Geben Sie die Gesamtzahl n und die Anzahl der ausgewählten Elemente r ein (in vielen Schulbüchern heißt sie k). Der Rechner berechnet gleichzeitig die Variationen nPr (die Reihenfolge zählt) und die Kombinationen nCr (die Reihenfolge zählt nicht). Die Formel unten ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können also auch n und r direkt in der Formel ändern.
Geben Sie n und r als ganze Zahlen ab 0 ein (r darf nicht größer als n sein). n kann bis 10000 gehen, und jede Stelle der Antwort wird exakt angezeigt, auch wenn sie dutzende Stellen hat.
Ergebnis
Geben Sie in den Feldern links die Gesamtzahl n und die Anzahl der ausgewählten Elemente r ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formel
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
-
Mit Google Tabellen berechnen
-
Mit Python berechnen
-
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
-
Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie einfach die Gesamtzahl \(n\) und die Anzahl der ausgewählten Elemente \(r\) ein. Sie erhalten gleichzeitig die Variationen \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) (Anzahl der Auswahlen, bei denen die Reihenfolge zählt) und die Kombinationen \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) (Anzahl der Auswahlen, bei denen die Reihenfolge nicht zählt)
- Fragen der Kombinatorik wie „Auf wie viele Arten kann eine Fußballmannschaft mit 11 Spielern einen Kapitän und einen Torwart bestimmen?“ oder „Auf wie viele Arten kann sie 2 Stürmer auswählen?“ beantworten Sie in einem Schritt
- Auch bei großem \(n\), wenn die Antwort dutzende oder hunderte Stellen hat, wird jede Stelle exakt angezeigt, ohne zu runden
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Diese Seite behandelt Variationen und Kombinationen ohne Wiederholung, bei denen ein Element nach der Auswahl nicht noch einmal gewählt werden kann. Wenn dasselbe Element beliebig oft gewählt werden kann, wie die Augenzahlen eines Würfels (Variationen oder Kombinationen mit Wiederholung), sind die Formeln anders, und dieser Rechner behandelt sie nicht.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Gewinnchancen beim Lotto in Zahlen fassen
Beim LOTTO 6aus49 in Deutschland kreuzen Sie 6 Zahlen aus 49 an. Die Reihenfolge der Zahlen spielt keine Rolle, es ist also eine Kombination: \({}_{49}\mathrm{C}_{6} = 13.983.816\) Möglichkeiten. Multipliziert mit den 10 Möglichkeiten für die Superzahl (0 bis 9) ergibt das \(139.838.160\) mögliche Scheine. Nur einer davon gewinnt den Jackpot (6 Richtige mit Superzahl), die Chance beträgt also etwa 1 zu 140 Millionen (LOTTO.de).
Mit der Formel für Kombinationen prüfen Sie, wie schwer es ist, bei einer Lotterie oder Verlosung zu gewinnen, mit echten Zahlen statt mit einem vagen Gefühl.
Die Möglichkeiten zählen, Klassensprecher oder Ordnungsdienst zu bestimmen
In einer Klasse mit 30 Schülerinnen und Schülern bedeutet die Wahl einer Klassensprecherin oder eines Klassensprechers und einer Stellvertretung, dass die Rollen verschieden sind, also ist es eine Variation: \({}_{30}\mathrm{P}_{2} = 30 \cdot 29 = 870\) Möglichkeiten. Wählt man dagegen nur 2 Personen für den Ordnungsdienst aus, kommt es nicht auf die Reihenfolge an, also ist es eine Kombination: \({}_{30}\mathrm{C}_{2} = 435\) Möglichkeiten.
Wer weiß, dass sich die Anzahl ändert, je nachdem, ob Rollen oder Reihenfolge zählen, zählt bei Verlosungen und Wahlen richtig.
Die Anzahl der Spiele in einer Liga (jeder gegen jeden) bestimmen
In einer Liga, in der jede Mannschaft einmal gegen jede andere spielt (einfache Runde), ist jedes Spiel eine Auswahl von 2 Mannschaften, also spielen \(n\) Mannschaften \({}_{n}\mathrm{C}_{2}\) Spiele. Bei 10 Mannschaften sind das \({}_{10}\mathrm{C}_{2} = 45\) Spiele.
Veranstalter von Turnieren nutzen diese Rechnung, um abzuschätzen, wie viele Spiele, Tage und Plätze sie brauchen.
Die Anzahl der PINs und Schlosscodes zählen (Sicherheit)
Bilden Sie aus den 10 Ziffern 0 bis 9 einen vierstelligen Code, ohne eine Ziffer zweimal zu verwenden, kommt es auf die Reihenfolge an, es gibt also \({}_{10}\mathrm{P}_{4} = 5.040\) Codes. Je mehr Codes es gibt, desto schwerer ist es, das Schloss durch Ausprobieren aller Codes zu knacken, und Variationen zeigen auch, wie viel eine weitere Ziffer bringt. (Echte PINs dürfen Ziffern wiederholen, dann sind es \(10^4 = 10.000\) Codes.)
Übrigens öffnet sich ein „Kombinationsschloss“ nur, wenn die Zahlen in der richtigen Reihenfolge eingegeben werden, mathematisch ist es also ein „Variationsschloss“ und keine Kombination.
Stichprobenprüfung in der Qualitätssicherung (Fertigung)
Werden aus einer Charge von 100 Produkten 5 zur Prüfung entnommen, gibt es \({}_{100}\mathrm{C}_{5} = 75.287.520\) Möglichkeiten, sie auszuwählen.
Die Theorie der statistischen Stichprobenprüfung baut auf solchen Anzahlen auf. Sie ermittelt die Chance, dass eine Prüfung ein fehlerhaftes Produkt der Charge findet, und ist ein wichtiger Teil der Qualitätssicherung in Fabriken.
Formel
Fakultät \(n!\) (Anzahl der Anordnungen aller \(n\) Elemente)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(n!\)
\(=\)
\(n \cdot (n-1) \cdot \cdots \cdot 2 \cdot 1\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(n!\): Anordnungen aller \(n\) Elemente
\(=\)
①
das Produkt der ganzen Zahlen von \(n\) bis \(1\)
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie
alle ganzen Zahlen von \(n\) bis \(1\)
miteinander,
②
und Sie erhalten die
\(n!\): Anordnungen aller \(n\) Elemente
Einfaches Beispiel
Die Anzahl der Möglichkeiten, 4 Personen (A, B, C und D) in einer Reihe aufzustellen, ist
Anordnungen aller 4 Personen \(4!\)
\(=\)
das Produkt von 4 bis 1
\(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\)
Der Kerngedanke
Für den ersten Platz gibt es \(n\) Möglichkeiten, für den nächsten aus den übrigen \((n-1)\) Möglichkeiten und so weiter. Die Zahl der Möglichkeiten sinkt jedes Mal um 1, also ergibt das Produkt aller die Anzahl der Anordnungen aller Elemente (die Anzahl der Permutationen).
Per Definition gilt \(0! = 1\) (es gibt genau 1 Möglichkeit, nichts anzuordnen). Dank dieser Festlegung funktionieren die Formeln für Variationen und Kombinationen unten auch für \(r = n\) oder \(r = 0\) unverändert.
Variationen \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) (die Reihenfolge zählt)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\({}_{n}P_{r}\)
\(=\)
\(n!\)
\(\div\)
\((n-r)!\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\): Anzahl der geordneten Auswahlen
\(=\)
①
\(n!\): Anordnungen aller \(n\) Elemente
\(\div\)
②
\((n-r)!\): Anordnungen der übrigen
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(n!\): Anordnungen aller \(n\) Elemente
②
teilen Sie sie durch die
\((n-r)!\): Anordnungen der \((n-r)\) nicht gewählten Elemente
③
und Sie erhalten die
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\): Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) von \(n\) Elementen der Reihe nach auszuwählen
Einfaches Beispiel
Die Anzahl der Möglichkeiten, aus den 11 Spielern einer Fußballmannschaft einen Kapitän und einen Torwart auszuwählen (die Rollen sind verschieden, also zählt die Reihenfolge), ist
2 von 11 Personen der Reihe nach \({}_{11}\mathrm{P}_{2}\)
\(=\)
Anordnungen aller 11 (11!)
\(\div\)
Anordnungen der übrigen 9 (9!)
\({}_{11}P_{2} = \dfrac{11!}{(11-2)!} = \dfrac{11!}{9!} = 11 \cdot 10 = 110\)
Der Kerngedanke
Von den \(n!\) Anordnungen aller \(n\) Elemente spielt die Reihenfolge der \((n-r)\) nicht gewählten Elemente keine Rolle, deshalb teilen wir durch \((n-r)!\). Das ist die Bedeutung dieser Formel.
Rechnen Sie von Hand, kürzt sich der Bruch zu „\(r\) Zahlen multiplizieren, von \(n\) abwärts zählend“. Für \({}_{11}\mathrm{P}_{2}\) ist das \(11 \cdot 10 = 110\). Eine Variation zählt „Kapitän A, Torwart B“ und „Kapitän B, Torwart A“ als zwei verschiedene Auswahlen. (In der Schule heißt das „geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen“.)
Kombinationen \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) (die Reihenfolge zählt nicht)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\({}_{n}C_{r}\)
\(=\)
\({}_{n}P_{r}\)
\(\div\)
\(r!\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\): Anzahl der Auswahlen
\(=\)
①
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\): Auswahlen mit Reihenfolge
\(\div\)
②
\(r!\): Umordnungen der \(r\) gewählten Elemente
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\): Auswahlen mit Reihenfolge
②
teilen Sie sie durch die
\(r!\): Umordnungen der \(r\) gewählten Elemente
(um die durch die Reihenfolge entstandenen Doppelungen zu entfernen)
③
und Sie erhalten die
\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\): Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) von \(n\) Elementen auszuwählen
Einfaches Beispiel
Die Anzahl der Möglichkeiten, aus den 11 Spielern einer Fußballmannschaft 2 Stürmer auszuwählen (die Reihenfolge der 2 zählt nicht), ist
2 von 11 Personen \({}_{11}\mathrm{C}_{2}\)
\(=\)
Auswahlen mit Reihenfolge (110)
\(\div\)
Umordnungen von 2 Personen (2! = 2)
\({}_{11}C_{2} = \dfrac{{}_{11}P_{2}}{2!} = \dfrac{110}{2} = 55\)
Der Kerngedanke
Unter den 110 Variationen wird jedes Paar zweimal gezählt (\(2! = 2\)), einmal als „A und B“ und einmal als „B und A“. Teilen Sie durch \(r!\), verschwinden diese Doppelungen, und es bleibt nur die Anzahl der verschiedenen Gruppen.
Setzen Sie die Formel der Variationen \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\) ein, erhalten Sie die aus dem Unterricht bekannte Form \({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\). \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) heißt auch Binomialkoeffizient und wird in deutschen Schulbüchern meist \(\binom{n}{r}\) geschrieben, gelesen „\(n\) über \(r\)“ (mit \(k\) statt \(r\): „\(n\) über \(k\)“).
Die Variationen nPr zählen die Auswahlen, bei denen die Reihenfolge zählt, und die Kombinationen nCr zählen die Auswahlen, bei denen die Reihenfolge nicht zählt. Am leichtesten merken Sie sich beide über diesen Zusammenhang, berechnen Sie zuerst die Variationen und teilen Sie dann durch \(r!\), um die durch die Reihenfolge entstandenen Doppelungen zu entfernen, dann haben Sie die Kombinationen.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(n\) | n | Die Gesamtzahl, aus der Sie auswählen. (Beispiel: Bei der Auswahl aus 11 Personen ist \(n = 11\)) |
| \(r\) | r | Die Anzahl der Elemente, die Sie aus der Gesamtzahl auswählen (in vielen deutschen Schulbüchern heißt sie \(k\)). (Beispiel: Bei der Auswahl von 2 Personen ist \(r = 2\)) |
| \(n!\) | n Fakultät | Das Produkt aller ganzen Zahlen von \(n\) bis \(1\). Es ist die Anzahl der Möglichkeiten, alle \(n\) Elemente in einer Reihe anzuordnen. Per Definition gilt \(0! = 1\). (Beispiel: \(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\)) |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | n P r | Die Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) von \(n\) Elementen der Reihe nach auszuwählen (Variationen). P steht für „Permutation“ (englisch für Variation in diesem Sinn). Es wird auch \(P(n, r)\) geschrieben. |
| \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) | n C r | Die Anzahl der Möglichkeiten, \(r\) von \(n\) Elementen auszuwählen (Kombinationen). C steht für „Combination“. Es wird auch \(C(n, r)\) geschrieben. |
| \(\binom{n}{r}\) | n über r (Binomialkoeffizient) | Eine andere Schreibweise für \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\). Das ist die Schreibweise, die in deutschen Schulbüchern und in der Hochschulmathematik am häufigsten verwendet wird (\(\binom{n}{k}\), „\(n\) über \(k\)“). |
Begriffe
| Kombinatorik | Das Abzählen, wie viele mögliche Ausgänge es insgesamt gibt. Variationen und Kombinationen sind beides Werkzeuge der Kombinatorik. |
| Variation | Eine Möglichkeit, \(r\) von \(n\) Elementen auszuwählen und in eine Reihe zu bringen, wobei die Reihenfolge zählt. Verschiedene Rollen oder Ränge, etwa „Kapitän und Vizekapitän“, zählen als verschieden. Im Sprachgebrauch heißt das auch Permutation (so heißt die Excel-Funktion VARIATIONEN im Englischen PERMUT). |
| Permutation | Eine Anordnung aller \(n\) Elemente in einer Reihe. Es gibt \(n!\) Permutationen. In der Schule ist die Permutation der Sonderfall der Variation mit \(r = n\). |
| Kombination | Eine Möglichkeit, \(r\) von \(n\) Elementen auszuwählen, wobei die Reihenfolge nicht zählt. Wie bei „2 Personen für den Ordnungsdienst“ zählt dieselbe Gruppe von Personen als 1 Möglichkeit. |
| Fakultät | Das Multiplizieren aller ganzen Zahlen von \(n\) bis \(1\). Das Symbol ist \(n!\), und es gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, alle \(n\) Elemente anzuordnen. |
| Binomialkoeffizient | Ein anderer Name für \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\), gelesen „\(n\) über \(r\)“. Der Name kommt daher, dass die Koeffizienten, die beim Ausmultiplizieren von \((a+b)^n\) entstehen, genau die Werte von \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) sind (binomischer Lehrsatz). |
| Baumdiagramm | Ein verzweigtes Diagramm, das jeden möglichen Ausgang auflistet, sodass Sie jeden genau einmal zählen. Die Formeln für Variationen und Kombinationen leisten dasselbe Abzählen wie ein Baumdiagramm in einer einzigen Rechnung. |
| Variation mit Wiederholung | Eine Variation, bei der dasselbe Element beliebig oft gewählt werden kann. Es gibt \(n^r\) davon. Der Rechner auf dieser Seite behandelt nur den Fall ohne Wiederholung. |
| Kombination mit Wiederholung | Eine Kombination, bei der dasselbe Element beliebig oft gewählt werden kann. Der Rechner auf dieser Seite behandelt nur den Fall ohne Wiederholung. |
Was Sie vorab wissen sollten
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis nutzen können und nicht nur auf die Schaltfläche klicken, hilft Ihnen das folgende Grundwissen.
| Multiplikation und Division (Klasse 3–5, 8–11 Jahre) |
|
| Abzählen von Möglichkeiten und Baumdiagramme (Klasse 7–9, 12–15 Jahre) |
|
| Die Schreibweise der Fakultät (Sekundarstufe II, ab 15 Jahren) |
|
| Variationen und Kombinationen (Sekundarstufe II, ab 15 Jahren) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Fakultät n!
| Anzahl der anzuordnenden Elemente n | 4 |
| Alle Anordnungen n! | =FAKULTÄT(B1) |
Tabelle zur Berechnung der Variationen nPr
| Gesamtzahl n | 11 |
| Auswahl r | 2 |
| Variationen nPr | =VARIATIONEN(B1;B2) |
Tabelle zur Berechnung der Kombinationen nCr
| Gesamtzahl n | 11 |
| Auswahl r | 2 |
| Kombinationen nCr | =KOMBINATIONEN(B1;B2) |
Nach dem Einfügen sind B1 (und B2) Ihre Eingaben, und die letzte Zeile wird automatisch berechnet.
FAKULTÄT, VARIATIONEN und KOMBINATIONEN sind die Excel-Funktionen für die Fakultät, die Variationen und die Kombinationen.
Zum Beispiel zeigt B3 in der zweiten Tabelle 110 und in der dritten 55. Ersetzen Sie einfach B1 und B2 durch Ihre eigenen Zahlen.
Beachten Sie, dass Excel nur 15 signifikante Stellen speichert, sodass bei großem n, wenn die Antwort dutzende Stellen hat, die letzten Stellen gerundet werden.
FAKULTÄT, VARIATIONEN und KOMBINATIONEN sind die Excel-Funktionen für die Fakultät, die Variationen und die Kombinationen.
Zum Beispiel zeigt B3 in der zweiten Tabelle 110 und in der dritten 55. Ersetzen Sie einfach B1 und B2 durch Ihre eigenen Zahlen.
Beachten Sie, dass Excel nur 15 signifikante Stellen speichert, sodass bei großem n, wenn die Antwort dutzende Stellen hat, die letzten Stellen gerundet werden.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Fakultät n!
| Anzahl der anzuordnenden Elemente n | 4 |
| Alle Anordnungen n! | =FAKULTÄT(B1) |
Tabelle zur Berechnung der Variationen nPr
| Gesamtzahl n | 11 |
| Auswahl r | 2 |
| Variationen nPr | =VARIATIONEN(B1;B2) |
Tabelle zur Berechnung der Kombinationen nCr
| Gesamtzahl n | 11 |
| Auswahl r | 2 |
| Kombinationen nCr | =KOMBINATIONEN(B1;B2) |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert (FAKULTÄT, VARIATIONEN und KOMBINATIONEN heißen in Google Tabellen genauso, wenn die Sprache auf Deutsch eingestellt ist).
Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie B1 und B2 durch Ihre eigenen Zahlen.
Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie B1 und B2 durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
import math
total_items = 11 # Gesamtzahl n
chosen_items = 2 # Anzahl der ausgewählten Elemente r
permutations = math.perm(total_items, chosen_items) # Variationen nPr
combinations = math.comb(total_items, chosen_items) # Kombinationen nCr
print(f"Variationen nPr (Reihenfolge zählt): {permutations}")
print(f"Kombinationen nCr (Reihenfolge zählt nicht): {combinations}")
Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek math (math.perm und math.comb brauchen Python 3.8 oder neuer). Ganze Zahlen in Python haben keine Stellenobergrenze, das Ergebnis bleibt also auch mit hunderten Stellen exakt. Ändern Sie die ersten beiden Zahlen und führen Sie den Code aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Fakultät \(n!\) (Anzahl der Anordnungen aller \(n\) Elemente)
n! = n · (n − 1) · ⋯ · 2 · 1
n! = n \cdot (n-1) \cdot \cdots \cdot 2 \cdot 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi><mo>!</mo>
<mo>=</mo>
<mi>n</mi>
<mo>⋅</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>⋅</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>⋅</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⋅</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
n! = n * (n-1) * cdots * 2 * 1
Factorial[n]
nFactorial := factorial(n);
n_factorial = factorial(n);
n! = n · (n − 1) · ⋯ · 2 · 1
Variationen \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) (die Reihenfolge zählt)
ₙPᵣ = n! ÷ (n − r)!
{}_{n}P_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>P</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P(n, r) = (n!)/((n-r)!)
n!/(n - r)!
nPr := factorial(n)/factorial(n - r);
npr = factorial(n)/factorial(n - r);
P(n,r) = n!/(n − r)!
Kombinationen \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) (die Reihenfolge zählt nicht)
ₙCᵣ = n! ÷ (r! · (n − r)!)
{}_{n}C_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>C</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow>
<mi>r</mi><mo>!</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
C(n, r) = (n!)/(r!(n-r)!)
Binomial[n, r]
nCr := binomial(n, r);
ncr = nchoosek(n, r);
C(n,r) = n!/(r!(n − r)!)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Kombinatorik (Variationen und Kombinationen). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (rechnen Sie nicht im Kopf und raten Sie nicht). Eine Fußballmannschaft hat 11 Spieler. 1. Auf wie viele Arten lassen sich ein Kapitän und ein Torwart auswählen? (Die Rollen sind verschieden, also ist es eine Variation.) 2. Auf wie viele Arten lassen sich 2 Stürmer auswählen? (Die Reihenfolge der 2 zählt nicht, also ist es eine Kombination.) Sagen Sie bei jeder Frage, ob Sie die Variationen nPr oder die Kombinationen nCr verwendet haben, und zeigen Sie die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
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Kein Fachwissen nötig – einfach und intuitiv
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Kommerzielle Nutzung möglich
Kostenlos auch für die kommerzielle Nutzung
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
Wahrscheinlichkeit von zwei Ereignissen (und, oder, keines)
Berechnet aus zwei Wahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit, dass beide eintreten, dass mindestens eines eintritt, und mehr
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Berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass etwas n-mal hintereinander oder bei n Versuchen mindestens einmal eintritt
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