Kreisgleichung berechnen – Mittelpunkt und Radius bestimmen (allgemeine Form ⇔ Mittelpunktform, Kreis und Gerade)

Wählen Sie die Richtung der Umformung und geben Sie die Koeffizienten der Kreisgleichung ein. Die Gleichung unten ist mit den Eingabefeldern verbunden – Sie können die Koeffizienten auch direkt darin ändern. Um die Lage einer Geraden zum Kreis zu prüfen, wählen Sie in der letzten Auswahlliste „Auch Gerade px + qy + s = 0 prüfen“.

Umformung

l (vor x)

m (vor y)

n (Absolutglied)

Mittelpunkt x-Koordinate a

Mittelpunkt y-Koordinate b

Rechte Seite (r², Radius zum Quadrat)

Kreis und Gerade

Gerade p (vor x)

Gerade q (vor y)

Gerade s (Absolutglied)

Möglich sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4. Ein leerer Koeffizient vor x oder y zählt als 1 (x ist dasselbe wie 1x), ein leeres Absolutglied und leere Koordinaten des Mittelpunkts zählen als 0. Für Glieder, die nicht vorkommen, geben Sie 0 ein.

Ergebnis und Graph

Geben Sie links die Koeffizienten ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Zeichnung des Kreises erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Sie formen die allgemeine Form der Kreisgleichung \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) per quadratischer Ergänzung in die Mittelpunktform \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) um und erhalten Mittelpunkt und Radius als exakte Werte mit Brüchen und \(\sqrt{\ }\) (mit Rechenweg)
Auch der umgekehrte Weg geht: Aus dem Mittelpunkt und der rechten Seite (dem Quadrat des Radius) wird durch Ausmultiplizieren die allgemeine Form
Ist die rechte Seite \(r^{2}\) gleich 0 oder negativ, beschreibt die Gleichung keinen Kreis (nur einen Punkt oder gar keinen). Der Rechner sagt Ihnen, welcher Fall vorliegt und warum
Die Lage einer Geraden \(px + qy + s = 0\) zum Kreis (Sekante, Tangente oder Passante) bestimmt der Rechner, indem er den Abstand \(d\) des Mittelpunkts von der Geraden mit dem Radius \(r\) vergleicht – und er gibt die gemeinsamen Punkte als exakte Werte an
Der Rechner zeigt die Kreisgleichung so, wie Sie sie von Hand schreiben, und Sie können die Koeffizienten direkt in der Gleichung ändern. Das Ergebnis sehen Sie auch in einer Zeichnung von Kreis und Gerade

Als Koordinaten und Koeffizienten sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 möglich.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Kollisionserkennung in Spielen (kreisförmige Hitboxen)

In 2D-Spielen ist es üblich, die Trefferzone (Hitbox) einer Figur oder eines Geschosses als Kreis anzunähern. Ob die Flugbahn eines Geschosses (eine Gerade) den Kreis eines Gegners trifft, entscheidet genau die Prüfung dieser Seite: Abstand \(d\) des Mittelpunkts von der Geraden gegen den Radius \(r\). Ob sich zwei Kreise überschneiden, prüft man genauso – mit dem Abstand der Mittelpunkte und der Summe der Radien.
Kreise sind beliebt, weil sich ihre Form beim Drehen nicht ändert und eine einzige Abstandsrechnung genügt. Wer Spiele programmiert, nutzt Kreisgleichungen in jedem einzelnen Frame.

Funkreichweite modellieren (Mobilfunkmasten und WLAN)

Unter idealen Bedingungen ohne Hindernisse modelliert man die Reichweite eines Mobilfunkmasts oder WLAN-Routers als Kreis um die Antenne (Radius = Reichweite). „Habe ich hier Empfang?“ ist dann ein Vergleich des Abstands vom Mittelpunkt mit dem Radius – also die Frage, ob der Ort innerhalb oder außerhalb des Kreises liegt.
Echte Funksignale hängen von Gelände und Gebäuden ab und folgen dem nicht genau. Trotzdem sind Kreismodelle der Ausgangspunkt, um Sendemasten so zu verteilen, dass keine Funklöcher entstehen.

Das Prinzip der Ortung (GPS und Standort im Smartphone)

Die GPS-Ortung beruht auf diesem Gedanken: Kennt man seinen Abstand zu einem Satelliten, liegt der eigene Standort auf einer Kugel (in der Ebene gedacht auf einem Kreis). Löst man die Kreise (Kugeln) der Abstände zu mehreren Satelliten gemeinsam, erhält man ihren Schnittpunkt – Ihren Standort.
Die echte Rechnung ist dreidimensional und korrigiert zusätzlich Uhrenfehler, sie ist also komplizierter. Die Grundidee der Kreisgleichung, „alle Punkte mit festem Abstand“, ist aber ihr Fundament.

Konstruktion, technisches Zeichnen und CAD (Bögen und Bohrungen)

Zeichnungen von Maschinenteilen und Gebäuden sind voller Kreise: Bohrungen für Schrauben, gerundete Kanten, Rohrquerschnitte und vieles mehr. CAD-Programme speichern einen Kreis als „Koordinaten des Mittelpunkts und Radius“ – genau die Information der Mittelpunktform – und berechnen bei jeder Änderung Schnittpunkte von Kreisen und Geraden sowie Tangenten.
Auch Prüfungen wie „Ist die Bohrung hier weit genug vom Rand entfernt?“ laufen auf Abstandsrechnungen vom Mittelpunkt hinaus.

Kurven von Straßen und Bahnstrecken planen (Kreisbögen)

Die Grundform einer Kurve im Straßen- oder Bahnbau ist ein Kreisbogen, der in den Planunterlagen über Mittelpunkt und Radius festgelegt wird. Je kleiner der Radius, desto enger die Kurve – deshalb schreiben die Richtlinien für den Straßenbau (in Deutschland etwa die RAL für Landstraßen) Mindestradien je nach Straßenart und Geschwindigkeit vor.
Wo eine Gerade glatt in eine Kurve übergeht, wird die Bedingung „die Gerade ist Tangente an den Kreis“ direkt genutzt. Die Idee der Tangente prägt echte Straßen.

Formeln und Abbildungen

Kreisgleichung (Mittelpunktform)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\((x - a)^{2}\) \(+\) \((y - b)^{2}\) \(=\) \(r^{2}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

① Quadrat der Differenz von \(x\) und der \(x\)-Koordinate \(a\) des Mittelpunkts \(+\) ② Quadrat der Differenz von \(y\) und der \(y\)-Koordinate \(b\) des Mittelpunkts \(=\) ③ \(r^{2}\): Radius zum Quadrat

Die Formel in Worten

① Für jeden Punkt \(P(x \,|\, y)\) auf dem Kreis gilt: das Quadrat des Abstands in \(x\)-Richtung vom Mittelpunkt, \(x - a\),

② plus das Quadrat des Abstands in \(y\)-Richtung vom Mittelpunkt, \(y - b\),

③ ist gleich dem Quadrat des Radius \(r\)

Einfaches Beispiel

Die Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M(1 | 2) und dem Radius 3 lautet

\((x - 1)^{2}\) \(+\) \((y - 2)^{2}\) \(=\) \(3^{2} = 9\)

\((x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9\)

Der Grundgedanke

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die vom Mittelpunkt denselben Abstand (den Radius \(r\)) haben. Schreiben Sie den Abstand eines Kreispunkts \(P(x \,|\, y)\) vom Mittelpunkt \(M(a \,|\, b)\) mit dem Satz des Pythagoras, erhalten Sie \(\sqrt{(x-a)^{2} + (y-b)^{2}} = r\). Quadrieren beider Seiten ergibt die Mittelpunktform. Die Mittelpunktform ist also nichts anderes als die Definition des Kreises – „Abstand \(r\) vom Mittelpunkt“ – als Gleichung geschrieben. Beachten Sie: Auf der rechten Seite steht \(r^{2}\), das Quadrat des Radius. Der Radius von \((x-1)^{2} + (y-2)^{2} = 9\) ist nicht 9, sondern \(\sqrt{9} = 3\).

Allgemeine Form → Mittelpunktform (Mittelpunkt und Radius per quadratischer Ergänzung)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\mathrm{C}\) \(=\) \(\left(-\dfrac{l}{2},\ -\dfrac{m}{2}\right)\)

\(r^{2}\) \(=\) \(\dfrac{l^{2}}{4} + \dfrac{m^{2}}{4} - n\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(\mathrm{C}\): Mittelpunkt \(=\) ① die Hälften der Koeffizienten \(l\) (vor \(x\)) und \(m\) (vor \(y\)) mit umgekehrtem Vorzeichen

④ \(r^{2}\): Radius zum Quadrat \(=\) ③ Summe der Quadrate der halben Koeffizienten minus Absolutglied \(n\)

Die Formel in Worten

① Nach der quadratischen Ergänzung der allgemeinen Form \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\) ergeben die Hälften der Koeffizienten \(l\) und \(m\) mit umgekehrtem Vorzeichen

② den Mittelpunkt \(\mathrm{C}\),

③ und die Summe der Quadrate der halben Koeffizienten minus Absolutglied \(n\)

④ ist das Quadrat des Radius \(r^{2}\)

Einfaches Beispiel

Die quadratische Ergänzung von \(x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 9 = 0\) ergibt

Mittelpunkt \(M(2 \,|\, 3)\) \(,\) \(r^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)

\(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\)

\(y^{2} - 6y = (y - 3)^{2} - 9\)

\((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4 + 9 - 9 = 4\)

\(r = \sqrt{4} = 2\)

Der Grundgedanke

Die quadratische Ergänzung schreibt „quadratisches Glied plus lineares Glied“ wie \(x^{2} - 4x\) als „Quadrat plus Zahl“ wie \((x - 2)^{2} - 4\). Das Quadrat \((x - 2)^{2}\) bilden Sie mit der Hälfte des Koeffizienten vor \(x\) (die Hälfte von \(-4\) ist \(-2\)). Ausmultipliziert entsteht dabei ein zusätzliches \(+4\) – das ziehen Sie wieder ab, damit beide Seiten gleich bleiben. Rechts steht danach \(r^{2}\). Prüfen Sie an dieser Stelle immer das Vorzeichen: Ist die rechte Seite 0, erfüllt nur ein Punkt, der Mittelpunkt, die Gleichung. Ist sie negativ, erfüllt sie gar kein Punkt, denn eine Summe von Quadraten ist nie negativ. Eine Gleichung in allgemeiner Form beschreibt also nicht immer einen Kreis – nur dann, wenn die rechte Seite positiv ist.

Lage von Kreis und Gerade (Abstand d des Mittelpunkts von der Geraden im Vergleich zum Radius r)

Abbildung

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(d\) \(=\) \(\dfrac{\left|\,pa + qb + s\,\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(d\): Abstand des Mittelpunkts \(M(a \,|\, b)\) von der Geraden \(=\) ① Betrag der linken Seite der Geradengleichung im Mittelpunkt, geteilt durch \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\)

Die Formel in Worten

① Für die Gerade \(px + qy + s = 0\) ergibt der Betrag der linken Seite mit eingesetztem Mittelpunkt \(M(a \,|\, b)\), geteilt durch \(\sqrt{p^{2} + q^{2}}\),

② den Abstand \(d\) des Mittelpunkts von der Geraden . Vergleichen Sie dieses \(d\) mit dem Radius \(r\), so kennen Sie die Lage von Kreis und Gerade

Einfaches Beispiel

Für den Kreis \((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4\) (Mittelpunkt \(M(2 \,|\, 3)\), Radius 2) und die Gerade \(3x + 4y - 8 = 0\) gilt

Abstand \(d = 2\) \(=\) Radius \(r = 2\)

\(d = \dfrac{|3 \times 2 + 4 \times 3 - 8|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \dfrac{10}{5} = 2\)

\(d = r\)

Der Grundgedanke

Je nachdem, ob der Abstand \(d\) oder der Radius \(r\) größer ist, gibt es drei Fälle. Ist \(d < r\), schneidet die Gerade den Kreis in zwei Punkten (Sekante; die Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten ist eine Sehne). Ist \(d = r\), berührt sie den Kreis in genau einem Punkt (Tangente; der gemeinsame Punkt heißt Berührpunkt). Ist \(d > r\), haben Gerade und Kreis keinen Punkt gemeinsam (Passante). Zahlen mit \(\sqrt{\ }\) zu vergleichen geht leicht schief. Deshalb vergleicht dieser Rechner \(d^{2}\) und \(r^{2}\) als exakte Brüche – denselben Trick können Sie auch von Hand nutzen. Ein anderer Weg: Lösen Sie die Gleichungen von Kreis und Gerade als Gleichungssystem. Eliminieren Sie \(y\) (oder \(x\)) und betrachten Sie das Vorzeichen der Diskriminante \(D\) der entstehenden quadratischen Gleichung (\(D > 0\): zwei Punkte, \(D = 0\): Tangente, \(D < 0\): kein Punkt). Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte erhalten Sie, indem Sie dieses Gleichungssystem lösen.

Die Kreisgleichung lässt sich in zwei Formen schreiben: in der Mittelpunktform \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\), an der man Mittelpunkt und Radius abliest, und in der ausmultiplizierten allgemeinen Form \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\). Mit der quadratischen Ergänzung wird aus der allgemeinen Form die Mittelpunktform – ein Kreis ist es aber nur, wenn die rechte Seite (der Wert an der Stelle von \(r^{2}\)) positiv ist. Die Lage einer Geraden zum Kreis entscheidet der Vergleich des Abstands \(d\) des Mittelpunkts von der Geraden mit dem Radius \(r\).

Symbole und Begriffe

Symbole

\((x,\ y)\)	x, y	Die Koordinaten eines Punkts, der auf dem Kreis wandert (in Schulbüchern \(P(x \,\|\, y)\)). Die Kreisgleichung besagt: Sammelt man alle \((x \,\|\, y)\), die sie erfüllen, erhält man den Kreis.
\(a,\ b\)	a, b	Die Buchstaben für den Mittelpunkt \(M(a \,\|\, b)\) des Kreises. Für feste Zahlen nimmt man meist Buchstaben vom Anfang des Alphabets – anders als die wandernden \(x\) und \(y\) bleiben sie für einen Kreis fest. Viele deutsche Schulbücher schreiben den Mittelpunkt als \(M(x_M \,\|\, y_M)\).
\(r\)	r	Der Radius des Kreises (Anfangsbuchstabe von „Radius“). Beachten Sie: Auf der rechten Seite der Mittelpunktform steht nicht \(r\) selbst, sondern sein Quadrat \(r^{2}\).
\(\mathrm{C}\)	C	Ein Buchstabe für den Mittelpunkt (vom englischen „center“). In deutschen Schulbüchern heißt der Mittelpunkt meist \(M\); manchmal wird auch der Kreis selbst \(k\) genannt.
\(l,\ m,\ n\)	l, m, n	Die Koeffizienten der allgemeinen Form \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\). Manche Schulbücher schreiben dafür \(A,\ B,\ C\) oder \(D,\ E,\ F\) – die Bedeutung ist dieselbe.
\(d\)	d	Der Abstand des Mittelpunkts von der Geraden (vom englischen „distance“). Der Vergleich mit dem Radius \(r\) entscheidet über die Lage von Kreis und Gerade.
\(p,\ q,\ s\)	p, q, s	Die Koeffizienten der Geraden \(px + qy + s = 0\) auf dieser Seite. Üblich ist \(ax + by + c = 0\), hier werden andere Buchstaben verwendet, damit sie nicht mit dem Mittelpunkt \(M(a \,\|\, b)\) verwechselt werden.
\(\sqrt{\ }\)	Wurzel (Wurzelzeichen)	Das Zeichen für die positive Zahl, deren Quadrat die Zahl unter der Wurzel ist (Quadratwurzel). Den Radius erhalten Sie als \(r = \sqrt{r^{2}}\). Ist zum Beispiel \(r^{2} = 8\), so ist \(r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

Begriffe

Kreis	Die Figur aus allen Punkten einer Ebene, die von einem Punkt (dem Mittelpunkt) denselben Abstand (den Radius) haben. Die Kreisgleichung ist diese Definition „gleicher Abstand“ als Gleichung.
Kreisgleichung	Eine Gleichung, die einen Kreis im Koordinatensystem beschreibt: Die Punkte \((x \,\|\, y)\), die sie erfüllen, bilden genau den Kreis. Sie kommt in der analytischen Geometrie der Oberstufe vor (je nach Bundesland Klasse 10–12, 15–18 Jahre).
Mittelpunktform	Die Form \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) (in Schulbüchern oft \((x - x_M)^{2} + (y - y_M)^{2} = r^{2}\)). Ihr Vorteil: Sie lesen den Mittelpunkt \(M(a \,\|\, b)\) und den Radius \(r\) direkt an der Gleichung ab.
allgemeine Form	Die Form \(x^{2} + y^{2} + lx + my + n = 0\), die durch Ausmultiplizieren und Ordnen der Mittelpunktform entsteht. Mittelpunkt und Radius sieht man ihr nicht direkt an, aber zum Weiterrechnen ist sie bequem.
quadratische Ergänzung	Das Umschreiben eines Terms wie \(x^{2} + lx\) als „Quadrat plus Zahl“, also \(\left(x + \dfrac{l}{2}\right)^{2} - \dfrac{l^{2}}{4}\). Mit ihr bestimmt man auch den Scheitelpunkt einer Parabel; auf dieser Seite ist sie der zentrale Rechenschritt.
Mittelpunkt	Der Punkt in der Mitte eines Kreises, der von jedem Kreispunkt gleich weit entfernt ist (um den Radius). Das \((a \,\|\, b)\) der Mittelpunktform ist der Mittelpunkt.
Radius	Der Abstand \(r\) vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf dem Kreis. Als Länge ist er immer positiv. Man erhält ihn als Quadratwurzel der rechten Seite \(r^{2}\) der Mittelpunktform.
Satz des Pythagoras	Der Satz, dass im rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten ist (\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\)). Er ist die Grundlage für den Abstand zweier Punkte, und die Mittelpunktform des Kreises ist dieser Satz als Gleichung. Er steht in Klasse 8–9 (13–15 Jahre) auf dem Lehrplan.
gemeinsamer Punkt	Ein Punkt, der auf beiden Figuren liegt. Bei Kreis und Gerade gibt es 2 (Sekante, die Schnittpunkte), 1 (Tangente, der Berührpunkt) oder 0 (Passante). Die Koordinaten erhält man, indem man beide Gleichungen als Gleichungssystem löst.
Tangente	Eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Dieser Punkt heißt Berührpunkt. Der Abstand des Mittelpunkts von einer Tangente ist genau der Radius.
Sehne	Schneidet eine Gerade den Kreis in zwei Punkten, ist die Strecke zwischen diesen Punkten eine Sehne. Das Lot vom Mittelpunkt auf die Sehne halbiert sie genau. Deshalb hängen die halbe Sehne, der Abstand \(d\) des Mittelpunkts von der Geraden und der Radius \(r\) über den Satz des Pythagoras zusammen.
Abstand Punkt–Gerade	Die Länge des Lots von einem Punkt auf eine Gerade (der kürzeste Abstand zwischen beiden). Man berechnet ihn mit \(d = \dfrac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\) und entscheidet damit über die Lage von Gerade und Kreis.
Diskriminante	Der Term \(D = b^{2} - 4ac\), der angibt, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung \(ax^{2} + bx + c = 0\) hat. Auch die Diskriminante der Gleichung, die beim gemeinsamen Lösen von Kreis- und Geradengleichung entsteht, zeigt die Lage (\(D > 0\): zwei Punkte, \(D = 0\): Tangente, \(D < 0\): kein Punkt).
Koordinatensystem	Eine Ebene aus einem waagerechten Zahlenstrahl (der \(x\)-Achse) und einem senkrechten (der \(y\)-Achse), die sich rechtwinklig kreuzen. So lässt sich jeder Punkt als Zahlenpaar \((x \,\|\, y)\) schreiben – hier treffen sich Geometrie und Gleichungen.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, ist hier zusammengestellt, was Sie vorher wissen sollten.
Wenn Sie hängen bleiben, ist es am schnellsten, diese Themen zu wiederholen.

Das Koordinatensystem und Koordinaten von Punkten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Die Lage eines Punkts als Zahlenpaar \((x \,\|\, y)\) angeben können (zum Beispiel liegt \(P(2 \,\|\, 3)\) 2 nach rechts und 3 nach oben vom Ursprung) Ein Gefühl dafür haben, dass alle Punkte, die eine Gleichung erfüllen, zusammen ihren Graphen (eine Figur) bilden
Der Satz des Pythagoras und der Abstand zweier Punkte (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass im rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten ist Wissen, dass der Abstand zweier Punkte \(\sqrt{(x_2 - x_1)^{2} + (y_2 - y_1)^{2}}\) ist (das ist der Satz des Pythagoras selbst)
Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Die positive Zahl bestimmen können, deren Quadrat eine gegebene Zahl ist, etwa \(\sqrt{4} = 2\) Wurzeln durch teilweises Wurzelziehen vereinfachen können, etwa \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
Binomische Formeln, Faktorisieren und quadratische Ergänzung (Klasse 8–10, 13–16 Jahre)	Terme mit den binomischen Formeln ausmultiplizieren können, etwa \((x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4\) Die quadratische Ergänzung beherrschen, etwa \(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\) (derselbe Schritt wie beim Scheitelpunkt einer Parabel) Quadratische Gleichungen durch Faktorisieren oder mit der Mitternachtsformel lösen können und wissen, wie das Vorzeichen der Diskriminante \(D = b^{2} - 4ac\) mit der Zahl der Lösungen zusammenhängt
Abstand Punkt–Gerade (Oberstufe, 15–18 Jahre)	Eine Gerade in der Form \(ax + by + c = 0\) (allgemeine Form) schreiben können, auch durch Umformen aus \(y = mx + k\) Wissen, dass der Abstand des Punkts \(P(x_0 \,\|\, y_0)\) von der Geraden \(ax + by + c = 0\) gleich \(\dfrac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\) ist

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für allgemeine Form → Mittelpunktform (Mittelpunkt und Radius)

l (vor x)	-4
m (vor y)	-6
n (Absolutglied)	9
Mittelpunkt x-Koordinate (−l/2)	=-B1/2
Mittelpunkt y-Koordinate (−m/2)	=-B2/2
Radius zum Quadrat r² (l²/4 + m²/4 − n)	=B1^2/4+B2^2/4-B3
Radius r (nur für r² > 0 ein Kreis)	=WENN(B6>0;WURZEL(B6);"kein Kreis")

Tabelle für Mittelpunktform → allgemeine Form

Mittelpunkt x-Koordinate a	1
Mittelpunkt y-Koordinate b	-2
Rechte Seite (r², Radius zum Quadrat)	9
l vor x (−2a)	=-2*B1
m vor y (−2b)	=-2*B2
Absolutglied n (a² + b² − r²)	=B1^2+B2^2-B3

Tabelle für die Lage von Kreis und Gerade

Mittelpunkt x-Koordinate a	2
Mittelpunkt y-Koordinate b	3
Radius r	2
Gerade p (vor x)	3
Gerade q (vor y)	4
Gerade s (Absolutglied)	-8
Abstand d Mittelpunkt–Gerade	=ABS(B4B1+B5B2+B6)/WURZEL(B4^2+B5^2)
Lage	=WENN(B7<B3;"Sekante";WENN(B7=B3;"Tangente";"Passante"))

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Koeffizienten usw.) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen werden automatisch berechnet. „^“ bedeutet hoch (Potenz), WURZEL liefert die Quadratwurzel und ABS den Betrag.
Die erste Tabelle ist das Beispiel x²+y²−4x−6y+9=0: Mittelpunkt M(2 | 3), r²=4 und Radius 2. Ist r² gleich 0 oder negativ, beschreibt die Gleichung keinen Kreis, und in der Zelle steht „kein Kreis“.
Die zweite Tabelle ist das Beispiel mit dem Mittelpunkt M(1 | −2) und r²=9: l=−2, m=4, n=−4, die Gleichung lautet also x²+y²−2x+4y−4=0.
Die dritte Tabelle ist das Beispiel mit dem Kreis (x−2)²+(y−3)²=4 und der Geraden 3x+4y−8=0. d=2 ist gleich dem Radius 2, das Ergebnis ist also „Tangente“. WURZEL kann kleine Rundungsfehler haben – für eine exakte Tangentenprüfung ist es sicherer, d² und r² zu vergleichen (=(B4*B1+B5*B2+B6)^2/(B4^2+B5^2) mit B3^2).

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für allgemeine Form → Mittelpunktform (Mittelpunkt und Radius)

l (vor x)	-4
m (vor y)	-6
n (Absolutglied)	9
Mittelpunkt x-Koordinate (−l/2)	=-B1/2
Mittelpunkt y-Koordinate (−m/2)	=-B2/2
Radius zum Quadrat r² (l²/4 + m²/4 − n)	=B1^2/4+B2^2/4-B3
Radius r (nur für r² > 0 ein Kreis)	=WENN(B6>0;WURZEL(B6);"kein Kreis")

Tabelle für Mittelpunktform → allgemeine Form

Mittelpunkt x-Koordinate a	1
Mittelpunkt y-Koordinate b	-2
Rechte Seite (r², Radius zum Quadrat)	9
l vor x (−2a)	=-2*B1
m vor y (−2b)	=-2*B2
Absolutglied n (a² + b² − r²)	=B1^2+B2^2-B3

Tabelle für die Lage von Kreis und Gerade

Mittelpunkt x-Koordinate a	2
Mittelpunkt y-Koordinate b	3
Radius r	2
Gerade p (vor x)	3
Gerade q (vor y)	4
Gerade s (Absolutglied)	-8
Abstand d Mittelpunkt–Gerade	=ABS(B4B1+B5B2+B6)/WURZEL(B4^2+B5^2)
Lage	=WENN(B7<B3;"Sekante";WENN(B7=B3;"Tangente";"Passante"))

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koeffizienten durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Python

from fractions import Fraction
import math

# Koeffizienten der allgemeinen Form x² + y² + lx + my + n = 0 (ein Bruch wie 3/4 wird als Fraction(3, 4) geschrieben)
coef_l = Fraction(-4)
coef_m = Fraction(-6)
coef_n = Fraction(9)

center_x = -coef_l / 2
center_y = -coef_m / 2
radius_squared = coef_l ** 2 / 4 + coef_m ** 2 / 4 - coef_n

print(f"Mittelpunkt: M({center_x} | {center_y})")
print(f"Radius zum Quadrat r²: {radius_squared}")
if radius_squared > 0:
    print(f"Radius r: {math.sqrt(radius_squared)}")
elif radius_squared == 0:
    print("Kein Kreis: Die Gleichung beschreibt nur einen Punkt, den Mittelpunkt")
else:
    print("Kein Kreis: Kein Punkt erfüllt diese Gleichung")

# Lage zur Geraden px + qy + s = 0 (d² und r² werden als Brüche verglichen, also ohne Rundungsfehler)
line_p = Fraction(3)
line_q = Fraction(4)
line_s = Fraction(-8)
distance_squared = (line_p * center_x + line_q * center_y + line_s) ** 2 / (line_p ** 2 + line_q ** 2)
if distance_squared < radius_squared:
    print("Sekante: Die Gerade schneidet den Kreis in zwei Punkten")
elif distance_squared == radius_squared:
    print("Tangente: Die Gerade berührt den Kreis")
else:
    print("Passante: Kreis und Gerade haben keinen gemeinsamen Punkt")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ganz ohne Rundungsfehler. Das Beispiel nutzt den Kreis x²+y²−4x−6y+9=0 und die Gerade 3x+4y−8=0. Beim Ausführen erscheinen der Mittelpunkt M(2 | 3), r²=4, der Radius 2 und „Tangente – die Gerade berührt den Kreis“. Abstand und Radius werden als d² und r² verglichen, damit Rundungsfehler der Wurzel die Tangentenprüfung nicht verfälschen. Ändern Sie die Koeffizienten und führen Sie das Programm erneut aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Kreisgleichung (Mittelpunktform)

(x − a)² + (y − b)² = r²

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2;

(x - a)^2 + (y - b)^2 == r^2

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Allgemeine Form → Mittelpunktform (Mittelpunkt und Radius per quadratischer Ergänzung)

(x + l/2)² + (y + m/2)² = l²/4 + m²/4 − n

\left(x + \frac{l}{2}\right)^{2} + \left(y + \frac{m}{2}\right)^{2} = \frac{l^{2}}{4} + \frac{m^{2}}{4} - n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>l</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mrow><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>m</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><msup><mi>l</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mfrac><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n

Simplify[(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n) == x^2 + y^2 + l x + m y + n]

Student:-Precalculus:-CompleteSquare(x^2 + y^2 + l*x + m*y + n, [x, y]);

expand((x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 - (l^2/4 + m^2/4 - n))

(x + l/2)^2 + (y + m/2)^2 = l^2/4 + m^2/4 - n

Lage von Kreis und Gerade (Abstand d des Mittelpunkts von der Geraden im Vergleich zum Radius r)

d = |pa + qb + s| / √(p² + q²)

d = \frac{\left|pa + qb + s\right|}{\sqrt{p^{2} + q^{2}}}

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    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
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    </mfrac>
  </mrow>
</math>

d = |p a + q b + s| / sqrt(p^2 + q^2)

d = Abs[p a + q b + s]/Sqrt[p^2 + q^2]

d := abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);

d = abs(p*a + q*b + s)/sqrt(p^2 + q^2);

d = |pa + qb + s|/√(p^2 + q^2)

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (analytische Geometrie). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen).

Geben Sie für den Kreis x² + y² − 4x − 6y + 9 = 0 Folgendes an:
1. Die Gleichung in Mittelpunktform (x − a)² + (y − b)² = r², umgeformt mit quadratischer Ergänzung
2. Den Mittelpunkt und den Radius (als exakte Werte)
3. Die Lage der Geraden 3x + 4y − 8 = 0 zum Kreis (Sekante / Tangente / Passante) und die Koordinaten der gemeinsamen Punkte

Rechnen Sie in Python exakt mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek (oder mit sympy) und vergleichen Sie Abstand und Radius über d² und r². Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel