Sinus, Kosinus und Tangens berechnen – Werte und Winkel am Einheitskreis

Wählen Sie „Werte aus dem Winkel“ oder „Winkel aus einem Wert“ und geben Sie Ihre Zahlen ein. Zum Ergebnis erscheint eine Zeichnung am Einheitskreis.

Gesucht

Winkel θ (Grad)

Winkelfunktion

Wert

Den Winkel geben Sie in Grad (°) ein; negative Winkel und Winkel über 360° sind möglich. Beim Wert von sin, cos oder tan gehen Dezimalzahlen und Brüche wie 1/2.

Ergebnis und Figur

Geben Sie links einen Winkel (oder den Wert von sin, cos bzw. tan) ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Zeichnung am Einheitskreis erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Winkel \(\theta\) in Grad eingeben und \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) und \(\tan\theta\) auf einmal erhalten. Für besondere Winkel wie \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) oder \(120^\circ\) gibt es den exakten Wert (etwa \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)) und die Dezimalzahl
Auch umgekehrt: den Winkel aus dem Wert einer Winkelfunktion berechnen (Arkusfunktion), etwa „bei welchem Winkel ist \(\sin\theta = 0{,}5\)?“ (im Bereich \(0^\circ\) bis \(180^\circ\); passen zwei Winkel, werden beide angezeigt)
Auch negative Winkel und Winkel über \(360^\circ\) sind möglich. Winkel stehen in Grad, das Bogenmaß wird daneben angegeben
Zum Ergebnis gehört eine Zeichnung am Einheitskreis: Sie sehen auf einen Blick, welche Strecken am Kreis \(\sin\theta\) und \(\cos\theta\) sind
Außerdem: verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python

Ist ein Wert nicht definiert, wie \(\tan 90^\circ\), bricht die Seite nicht mit einer Fehlermeldung ab, sondern erklärt, warum es diesen Wert nicht gibt.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Die Steigung von Straßen und Rampen angeben (Straßenbau und barrierefreies Bauen)

Das Verkehrszeichen „Steigung 10 %“ bedeutet: Auf 100 m waagerechter Strecke geht es 10 m hinauf – das ist genau \(\tan\theta = 0{,}1\) (etwa \(5{,}7^\circ\)). Auch Rampen für Rollstühle werden so angegeben: Nach DIN 18040-1 dürfen sie in Deutschland höchstens 6 % steil sein, also \(\tan\theta = 0{,}06\) (etwa \(3{,}4^\circ\)).
Der Tangens ist in der Praxis handlicher als der Winkel, weil er sich direkt aus Höhe und Strecke ergibt. Deshalb steht auf Schildern und in Normen genau diese Winkelfunktion.

Die Höhe eines Baums oder Gebäudes aus der Entfernung messen (Vermessung)

Kommt man mit dem Maßband nicht an die Spitze, lässt sich die Höhe aus der Entfernung und dem Winkel, unter dem man hinaufschaut (Höhenwinkel), berechnen: Höhe = Entfernung · \(\tan\theta\). Steht man zum Beispiel 20 m von einem Baum entfernt und misst einen Höhenwinkel von \(30^\circ\), ist der Teil oberhalb der Augenhöhe \(20 \cdot \tan 30^\circ \approx 11{,}5\) m hoch.
Die Triangulation in der Landvermessung und Kartografie bestimmt auf dieselbe Weise Entfernungen und Positionen aus gemessenen Winkeln. Auch Vermessungsgeräte wie Tachymeter rechnen gemessene Winkel und Strecken mit Sinus und Kosinus in Koordinaten um.

Kräfte an der schiefen Ebene zerlegen (Physik und Mechanik)

Auf einen Körper an einem Hang wirkt die Gewichtskraft senkrecht nach unten. In der Physik zerlegt man sie in die Hangabtriebskraft, die den Körper den Hang hinunterziehen will (Gewichtskraft · \(\sin\theta\)), und die Normalkraft, die ihn auf den Hang drückt (Gewichtskraft · \(\cos\theta\)).
Bei einer Neigung von \(30^\circ\) ist die Hangabtriebskraft \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) der Gewichtskraft, also die Hälfte. Ob die Feststellbremse am Berg hält oder wie schnell man eine Skipiste hinunterfährt – die Physik der schiefen Ebene beginnt immer mit dieser Zerlegung.

Figuren in Spielen und Grafiken schräg bewegen (Programmieren)

Soll sich in einem Spiel etwas „mit der Geschwindigkeit \(v\) in Richtung \(\theta\)“ bewegen, verschiebt der Computer die Position um \(v \cdot \cos\theta\) waagerecht und um \(v \cdot \sin\theta\) senkrecht. Flugbahnen in Shootern, die Ecken eines Netzdiagramms, die Zeiger einer Uhr auf dem Bildschirm: Jede Aufgabe, die aus einem Winkel eine Position macht, braucht sin und cos.
Die Definition am Einheitskreis (\(x = \cos\theta,\ y = \sin\theta\)) ist selbst schon das Programm für Drehungen und Kreisbewegungen auf dem Bildschirm.

Die Dachneigung planen (Bau und Zimmerei)

In Deutschland gibt man die Dachneigung meist in Grad an, bei Satteldächern etwa \(35^\circ\). Steht die Neigung fest, ist die Sparrenlänge die waagerechte Länge geteilt durch \(\cos\theta\): Bei 4 m Grundmaß und \(35^\circ\) sind das \(4 : \cos 35^\circ \approx 4{,}88\) m, die Firsthöhe darüber \(4 \cdot \tan 35^\circ \approx 2{,}80\) m. Auch Wasserablauf, abrutschenden Schnee und Materialbedarf schätzt man über diese Werte ab.
Wer Dachwinkel mit dem Zimmermannswinkel anreißt, nutzt ebenfalls die Seitenverhältnisse eines rechtwinkligen Dreiecks – genau die Idee von Sinus, Kosinus und Tangens.

Formeln und Abbildungen

sin (Sinus) = Gegenkathete : Hypotenuse

Abbildung (rechtwinkliges Dreieck und Winkelfunktionen)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\sin\theta\) \(=\) \(a\) \(\div\) \(c\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Sinus des Winkels \(\theta\), \(\sin\theta\) \(=\) ① Gegenkathete \(a\) (gegenüber von \(\theta\)) \(\div\) ② Hypotenuse \(c\)

Die Formel in Worten

① Im rechtwinkligen Dreieck teilt man die Gegenkathete \(a\) (die Seite gegenüber dem Winkel \(\theta\))

② durch die Hypotenuse \(c\) (die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel)

③ und erhält den Sinus des Winkels \(\theta\), \(\sin\theta\) .

Einfaches Beispiel

Im rechtwinkligen Dreieck mit dem Seitenverhältnis \(3 : 4 : 5\) (Gegenkathete 3, Ankathete 4, Hypotenuse 5) gilt

\(\sin\theta\) \(=\) Gegenkathete 3 \(\div\) Hypotenuse 5

\(\sin\theta = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)

Der Grundgedanke

Der Sinus ist ein Verhältnis: Wenn man die Hypotenuse als 1 nimmt – wie hoch geht es dann hinauf? Ist der Winkel \(\theta\) festgelegt, hat dieses Verhältnis immer denselben Wert, egal wie groß das Dreieck ist (Dreiecke gleicher Form sind ähnlich). Deshalb kann man es als Funktion des Winkels allein verwenden. Eine beliebte Merkhilfe für alle drei ist „GAGA HHAG“ (manchmal als „GAGA Hühnerhof AG“): Man liest die Buchstaben paarweise untereinander: G/H, A/H, G/A – also Sinus = Gegenkathete : Hypotenuse, Kosinus = Ankathete : Hypotenuse, Tangens = Gegenkathete : Ankathete (das vierte Paar A/G ist der Kotangens).

cos (Kosinus) = Ankathete : Hypotenuse

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\cos\theta\) \(=\) \(b\) \(\div\) \(c\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Kosinus des Winkels \(\theta\), \(\cos\theta\) \(=\) ① Ankathete \(b\) (anliegend an \(\theta\)) \(\div\) ② Hypotenuse \(c\)

Die Formel in Worten

① Im rechtwinkligen Dreieck teilt man die Ankathete \(b\) (die Seite am Winkel \(\theta\), die den rechten Winkel mit bildet)

② durch die Hypotenuse \(c\)

③ und erhält den Kosinus des Winkels \(\theta\), \(\cos\theta\) .

Einfaches Beispiel

Im rechtwinkligen Dreieck mit dem Seitenverhältnis \(3 : 4 : 5\) (Gegenkathete 3, Ankathete 4, Hypotenuse 5) gilt

\(\cos\theta\) \(=\) Ankathete 4 \(\div\) Hypotenuse 5

\(\cos\theta = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)

Der Grundgedanke

Der Kosinus ist ein Verhältnis: Wenn man die Hypotenuse als 1 nimmt – wie weit geht es dann zur Seite? In „GAGA HHAG“ ist das „A durch H“. Das „Ko“ im Namen kommt vom Komplementwinkel (dem Winkel, der zusammen mit \(\theta\) \(90^\circ\) ergibt): \(\cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)\). Der Kosinus eines Winkels ist also der Sinus seines Komplementwinkels, zum Beispiel \(\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\).

tan (Tangens) = Gegenkathete : Ankathete

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\tan\theta\) \(=\) \(a\) \(\div\) \(b\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

③ Tangens des Winkels \(\theta\), \(\tan\theta\) \(=\) ① Gegenkathete \(a\) (gegenüber von \(\theta\)) \(\div\) ② Ankathete \(b\) (anliegend an \(\theta\))

Die Formel in Worten

① Im rechtwinkligen Dreieck teilt man die Gegenkathete \(a\) (die Seite gegenüber dem Winkel \(\theta\))

② durch die Ankathete \(b\) (die Seite am Winkel \(\theta\))

③ und erhält den Tangens des Winkels \(\theta\), \(\tan\theta\) .

Einfaches Beispiel

Im rechtwinkligen Dreieck mit dem Seitenverhältnis \(3 : 4 : 5\) (Gegenkathete 3, Ankathete 4, Hypotenuse 5) gilt

\(\tan\theta\) \(=\) Gegenkathete 3 \(\div\) Ankathete 4

\(\tan\theta = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\)

Der Grundgedanke

Der Tangens sagt, wie weit es hinaufgeht, wenn man 1 zur Seite geht – er ist also genau die Steigung eines Hangs. Aus den Definitionen folgt \(\tan\theta = \dfrac{a}{b} = \dfrac{a : c}{b : c} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). Im Nenner steht \(\cos\theta\); bei \(\theta = 90^\circ\) ist \(\cos\theta = 0\), daher ist \(\tan 90^\circ\) nicht definiert (durch 0 kann man nicht teilen).

Definition am Einheitskreis (für Winkel ab 90°)

Abbildung (Einheitskreis und Winkelfunktionen)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(\cos\theta\) \(=\) \(x\)

\(\sin\theta\) \(=\) \(y\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

② Kosinus des Winkels \(\theta\), \(\cos\theta\) \(=\) ① \(x\)-Koordinate des Punkts \(P\)

④ Sinus des Winkels \(\theta\), \(\sin\theta\) \(=\) ③ \(y\)-Koordinate des Punkts \(P\)

Die Formel in Worten

① Am Kreis mit Radius \(1\) um den Ursprung \(O\) (dem Einheitskreis) dreht man einen Strahl (den freien Schenkel) um den Winkel \(\theta\) von der positiven \(x\)-Achse aus; der Schnittpunkt mit dem Kreis heißt \(P\). Dann ist die \(x\)-Koordinate des Punkts \(P\)

② der Kosinus des Winkels \(\theta\), \(\cos\theta\),

③ und die \(y\)-Koordinate des Punkts \(P\)

④ der Sinus des Winkels \(\theta\), \(\sin\theta\) .

Einfaches Beispiel

Für \(\theta = 120^\circ\) (ein stumpfer Winkel) ist der Punkt auf dem Einheitskreis \(P\left(-\dfrac{1}{2} \,\middle|\, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), also

\(\cos 120^\circ\) \(=\) \(x\)-Koordinate \(-\dfrac{1}{2}\)

\(\sin 120^\circ\) \(=\) \(y\)-Koordinate \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}, \quad \sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 120^\circ = \dfrac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ} = -\sqrt{3}\)

Der Grundgedanke

Mit der Definition am rechtwinkligen Dreieck kommt man nur mit Winkeln größer als \(0^\circ\) und kleiner als \(90^\circ\) aus. Am Einheitskreis lassen sich Sinus, Kosinus und Tangens auf \(0^\circ\), \(90^\circ\), stumpfe Winkel, \(180^\circ\) und weiter bis \(360^\circ\) und darüber hinaus erweitern. Dieser Rechner verwendet diese Definition. Ab \(90^\circ\) liegt der Punkt \(P\) links der \(y\)-Achse, seine \(x\)-Koordinate wird negativ – deshalb sind \(\cos\theta\) und \(\tan\theta\) dann negativ (\(\sin\theta\) bleibt von \(0^\circ\) bis \(180^\circ\) immer mindestens 0). \(\tan\theta\) ist die Steigung der Geraden \(OP\). Sucht man den Winkel zu einem Wert, passen zu \(\sin\theta = 0{,}5\) zwei Winkel, \(30^\circ\) und \(150^\circ\), zu \(\cos\theta\) und \(\tan\theta\) dagegen nur einer. Die Zeichnung zeigt den Grund: Punkte gleicher Höhe treten spiegelbildlich paarweise auf, eine bestimmte \(x\)-Koordinate hat aber nur ein Punkt, und eine bestimmte Steigung nur ein freier Schenkel. (Ausnahme: Liegt der freie Schenkel auf der \(x\)-Achse, passen zu \(\sin\theta = 0\) und \(\tan\theta = 0\) jeweils \(0^\circ\) und \(180^\circ\).)

Im rechtwinkligen Dreieck gilt \(\sin\theta = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}},\ \cos\theta = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}},\ \tan\theta = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\). Am Einheitskreis sind es die \(y\)-Koordinate des Punkts \(P\), seine \(x\)-Koordinate und die Steigung der Geraden \(OP\). Für besondere Winkel wie \(30^\circ\), \(45^\circ\) und \(60^\circ\) folgen die exakten Werte aus den Seitenverhältnissen des halben Quadrats (\(1 : 1 : \sqrt{2}\)) und des halben gleichseitigen Dreiecks (\(1 : \sqrt{3} : 2\)).

Symbole und Begriffe

Symbole

\(\theta\)	Theta	Ein griechischer Buchstabe, der oft für Winkel steht (warum gerade \(\theta\), ist nicht eindeutig geklärt). In deutschen Schulbüchern heißen Winkel im Dreieck meist \(\alpha\) (Alpha), \(\beta\) (Beta) und \(\gamma\) (Gamma).
\(\sin\theta\)	Sinus Theta	Der Sinus des Winkels \(\theta\): „Gegenkathete : Hypotenuse“ im rechtwinkligen Dreieck, am Einheitskreis die \(y\)-Koordinate des Punkts \(P\). Der Name kommt vom lateinischen sinus (Bucht, Krümmung).
\(\cos\theta\)	Kosinus Theta	Der Kosinus des Winkels \(\theta\): „Ankathete : Hypotenuse“ im rechtwinkligen Dreieck, am Einheitskreis die \(x\)-Koordinate des Punkts \(P\). Der Name kommt von complementi sinus, dem Sinus des Komplementwinkels \(90^\circ - \theta\).
\(\tan\theta\)	Tangens Theta	Der Tangens des Winkels \(\theta\): „Gegenkathete : Ankathete“ im rechtwinkligen Dreieck – das ist die Steigung einer Geraden. Der Name kommt vom lateinischen tangere (berühren), weil er als Strecke auf einer Tangente an den Einheitskreis erscheint.
\(a,\ b,\ c\)	a, b, c	Auf dieser Seite die drei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks: \(a\) ist die Gegenkathete (gegenüber dem Winkel \(\theta\)), \(b\) die Ankathete (am Winkel \(\theta\)) und \(c\) die Hypotenuse – wie im Schulbuch, wenn \(\theta\) der Winkel \(\alpha\) bei \(A\) ist und der rechte Winkel bei \(C\) liegt.
\(P(x \,\|\, y)\)	P mit den Koordinaten x und y	Der Schnittpunkt des freien Schenkels mit dem Einheitskreis (\(P\) wie „Punkt“). Seine \(x\)-Koordinate ist \(\cos\theta\), seine \(y\)-Koordinate \(\sin\theta\).
\(O\)	O	Der Ursprung (der Punkt \((0 \,\|\, 0)\)), nach lateinisch origo. Er ist der Mittelpunkt des Einheitskreises und der Punkt, um den sich der freie Schenkel dreht.
\(\sqrt{2},\ \sqrt{3}\)	Wurzel aus 2, Wurzel aus 3	Die positiven Zahlen, deren Quadrat 2 bzw. 3 ist (\(\sqrt{2} \approx 1{,}414,\ \sqrt{3} \approx 1{,}732\)). Sie stecken in den Seitenverhältnissen des halben Quadrats und des halben gleichseitigen Dreiecks und tauchen deshalb oft in den exakten Werten besonderer Winkel auf.
\(^\circ\) (Grad)	Grad	Die Einheit der Winkelgröße im Gradmaß. Eine volle Umdrehung hat \(360^\circ\) – die vertrauteste Art, Winkel anzugeben, auch im Alltag.
\(\pi\)	Pi	Die Kreiszahl (\(\approx 3{,}14159\)), das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises. Sie wird gebraucht, wenn Winkel im Bogenmaß angegeben werden: \(180^\circ = \pi\). Der Buchstabe stammt vermutlich vom Anfangsbuchstaben des griechischen Worts für „Umfang“.

Begriffe

Winkelfunktion	Das Verhältnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck. Die drei grundlegenden sind Sinus, Kosinus und Tangens (auch trigonometrische Funktionen genannt). Ist der Winkel festgelegt, hat jede genau einen Wert, egal wie groß das Dreieck ist. In der Schule kommen sie meist in Klasse 9 oder 10 (14–16 Jahre) dran.
Sinus	Der volle Name von sin. Er geht historisch auf die halbe Sehne eines Kreises zurück (eine Sehne verbindet zwei Punkte auf dem Kreis).
Kosinus	Der volle Name von cos, aus complementi sinus: der Sinus des Komplementwinkels (des Winkels, der mit \(\theta\) zusammen 90° ergibt), \(\cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)\).
Tangens	Der volle Name von tan. Er kommt von der Tangente an einen Kreis: \(\tan\theta\) lässt sich als Strecke auf der Geraden zeichnen, die den Einheitskreis im Punkt \((1 \,\|\, 0)\) berührt.
Hypotenuse	Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck, gegenüber dem rechten Winkel. Bei Sinus und Kosinus steht sie im Nenner.
Gegenkathete	Die Kathete, die dem betrachteten Winkel \(\theta\) gegenüberliegt. Achtung: Welche Seite die Gegenkathete ist, hängt davon ab, welchen Winkel man betrachtet.
Ankathete	Die Kathete, die am betrachteten Winkel \(\theta\) anliegt (die Seite am rechten Winkel, die \(\theta\) berührt – nicht die Hypotenuse). Auch hier gilt: Welche Seite die Ankathete ist, hängt vom betrachteten Winkel ab.
Einheitskreis	Der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Weil der Radius 1 ist, sind die Koordinaten eines Punkts direkt die Werte von cos und sin – ohne durch die Hypotenuse zu teilen. Mit ihm erweitert man Sinus, Kosinus und Tangens auf Winkel ab 90°.
freier Schenkel	Der Strahl vom Ursprung aus, der von der positiven \(x\)-Achse um den Winkel \(\theta\) gedreht ist (die positive \(x\)-Achse ist der andere Schenkel). Er zeigt die Größe des Winkels in der Zeichnung.
stumpfer Winkel	Ein Winkel größer als 90° und kleiner als 180°. Sinus, Kosinus und Tangens eines stumpfen Winkels lassen sich nicht am rechtwinkligen Dreieck definieren, deshalb nimmt man den Einheitskreis. Bei stumpfen Winkeln sind cos und tan negativ.
rechtwinkliges Dreieck	Ein Dreieck mit einem rechten Winkel (90°). Hier wurden Sinus, Kosinus und Tangens ursprünglich definiert. Die beiden anderen Winkel ergeben zusammen 90°.
besondere rechtwinklige Dreiecke	Das halbe Quadrat mit den Winkeln 45°, 45°, 90° (Seitenverhältnis \(1 : 1 : \sqrt{2}\)) und das halbe gleichseitige Dreieck mit 30°, 60°, 90° (Seitenverhältnis \(1 : \sqrt{3} : 2\)). Aus ihren Seitenverhältnissen folgen die exakten Werte der besonderen Winkel. Das halbe Quadrat ist auch die Form des Geodreiecks.
Nenner rational machen	Einen Bruch so umformen, dass im Nenner keine Wurzel mehr steht. Erweitert man \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) mit \(\sqrt{2}\), erhält man \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) – derselbe Wert. In deutschen Schulbüchern steht dafür oft auch \(\tfrac{1}{2}\sqrt{2}\), etwa \(\sin 45^\circ = \tfrac{1}{2}\sqrt{2}\).
Gradmaß	Winkelmessung, bei der eine volle Umdrehung 360° hat – das Maß für Eingabe und Ausgabe auf dieser Seite. Die Zahl 360 hat viele Teiler (die Hälfte, ein Drittel, ein Viertel … sind alle ganzzahlig) und wird schon seit der Antike verwendet.
Bogenmaß (Radiant)	Winkelmessung über die Bogenlänge am Kreis mit Radius 1. Es gilt \(180^\circ = \pi\) rad, und Winkel werden als Bruchteile von \(\pi\) geschrieben, etwa \(60^\circ = \dfrac{\pi}{3}\). In der Analysis rechnet man fast nur im Bogenmaß, deshalb zeigt diese Seite es mit an.
Arkusfunktion	Eine Funktion, die vom Wert einer Winkelfunktion auf den Winkel zurückrechnet, etwa „bei welchem θ ist sin θ = 0,5?“. Beispiele sind Arkussinus (arcsin, auf dem Taschenrechner \(\sin^{-1}\)), Arkuskosinus und Arkustangens; Taschenrechner und Excel haben sie eingebaut. Der Modus „Winkel aus einem Wert“ auf dieser Seite ist genau diese Rechnung.
besonderer Winkel	Winkel wie 30°, 45°, 60°, 90° oder 120°, deren Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte sich exakt (mit Brüchen und Wurzeln) angeben lassen. Es sind die Winkel der besonderen rechtwinkligen Dreiecke und daraus gebildete Winkel wie 180° − θ.

Das sollten Sie vorher wissen

Hier steht, was Ihnen hilft, die Rechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen – statt nur auf die Schaltfläche zu klicken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist das Wiederholen dieser Themen der schnellste Weg.

Verhältnisse und Anteile (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass man „das Wievielfache von B ist A?“ mit A : B berechnet (eine Winkelfunktion ist genau so ein Verhältnis zweier Seiten) Ein Verhältnis wie \(3 : 4 : 5\) lesen und schreiben können
Koordinatensystem (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Die Lage eines Punkts als Paar \((x \,\|\, y)\) angeben können (etwa zeigen, wo ungefähr \((-0{,}5 \,\|\, 0{,}87)\) liegt) Wissen, dass die \(x\)-Koordinate links der \(y\)-Achse negativ ist und die \(y\)-Koordinate unterhalb der \(x\)-Achse
Kreis (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Mittelpunkt und Radius eines Kreises kennen und sich den Kreis als alle Punkte mit demselben Abstand (dem Radius) vom Mittelpunkt vorstellen können
Ähnlichkeit (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Wissen, dass in Dreiecken gleicher Form (ähnlichen Dreiecken) die Verhältnisse einander entsprechender Seiten gleich sind (deshalb bestimmt der Winkel allein den Wert einer Winkelfunktion)
Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass im rechtwinkligen Dreieck \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt (das Quadrat über der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten) Mit dem Satz des Pythagoras nachprüfen können, dass die besonderen rechtwinkligen Dreiecke die Seitenverhältnisse \(1 : 1 : \sqrt{2}\) und \(1 : \sqrt{3} : 2\) haben
Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Die ungefähren Werte \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\) und \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\) kennen Den Nenner rational machen können, etwa \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für sin θ (Gegenkathete : Hypotenuse)

Gegenkathete a	3
Hypotenuse c	5
sin θ = a : c	=B1/B2

Tabelle für cos θ (Ankathete : Hypotenuse)

Ankathete b	4
Hypotenuse c	5
cos θ = b : c	=B1/B2

Tabelle für tan θ (Gegenkathete : Ankathete)

Gegenkathete a	3
Ankathete b	4
tan θ = a : b	=B1/B2

Tabelle für sin, cos und tan aus dem Winkel

Winkel θ (Grad)	60
sin θ	=SIN(BOGENMASS(B1))
cos θ	=COS(BOGENMASS(B1))
tan θ	=TAN(BOGENMASS(B1))

Tabelle für den Winkel aus sin θ (0° bis 180°)

Wert von sin θ	0,5
Winkel 1 (Grad)	=GRAD(ARCSIN(B1))
Winkel 2 (Grad)	=180-B2

Die Excel-Funktionen SIN, COS und TAN erwarten den Winkel im Bogenmaß. Wer in Grad rechnet, wandelt den Winkel daher zuerst mit BOGENMASS um. Umgekehrt liefern ARCSIN (Arkussinus) und verwandte Funktionen das Ergebnis im Bogenmaß; mit GRAD wird daraus wieder eine Gradzahl.
Die ersten drei Tabellen nehmen ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3 : 4 : 5. Die Ergebnisse sind 0,6, 0,8 und 0,75.
Die vierte Tabelle nimmt den Winkel 60°: sin θ = 0,8660…, cos θ = 0,5 und tan θ = 1,7320….
Die fünfte Tabelle sucht die Winkel mit sin θ = 0,5: Winkel 1 ist 30, Winkel 2 ist 150 (zwischen 0° und 180° haben zwei spiegelbildliche Winkel denselben Sinus). Für cos genügt eine Formel, „=GRAD(ARCCOS(B1))“. Für tan nehmen Sie „=GRAD(ARCTAN(B1))“ und addieren 180, wenn das Ergebnis negativ ist.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für sin θ (Gegenkathete : Hypotenuse)

Gegenkathete a	3
Hypotenuse c	5
sin θ = a : c	=B1/B2

Tabelle für cos θ (Ankathete : Hypotenuse)

Ankathete b	4
Hypotenuse c	5
cos θ = b : c	=B1/B2

Tabelle für tan θ (Gegenkathete : Ankathete)

Gegenkathete a	3
Ankathete b	4
tan θ = a : b	=B1/B2

Tabelle für sin, cos und tan aus dem Winkel

Winkel θ (Grad)	60
sin θ	=SIN(BOGENMASS(B1))
cos θ	=COS(BOGENMASS(B1))
tan θ	=TAN(BOGENMASS(B1))

Tabelle für den Winkel aus sin θ (0° bis 180°)

Wert von sin θ	0,5
Winkel 1 (Grad)	=GRAD(ARCSIN(B1))
Winkel 2 (Grad)	=180-B2

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie Winkel oder Seitenlängen durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Python

import math

# sin, cos und tan aus dem Winkel berechnen
angle_degree = 60
angle_radian = math.radians(angle_degree)   # die Winkelfunktionen des Moduls math erwarten das Bogenmaß
print(f"sin {angle_degree}° = {math.sin(angle_radian)}")
print(f"cos {angle_degree}° = {math.cos(angle_radian)}")
print(f"tan {angle_degree}° = {math.tan(angle_radian)}")

# Den Winkel aus dem Wert berechnen (0° bis 180°)
sin_value = 0.5
angle_first = math.degrees(math.asin(sin_value))   # Arkussinus; das Ergebnis ist im Bogenmaß, daher in Grad umrechnen
angle_second = 180 - angle_first                   # sin(180° − θ) = sin θ liefert den anderen Winkel
print(f"Winkel mit sin θ = {sin_value}: {angle_first}° und {angle_second}°")

Läuft nur mit dem Modul math der Standardbibliothek. Die Winkelfunktionen (sin, cos, tan) erwarten den Winkel im Bogenmaß, deshalb rechnet man Grad zuerst mit math.radians() um. Dieses Beispiel gibt sin 60° = 0,8660…, cos 60° = 0,5000… und tan 60° = 1,7320… aus sowie die Winkel 30° und 150° mit sin θ = 0,5 (Python schreibt die Dezimalzahlen dabei mit Punkt). Für einen Winkel aus cos nehmen Sie math.acos() (eine Lösung), für tan math.atan() und addieren 180, wenn das Ergebnis negativ ist.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

sin (Sinus) = Gegenkathete : Hypotenuse

sin θ = a/c

\sin\theta = \dfrac{a}{c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>c</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

sin theta = a/c

Sin[30 Degree]

sin(30*Pi/180);

sind(30)

sin θ = a/c

cos (Kosinus) = Ankathete : Hypotenuse

cos θ = b/c

\cos\theta = \dfrac{b}{c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

cos theta = b/c

Cos[30 Degree]

cos(30*Pi/180);

cosd(30)

cos θ = b/c

tan (Tangens) = Gegenkathete : Ankathete

tan θ = a/b

\tan\theta = \dfrac{a}{b}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>tan</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

tan theta = a/b

Tan[30 Degree]

tan(30*Pi/180);

tand(30)

tan θ = a/b

Definition am Einheitskreis (für Winkel ab 90°)

cos θ = x, sin θ = y (Punkt P(x | y) auf dem Einheitskreis)

\cos\theta = x,\quad \sin\theta = y

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi><mo>=</mo><mi>x</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi><mo>=</mo><mi>y</mi>
  </mrow>
</math>

cos theta = x, sin theta = y

{Cos[120 Degree], Sin[120 Degree]}

evalf([cos(120*Pi/180), sin(120*Pi/180)]);

[cosd(120), sind(120)]

cos θ = x, sin θ = y

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (Sinus, Kosinus, Tangens). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen).

1. Berechnen Sie sin 135°, cos 135° und tan 135°. Geben Sie jeweils den exakten Wert (mit Brüchen und Wurzeln) und die Dezimalzahl an.
2. Bestimmen Sie für 0° ≤ θ ≤ 180° alle Winkel θ mit sin θ = 0,5.

Verwenden Sie in Python das Modul math und rechnen Sie Grad vor der Rechnung ins Bogenmaß um. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel