einen Kreis in zwei Punkten, heißt die Strecke zwischen diesen Punkten Sehne. Das Lot vom Mittelpunkt auf eine Sehne halbiert sie genau, deshalb sind die halbe Sehne, der Abstand \(d\) des Mittelpunkts von der Geraden und der Radius \(r\) durch den Satz des Pythagoras verbunden.
Abstand Punkt–Gerade	Die Länge des Lots von einem Punkt auf eine Gerade (der kürzeste Abstand des Punktes von der Geraden). Sie wird mit \(d = \dfrac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\) berechnet und dient dazu, die Lage von Gerade und Kreis zu bestimmen.
Diskriminante	Der Ausdruck \(D = b^{2} - 4ac\), der angibt, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung \(ax^{2} + bx + c = 0\) hat. Auch die Diskriminante der quadratischen Gleichung, die man beim gemeinsamen Lösen der Gleichungen von Kreis und Gerade erhält, zeigt, wie sie sich treffen (\(D > 0\): zwei Punkte, \(D = 0\): Tangente, \(D < 0\): keine Punkte).
Koordinatensystem	Eine Ebene, die entsteht, wenn man eine waagerechte Zahlengerade (die \(x\)-Achse) und eine senkrechte Zahlengerade (die \(y\)-Achse) im rechten Winkel kreuzt, sodass sich jeder Punkt als Zahlenpaar \((x\|y)\) schreiben lässt. Hier treffen Geometrie und Gleichungen zusammen.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal zu wiederholen.

Das Koordinatensystem und die Koordinaten von Punkten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Die Lage eines Punktes als Zahlenpaar \((x\|y)\) schreiben können (der Punkt \((2\|3)\) liegt zum Beispiel 2 rechts und 3 oberhalb des Ursprungs) Ein Gefühl für den Gedanken haben, dass „alle Punkte, die eine Gleichung erfüllen, ihren Graphen (eine Figur) bilden“
Der Satz des Pythagoras und die Abstandsformel (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten ist Wissen, dass sich der Abstand zweier Punkte mit dem Satz des Pythagoras berechnen lässt (Abstandsformel)
Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Die positive Zahl finden können, deren Quadrat eine gegebene Zahl ist, wie in \(\sqrt{4} = 2\) Eine Wurzel vereinfachen können, indem man quadratische Faktoren herauszieht, wie in \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
Ausmultiplizieren, Faktorisieren und quadratische Ergänzung (Klasse 8–10, 13–16 Jahre)	Ausdrücke wie \((x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4\) ausmultiplizieren können Die quadratische Ergänzung ausführen können, wie in \(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\) (dieselbe Umformung wie beim Bestimmen des Scheitelpunkts einer quadratischen Funktion) Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren oder mit der Lösungsformel lösen können und wissen, wie das Vorzeichen der Diskriminante \(D = b^{2} - 4ac\) mit der Anzahl der Lösungen zusammenhängt
Abstand Punkt–Gerade (Oberstufe, Klasse 11–12, 16–18 Jahre)	Eine Gerade in der Form \(ax + by + c = 0\) (allgemeine Form) schreiben können, auch durch Umschreiben aus \(y = mx + k\) Wissen, dass der Abstand des Punktes \((x_0\|y_0)\) von der Geraden \(ax + by + c = 0\) gleich \(\dfrac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\) ist

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für allgemeine Form → Mittelpunktsform (Mittelpunkt und Radius)

Koeffizient l von x	-4
Koeffizient m von y	-6
Konstante n	9
Mittelpunkt: x-Koordinate (−l/2)	=-B1/2
Mittelpunkt: y-Koordinate (−m/2)	=-B2/2
Radius zum Quadrat r² (l²/4 + m²/4 − n)	=B1^2/4+B2^2/4-B3
Radius r (nur ein Kreis, wenn r² > 0)	=WENN(B6>0;WURZEL(B6);"kein Kreis")

Tabelle für Mittelpunktsform → allgemeine Form

Mittelpunkt: x-Koordinate a	1
Mittelpunkt: y-Koordinate b	-2
Rechte Seite (Radius zum Quadrat r²)	9
Koeffizient l von x (−2a)	=-2*B1
Koeffizient m von y (−2b)	=-2*B2
Konstante n (a² + b² − r²)	=B1^2+B2^2-B3

Tabelle zur Prüfung, wie eine Gerade den Kreis trifft

Mittelpunkt: x-Koordinate a	2
Mittelpunkt: y-Koordinate b	3
Radius r	2
Gerade: Koeffizient p von x	3
Gerade: Koeffizient q von y	4
Gerade: Konstante s	-8
Abstand d des Mittelpunkts von der Geraden	=ABS(B4B1+B5B2+B6)/WURZEL(B4^2+B5^2)
Ergebnis	=WENN(B7<B3;"zwei Punkte";WENN(B7=B3;"Tangente";"keine Punkte"))

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Koeffizienten und so weiter) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet. „^“ ist die Potenz, WURZEL liefert die Quadratwurzel und ABS den Betrag.
Die erste Tabelle ist das Beispiel x²+y²−4x−6y+9=0: Mittelpunkt (2|3), r²=4 und Radius 2. Ist r² gleich 0 oder kleiner, ist die Gleichung kein Kreis, und die Zelle zeigt „kein Kreis“.
Die zweite Tabelle ist das Beispiel mit dem Mittelpunkt (1|−2) und r²=9: l=−2, m=4, n=−4, die Gleichung ist also x²+y²−2x+4y−4=0.
Die dritte Tabelle ist das Beispiel mit dem Kreis (x−2)²+(y−3)²=4 und der Geraden 3x+4y−8=0. d=2 ist gleich dem Radius 2, das Ergebnis ist also „Tangente“. WURZEL kann kleine Dezimalfehler haben, deshalb ist es für eine exakte Tangentenprüfung sicherer, d² und r² zu vergleichen (vergleichen Sie =(B4*B1+B5*B2+B6)^2/(B4^2+B5^2) mit B3^2).

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle für allgemeine Form → Mittelpunktsform (Mittelpunkt und Radius)

Koeffizient l von x	-4
Koeffizient m von y	-6
Konstante n	9
Mittelpunkt: x-Koordinate (−l/2)	=-B1/2
Mittelpunkt: y-Koordinate (−m/2)	=-B2/2
Radius zum Quadrat r² (l²/4 + m²/4 − n)	=B1^2/4+B2^2/4-B3
Radius r (nur ein Kreis, wenn r² > 0)	=WENN(B6>0;WURZEL(B6);"kein Kreis")

Tabelle für Mittelpunktsform → allgemeine Form

Mittelpunkt: x-Koordinate a	1
Mittelpunkt: y-Koordinate b	-2
Rechte Seite (Radius zum Quadrat r²)	9
Koeffizient l von x (−2a)	=-2*B1
Koeffizient m von y (−2b)	=-2*B2
Konstante n (a² + b² − r²)	=B1^2+B2^2-B3

Tabelle zur Prüfung, wie eine Gerade den Kreis trifft

Mittelpunkt: x-Koordinate a	2
Mittelpunkt: y-Koordinate b	3
Radius r	2
Gerade: Koeffizient p von x	3
Gerade: Koeffizient q von y	4
Gerade: Konstante s	-8
Abstand d des Mittelpunkts von der Geraden	=ABS(B4B1+B5B2+B6)/WURZEL(B4^2+B5^2)
Ergebnis	=WENN(B7<B3;"zwei Punkte";WENN(B7=B3;"Tangente";"keine Punkte"))

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koeffizienten durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

from fractions import Fraction
import math

# Koeffizienten der allgemeinen Form x² + y² + lx + my + n = 0 (ein Bruch wie 3/4 lässt sich als Fraction(3, 4) schreiben)
coef_l = Fraction(-4)
coef_m = Fraction(-6)
coef_n = Fraction(9)

center_x = -coef_l / 2
center_y = -coef_m / 2
radius_squared = coef_l ** 2 / 4 + coef_m ** 2 / 4 - coef_n

print(f"Mittelpunkt: ({center_x}, {center_y})")
print(f"Radius zum Quadrat r²: {radius_squared}")
if radius_squared > 0:
    print(f"Radius r: {math.sqrt(radius_squared)}")
elif radius_squared == 0:
    print("Kein Kreis: Die Gleichung beschreibt nur einen Punkt, den Mittelpunkt")
else:
    print("Kein Kreis: Kein Punkt erfüllt diese Gleichung")

# Lage zur Geraden px + qy + s = 0 (d² und r² werden als Brüche verglichen, es gibt also keinen Rundungsfehler)
line_p = Fraction(3)
line_q = Fraction(4)
line_s = Fraction(-8)
distance_squared = (line_p * center_x + line_q * center_y + line_s) ** 2 / (line_p ** 2 + line_q ** 2)
if distance_squared < radius_squared:
    print("Kreis und Gerade schneiden sich in zwei verschiedenen Punkten")
elif distance_squared == radius_squared:
    print("Die Gerade ist eine Tangente des Kreises")
else:
    print("Kreis und Gerade haben keinen gemeinsamen Punkt")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek bleibt die Rechnung bei exakten Brüchen, ohne Rundungsfehler. Das Beispiel verwendet den Kreis x²+y²−4x−6y+9=0 und die Gerade 3x+4y−8=0. Beim Ausführen zeigt es den Mittelpunkt (2, 3), r²=4, den Radius r und „Die Gerade ist eine Tangente des Kreises“. Abstand und Radius werden als d² und r² verglichen, damit Dezimalfehler der Quadratwurzel die Tangentenprüfung nicht verfälschen können. Ändern Sie die Koeffizienten und führen Sie den Code erneut aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Kreisgleichung (Mittelpunktsform)

(x − a)² + (y − b)² = r²

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2;

(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Allgemeine Form → Mittelpunktsform (Mittelpunkt und Radius durch quadratische Ergänzung bestimmen)

(x + l/2)² + (y + m/2)² = l²/4 + m²/4 − n

\left(x + \frac{l}{2}\right)^{2} + \left(y + \frac{m}{2}\right)^{2} = \frac{l^{2}}{4} + \frac{m^{2}}{4} - n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>l</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>m</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><msup><mi>l</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mfrac><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n

Simplify[(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n) == x^2 + y^2 + l x + m y + n]

Student:-Precalculus:-CompleteSquare(x^2 + y^2 + l*x + m*y + n, [x, y]);

expand((x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n))

(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n

Lage einer Geraden zum Kreis (Vergleich des Abstands d des Mittelpunkts von der Geraden mit dem Radius r)

d = |pa + qb + s| / √(p² + q²)

d = \frac{\left|pa + qb + s\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
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    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = |p a + q b + s| / sqrt(p^2 + q^2)

d = Abs[p a + q b + s]/Sqrt[p^2 + q^2]

d := abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);

d = abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);

d = |pa + qb + s|/√(p^2 + q^2)

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Koordinatengeometrie. Führen Sie die folgende Berechnung tatsächlich mit Python-Code aus und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen des Ausführungsergebnisses (nicht im Kopf rechnen und nicht raten).

Zeigen Sie für den Kreis x² + y² − 4x − 6y + 9 = 0 jeweils Folgendes:
1. Die Gleichung, durch quadratische Ergänzung in die Mittelpunktsform (x−a)² + (y−b)² = r² umgeschrieben
2. Den Mittelpunkt und den Radius (als exakte Werte)
3. Wie die Gerade 3x + 4y − 8 = 0 den Kreis trifft (in zwei verschiedenen Punkten / als Tangente / gar nicht) und die Koordinaten etwaiger Schnittpunkte

Verwenden Sie in Python das Modul fractions aus der Standardbibliothek (oder sympy), um exakt zu rechnen, und vergleichen Sie den Abstand mit dem Radius, indem Sie d² mit r² vergleichen. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel