Sinus, Kosinus und Tangens berechnen (Werte und Winkel mit Einheitskreis)

Wählen Sie „Wert aus einem Winkel“ oder „Winkel aus einem Wert“ und geben Sie Ihre Zahlen ein. Zum Ergebnis gehört eine Zeichnung des Einheitskreises.

Gesucht

Winkel θ (Grad)

Winkelfunktion

Wert

Geben Sie den Winkel in Grad (°) ein. Negative Winkel und Winkel über 360° sind erlaubt. Für den Wert der Winkelfunktion können Sie Dezimalzahlen oder Brüche wie 1/2 verwenden.

Ergebnis und Figur

Geben Sie links einen Winkel (oder den Wert einer Winkelfunktion) ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und eine Zeichnung des Einheitskreises erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Abbildungen
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Geben Sie einen Winkel \(\theta\) in Grad ein und erhalten Sie \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) und \(\tan\theta\) auf einmal. Bei besonderen Winkeln wie \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) und \(120^\circ\) wird das Ergebnis sowohl als exakter Wert wie \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) als auch als Dezimalzahl angezeigt
Sie können auch den umgekehrten Weg gehen und den Winkel aus dem Wert einer Winkelfunktion bestimmen, etwa „Welcher Winkel ergibt \(\sin\theta = 0{,}5\)?“ (im Bereich \(0^\circ\) bis \(180^\circ\). Passen zwei Winkel, werden beide angezeigt)
Auch negative Winkel und Winkel über \(360^\circ\) funktionieren. Winkel werden in Grad angegeben, das Bogenmaß steht daneben
Zum Ergebnis gehört eine Zeichnung des Einheitskreises, sodass Sie auf einen Blick sehen, welche Strecken am Kreis \(\sin\theta\) und \(\cos\theta\) sind
Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite

Ist ein Wert nicht definiert, etwa bei \(\tan 90^\circ\), bricht die Seite nicht mit einem Fehler ab. Sie zeigt das Ergebnis mit einer Erklärung, warum der Wert nicht definiert ist.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Die Steilheit von Straßen und Rampen in Zahlen angeben (Straße und barrierefreies Bauen)

Ein Verkehrszeichen „Steigung 10 %“ bedeutet, dass die Straße auf 100 Metern in der Waagerechten 10 Meter ansteigt. Das ist genau \(\tan\theta = 0{,}10\) (etwa \(5{,}7^\circ\)). Nach DIN 18040-1 dürfen Rampen in öffentlich zugänglichen Gebäuden höchstens 6 % Längsneigung haben (in Deutschland), das ist \(\tan\theta = 0{,}06\) (etwa \(3{,}4^\circ\)).
Der Wert des Tangens ist in der Praxis leichter zu handhaben als der Winkel, weil er sich direkt aus Höhenunterschied und waagerechter Strecke ergibt. Deshalb werden Steigungen mit dieser Winkelfunktion in Prozent angegeben.

Die Höhe eines Baumes oder Gebäudes aus der Entfernung messen (Vermessung)

Kommen Sie mit einem Maßband nicht an die Spitze von etwas Hohem heran, können Sie die Höhe aus der Entfernung und dem Winkel bestimmen, unter dem Sie hinaufblicken (dem Höhenwinkel): Höhe = Entfernung × \(\tan\theta\). Stehen Sie zum Beispiel 20 Meter von einem Baum entfernt und der Höhenwinkel beträgt \(30^\circ\), ist der Teil über Ihrer Augenhöhe \(20 \times \tan 30^\circ \approx 11{,}5\) Meter.
Die Triangulation, die bei der Landvermessung und in der Kartografie verwendet wird, bestimmt Entfernungen und Lagen auf dieselbe Weise aus gemessenen Winkeln. Vermessungsinstrumente wie Tachymeter verwenden ebenfalls Winkelfunktionen, um gemessene Winkel und Entfernungen in Koordinaten umzurechnen.

Die Kräfte auf einer schiefen Ebene zerlegen (Physik und Mechanik)

Die Schwerkraft zieht einen Körper auf einer schiefen Ebene senkrecht nach unten. In der Physik wird diese Kraft in zwei Teile zerlegt: den Teil, der den Körper die Ebene hinabziehen will (die Hangabtriebskraft, Gewichtskraft × \(\sin\theta\)), und den Teil, der ihn auf die Ebene drückt (die Normalkraft, Gewichtskraft × \(\cos\theta\)).
Auf einer Ebene von \(30^\circ\) beträgt die hangabwärts ziehende Kraft \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) der Gewichtskraft, also die Hälfte. Wie gut eine Handbremse am Hang hält oder wie schnell man eine Skipiste bestimmter Steilheit hinabrutscht: Die Physik der Hänge beginnt immer mit dieser Zerlegung.

Eine Figur in Spielen und Computergrafik schräg bewegen (Programmieren)

Soll ein Spiel etwas „mit der Geschwindigkeit \(v\) in Richtung des Winkels \(\theta\)“ bewegen, verschiebt der Computer seine Position um \(v \times \cos\theta\) zur Seite und \(v \times \sin\theta\) nach oben oder unten. Die Flugbahnen von Kugeln in einem Shooter, die Ecken eines Netzdiagramms, die Zeiger einer Uhr auf dem Bildschirm: Jede Aufgabe, die einen Winkel in eine Position verwandelt, verwendet sin und cos.
Die Definition am Einheitskreis selbst (\(x = \cos\theta,\ y = \sin\theta\)) ist das Programm für Drehungen und Kreisbewegungen auf dem Bildschirm.

Die Neigung eines Daches planen (Bau und Zimmerei)

In Deutschland wird die Dachneigung meist in Grad angegeben, etwa \(35^\circ\). Bei einer waagerechten Ausladung von 4 Metern ist die Sparrenlänge die Ausladung ÷ \(\cos\theta\), also \(4 \div \cos 35^\circ \approx 4{,}88\) Meter, und der First liegt \(4 \times \tan 35^\circ \approx 2{,}80\) Meter höher als die Traufe. Ablaufendes Wasser, abrutschender Schnee und die Materialmenge werden alle aus diesem Wert abgeschätzt.
Auch das Anreißen von Dachwinkeln mit dem Zimmermannswinkel nutzt die Seitenverhältnisse eines rechtwinkligen Dreiecks, also genau den Gedanken der Winkelfunktionen.

Formeln und Abbildungen

sin (Sinus) = Gegenkathete ÷ Hypotenuse

Abbildung (ein rechtwinkliges Dreieck und seine Winkelfunktionen)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\sin\theta\) \(=\) \(a\) \(\div\) \(c\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\sin\theta\): Sinus des Winkels \(\theta\) \(=\) ① \(a\): Gegenkathete (gegenüber von \(\theta\)) \(\div\) ② \(c\): Hypotenuse

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie in einem rechtwinkligen Dreieck die \(a\): Gegenkathete (die Seite gegenüber vom Winkel \(\theta\))

② und teilen Sie sie durch die \(c\): Hypotenuse (die längste Seite, gegenüber vom rechten Winkel)

③ und Sie erhalten den \(\sin\theta\): Sinus des Winkels \(\theta\)

Einfaches Beispiel

In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Seitenverhältnis \(3 : 4 : 5\) (Gegenkathete 3, Ankathete 4, Hypotenuse 5) ist

\(\sin\theta\) \(=\) Gegenkathete 3 \(\div\) Hypotenuse 5

\(\sin\theta = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)

Der Kerngedanke

Der Sinus ist ein Verhältnis: Setzt man die Hypotenuse gleich 1, wie hoch steigt man dann? Ist der Winkel \(\theta\) festgelegt, hat dieses Verhältnis unabhängig von der Größe des Dreiecks genau einen Wert (Dreiecke mit derselben Form sind ähnlich). Deshalb lässt es sich als Funktion des Winkels allein verwenden. Eine beliebte Merkhilfe für die drei Verhältnisse verwendet die Anfangsbuchstaben von Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse: sin = G ÷ H, cos = A ÷ H, tan = G ÷ A. Also: Sinus = Gegenkathete ÷ Hypotenuse, Kosinus = Ankathete ÷ Hypotenuse, Tangens = Gegenkathete ÷ Ankathete.

cos (Kosinus) = Ankathete ÷ Hypotenuse

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\cos\theta\) \(=\) \(b\) \(\div\) \(c\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\cos\theta\): Kosinus des Winkels \(\theta\) \(=\) ① \(b\): Ankathete (neben \(\theta\)) \(\div\) ② \(c\): Hypotenuse

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie in einem rechtwinkligen Dreieck die \(b\): Ankathete (die Seite neben dem Winkel \(\theta\), die den rechten Winkel bildet)

② und teilen Sie sie durch die \(c\): Hypotenuse

③ und Sie erhalten den \(\cos\theta\): Kosinus des Winkels \(\theta\)

Einfaches Beispiel

In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Seitenverhältnis \(3 : 4 : 5\) (Gegenkathete 3, Ankathete 4, Hypotenuse 5) ist

\(\cos\theta\) \(=\) Ankathete 4 \(\div\) Hypotenuse 5

\(\cos\theta = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)

Der Kerngedanke

Der Kosinus ist ein Verhältnis: Setzt man die Hypotenuse gleich 1, wie weit geht man dann zur Seite? In der Merkhilfe sin = G ÷ H, cos = A ÷ H, tan = G ÷ A ist es der Teil „A ÷ H“. Das „Ko“ in Kosinus stammt vom Komplementärwinkel (dem Winkel, der mit \(\theta\) zusammen \(90^\circ\) ergibt): \(\cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)\). Der Kosinus eines Winkels ist gleich dem Sinus seines Komplementärwinkels. Zum Beispiel ist \(\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\).

tan (Tangens) = Gegenkathete ÷ Ankathete

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\tan\theta\) \(=\) \(a\) \(\div\) \(b\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

③ \(\tan\theta\): Tangens des Winkels \(\theta\) \(=\) ① \(a\): Gegenkathete (gegenüber von \(\theta\)) \(\div\) ② \(b\): Ankathete (neben \(\theta\))

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie in einem rechtwinkligen Dreieck die \(a\): Gegenkathete (die Seite gegenüber vom Winkel \(\theta\))

② und teilen Sie sie durch die \(b\): Ankathete (die Seite neben dem Winkel \(\theta\))

③ und Sie erhalten den \(\tan\theta\): Tangens des Winkels \(\theta\)

Einfaches Beispiel

In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Seitenverhältnis \(3 : 4 : 5\) (Gegenkathete 3, Ankathete 4, Hypotenuse 5) ist

\(\tan\theta\) \(=\) Gegenkathete 3 \(\div\) Ankathete 4

\(\tan\theta = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\)

Der Kerngedanke

Der Tangens sagt, wie weit man nach oben geht, wenn man 1 zur Seite geht. Mit anderen Worten: Er ist die Steigung des Hanges selbst. Aus den Definitionen folgt \(\tan\theta = \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div c}{b \div c} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). Im Nenner steht \(\cos\theta\), also ist bei \(\theta = 90^\circ\), wo \(\cos\theta = 0\) gilt, \(\tan 90^\circ\) nicht definiert (man kann nicht durch 0 teilen).

Definition am Einheitskreis (für Winkel ab 90°)

Abbildung (der Einheitskreis und die Winkelfunktionen)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(\cos\theta\) \(=\) \(x\)

\(\sin\theta\) \(=\) \(y\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

② \(\cos\theta\): Kosinus des Winkels \(\theta\) \(=\) ① \(x\): \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\)

④ \(\sin\theta\): Sinus des Winkels \(\theta\) \(=\) ③ \(y\): \(y\)-Koordinate des Punktes \(P\)

Die Formel in Worten

① Drehen Sie auf dem Kreis mit dem Radius \(1\) um den Ursprung \(O\) (dem Einheitskreis) einen Strahl (den Endschenkel) um den Winkel \(\theta\) von der positiven \(x\)-Achse aus und nennen Sie den Schnittpunkt mit dem Kreis \(P\). Dann ist die \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\)

② der \(\cos\theta\): Kosinus des Winkels \(\theta\)

③ und die \(y\)-Koordinate des Punktes \(P\)

④ ist der \(\sin\theta\): Sinus des Winkels \(\theta\)

Einfaches Beispiel

Für \(\theta = 120^\circ\) (ein stumpfer Winkel) ist der Punkt auf dem Einheitskreis \(P\left(-\dfrac{1}{2} \,\middle|\, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), also

\(\cos 120^\circ\) \(=\) \(x\)-Koordinate \(-\dfrac{1}{2}\)

\(\sin 120^\circ\) \(=\) \(y\)-Koordinate \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}, \quad \sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 120^\circ = \dfrac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ} = -\sqrt{3}\)

Der Kerngedanke

Die Definition im rechtwinkligen Dreieck gilt nur für Winkel größer als \(0^\circ\) und kleiner als \(90^\circ\). Am Einheitskreis lassen sich die Winkelfunktionen auf \(0^\circ\), \(90^\circ\), stumpfe Winkel, \(180^\circ\) und weiter auf jeden Winkel bis \(360^\circ\) und darüber hinaus ausdehnen. Dieser Rechner verwendet diese Definition. Jenseits von \(90^\circ\) wandert der Punkt \(P\) links von der \(y\)-Achse, seine \(x\)-Koordinate wird negativ, also sind \(\cos\theta\) und \(\tan\theta\) negativ (\(\sin\theta\) bleibt von \(0^\circ\) bis \(180^\circ\) die ganze Zeit größer oder gleich 0). \(\tan\theta\) ist die Steigung der Geraden \(OP\). Bei der Suche nach dem Winkel aus einem Wert gehören zu \(\sin\theta = 0{,}5\) zwei Winkel, \(30^\circ\) und \(150^\circ\), während \(\cos\theta\) und \(\tan\theta\) nur eine Lösung liefern. Die Zeichnung erklärt, warum: Punkte in gleicher Höhe treten als gespiegelte Paare auf, aber nur ein Punkt hat eine bestimmte \(x\)-Koordinate, und nur ein Endschenkel hat eine bestimmte Steigung. (Die Ausnahme ist, wenn der Endschenkel auf der \(x\)-Achse liegt: \(\sin\theta = 0\) und \(\tan\theta = 0\) passen beide zu \(0^\circ\) und \(180^\circ\).)

Im rechtwinkligen Dreieck sind die Winkelfunktionen \(\sin\theta = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}},\ \cos\theta = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}},\ \tan\theta = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\). Am Einheitskreis sind sie die \(y\)-Koordinate des Punktes \(P\), seine \(x\)-Koordinate und die Steigung der Geraden \(OP\). Bei besonderen Winkeln wie \(30^\circ\), \(45^\circ\) und \(60^\circ\) ergeben sich die exakten Werte aus den Seitenverhältnissen der besonderen Dreiecke (\(1 : \sqrt{3} : 2\) und \(1 : 1 : \sqrt{2}\)).

Symbole und Begriffe

Symbole

\(\theta\)	Theta	Ein griechischer Buchstabe, der oft für Winkel verwendet wird (warum \(\theta\) für Winkel benutzt wird, ist nicht abschließend geklärt). Neben \(\theta\) werden für Winkel auch \(\alpha\) (Alpha), \(\beta\) (Beta) und \(\varphi\) (Phi) verwendet.
\(\sin\theta\)	Sinus Theta	Der Sinus des Winkels \(\theta\): „Gegenkathete ÷ Hypotenuse“ im rechtwinkligen Dreieck und die \(y\)-Koordinate des Punktes \(P\) auf dem Einheitskreis. Der Name soll vom lateinischen Wort sinus (Bucht oder Falte) stammen.
\(\cos\theta\)	Kosinus Theta	Der Kosinus des Winkels \(\theta\): „Ankathete ÷ Hypotenuse“ im rechtwinkligen Dreieck und die \(x\)-Koordinate des Punktes \(P\) auf dem Einheitskreis. Das „Ko“ steht für „Komplementär“: Es ist der Sinus des Komplementärwinkels \(90^\circ - \theta\).
\(\tan\theta\)	Tangens Theta	Der Tangens des Winkels \(\theta\): „Gegenkathete ÷ Ankathete“ im rechtwinkligen Dreieck, was der Steigung einer Geraden entspricht. Der Name kommt vom lateinischen Wort für „berührend“, weil er als Strecke auf einer Tangente an den Einheitskreis erscheint.
\(a,\ b,\ c\)	a, b, c	Auf dieser Seite die drei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks: \(a\) ist die Gegenkathete (gegenüber vom Winkel \(\theta\)), \(b\) die Ankathete (neben dem Winkel \(\theta\)) und \(c\) die Hypotenuse.
\(P(x,\ y)\)	P mit den Koordinaten x und y	Der Punkt, in dem der Endschenkel den Einheitskreis trifft. \(P\) steht für „Punkt“. Seine \(x\)-Koordinate ist \(\cos\theta\) und seine \(y\)-Koordinate \(\sin\theta\).
\(O\)	O	Der Ursprung (der Punkt \((0 \mid 0)\)), von „Origo“ oder „Ursprung“. Er ist der Mittelpunkt des Einheitskreises und der Punkt, um den sich der Endschenkel dreht.
\(\sqrt{2},\ \sqrt{3}\)	Wurzel aus 2, Wurzel aus 3	Die positiven Zahlen, deren Quadrate 2 und 3 sind (\(\sqrt{2} \approx 1{,}414,\ \sqrt{3} \approx 1{,}732\)). Sie kommen in den Seitenverhältnissen der besonderen Dreiecke vor und treten deshalb oft in den exakten Werten der Winkelfunktionen für besondere Winkel auf.
\(^\circ\) (Grad)	Grad	Die Einheit für die Größe eines Winkels im Gradmaß. Eine volle Drehung sind \(360^\circ\). Es ist die vertrauteste Art, Winkel anzugeben, und wird auch im Alltag verwendet.
\(\pi\)	Pi	Das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser (\(\approx 3{,}14159\)). Es wird verwendet, wenn Winkel im Bogenmaß angegeben werden: \(180^\circ = \pi\). Der Buchstabe soll vom Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes für „Umfang“ stammen.

Begriffe

Winkelfunktion	Das Verhältnis zweier Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die drei grundlegenden sind sin, cos und tan. Ist der Winkel festgelegt, hat jede einen Wert, unabhängig von der Größe des Dreiecks. Man spricht auch von Sinus, Kosinus und Tangens oder von trigonometrischen Funktionen. In Deutschland lernt man sie in Klasse 9–10 (14–16 Jahre) und vertieft sie in der Oberstufe.
Sinus	Der volle Name von sin. Historisch geht er auf die halbe Sehne zurück (eine Strecke, die zwei Punkte eines Kreises verbindet).
Kosinus	Der volle Name von cos. Er ist die Kurzform von „Sinus des Komplementärwinkels“: der Sinus des Winkels, der mit \(\theta\) zusammen 90° ergibt, \(\cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)\).
Tangens	Der volle Name von tan. Der Name kommt von der Tangente an einen Kreis: \(\tan\theta\) lässt sich als Strecke auf der Geraden zeichnen, die den Einheitskreis im Punkt \((1 \mid 0)\) berührt.
Hypotenuse	Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, gegenüber vom rechten Winkel. In den Definitionen von sin und cos ist sie die Zahl, durch die man teilt (der Nenner).
Gegenkathete	Die Seite gegenüber vom betrachteten Winkel \(\theta\). Beachten Sie, dass sich ändert, welche Seite die Gegenkathete ist, je nachdem, welchen Winkel Sie betrachten.
Ankathete	Die Seite neben dem betrachteten Winkel \(\theta\) (die Seite des rechten Winkels, die \(\theta\) berührt, nicht die Hypotenuse). Beachten Sie, dass sich ändert, welche Seite die Ankathete ist, je nachdem, welchen Winkel Sie betrachten.
Einheitskreis	Der Kreis mit dem Radius 1 um den Ursprung. Weil der Radius 1 ist, sind die Koordinaten eines Punktes unmittelbar die Werte von sin und cos, ohne durch die Hypotenuse zu teilen. Er ist das Werkzeug, das die Winkelfunktionen auf Winkel ab 90° ausdehnt.
Endschenkel	Der Strahl vom Ursprung, der um den Winkel \(\theta\) von der positiven \(x\)-Achse aus gedreht ist (der bewegliche Schenkel des Winkels). Er zeigt die Größe des Winkels in der Zeichnung.
stumpfer Winkel	Ein Winkel, der größer als 90° und kleiner als 180° ist. Die Winkelfunktionen eines stumpfen Winkels lassen sich nicht im rechtwinkligen Dreieck definieren, deshalb verwendet man den Einheitskreis. Bei stumpfen Winkeln sind cos und tan negativ.
rechtwinkliges Dreieck	Ein Dreieck mit einem rechten Winkel (90°). Hier wurden die Winkelfunktionen zuerst definiert. Die beiden anderen Winkel ergeben zusammen 90°.
besondere Dreiecke	Das 45°-45°-90°-Dreieck (Seitenverhältnis \(1 : 1 : \sqrt{2}\), ein halbes Quadrat) und das 30°-60°-90°-Dreieck (Seitenverhältnis \(1 : \sqrt{3} : 2\), ein halbes gleichseitiges Dreieck). Die exakten Werte der besonderen Winkel stammen aus den Seitenverhältnissen dieser beiden Dreiecke. Es sind auch die Formen der beiden klassischen Zeichendreiecke (Geodreieck und Zeichendreieck).
Nenner rational machen	Einen Bruch so umformen, dass im Nenner keine Wurzel steht. Multipliziert man Zähler und Nenner von \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) mit \(\sqrt{2}\), erhält man \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Beide haben denselben Wert. Deutsche Schulbücher geben meist die Form mit rational gemachtem Nenner an, \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Gradmaß	Winkel messen, indem man eine volle Drehung als 360° festlegt. Es ist die Haupteinheit für Eingabe und Ausgabe auf dieser Seite. Die Zahl 360 hat viele Teiler (die Hälfte, ein Drittel, ein Viertel davon sind alle ganze Zahlen), und sie wird seit der Antike verwendet.
Bogenmaß	Einen Winkel über die Länge des Bogens auf einem Kreis mit dem Radius 1 messen. Es gilt \(180^\circ = \pi\), und Winkel werden als Bruchteile von \(\pi\) geschrieben, etwa \(60^\circ = \dfrac{\pi}{3}\). Das Bogenmaß wird ab der Oberstufe verwendet und ist in der Analysis die Haupteinheit, deshalb zeigt diese Seite es ebenfalls.
Arkusfunktion	Eine Funktion, die vom Wert einer Winkelfunktion rückwärts zum Winkel führt, etwa bei „Welches θ ergibt sin θ = 0,5?“. Beispiele sind der Arkussinus (arcsin, auf dem Taschenrechner \(\sin^{-1}\)) und seine Verwandten. Taschenrechner und Excel haben sie. Der Modus „Winkel aus einem Wert“ auf dieser Seite ist genau diese Rechnung.
besonderer Winkel	Ein Winkel wie 30°, 45°, 60°, 90° oder 120°, dessen Winkelfunktionen sich als exakte Werte (mit Brüchen und Wurzeln) schreiben lassen. Es sind die Winkel der besonderen Dreiecke und daraus gebildete Winkel wie 180° − θ.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal durchzugehen.

Verhältnisse und Anteile (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Wissen, dass sich „wievielmal so groß wie B ist A“ als A ÷ B ergibt (eine Winkelfunktion ist genau das Verhältnis einer Seite zu einer anderen) Ein Verhältnis wie \(3 : 4 : 5\) lesen und schreiben können
Das Koordinatensystem (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Die Lage eines Punktes als Paar \((x \mid y)\) angeben können (zum Beispiel grob zeigen können, wo \((-0{,}5 \mid 0{,}87)\) in einem Diagramm liegt) Wissen, dass die \(x\)-Koordinate links von der \(y\)-Achse negativ ist und die \(y\)-Koordinate unterhalb der \(x\)-Achse
Kreise (Klasse 5–6, 10–12 Jahre)	Mittelpunkt und Radius eines Kreises kennen und sich einen Kreis als alle Punkte vorstellen können, die vom Mittelpunkt denselben Abstand (den Radius) haben
Ähnliche Dreiecke (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Wissen, dass bei Dreiecken mit derselben Form (ähnlichen Dreiecken) die Verhältnisse entsprechender Seiten gleich sind (deshalb bestimmt der Winkel allein den Wert einer Winkelfunktion)
Der Satz des Pythagoras (Klasse 8–9, 13–15 Jahre)	Wissen, dass im rechtwinkligen Dreieck \(a^2 + b^2 = c^2\) gilt (das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten) Mit dem Satz des Pythagoras prüfen können, dass die besonderen Dreiecke die Seitenverhältnisse \(1 : 1 : \sqrt{2}\) und \(1 : \sqrt{3} : 2\) haben
Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre)	Die ungefähren Werte \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\) und \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\) kennen Den Nenner rational machen können, etwa \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung von sin θ (Gegenkathete ÷ Hypotenuse)

Gegenkathete a	3
Hypotenuse c	5
sin θ = a ÷ c	=B1/B2

Tabelle zur Berechnung von cos θ (Ankathete ÷ Hypotenuse)

Ankathete b	4
Hypotenuse c	5
cos θ = b ÷ c	=B1/B2

Tabelle zur Berechnung von tan θ (Gegenkathete ÷ Ankathete)

Gegenkathete a	3
Ankathete b	4
tan θ = a ÷ b	=B1/B2

Tabelle zur Berechnung von sin, cos und tan aus einem Winkel

Winkel θ (Grad)	60
sin θ	=SIN(BOGENMASS(B1))
cos θ	=COS(BOGENMASS(B1))
tan θ	=TAN(BOGENMASS(B1))

Tabelle zur Berechnung des Winkels aus sin θ (0° bis 180°)

Wert von sin θ	0,5
Winkel 1 (Grad)	=GRAD(ARCSIN(B1))
Winkel 2 (Grad)	=180-B2

Die Excel-Funktionen SIN, COS und TAN erwarten den Winkel im Bogenmaß, wandeln Sie also zum Rechnen in Grad zuerst mit der Funktion BOGENMASS um. Umgekehrt liefern ARCSIN (Arkussinus) und ähnliche Funktionen ihre Ergebnisse im Bogenmaß, wandeln Sie sie also mit der Funktion GRAD in Grad um.
Die ersten drei Tabellen verwenden ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Seitenverhältnis 3 : 4 : 5. Die Ergebnisse sind 0,6, 0,8 und 0,75.
Die vierte Tabelle verwendet einen Winkel von 60°: sin θ = 0,8660…, cos θ = 0,5 und tan θ = 1,7320….
Die fünfte Tabelle bestimmt die Winkel mit sin θ = 0,5: Winkel 1 ist 30 und Winkel 2 ist 150 (zwischen 0° und 180° haben zwei gespiegelte Winkel denselben Sinus). Für cos genügt eine einzige Formel, „=GRAD(ARCCOS(B1))“. Für tan verwenden Sie „=GRAD(ARCTAN(B1))“ und addieren 180, wenn das Ergebnis negativ ist.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Berechnung von sin θ (Gegenkathete ÷ Hypotenuse)

Gegenkathete a	3
Hypotenuse c	5
sin θ = a ÷ c	=B1/B2

Tabelle zur Berechnung von cos θ (Ankathete ÷ Hypotenuse)

Ankathete b	4
Hypotenuse c	5
cos θ = b ÷ c	=B1/B2

Tabelle zur Berechnung von tan θ (Gegenkathete ÷ Ankathete)

Gegenkathete a	3
Ankathete b	4
tan θ = a ÷ b	=B1/B2

Tabelle zur Berechnung von sin, cos und tan aus einem Winkel

Winkel θ (Grad)	60
sin θ	=SIN(BOGENMASS(B1))
cos θ	=COS(BOGENMASS(B1))
tan θ	=TAN(BOGENMASS(B1))

Tabelle zur Berechnung des Winkels aus sin θ (0° bis 180°)

Wert von sin θ	0,5
Winkel 1 (Grad)	=GRAD(ARCSIN(B1))
Winkel 2 (Grad)	=180-B2

Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie den Winkel oder die Seitenlängen durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

import math

# Sinus, Kosinus und Tangens aus einem Winkel bestimmen
angle_degree = 60
angle_radian = math.radians(angle_degree)   # die trigonometrischen Funktionen des Moduls math erwarten das Bogenmaß
print(f"sin {angle_degree}° = {math.sin(angle_radian)}")
print(f"cos {angle_degree}° = {math.cos(angle_radian)}")
print(f"tan {angle_degree}° = {math.tan(angle_radian)}")

# Den Winkel aus dem Wert einer Winkelfunktion bestimmen (0° bis 180°)
sin_value = 0.5
angle_first = math.degrees(math.asin(sin_value))   # Arkussinus; das Ergebnis ist im Bogenmaß, also in Grad umwandeln
angle_second = 180 - angle_first                   # sin(180° − θ) = sin θ liefert den anderen Winkel
print(f"Winkel mit sin θ = {sin_value}: {angle_first}° und {angle_second}°")

Der Code läuft nur mit dem Modul math der Standardbibliothek. Die trigonometrischen Funktionen (sin, cos, tan) erwarten den Winkel im Bogenmaß, entscheidend ist also, Grad zuerst mit math.radians() ins Bogenmaß umzuwandeln. Beim Ausführen dieses Beispiels werden sin 60° = 0,8660…, cos 60° = 0,5000… und tan 60° = 1,7320… sowie die Winkel 30 Grad und 150 Grad mit sin θ = 0,5 ausgegeben (Python schreibt Dezimalzahlen mit Punkt). Um einen Winkel aus cos zu bestimmen, verwenden Sie math.acos() (eine Lösung). Für tan verwenden Sie math.atan() und addieren 180, wenn das Ergebnis negativ ist.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

sin (Sinus) = Gegenkathete ÷ Hypotenuse

sin θ = a/c

\sin\theta = \dfrac{a}{c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>c</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

sin theta = a/c

Sin[30 Degree]

sin(30*Pi/180);

sind(30)

sin θ = a/c

cos (Kosinus) = Ankathete ÷ Hypotenuse

cos θ = b/c

\cos\theta = \dfrac{b}{c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

cos theta = b/c

Cos[30 Degree]

cos(30*Pi/180);

cosd(30)

cos θ = b/c

tan (Tangens) = Gegenkathete ÷ Ankathete

tan θ = a/b

\tan\theta = \dfrac{a}{b}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>tan</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

tan theta = a/b

Tan[30 Degree]

tan(30*Pi/180);

tand(30)

tan θ = a/b

Definition am Einheitskreis (für Winkel ab 90°)

cos θ = x, sin θ = y (Punkt P(x | y) auf dem Einheitskreis)

\cos\theta = x,\quad \sin\theta = y

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi><mo>=</mo><mi>x</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi><mo>=</mo><mi>y</mi>
  </mrow>
</math>

cos theta = x, sin theta = y

{Cos[120 Degree], Sin[120 Degree]}

evalf([cos(120*Pi/180), sin(120*Pi/180)]);

[cosd(120), sind(120)]

cos θ = x, sin θ = y

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für mathematische Berechnungen mit Winkelfunktionen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten).

1. Bestimmen Sie sin 135°, cos 135° und tan 135°. Geben Sie jeden Wert sowohl exakt (mit Brüchen und Wurzeln) als auch als Dezimalzahl an.
2. Bestimmen Sie für 0° ≤ θ ≤ 180° jeden Winkel θ mit sin θ = 0,5.

Verwenden Sie in Python das Modul math und wandeln Sie Grad vor dem Rechnen ins Bogenmaß um. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel